CUARTA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL MATEMÁTICA (ON LINE) 2020 Material JMA - OL - 0 4 - 2020 2 PRUEBA TRANSICIÓN MATEMÁTICA INSTRUCCIONES Esta prueba consta de 65 preguntas, de las cuales 60 serán consideradas para el cálculo de puntaje y 5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene cuatro (4) o cinco (5) opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA. INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas. 2. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 3. El intervalo [p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores o iguales a q; el intervalo ]p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores o iguales a q; el intervalo [p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores que q; y el intervalo ]p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores que q. 4. En esta prueba, se considerará que v (a, b) es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano cartesiano y su extremo en el punto (a, b), a menos que se indique lo contrario. 5. Se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras obtenidas son equiprobables de salir. 6. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 3 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola , si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola , si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2) , si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) , si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional , si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es meno r o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x es aproximado a factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos complemento del conjunto A vector u     log   u ln      // AB  x   x!  A C 4 1. 2004 + 2004 2004 + 2004 + 2004 = A) 2004 B) 113 350 C) 2 2004 D) 2 3 E) 2 7 2. 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 – 4 4 = A) 0 B) 2 C) 4 D) 2 4 E) 4 4 3. - -2 (0,1) = A) -100 B) -81 C) -1 D) 1 E) 81 4. Tres décimos de una semana de 7 días es equivalente a A) 3 días. B) 2 días y 1 hora. C) 2 días y 12 horas. D) 2 días, 2 horas y 4 minutos. E) 2 días, 2 horas y 24 minutos. 5 5. En un examen se les indicó a los alumnos que tenían 1 hora y 20 minutos para responderlo. Andrés terminó el examen empleando el 80% del tiempo máximo establecido. Boris empleó el 90% y Carlos terminó 16 minutos antes que se cumpliera la hora y 20 minutos. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA ? A) Andrés empleó un 10% menos del tiempo que Boris. B) Carlos empleó el mismo tiempo que Andrés en contestar el examen. C) Boris terminó el examen faltando 8 minutos para la hora 20 minutos. D) Carlos empleó el 80% del tiempo máximo establecido. 6. ¿Cuál de las siguientes expresiones representan el 25% de 4 4 ? A) 3 4 B) 1 4 C) 4 3 D) 3 1 4 E) 4 3 4       7. 7 9 6 11 9 4 3 5 10 3 5 6                         = A) 6 5 B) 1 9 C) 1 25 D) 2 3 E) 5 6 6 8. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)? I) 1 5 = 5 5 II) 1 1 > 5 5 III) 5 1 < 25 5 5 A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), si a, b, m y n son números reales positivos? I) log (a ∙ b) = log a ∙ log b II) log a m = m log a III) 1 n log a = log a n       A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 10. Si log 2 = m y log 3 = n, escribiendo log 32 27       en función de m y n se obtiene A) 2m + n B) 3m + 2n C) 5m – 3n D) 2m – 3n E) 2m n 7 11. Si a y b son distintos de cero, se puede determinar que la expresión n a b       representa un número real negativo, si se sabe que: (1) b a es un número real negativo. (2) n es un número entero negativo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 12. Si t  -3, entonces ¿cuál de las siguientes expresiones es igual al cuadrado de 2 t t 12 t + 3   ? A) t 2 + 8t + 16 B) t 2 + 6t + 9 C) t 2 – 6t + 9 D) t 2 – 8t + 16 E) t 2 – 12t + 36 13. Un automóvil