אינפי 1מ׳ הרצאות ר רבייב דניאל " ד 23 באוקטובר 2019 ייתכנו טעויות דפוס, אתם מוזמנים לעדכן אותי בכל טעות אפשרית. הערה תוכן עניינים 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבוא 1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבוצות, כמתים וסימונים 1.1 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קצת לוגיקה 1.2 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבוצות של מספרים 1.3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אקסיומות/הגדרות/משפטים 1.4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שיטות הוכחה 1.5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . צפיפות 1.6 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הערך המוחלט 1.7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אי־שיוויונים 1.8 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קבוצות חסומות 1.9 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדרות 2 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מושג הגבול 2.1 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תכונות בסיסיות ואריתמטיקה 2.2 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבול במובן הרחב 2.3 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדרות מונוטוניות 2.4 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תת־סדרות 2.5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדרות קושי 2.6 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הלמה של היינה־בורל 2.7 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות ממשיות 2.8 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות טבעיות ושלמות 2.8.1 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות רציונליות 2.8.2 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות ממשיות 2.8.3 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות 3 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדרות ותכונות בסיסיות 3.1 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פעולות על פונקציות 3.2 1 תוכן עניינים 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות אלמנטריות 3.3 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות של פונקציות 4 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבול באינסוף 4.1 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבול בנקודה 4.2 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אי־קיום גבול בנקודה 4.2.1 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תכונות בסיסיות 4.2.2 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבולות חד־צדדיים 4.2.3 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גבול במובן הרחב 4.3 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תנאי קושי 4.4 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רציפות 5 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מיון נקודות אי־רציפות 5.1 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט ערך הביניים 5.2 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט ויירשטראס 5.3 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . רציפות במידה שווה 5.4 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גזירות 6 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללי גזירה 6.1 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הישר המשיק 6.2 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כלל השרשרת 6.3 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נגזרות מסדר גבוה 6.4 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . נקודות קיצון מקומי 6.5 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט פרמה 6.6 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט רול 6.7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט