אינפי 1מ׳ הרצאות ד"ר רבייב דניאל 23באוקטובר 2019 הערה ייתכנו טעויות דפוס ,אתם מוזמנים לעדכן אותי בכל טעות אפשרית. תוכן עניינים 3 מבוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 קבוצות ,כמתים וסימונים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 3 קצת לוגיקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 4 קבוצות של מספרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 4 אקסיומות/הגדרות/משפטים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 5 שיטות הוכחה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 6 צפיפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 7 הערך המוחלט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 8 אי־שיוויונים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 8 קבוצות חסומות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 10 סדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 11 מושג הגבול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 13 תכונות בסיסיות ואריתמטיקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 18 גבול במובן הרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 21 סדרות מונוטוניות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 23 תת־סדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 28 סדרות קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 30 הלמה של היינה־בורל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 31 חזקות ממשיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 31 חזקות טבעיות ושלמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חזקות רציונליות 2.8.2 33 חזקות ממשיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 35 פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 35 הגדרות ותכונות בסיסיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 38 פעולות על פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 1 תוכן עניינים 40 פונקציות אלמנטריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 42 גבולות של פונקציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 42 גבול באינסוף . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 43 גבול בנקודה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 46 אי־קיום גבול בנקודה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 48 תכונות בסיסיות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 51 גבולות חד־צדדיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 53 גבול במובן הרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 54 תנאי קושי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 55 רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 57 מיון נקודות אי־רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 57 משפט ערך הביניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 59 משפט ויירשטראס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 61 רציפות במידה שווה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 63 גזירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 65 כללי גזירה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 66 הישר המשיק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 67 כלל השרשרת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 