gasta 7 litros de bencina cuando recorre 84 km, viajando a una misma velocidad. Cuando recorre 63 km, ¿qué fracción de los 7 litros gasta? A) 1 4 B) 1 3 C) 1 6 D) 2 3 E) 3 4 8 14. Una docena de empanadas cuesta $ (2m – n). Si se hace una rebaja de $n por cada docena que se compra, ¿cuánto se pagará por 3 docenas de empanadas? A) $ 6m B) $ (6m – n) C) $ (6m – 3n) D) $ (6m – 6n) E) $ (6m + 3n) 15. Dada la ecuación en el conjunto de los números reales, ax = b de incógnita x, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) No puede tener infinitas soluciones. B) Siempre tiene soluciones. C) Solo tiene solución, si a  0. D) Tiene infinitas soluciones, si b  0. E) Tiene solución única, si a  0. 16. En cierta comuna si un vehículo está estacionado en un lugar prohibido, la grúa municipal lo transporta al corral de la municipalidad. La multa por estacionarse en ese lugar cuesta $ 76.880 y además se debe pagar $ 1.250 por hora de permanencia en el corral. Si un infractor tuvo que pagar en total $ 101.880, ¿cuánto tiempo permaneció su vehículo en el corral? A) 20 horas B) 21 horas C) 22 horas D) 23 horas E) 24 horas 9 17. En un terreno cuadrado con lados de 30 m, se desea construir una bodega, también cuadrada de lados de 24 m (proyecto 1). Como los planes cambiaron, ahora la bodega tendrá forma de T (proyecto 2), pero con la misma área que en el proyecto 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) La longitud de x es el 40% de la longitud del lado del cuadrado. B) En el proyecto 2 el lado más corto de las zonas rectangulares mide 10 m. C) El área de cada zona rectangular es el 20% del área del cuadrado en el proyecto 2. D) El lado de la bodega del proyecto 1 es más largo que cualquier lado de la bodega del proyecto 2. 18. Si m y n son números reales positivos, entonces de acuerdo a la ecuación pqr mn + 34C = 374, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a C? A) 11 – pqr 34mn B) 374 mn pqr       - 34 C) 11 – mn 34pqr D) 374 pqr mn       - 34 E) 11 + pqr 34mn 19. ¿Cuál de los siguientes es el conjunto solución de la inecuación x x + 1 < 1 2 3  ? A) ]-  , 4[ B) ]-  , 8[ C) ]4, 8[ D) ]4, +  [ E) ]8, +  [ 30 x Proyecto 2 x x 30 6 24 Proyecto 1 10 20. Dado el sistema 1 1 1 + = x y m 1 1 1 = x y n  , con m y n  0, ¿cuál de las siguientes expresiones es igual a x 2 ? A) m + n mn B) m + n 2 C) 2 m + n D) mn m + n E) m + n 2mn 21. Sean dos números tales que si se aumenta el primero de ellos en el triple del segundo, se obtiene 39, y si se aumenta el segundo en el triple del primero, se obtiene 93. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Uno de los números es el 30% del otro. B) El producto de los números es igual a 93. C) La suma de los números es igual a 33. D) La diferencia positiva de los números es 90. E) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. 22. Usted no me conoce, pero si presta atención a la pista que le voy a dar podría tener una idea aproximada de la edad que tengo. Mi edad actual es la diferencia entre la mitad de la edad que tendré en 20 años más y la tercera parte de la edad que tenía hace 5 años. Si puso atención podrá concluir que A) Soy un joven que tiene más de 12 años y menos de 21. B) Tengo más de 21 años, pero menos de 30. C) Ya pasé los 30 años, pero todavía no llego a los 40. D) Soy un adulto que tiene más de 40 años. 11 23. Al formar la ecuación de segundo grado cuyo conjunto solución es {-2, 8} se obtiene A) 8x 2 + 2x + 10 = 0 B) x 2 – 6x – 16 = 0 C) x 2 – x – 2 = 0 D) x 2 + 10x – 18 = 0 E) x 2 + 10x = 0 24. Para que la ecuación de segundo grado 4x 2 + (k – 4)x + 1 – k = 0, tenga raíces iguales se debe cumplir que A) k = 0 B) k = -8 ó k = 0 C) k = 0 D) -8 < k < 0 E) k < 0 ó k > 8 25. Don Arístides, profesor de Matemáticas, hizo una demostración absurda para que sus alumnos descubrieran el error. El demostró que dos números reales cualesquiera son siempre iguales de la siguiente forma: (1) Si a  b y c = a + b 2 , entonces (2) a + b = 2c (3) (a + b)(a – b) = 2c(a – b) (4) a 2 – b 2 = 2ac – 2bc (5) a 2 – 2ac = b 2 – 2bc (6) a 2 – 2ac + c 2 = b 2 – 2bc + c 2 (7) (a – c) 2 = (b – c) 2 (8) a – c = b – c (9) a = b El error de la demostración se comete A) del paso (1) al paso (2). B) del paso (4) al paso (5). C) del paso (6) al paso (7). D) del paso (7) al paso (8). 