לגרנז׳ 6.8 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . משפט דרבו 6.9 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסקנות לרציפות במידה שווה 6.9.1 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כלל לופיטל 6.10 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סדרי גודל 6.10.1 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פיתוח טיילור 6.11 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קירוב לינארי 6.11.1 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פולינום טיילור 6.11.2 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תנאי מספיק לקיצון מקומי 6.12 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות קמורות 6.13 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אסימפטוטות 6.14 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חקירת פונקציה 6.15 2 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 מבוא 1 קבוצות, כמתים וסימונים 1.1 קבוצה היא אוסף של איברים. נהוג לסמן את שם הקבוצה באותיות לטיניות גדולות ואת אברי הקבוצה הגדרה 1.1 בין סוגריים מסולסלים. ניתן גם לרשום קבוצה באופן הבא: A = { איבר כללי | תנאי שייכות לקבוצה } דוגמאות: A = { 1 , 2 , 3 } .1 B = { n | n = 2 , 4 , 6 , 8 , ... } .2 סימונים חשובים להמשך הקורס: דוגמה סימון 3 ∈ A = { 1 , 2 , 3 } ∈ שייך ∀ x ∈ A = { 1 , 2 , 3 } , x < 10 ∀ לכל ∃ x ∈ A = { 1 , 2 , 3 } , x < 2 ∃ קיים ¬∀ = ∃ , ¬∃ = ∀ , ¬ ∈ = / ∈ ¬ שלילה { 2 , 4 } ⊆ B = { n | n = 2 , 4 , 6 , 8 , ... } A = { 1 , 2 , 3 } * B = { n | n = 2 , 4 , 6 , 8 , ... } ⊆ הכלה 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n = n ∑ i = 1 1 i ∑ )איבר כללי( סכומים קצת לוגיקה 1.2 אז מסמנים: B גוררת קיום של טענה A טענות כך שטענה B ו־ A אם A ⇒ B אז אומרים שהטענות שקולות ומסמנים: A גוררת טענה B וטענה B גוררת טענה A אם טענה A ⇔ B שלילה לוגית: A ⇒ B m ¬ A ⇐ ¬ B " לא יורד גשם ⇐ אין עננים " שקול לוגית ל: " יש עננים ⇐ יורד גשם " דוגמה 3 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 קבוצות של מספרים 1.3 קבוצות המספרים הסטנדרטיות הן: φ הקבוצה הריקה: • N = { 1 , 2 , 3 , ... } המספרים הטבעיים: • Z = { ..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ... } המספרים השלמים: • Q = { m n | m ∈ Z , n ∈ N } המספרים הרציונליים: • R המספרים הממשיים מסומנים ב־ • מתקיים: φ ⊆ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R קטעים: ( a, b ) = { x ∈ R | a < x x } ( −∞ , a ] = { x ∈ R | a ≥ x } אקסיומות/הגדרות/משפטים 1.4 אקסיומה: חוק מתמטי שאנו מניחים את נכונותו ואין אפשרות או רצון להוכיח אותו. • דוגמאות: אקסיומת המקבילים. − חילופיות חיבור של מספרים ממשיים. − הגדרה: מתן שם/סימון לאובייקט/תכונה מתמטית. • דוגמאות: N מספר טבעי הוא איבר בקבוצה − n = 2 m כך ש: m ∈ Z עבורו קיים Z בקבוצה n מספר זוגי הוא איבר − 4 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 משפט: אמירה המצביעה על קשר )חשוב( בין עצמים, מושגים או תכונות מתמטיות. משפט מתחיל בהנחות, • ומסתיים בתוצאות. דוגמאות: תכונת ארכימדס: לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו. − c ∈ ( a, b ) המקיים c ∈ R , אז קיים a < b ∈ R יהיו − משפט הפוך: החלפה בין התוצאה להנחה. המשפט ההפוך לא בהכרח נכון )גם כאשר המשפט הנתון נכון(. • a + b אם " , המשפט ההפוך הוא: " מספר שלם a + b מספרים שלמים אז a, b אם " בהינתן המשפט: דוגמה " מספרים שלמים a, b מספר שלם אז הן טענות B ו־ A שקילות: )או אפיון( אם משפט והמשפט ההפוך נכונים אז אומרים שהטענות שקולות. אם • B אם ורק אם A או A ⇐⇒ B שקולות, אז נהוג לסמן מספר שלם. k 2 מספר שלם וזוגי אם ורק אם k דוגמה משפט נגדי: שלילה לוגית של משפט נתון. • אז x 6 = 0 , השלילה הלוגית היא: אם x = 0 אז 0 < x < a מתקיים a > 0 בהינתן המשפט: אם לכל דוגמה x ≤ 0 או x ≥ a כך שמתקיים a > 0 יש כ כלי עזר להוכחת משפט. " טענה/למה: בדומה למשפט רק בעל חשיבות פחות מרכזית, בד • הוכחה: מראים כי המסקנה הרצויה מתקיימת כאשר מתחילים בהנחות הנתונות ובהסתמך על אקסיומות, • הגדרות, טענות ומשפטים. יש מספר שיטות הוכחה שנראה בקרוב. שיטות הוכחה 1.5 הוכחה ישירה: שימוש ישיר בהנחות לצורך קבלת המסקנה. • זוגי. n 2 זוגי אז n . אם n ∈ Z יהא דוגמה . כעת: n = 2 m כל שמתקיים m ∈ Z לפי הגדרה, קיים הוכחה: n 2 = (2 m ) 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2 ) הוא מספר זוגי וסיימנו. 