70 נגזרות מסדר גבוה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 71 נקודות קיצון מקומי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 72 משפט פרמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 73 משפט רול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 74 משפט לגרנז׳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 78 משפט דרבו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 80 מסקנות לרציפות במידה שווה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 82 כלל לופיטל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 84 סדרי גודל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.1 86 פיתוח טיילור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 86 קירוב לינארי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 86 פולינום טיילור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.2 95 תנאי מספיק לקיצון מקומי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 97 פונקציות קמורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 101 אסימפטוטות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.14 102 חקירת פונקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15 2 [email protected] מבוא 1 מבוא 1 קבוצות ,כמתים וסימונים 1.1 הגדרה 1.1קבוצה היא אוסף של איברים .נהוג לסמן את שם הקבוצה באותיות לטיניות גדולות ואת אברי הקבוצה בין סוגריים מסולסלים .ניתן גם לרשום קבוצה באופן הבא: } תנאי שייכות לקבוצה | איבר כללי { = A דוגמאות: .A = {1, 2, 3} .1 .B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ...} .2 סימונים חשובים להמשך הקורס: דוגמה סימון }3 ∈ A = {1, 2, 3 ∈ שייך ∀x ∈ A = {1, 2, 3} , x < 10 ∀ לכל ∃x ∈ A = {1, 2, 3} , x < 2 ∃ קיים ∈=∈ ¬ ¬∀ = ∃ , ¬∃ = ∀, / ¬ שלילה }{2, 4} ⊆ B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ... ⊆ הכלה }A = {1, 2, 3} * B = {n | n = 2, 4, 6, 8, ... n 1 1 1 P 1 P 1+ 2 + 3 + ... + n = i )איבר כללי( סכומים i=1 קצת לוגיקה 1.2 אם Aו־ Bטענות כך שטענה Aגוררת קיום של טענה Bאז מסמנים: A⇒B אם טענה Aגוררת טענה Bוטענה Bגוררת טענה Aאז אומרים שהטענות שקולות ומסמנים: A⇔B שלילה לוגית: A⇒B m ¬A ⇐ ¬B דוגמה "יורד גשם ⇐ יש עננים" שקול לוגית ל" :אין עננים ⇐ לא יורד גשם". 3 [email protected] מבוא 1 קבוצות של מספרים 1.3 קבוצות המספרים הסטנדרטיות הן: • הקבוצה הריקה.φ : • המספרים הטבעיים.N = {1, 2, 3, ...} : • המספרים השלמים.Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} : .Q = m n • המספרים הרציונליים| m ∈ Z, n ∈ N : • המספרים הממשיים מסומנים ב־.R מתקיים: φ⊆N⊆Z⊆Q⊆R קטעים: )(a, b }= {x ∈ R | a < x < b ][a, b }= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b )[a, b }= {x ∈ R | a ≤ x < b )∞ (a, }= {x ∈ R | a < x )∞ [a, }= {x ∈ R | a ≤ x }(−∞, a) = {x ∈ R | a > x }(−∞, a] = {x ∈ R | a ≥ x אקסיומות/הגדרות/משפטים 1.4 • אקסיומה :חוק מתמטי שאנו מניחים את נכונותו ואין אפשרות או רצון להוכיח אותו. דוגמאות: −אקסיומת המקבילים. −חילופיות חיבור של מספרים ממשיים. • הגדרה :מתן שם/סימון לאובייקט/תכונה מתמטית. דוגמאות: −מספר טבעי הוא איבר בקבוצה .N −מספר זוגי הוא איבר nבקבוצה Zעבורו קיים m ∈ Zכך ש.n = 2m : 4 [email protected] מבוא 1 • משפט :אמירה המצביעה על קשר )חשוב( בין עצמים ,מושגים או תכונות מתמטיות .