12 26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA , respecto de las raíces (soluciones) de la ecuación 2x 2 + 3x – 2 = 0? A) El producto de las raíces es igual a -1. B) La diferencia positiva de las raíces es 2,5. C) El cuadrado de una de las raíces es 1. D) La suma de las raíces es igual a -1,5. E) El cuociente de las raíces puede ser -4. 27. En Chile se usa la escala Celsius para medir temperaturas y, en otros países se usa la escala Fahrenheit. Para convertir una temperatura de la escala Fahrenheit a la Celsius, se resta 32 del valor de la temperatura en grados Fahrenheit y se multiplica el resultado por 5 9 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la relación entre las medidas de una misma temperatura en grados Fahrenheit (indicados en °F) y en grados Celsius (indicados por °C)? A) B) C) D) °C °F 32 °C °F 32 °C °F 32 °C °F 32 13 28. Un experimento consistente en colocar cierta cantidad de bolitas de vidrio idénticas en un vaso cilíndrico con agua como se muestra en la figura adjunta. Como resultado del experimento se concluye que el nivel de agua está en función del número de bolitas de vidrio que son colocadas en el vaso, los cuales se relacionan de manera lineal. La siguiente tabla muestra algunos resultados obtenidos. ¿Cuál de las expresiones algebraicas permite calcular el nivel de agua (y) en función del número de bolitas (x)? A) y = 1,27x B) y = 30x C) y = 0,07x + 6 D) y = 25x + 20,2 29. Las dos tablas adjuntas muestran valores para las funciones afines f y g. ¿Cuál es el valor de a + b? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 N° de bolitas (x) Nivel del agua (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 26 7,82 cm f(x) x 4 3 a 5 7 6 g( t ) t 2 3 b 6 7 8 14 30. El consumo de combustible de un automóvil es medido por el número de kilómetros que recorre gastando 1 litro de combustible. El consumo depende entre otros factores de la velocidad desarrollada. El gráfico adjunto indica el consumo que depende de la velocidad de cierto automóvil. Al analizar el gráfico se concluye correctamente que A) El mayor consumo se da a los 60 km/h. B) A partir de 40 km/h a más velocidad, más consumo de combustible. C) El consumo de combustible es directamente proporcional a la velocidad. D) El menor consumo se da a los 60 km/h. 31. Sea f una función definida por f(x) = 2x 1 2  , con dominio el conjunto de los números reales. Si f -1 es la función inversa de f, entonces A) 2x + 1 2 = f -1 (x) B) 1 2 - 2x = f -1 (x) C) -x - 1 2 = f -1 (x) D) x - 1 2 = f -1 (x) E) x + 1 2 = f -1 (x) 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 km/h km/litro 15 32. Una fórmula que relaciona el tiempo transcurrido (t) con la altura H(t) que alcanza un proyectil lanzado desde el suelo es: H(t) = 100t – 5t 2 , donde la altura se mide en metros y el tiempo en segundos. ¿Cuál es la máxima altura que puede alcanzar el proyectil? A) 50 metros B) 100 metros C) 500 metros D) 1.000 metros E) 5.000 metros 33. De acuerdo a la información entregada en la parábola de la figura adjunta, ¿cuál es el valor de c, si P = (-6, 12)? A) -9 B) -8 C) -7 D) -6 E) -5 34. Los valores de x para los cuales la función f(x) = x 2 – 3x – 10 asume valores positivos son A) -5 < x < 2 B) x = -5 ó x = 2 C) -2 < x < 5 D) x < -2 ó x > 5 E) x < -5 ó x > 2 x y 12 2 P c 16 35. Sea la función afín f(x) = ax + b con dominio el conjunto de los números reales y tal que el punto P pertenece a su gráfica. Se puede determinar el valor de a b , si se conoce: (1) el valor de la pendiente de la gráfica de f y las coordenadas del punto P. (2) el coeficiente de posición de la gráfica de f. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 36. En la figura adjunta aparecen representados los vectores a y b. Si c = 2a + 3b, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) c se ubica en el primer cuadrante. B) c se ubica en el segundo cuadrante. C) c se ubica en el tercer cuadrante. D) c se ubica en el cuarto cuadrante. 37. En el plano cartesiano el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos P(2, -1), Q(5, 3) y R(1, 4) se rota en 90° y en sentido antihorario con respecto al origen. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El vértice homólogo de P queda ubicado en el punto (1, 2). II) La suma de las coordenadas del punto homólogo del vértice Q es 2. III) El vértice homólogo de R se ubica a una unidad del eje X. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 1 4 -4 -1 a b x y 17 38. En la figura adjunta, M es el punto medio de AB . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A) El punto simétrico de M respecto al eje y tiene coordenadas cuyas suma es igual a -9. B) Si A’B’ es la reflexión de AB respecto al origen, entonces el punto medio de A’B’ tiene abscisa -4. C) La distancia del origen del sistema al punto M es igual a tres unidades. D) Si AB se traslada según el vector T(-5, -4), entonces M queda ubicado en el origen del sistema. 39. En la figura adjunta, DF // AB , son triángulos semejantes: I)  AFD y  CGD II)  ABE y  FGE III)  ABC y  DGC A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III A B E F G D C 7 1 1 9 M x y A B 18 40. La figura adjunta corresponde a un plano que muestra dos lotes de terreno (sitio 1 y sitio 2) que dan a la calle B. De acuerdo a la información entregada en el plano, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Las áreas de los sitios 1 y 2, están en la razón 3 : 4. B) Los perímetros de los sitios 1 y 2, están en la razón 3 : 4. C) y mide 5 metros más que x. D) El frente x del sitio 1 tiene 18 m. 41. Un mapa está diseñado en la escala 1 : 30.000.000, esto es, a cada centímetro en el mapa corresponde, en la realidad a 30.000.000 cm. Si la distancia real, en línea recta entre Lisboa y Roma es de 1.950 km, ¿cuál es la distancia representada en el mapa? A) 0,065 cm B) 0,65 cm C) 6,5 cm D) 65 cm E) 650 cm 42. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se deduce que p ∙ q = r, si en todas ellas se cumple que AB // CD ? I) II) III) A) Solo en I B) Solo en II C) Solo en III D) Solo en I y II E) Solo en I y III Plaza 15 m 20 m 42 m Calle A Calle B Sitio 1 Sitio 2 y x Jardín 0 1 A C q B D p r 0 1 A C q B D p r 0 1 A C q B D p r 19 43. En la figura adjunta, O es el centro de homotecia, P y P ’ son vértices homólogos de los hexágonos regulares, original y resultante, respectivamente. Si OP = 2,4 cm y PP’ = 4,8 cm, entonces la razón de homotecia es igual a A) 2 : 1 B) 3 : 1 C) 1 : 2 D) 1 : 3 E) 2 : 3 44. En el triángulo ABC de la figura adjunta, ¿qué valor debe tener k para que los ángulos BAD y EDC tengan igual medida? A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0 A B E D C k + 1 k + 3 2k + 3 2k O P P’ 20 45. Las rectas de ecuaciones 3 2 x – y + q = 3 y 2x – y + p – 2q = 0, se intersectan en el punto (1, 2), si la suma de los valores de p y q es igual a A) -2 B) - 1 2 C) 21 2 D) 7 2 E) 45 46. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto de las rectas cuyas ecuaciones son x – y = 2 y 4x – 3y = 7? I) Se intersectan en el cuarto cuadrante. II) Ninguna de ellas pasa por el origen. III) Tienen como punto común el punto de coordenadas (1, -1). A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 47. Las rectas de ecuaciones x – y – 1 = 0 y x + y + 1 = 0 forman un ángulo que mide A) 90° B) 60° C) 45° D) 30° E) 0°

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