2(2 m 2 ) ולכן, לפי הגדרה 2 m 2 ∈ Z מסגירות לכפל נובע כי הוכחה נגדית )שלילה לוגית(: להוכיח בדרך ישירה את השלילה הלוגית של המשפט. • אי־זוגי. n אי־זוגי אז n 2 . אם n ∈ Z יהא דוגמה . את הטענה הזאת הוכחנו " זוגי n 2 זוגי אז n . אם n ∈ Z יהא " השלילה הלוגית של הטענה היא: הוכחה: בדוגמה הקודמת. הוכחה על דרך השלילה: מניחים כי התוצאה לא נכונה ובעזרת ההנחות מגיעים לסתירה )כלומר מקבלים כי • .( " לא נכונה " אחת ההנחות לא מתקיימת או שעובדה מתמטת ידועה √ 2 / ∈ Q דוגמה האם אכן קיים מספר כזה? כן, נפעיל את משפט פיתגורס על משולש ישר זווית עם ניצבים באורך 1 הערה √ 2 ואז אורך היתר הוא 5 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 נניח ללא הגבלת √ 2 = m n כך ש: m, n ∈ Z , אז מההגדרה קיימים √ 2 ∈ Q נניח בשלילה כי הוכחה: מספרים זרים )להסביר את החשיבות(. נעלה בריבוע: m, n הכלליות כי זהו שבר מצומצם, כלומר 2 = ( √ 2) 2 = m 2 n 2 m 2 n 2 = m 2 . נציב: m = 2 k כל ש: k ∈ Z זוגי. לכן קיים m זוגי, מטענה קודמת, m 2 מכאן נסיק כי 2 n 2 = m 2 = (2 k ) 2 = 4 k 2 m n 2 = 2 k 2 בסתירה לכך m, n זוגי. קיבלנו עם כך כי 2 הוא גורם משותף של n זוגי ולכן גם n 2 מכאן נסיק כי שהנחנו שהם זרים. צפיפות 1.6 A יש איבר מ־ B אם בין כל שני איברים שונים של B נקראת צפופה בתוך קטע A קבוצה הגדרה 1.2 המספרים הרציונליים צפופים בממשיים. משפט 1.3 המקיים: n ∈ N . אז מארכימדס יש a 1 b − a > 0 m nb − na > 1 המקיים: m ∈ Z הוא גדול מאחד ולכן קיים na ל־ nb כלומר, המרחק בין na < m < nb m a < m n < b b ל־ a והוכחנו כי קיים מספר רציונלי בין , כלומר: a √ 2 , b √ 2 בין k l ונקבל קי קיים מספר רציונלי a √ 2 , b √ 2 נפעיל את הטיעון הקודם עבור a, b עבור אותם הערה a √ 2 < k l < b √ 2 m a < k l √ 2 < b וסיימנו. k l √ 2 / ∈ Q מסגירות לכפל של הרציונליים נובע כי 6 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 הערך המוחלט 1.7 נגדיר: | x | =    x , x ≥ 0 − x , x < 0 .( | x − a | הוא x מ־ a מהראשית )באופן כללי, המרחק של x היא המרחק של | x | המשמעות הגיאומטרית של מההגדרה, ניתן בקלות להסיק: | x | = √ x 2 • − a ≤ x ≤ a אם ורק אם | x | ≤ a • x ≤ − a או x ≥ a אם ורק אם | x | ≥ a • שימוש חשוב: אם קיימת I היא נקודה פנימית של I בקטע a . נקודה a , נקרא סביבה של a ∈ R קטע פתוח המכיל ערך ממשי . נדגיש כי נקודת קצה של קטע היא בהכרח לא נקודה פנימית. I סביבה המוכלת ב־ a ל־ . או באופן שקול: | x − a | < δ מקיימים δ עד כדי a . כל האיקסים אשר קרובים ל־ δ > 0 : יהא סביבה של נקודה | x − a | < δ m − δ < x − a < δ m a − δ < x < δ + a m x ∈ ( a − δ, a + δ ) a של δ זוהי סביבה ברדיוס . או 0 < | x − a | < δ מקיימים δ עד כדי a . כל האיקסים אשר קרובים ל־ δ > 0 : יהא סביבה נקובה של נקודה באופן שקול: 0 < | x − a | < δ m x ∈ ( a − δ, a + δ ) − { a } a של δ זוהי סביבה מנוקבת ברדיוס 7 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 אי־שיוויונים 1.8 : a, b, c, d ∈ R )כללים בסיסיים( יהיו טענה 1.4 ac < bc אז c > 0 ו־ a bc אז c < 0 ו־ a 0 ו־ 0 ≤ a < b מונוטוניות החזקה: אם .4 || a | − | b || ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | אי־שיוויון המשולש: .5 . מההגדרה ברור כי: | a + b | ≤ | a | + | b | )אי־שיוויון המשולש( נוכיח את המקרה הוכחה: −| a | ≤ a ≤ | a | −| b | ≤ b ≤ | b | נחבר את אי־השיוויונים ונקבל: − ( | a | + | b | ) ≤ a + b ≤ | a | + | b | וסיימנו. יתר המקרים, משיקולים דומים. חיסור