משפט מתחיל בהנחות, ומסתיים בתוצאות. דוגמאות: −תכונת ארכימדס :לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו. −יהיו ,a < b ∈ Rאז קיים c ∈ Rהמקיים ).c ∈ (a, b • משפט הפוך :החלפה בין התוצאה להנחה .המשפט ההפוך לא בהכרח נכון )גם כאשר המשפט הנתון נכון(. דוגמה בהינתן המשפט" :אם a, bמספרים שלמים אז a + bמספר שלם" ,המשפט ההפוך הוא" :אם a + b מספר שלם אז a, bמספרים שלמים". • שקילות) :או אפיון( אם משפט והמשפט ההפוך נכונים אז אומרים שהטענות שקולות .אם Aו־ Bהן טענות שקולות ,אז נהוג לסמן A ⇐⇒ Bאו Aאם ורק אם .B דוגמה kמספר שלם וזוגי אם ורק אם k2מספר שלם. • משפט נגדי :שלילה לוגית של משפט נתון. דוגמה בהינתן המשפט :אם לכל a > 0מתקיים 0 < x < aאז ,x = 0השלילה הלוגית היא :אם x 6= 0אז יש a > 0כך שמתקיים x ≥ aאו .x ≤ 0 • טענה/למה :בדומה למשפט רק בעל חשיבות פחות מרכזית ,בד"כ כלי עזר להוכחת משפט. • הוכחה :מראים כי המסקנה הרצויה מתקיימת כאשר מתחילים בהנחות הנתונות ובהסתמך על אקסיומות, הגדרות ,טענות ומשפטים .יש מספר שיטות הוכחה שנראה בקרוב. שיטות הוכחה 1.5 • הוכחה ישירה :שימוש ישיר בהנחות לצורך קבלת המסקנה. דוגמה יהא .n ∈ Zאם nזוגי אז n2זוגי. הוכחה :לפי הגדרה ,קיים m ∈ Zכל שמתקיים .n = 2mכעת: ) n2 = (2m)2 = 4m2 = 2(2m2 מסגירות לכפל נובע כי 2m2 ∈ Zולכן ,לפי הגדרה ) 2(2m2הוא מספר זוגי וסיימנו. • הוכחה נגדית )שלילה לוגית( :להוכיח בדרך ישירה את השלילה הלוגית של המשפט. דוגמה יהא .n ∈ Zאם n2אי־זוגי אז nאי־זוגי. הוכחה :השלילה הלוגית של הטענה היא" :יהא .n ∈ Zאם nזוגי אז n2זוגי" .את הטענה הזאת הוכחנו בדוגמה הקודמת. • הוכחה על דרך השלילה :מניחים כי התוצאה לא נכונה ובעזרת ההנחות מגיעים לסתירה )כלומר מקבלים כי אחת ההנחות לא מתקיימת או שעובדה מתמטת ידועה "לא נכונה"(. √ ∈. 2דוגמה / Q הערה האם אכן קיים מספר כזה? כן ,נפעיל את משפט פיתגורס על משולש ישר זווית עם ניצבים באורך 1 √ ואז אורך היתר הוא . 2 5 [email protected] מבוא 1 √ √ . 2 = mנניח ללא הגבלת n ש: כך m, n ∈ Z קיימים מההגדרה אז , הוכחה :נניח בשלילה כי 2 ∈ Q הכלליות כי זהו שבר מצומצם ,כלומר m, nמספרים זרים )להסביר את החשיבות( .נעלה בריבוע: √ 2 2 = ( 2)2 = mn2 m 2n2 = m2 מכאן נסיק כי m2זוגי ,מטענה קודמת m ,זוגי .לכן קיים k ∈ Zכל ש .m = 2k :נציב: 2n2 = m2 = (2k)2 = 4k 2 m n2 = 2k 2 מכאן נסיק כי n2זוגי ולכן גם nזוגי .קיבלנו עם כך כי 2הוא גורם משותף של m, nבסתירה לכך שהנחנו שהם זרים. צפיפות 1.6 הגדרה 1.2קבוצה Aנקראת צפופה בתוך קטע Bאם בין כל שני איברים שונים של Bיש איבר מ־.A משפט 1.3המספרים הרציונליים צפופים בממשיים. הוכחה :יהיו a, b ∈ Rובה"כ נניח כי .a < bאז מארכימדס יש n ∈ Nהמקיים: 1 >n b−a >0 m nb − na > 1 כלומר ,המרחק בין nbל־ naהוא גדול מאחד ולכן קיים m ∈ Zהמקיים: na < m < nb m m <a n <b והוכחנו כי קיים מספר רציונלי בין aל־.b בין , √a2 , √b2כלומר: k l ונקבל קי קיים מספר רציונלי √a , √b 2 2 הערה עבור אותם a, bנפעיל את הטיעון הקודם עבור √a < k < √b 2 l 2 m √ a < kl 2 < b √ ∈ kl 2וסיימנו. מסגירות לכפל של הרציונליים נובע כי / Q 6 [email protected] מבוא 1 הערך המוחלט 1.7 נגדיר: x , x≥0 = ||x −x , x < 0 המשמעות הגיאומטרית של | |xהיא המרחק של xמהראשית )באופן כללי ,המרחק של aמ־ xהוא |.(|x − a מההגדרה ,ניתן בקלות להסיק: √ = |.|x • x2 • |x| ≤ aאם ורק אם .