אי־שיוויונים אסור. לדוגמה הערה 10 ≤ 30 2 ≤ 29 אבל: 10 − 2 30 − 29 ומחברים. − 1 מה עושים? כופלים את אי־השיוויון המתאים ב־ קבוצות חסומות 1.9 עבורו: M ∈ R נקראת חסומה מלמעלה )מלעיל( אם קיים A ⊂ R קבוצה הגדרה 1.5 ∀ x ∈ A, x ≤ M כזה נקרא חסם מלעיל. M 8 danielr @ technion.ac.il מבוא 1 עבורו: m ∈ R נקראת חסומה מלמטה )מלרע( אם קיים A ⊂ R קבוצה ∀ x ∈ A, x ≥ m כזה נקרא חסם מלרע. m קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע. לא חסומה מלעיל. A הם חסמים מלרע אבל 0 , − 1 אז A = [0 , ∞ ) אם דוגמה אם sup A ומסמנים A נקרא הסופרמום )חסם עליון( של A החסם מלעיל הקטן ביותר של קבוצה הגדרה 1.6 sup A = max A אז הוא נקרא מקסימום ומסמנים sup A ∈ A inf A ∈ A . אם inf A ומסמנים A נקרא האינפימום )חסם תחתון( של A החסם מלרע הגדול ביותר של קבוצה inf A = min A אז הוא נקרא מינימום ומסמנים בהתאמה. עם זאת, 0 , 1 זהים ושווים ל־ A = [0 , 1] , B = (0 , 1) , C = [0 , 1) הסופרמום והאינפימום של דוגמה A ומקסימום יש רק ל־ A, C מינימום יש רק ל־ אם ורק אם: sup A = α , אז A 6 = φ תהא למה 1.7 ∀ x ∈ A, x ≤ α .1 x 0 > α − ε המקיים x 0 ∈ A יש ε > 0 2. לכל ניסוח דומה עבור האינפימום. הערה הוא הסופרמום אז הוא בפרט חסם מלעיל ולכן התנאי הראשון מתקיים. כעת, יהא α כיוון ראשון: אם הוכחה: x 0 > α − ε המקיים x 0 ∈ A לא חסם מעיל, כלומר יש α − ε נסיק כי α − ε < α , כיוון ש־ ε > 0 מקיים את שני התנאים אך הוא לא הסופרמום, לכן יש חסם מלעיל קטן יותר, נסמן M בכיוון השני, נניח עבורו x 0 ∈ A , יש ε = M − M ′ > 0 כעת, התנאי השני נכון לכל אפסילון חיובי ובפרט עבור M ′ < M הוא חסם מלעיל. M ′ בסתירה לכך ש־ x 0 > M ′ ולכן ε = M − M ′ . אך x 0 > M − ε לקבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל/מלרע יש סופרמום/אינפימום. אקסיומת השלמות: Q סופרמום ב־ A . נניח בשלילה כי יש ל־ Q אין סופרמום ב־ A = { x ∈ Q | x < √ 2 } נראה כי לקבוצה דוגמה אז מצפיפות הרציונליים יש מספר α > √ 2 , נפריד למקרים: אם α 6 = √ 2 . ברור כי sup A = α ∈ Q ונסמנן כלומר יש חסם מלעיל קטן יותר בסתירה להגדרת הסופרמום. √ 2 < q < α אבל אז q ∈ ( √ 2 , α ) רציונלי ומהגדרת הקבוצה t ∈ ( α, √ 2 ) , במקרה זה נסיק שוב מתכונת הצפיפות כי יש מספר רציונלי α < √ 2 לכן בסתירה להגדרת הסופרמום. t ∈ A b n = a יחיד המקיים 0 0 לכל משפט 1.8 n √ a הוא b סימון מקובל ל־ הערה 9 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 n = 2 נוכיח למקרה בו הוכחה: , אז ממונוטוניות החזקה c 1 אחרת x ≤ 1 ≤ M אז x ≤ 1 אם x ∈ A וניקח M = max { 1 , a } חסומה מלעיל: נסמן A A חסם מלעיל של M כ, " . סה x < x 2 < a ≤ M : τ 2 = a ונוכיח כי τ = sup A כעת נסמן 0 < ε < 1 . ברור כי 0 < ε = 1 2 min { 1 , a − τ 2 2 a +1 } < min { 1 , a − τ 2 2 a +1 } ונבחר τ 2 < a : נניח בשלילה כי τ 2 ≥ a ולכן: ( α + ε ) 2 = τ 2 + ε (2 a + ε ) < τ 2 + ε (2 a + 1) < τ 2 + a − τ 2 2 a + 1 (2 a + 1) = a חסם מעיל. τ בסתירה לכן ש־ α + ε ∈ A אבל אז ונבחין כי: t ∈ A . יהא τ 2 > a : נניח בשלילה כי τ 2 ≤ a α − t = τ 2 − t 2 τ + t > ( ∗ ) τ 2 − a 2 τ τ > 0 , כלומנר 0 < u ≤ τ ומהגדרת הסופרימום 0 < u ∈ A , לכן u 2 < a מקיים u = 1 2 min { 1 , a } נבחין כי ( ∗ ) נקבל: T = τ − τ 2 − τ 2 τ לכן אם נסמן t < T = τ − τ 2 2 τ + a 2 α < τ 2 + τ 2 = τ חסם מלעיל קטן יותר מהסופרמום וזאת סתירה. T כלומר, סדרות 2 סדרה היא אוסף אינסופי מסודר של מספרים ממשיים. מסמנים: הגדרה 2.1 { a n } ∞ n =1 = { a n } n ∈ N אופן הגדרת סדרה: נוסחה מפורשת. למשל: .1 a n = n סדרת הטבעיים: )א( a n = c ואז c ∈ R סדרה קבועה: נקבע )ב( a n = 1 n סדרה הרמונית: )ג( a n = ( − 1) n n סדרה הרמונית מתחלפת: )ד( 10 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 נקרא הפרש הסדרה(. d קבועים ) a, d ∈ R כאשר a n = a + ( n − 1) d סדרה חשבונית: )ה( נקרא מנת הסדרה(. q קבועים ) a, q ∈ R כאשר a n = aq n − 1 סדרה הנדסית: )ו( כלל לפיו בוחרים את אברי הסדרה. למשל: .2 a n = { π אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של n האיבר ה־ } כלל מילולי, למשל: )א( סדרה רקורסיבית: סדרה המוגדרת על־ידי נוסחת נסיגה, למשל מספרי פיבונאצ׳י: )ב( a 1 = a 2 = 1 ∀ n ≥ 3 , a n = a n − 1 + a n − 2 מושג הגבול 2.1 פרדוקס אכילס והצב מסופר על הלוחם אכילס אשר התחרה בצב, בכדי לתת סיכוי לצב הוחלט שהצב יעמוד מרחק מסויים לפני אכילס, עם התחלת המירוץ מתחילים אכילס והצב בתנועתם a 1 < a 2 והצב בנקודה a 1 נניח כי אכילס עומד בנקודה הגיע הצב לנקודה חדשה a 2 ל־ a 1 עקף אכילס את הצב. מצד שני, בפרק הזמן בו רץ אכילס מנקודה T > 0 ובזמן בהם 0 < t 1 < t 2 < · · · , וכן הלאה. נראה לכאורה כי יש אינסוף זמנים 0 < t 1 , נסמן פרק זמן זה ב־ a 2 < a 3 “ שואפים ” היא נקודת זמן אשר אליה T . למעשה, t i < T מתקיים i אכילס נמצא מאחורי הצב, ברור גם כי לכל t i הערכים נעבור כעת, להגדרת הגבול , אם: a n −→ n →∞ L או lim n →∞ a n = L ונסמן L מתכנסת )שואפת( לגבול { a n } ∞ n =1 נאמר כי סדרה הגדרה 2.2 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ n > N, | a n − L | < ε אם לסדרה לא קיים הגבול, נאמר כי הסדרה מתבדרת. הערות: נבחין כי שינוי של מספר סופי של אברי הסדרה, לא משפיע על ההתכנסות או על ערך הגבול. .1 N טבעי. יתרה מזאת, אין דרישה למינימליות N לא נקפיד על .2 פרט אולי למספר סופי של a n אם היא מתקיימת לכל n אומרים כי תכונה מסויימת מתקיימת כמעט לכל .3 איברים, או באופן שקול, החל ממקום מסויים. אם סדרה מתכנסת אז ניתן לומר כי כל סביבה של הגבול מכילה את כמעט כל אברי הסדרה. בפרט, שינוי מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול. יש הבדל בין חיוביים בעוד שלא a n = ( − 1) n n לדוגמה אינסוף מאברי אינסוף מאברי הסדרה לכמעט כל אברי הסדרה. כמעט כל אברי הסדרה חיוביים. 11 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 דוגמאות: . אכן: c שואפת ל־ a n = c הסדרה .1 ∀ ε > 0 , ∃ N = 1 , ∀ n > N, | c − c | = 0 < ε מתקיים: n > N ואז לכל N > 1 ε נבחר ε > 0 השואפת לאפס. אכן לכל { 1 n } ∞ n =1 הסדרה .2 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 n − 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 n < 1 N < ε אז הטענה ברורה, לכן נניח כי q = 0 השואפת לאפס. ראשית, אם { q n } ∞ n =1 , נוכיח כי הסדרה | q | < 1 יהא .3 מתקיים: n > N ( ואז לכל M = 1 | q | − 1 > 0 )כאשר N > 1 εM נבחר ε > 0 . לכל q 6 = 0 | q n − 0 | = | q | n = 1 (1 + M ) n ≤ 1 nM < 1 N M < ε (1 + M ) n = n ∑ k =0 ( n k ) M k ≥ nM לפי הבינום של ניוטון: ( ∗ ) L ∈ R ממשי הוא לא הגבול. אכן, ניקח L י כך שנוכיח כי כל " מתבדרת ע a n = ( − 1) n נוכיח כי הסדרה .4 ונפריד למקרים: ואז: n 0 = 2 N + 1 > N ניקח N ∈ N , כעת לכל ε = 1 : ניקח L = 1 | a n 0 − 1 | = |− 1 − 1 | = 2 > ε איננו הגבול. L = 1 לפיכך ואז: n 0 = 2 N > N ניקח N ∈ N , כעת לכל ε = | L − 1 | : ניקח L 6 = 1 | a n 0 − L | = | 1 − L | = ε איננו הגבול. L = 1 לפיכך | a n | ≤ M מתקיים n ∈ N כך שלכל M > 0 חסומה אם יש { a n } ∞ n =1 נאמר כי סדרה הגדרה 2.3 מגדירים חסומה מלעיל/מלרע באופן אנלוגי לקבוצות חסומות. הערה נבחין כי הסדרה בבירור חיובית ולכן מספיק לחסום אותה מלעיל. חסומה. {( 1 + 1 n ) n } ∞ n =1 הסדרה דוגמה : 1 מאי־שיוויון הממוצעים (( 1 + 1 n ) n · ( 1 − 1 k ) k ) 1 n + k ≤ n ( 1 + 1 n ) + k ( 1 − 1 k ) n + k = 1 מתקיים n כ, לכל " . סה ( 1 + 1 n ) n ≤ 1 ( 1 − 1 2 ) 2 = 4 נקבל כי k = 2 . כעת, עבור ( 1 + 1 n ) n ≤ 1 ( 1 − 1 k ) k מכאן, 0 < ( 1 + 1 n ) n < 4 n 1 a 1 + ··· 1 an ≤ n √ a 1 · · · a n ≤ a 1 + ··· + a n n ממוצע הרמוני, ובאופן מפורש ≤ ממוצע הנדסי ≤ כידוע, ממוצע חשבוני 1 12 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 תכונות בסיסיות ואריתמטיקה 2.2 נתחיל בטענה שימושית אשר עוזרת באינטואיציה וכן בהוכחות. , אז: L סדרה המתכנסת לגבול { a n } ∞ n =1 תהא משפט 2.4 הוא יחיד. L הגבול .1 הסדרה חסומה. .2 נסיק כי סדרה לא חסומה היא לא סדרה מתכנסת. הערה הוכחה: N 1 ולכן יש L 1 . הסדרה מתכנסת ל־ ε = | L 1 − L 2 | 3 > 0 ונגדיר L 1 , L 2 1. נניח בשלילה כי יש שני גבולות שונים : n > N 1 כל שלכל | a n − L 1 | < ε : n > N 2 כל שלכל N 2 ולכן יש L 2 באותו האופן, הסדרה מתכנסת ל־ | a n − L 2 | < ε , עבור ערך זה נקבל: n 0 = max { N 1 , N 2 } + 1 ניקח | L 1 − L 2 | ≤ ( i ) | a n 0 − L 1 | + | a n 0 − L 2 | < ( ii ) ε + ε < 3 ε = | L 1 − L 2 | אי־שיוויון המשולש. ( i ) n 0 > N 2 וגם n 0 > N 1 מבחירתו, ( ii ) וזאת סתירה. מתקיים: n > N כך שלכל N , לפי הגדרת הגבול יש ε = 1 2. ניקח | a n − L | < 1 , מאי־שיוויון המשולש נסיק: n > N לכן, לכל | a n | ≤ | a n − L | + | L | < 1 + | L | אם כך, חסם אפשרי לסדרה הוא: M = max {| a 1 | , ..., | a N | , 1 + | L |} בהתאם, אז b, a סדרות המתכנסות לגבולות { b n } ∞ n =1 ו־ { a n } ∞ n =1 )אריתמטיקה של גבולות.( אם משפט 2.5 הגבולות הבאים קיימים: 13 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 ∀ α ∈ R , lim n →∞ α · a n = αa .1 lim n →∞ ( a n ± b n ) = a ± b .2 lim n →∞ ( a k n ) = a k מתקיים k ∈ N ובאינדוקציה, לכל lim n →∞ ( a n · b n ) = a · b .3 lim n →∞ ( a n b n ) = a b , אז b 6 = 0 אם .4 הערות: { a n } יש גבול, לא ניתן להסיק כי { a n + b n } אריתמטיקה נכונה רק בכיוון הנתון במשפט. לדוגמה, מכך של־ .1 מתכנסות. { b n } ו/או ובשימוש a 6 = 0 למעשה, בהנחה ש־ lim n →∞ a k n = a k קבוע מתקיים k ∈ N כי לכל 3 באינדוקציה נסיק מ־ .2 k ∈ Z גבול של מנה ניתן להסיק זאת לכל ”0” ”0” לא ניתן להפעיל אריתמטיקה במקרה בו מקבלים .3 נחשב את הגבול הבא: דוגמה n 2 + n − 1 3 n 2 − 1 = 1 + 1 n − 1 n 2 3 − 1 n 2 = n →∞ 1 + 0 − 0 3 − 0 = 1 3 הוכחה: ε ′ > 0 ולכן לכל a מתכנסת ל־ { a n } ∞ n =1 . מניחים כי ε > 0 הטענה ברורה. כעת, יהא α = 0 1. ראשית, אם נקבל: n > N , לפיכך לכל | a n − a | < ε ′ מתקיים n > N כך שלכל N יש ε ′ = ε α > 0 ובפרט עבור | αa n − αa | = α | a n − a | < αε ′ = ε ובפרט עבור ε ′ > 0 בהתאמה ולכן לכל a, b מתכנסות ל־ { a n } ∞ n =1 , { b n } ∞ n =1 , מניחים כי ε > 0 יהא .2 מתקיים: ε ′ = ε 2 > 0 ∃ N 1 , ∀ n > N 1 , | a n − a | < ε ′ ∃ N 2 , ∀ n > N 2 , | b n − b | < ε ′ נקבל: n > N = max { N 1 , N 2 } לפיכך לכל | a n + b n − ( a + b ) | ≤ | a n − a | + | b n − b | < ε ′ + ε ′ = ε { a n } ∞ n =1 . בנוסף, גם 0 < M י " מתכנסת ולכן מטענה קודמת חסומה, נניח ע { b n } ∞ n =1 . נתון כי ε > 0 3. יהא מתקיים: ε ′ = ε max { M, | a |} > 0 ובפרט עבור ε ′ > 0 ולכן לכל a מתכנסת ל־ ∃ N 1 , ∀ n > N 1 , | a n − a | < ε ′ ∃ N 2 , ∀ n > N 2 , | b b − b | < ε ′ 14 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 נקבל: n > N = max { N 1 , N 2 } כעת, לכל | a n b n − ab | = | a n b n − ab n + ab n − ab | ≤ | a n b n − ab n | + | ab n − ab | = | b b | | a n − a | + | a | | b n − b | ≤ M | a n − a | + | a | | b n − b | < M ε ′ + | a | ε ′ ≤ ε ε ′ = | b | 2 ε 2( | b | + | a | ) > 0 ובפרט עבור ε ′ > 0 מתכנסות ולכן לכל { a n } ∞ n =1 { b n } ∞ n =1 נתון כי ε > 0 יהא .4 מתקיים: ∃ N 1 , ∀ n > N 1 , | a n − a | < ε ′ ∃ N 2 , ∀ n > N 2 , | b n − b | < ε ′ מתקיים: n > N 3 כך שלכל N 3 יש ε ′′ = | b | 2 > 0 באופן דומה עבור | b n − b | < ε ′′ = | b | 2 m | b | 2 < | b n | < 3 2 | b | נקבל: n > N = max { N 1 , N 2 , N 3 } כעת, לכל ∣ ∣ ∣ ∣ a n b n − a b ∣ ∣ ∣ ∣ = | a n b − ab n | | b n | | b | = | a n b − ab + ab − ab n | | b n | | b | ≤ | b | | a n − a | + | a | | b − b n | | b | 2 | b | ≤ 2 | a n − a | | b | + 2 | a | | b − b n | | b | 2 < 2 | b | | b | 2 ε ′ + 2 | a | | b | 2 ε ′ = 2 ( | b | + | a | ) | b | 2 ε ′ = ε | L | המתכנסת לגבול {| a n |} ∞ n =1 , אז הסדרה L סדרה המתכנסת לגבול { a n } ∞ n =1 תהא משפט 2.6 אז גם ההיפך נכון, להוכיח בבית. L = 0 . עם זאת, אם a n = ( − 1) n ההיפך לא נכון, למשל עבור הערה ניקח ε > 0 . כעת, לכל | a n − L | < ε מתקיים n > N כל שלכל N יש ε > 0 הסדרה מתכנסת ולכן לכל הוכחה: מאי־שיוויון המשולש: n > N ואז לכל N את אותו || a n | − | L || ≤ | a n − L | < ε | L | מתכנסת ל־ {| a n |} כלומר 15 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 √ a n −→ n →∞ √ L ≥ 0 , אז a n −→ n →∞ L ≥ 0 סדרה אי־שלילית ונניח כי { a n } תהא טענה 2.7 הטענה למעשה נכונה לכל חזקה ממשית, את ההוכחה נראה בהמשך בעזרת פונקציות. הערה . נפריד לשני מקרים: ε > 0 יהא הוכחה: מתקיים: n > N כך שלכל N יש ε ′ = √ Lε ובפרט ε ′ > 0 : מההנחה והגדרת הגבול, לכל L > 0 | a n − L | < ε ′ : n > N כעת, נבחין כי לכל ∣ ∣ ∣ √ a n − √ L ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ( √ a n − √ L ) √ a n + √ L √ a n + √ L ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a n − L √ a n + √ L ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = | a n − L | √ a n + √ L < ε ′ √ L = ε √ L מתכנסת ל־ { √ a n } ולכן מתקיים: n > N כך שלכל N יש ε ′ = ε 2 ובפרט ε ′ > 0 : מההנחה והגדרת הגבול, לכל L = 0 a n = | a n | = | a n − 0 | < ε ′ = ε 2 ⇓ ∣ ∣ √ a n − 0 ∣ ∣ = √ a n < ε √ 0 = 0 מתכנסת ל־ { √ a n } ולכן סדרה השואפת { a n b n } סדרה חסומה אז { b n } סדרה השואפת לאפס ו־ { a n } )חסומה כפול אפסה( אם טענה 2.8 לאפס. ε ′ > 0 השואפת לאפס ולכן לכל { a n } ∞ n =1 , מניחים כי { b n } הוא חסם של M > 0 . נניח כי ε > 0 יהא הוכחה: נקבל: n > N , לפיכך לכל | a n | < ε ′ מתקיים n > N כך שלכל N יש ε ′ = ε M > 0 ובפרט עבור | a n b n − 0 | = | b n | | a n | < M | a n | < M ε ′ = ε שהיא בבירור שואפת לאפס, a n = 1 n שואפת לאפס כי היא המכפלה של c n = ( − 1) n n 3 + n +1 n 4 + n 3 +12 n הסדרה דוגמה . אכן: b n = ( − 1) n n 3 + n +1 n 3 + n 2 +12 n והסדרה החסומה 0 ≤ | b n | = | ( − 1) n n 3 + n + 1 | n 3 + n 2 + 12 n ≤ | ( − 1) n | + 1 n 2 + 1 n 3 1 + 1 n + 12 n 2 ≤ 1 + 1 + 1 1 = 3 סדרות. אם מתקיים: { a n } ∞ n =1 , { b n } ∞ n =1 , { c n } ∞ n =1 )כלל הסנדוויץ( נניח כי משפט 2.9 החל ממקום מסוים. a n ≤ b n ≤ c n .1 L מתכנסות לאותו הגבול { a n } ∞ n =1 , { c n } ∞ n =1 .2 L מתכנסת לגבול { b n } אז גם 16 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 . מכך שהסדרות מתכנסות, נסיק: ε > 0 ויהא n נניח כי אי־השיוויונים מתקיימים לכל הוכחה: ∃ N 1 , ∀ n > N 1 | a n − L | < ε ∃ N 2 , ∀ n > N 2 | c n − L | < ε נסיק: N = max { N 1 , N 2 } לכן, עבור L − ε < a n ≤ b n ≤ c n < L + ε m | b n − L | < ε דוגמאות: כעת, לכל שואפת לאפס. {√ 2 n − 1 } ∞ n =2 מאריתמטיקה וטענה קודמת ברור כי lim n →∞ n √ n = 1 נוכיח כי .1 : n > 1 . נבחין כי לכל n √ n = 1 + h n ולכן ניתן לרשום n √ n > 1 מתקיים n > 1 n = (1 + h n ) n = ( i ) n ∑ i =0 ( n i ) h i n > ( ii ) ( n 2 ) h 2 n = n ( n − 1) 2 h 2 n נוסחת הבינום. ( i ) n > 1 לכל h n > 0 ברור ( ii ) שואפות לאפס, { 0 } ∞ n =1 , {√ 2 n − 1 } ∞ n =2 2 הואיל והסדרות n כמעט לכל 0 < h n < √ 2 n − 1 מכאן נסיק כי lim n →∞ n √ n = 1 השואפת לאפס ומאריתמטיקה נקבל כי { h n } ∞ n =1 מכלל הסנדוויץ נקבל כי . נפריד לשני מקרים: lim n →∞ n √ a = 1 מתקיים a > 0 נוכיח כי לכל .2 מתקיים: n > a : ממונוטוניות השורש, לכל a ≥ 1 )א( 1 ≤ n √ a < n √ n lim n →∞ n √ a = 1 ולכן מכלל הסנדוויץ נובע כי 1 שני האגפים שואפים ל־ n √ a = 1 n √ 1 a אך ברור כי lim n →∞ n √ 1 a = 1 ולפי המקרה הקודם נקבל כי 1 a > 1 אז : 0 < a < 1 )ב( ומאריתמטיקה נקבל את הנדרש. a n > 0 אז החל ממקום מסויים a > 0 מתכנסת לגבול { a n } ∞ n =1 אם טענה 2.10 הערות: a n = ( − 1) n n הטענה לא נכונה, למשל a ≥ 0 אם .1 יש לפרט. 2 17 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 a N כך שלכל N יש ε = a > 0 ובפרט עבור ε > 0 ולכן לכל 0 < a הסדרה מתכנסת ל־ הוכחה: | a n − a | < ε = a ⇐⇒ 0 < a n < 2 a וסיימנו. . אם הסדרות מתכנסת לגבולות a n ≤ b n סדרות ונניח כי החל ממקום מסויים { a n } ∞ n =1 , { b n } ∞ n =1 יהיו טענה 2.11 a ≤ b בהתאמה אז a, b a n = − 1 n , b n = 1 n , למשל a 0 ובפרט עבור ε > 0 . הסדרות מתכנסות ולכן לכל a > b נניח בשלילה כי הוכחה: ∃ N 1 , ∀ n > N 1 | a n − a | < ε ⇐⇒ a + b 2 < a n < 3 a − b 2 ∃ N 2 , ∀ n > N 2 | b n − b | < ε ⇐⇒ − a + 3 b 2 max { N 1 , N 2 } לכן, לכל b n < a + b 2 < a n וזאת סתירה. גבול במובן הרחב 2.3 אם לכל מספר ממשי lim n →∞ a n = ∞ או a n −→ n →∞ ∞ שואפת לאינסוף ונסמן { a n } ∞ n =1 נאמר כי סדרה הגדרה 2.12 lim n →∞ a n = −∞ . באופן דומה נגדיר a n > M מתקיים n > N כך שלכל N יש M הערות: M > 0 בשאיפה לאינסוף מספיק להוכיח עבור .1 נאמר כי סדרה מתכנסת במובן הרחב אם יש לה גבול סופי או אינסופי. עם זאת, המושג סדרה מתכנסת .2 מתייחס תמיד לגבול סופי. כללי האריתמטיקה: מוכיחים לפי הגדרה כי: .3 a n + b n −→ n →∞ ∞ וכן a n b n −→ n →∞ ∞ אז b n −→ n →∞ ∞ ו־ a n −→ n →∞ ∞ אם )א( a n b n −→ n →∞ ∞ אז b n −→ n →∞ L > 0 ו־ a n −→ n →∞ ∞ אם )ב( 18 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 אז לא ניתן לומר דבר על c n −→ n →∞ 0 ו־ a n −→ n →∞ ∞ , b n −→ n →∞ ∞ לא כל כללי האריתמטיקה תקפים: אם .4 הגבול של הסדרות: { a n − b n } , { a n b n } , { a n c n } , אך גם הסדרות lim n →∞ a n − b n = 0 ברור כי הסדרות שואפות לאינסוף וכן a n = b n = n לדוגמה עבור שואפות לאינסוף וכך גם ההפרש. a n = 2 n, b n = n דוגמאות: n > N ואז לכל N = M 2 ניקח M > 0 אכן, לכל מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. a n = √ n הסדרה .1 נקבל: a n = √ n > √ N = M n > N ואז לכל N > 1 − M ניקח M < 0 . אכן, לכל −∞ מתכנסת במובן הרחב ל־ a n = 1 − n 3 n 2 + n +1 הסדרה .2 נקבל: a n = 1 − n 3 n 2 + n + 1 = (1 − n ) ( n 2 + n + 1) n 2 + n + 1 = 1 − n < 1 − N < M שואפת לאפס. { 1 a n } סדרה השואפת לאינסוף אז { a n } אם טענה 2.13 מתקיים n > N כך שלכל N יש M = 1 ε ובפרט עבור M מההנחה והגדרת הגבול, לכל ε > 0 יהא הוכחה: נקבל: n > N . לפיכך, לכל a n > M = 1 ε > 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 a n − 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 a n ∣ ∣ ∣ ∣ = ( ∗ ) 1 a n < 1 M = ε חיובית. a n ובפרט a n > M = 1 ε > 0 מתקיים n > N לכל ( ∗ ) שואפת לאפס לפי ההגדרה. { 1 a n } לכן, באופן דומה מוכיחים את הטענה: שואפת לאינסוף. { 1 a n } סדרה חיובית השואפת לאפס אז { a n } אם טענה 2.14 ” 1 0 + ” = ” ∞ ” . לכן, 0 + נהוג לומר כי סדרה חיובית השואפת לאפס שואפת ל־ הערה b n −→ n →∞ ∞ אז גם a n −→ n →∞ ∞ ו־ a n ≤ b n מתקיים n )משפט הפיצה( אם לכל משפט 2.15 הערות: החל ממקום מסויים. a n ≤ b n המשפט נכון גם אם .1 19 danielr @ technion.ac.il סדרות 2 −∞ באופן אנלוגי ל־ .2 a n > M מתקיים n > N כך שלכל N יש M ′ = M ובפרט עבור M ′ , מהגדרת הגבול, לכל M > 0 יהא הוכחה: ואז: b n ≥ a n > M b n −→ n →∞ ∞ ולכן משפטים שימושיים נוספים אשר נובעים מכלל הסנדוויץ הם: a n +1 a n −→ n →∞ q סדרה חיובית ונניח שקיים הגבול { a n } ∞ n =1 כלל המנה: תהא משפט 2.16 a n −→ n →∞ ∞ אז q = ∞ או q > 1 אם .1 a n −→ n →∞ 0 אז q < 1 אם .2 הכלל לא עוזר. q = 1 אם .3 n √ a n −→ n →∞ q סדרה אי־שלילית ונניח שקיים הגבול { a n } ∞ n =1 כלל השורש: תהא .1 a n −→ n →∞ ∞ אז q = ∞ או q > 1 אם )א( a n −→ n →∞ 0 אז q < 1 אם )ב( הכלל לא עוזר. q = 1 אם )ג( דוגמאות: . הסדרה חיובית, נבחין כי: { e n n ! } נחשב את גבול הסדרה .1 a n +1 a n = e n +1 ( n +1)! e n n ! = e n + 1 −→ n →∞ 0 < 1 לכן ממבחן המנה, הסדרה שואפת לאפס. קבועים. הסדרה חיובית, נבחין כי: a > 1 , k ∈ Z כאשר { n k a n } נחשב את גבול הסדרה .2 n √ n k a n = ( n √ n ) k a −→ n →∞ 1 a < 1 לכן ממבחן השורש, הסדרה שואפת לאפס. 20 danielr @ technion.ac.il

Reportar conductas abusivas

Detalles del documento PDF

Información de contacto

4_5791863050487204153.pdf

דניאל רבייב