−a ≤ x ≤ a • |x| ≥ aאם ורק אם x ≥ aאו .x ≤ −a שימוש חשוב: קטע פתוח המכיל ערך ממשי ,a ∈ Rנקרא סביבה של .aנקודה aבקטע Iהיא נקודה פנימית של Iאם קיימת ל־ aסביבה המוכלת ב־ .Iנדגיש כי נקודת קצה של קטע היא בהכרח לא נקודה פנימית. סביבה של נקודה :יהא .δ > 0כל האיקסים אשר קרובים ל־ aעד כדי δמקיימים .|x − a| < δאו באופן שקול: |x − a| < δ m −δ < x − a < δ m a−δ <x<δ+a m )x ∈ (a − δ, a + δ זוהי סביבה ברדיוס δשל .a סביבה נקובה של נקודה :יהא .δ > 0כל האיקסים אשר קרובים ל־ aעד כדי δמקיימים .0 < |x − a| < δאו באופן שקול: 0 < |x − a| < δ m }x ∈ (a − δ, a + δ) − {a זוהי סביבה מנוקבת ברדיוס δשל .a 7 [email protected] מבוא 1 אי־שיוויונים 1.8 טענה ) 1.4כללים בסיסיים( יהיו :a, b, c, d ∈ R .1אם a < bו־ c > 0אז .ac < bc .2אם a < bו־ c < 0אז .ac > bc .3אם a ≤ bו־ c ≤ dאז .a + c ≤ b + d .4מונוטוניות החזקה :אם 0 ≤ a < bו־ c > 0אז .ac < bc .5אי־שיוויון המשולש.||a| − |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| : הוכחה) :אי־שיוויון המשולש( נוכיח את המקרה | .|a + b| ≤ |a| + |bמההגדרה ברור כי: |−|a| ≤ a ≤ |a |−|b| ≤ b ≤ |b נחבר את אי־השיוויונים ונקבל: |−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b וסיימנו. יתר המקרים ,משיקולים דומים. הערה חיסור אי־שיוויונים אסור .לדוגמה 10 ≤ 30 2 ≤ 29 אבל: 10 − 2 30 − 29 מה עושים? כופלים את אי־השיוויון המתאים ב־ −1ומחברים. קבוצות חסומות 1.9 הגדרה 1.5קבוצה A ⊂ Rנקראת חסומה מלמעלה )מלעיל( אם קיים M ∈ Rעבורו: ∀x ∈ A, x ≤ M Mכזה נקרא חסם מלעיל. 8 [email protected] מבוא 1 קבוצה A ⊂ Rנקראת חסומה מלמטה )מלרע( אם קיים m ∈ Rעבורו: ∀x ∈ A, x ≥ m mכזה נקרא חסם מלרע. קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע. דוגמה אם )∞ A = [0,אז 0, −1הם חסמים מלרע אבל Aלא חסומה מלעיל. הגדרה 1.6החסם מלעיל הקטן ביותר של קבוצה Aנקרא הסופרמום )חסם עליון( של Aומסמנים .sup Aאם sup A ∈ Aאז הוא נקרא מקסימום ומסמנים .sup A = max A החסם מלרע הגדול ביותר של קבוצה Aנקרא האינפימום )חסם תחתון( של Aומסמנים .inf Aאם inf A ∈ A אז הוא נקרא מינימום ומסמנים .inf A = min A דוגמה הסופרמום והאינפימום של ) A = [0, 1], B = (0, 1), C = [0, 1זהים ושווים ל־ 0, 1בהתאמה .עם זאת, מינימום יש רק ל־ A, Cומקסימום יש רק ל־.A למה 1.7תהא ,A 6= φאז sup A = αאם ורק אם: .∀x ∈ A, x ≤ α .1 .2לכל ε > 0יש x0 ∈ Aהמקיים .x0 > α − ε הערה ניסוח דומה עבור האינפימום. הוכחה :כיוון ראשון :אם αהוא הסופרמום אז הוא בפרט חסם מלעיל ולכן התנאי הראשון מתקיים .כעת ,יהא ,ε > 0כיוון ש־ α − ε < αנסיק כי α − εלא חסם מעיל ,כלומר יש x0 ∈ Aהמקיים .x0 > α − ε בכיוון השני ,נניח Mמקיים את שני התנאים אך הוא לא הסופרמום ,לכן יש חסם מלעיל קטן יותר ,נסמן .M 0 < Mכעת ,התנאי השני נכון לכל אפסילון חיובי ובפרט עבור ,ε = M − M 0 > 0יש x0 ∈ Aעבורו .x0 > M − εאך ε = M − M 0ולכן x0 > M 0בסתירה לכך ש־ M 0הוא חסם מלעיל. אקסיומת השלמות :לקבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל/מלרע יש סופרמום/אינפימום. √ דוגמה נראה כי לקבוצה A = x ∈ Q | x < 2אין סופרמום ב־ .Qנניח בשלילה כי יש ל־ Aסופרמום ב־Q √ √ ונסמנן .sup A = α ∈ Qברור כי ,α 6= 2נפריד למקרים :אם α > 2אז מצפיפות הרציונליים יש מספר √ √ ∈ qאבל אז 2 < q < αכלומר יש חסם מלעיל קטן יותר בסתירה להגדרת הסופרמום. רציונלי 2, α √ √ לכן ,α < 2במקרה זה נסיק שוב מתכונת הצפיפות כי יש מספר רציונלי t ∈ α, 2ומהגדרת הקבוצה t ∈ Aבסתירה להגדרת הסופרמום. משפט 1.8לכל a > 0ולכל n ∈ Nיש 0 < b ∈ Rיחיד המקיים .bn = a √ הערה סימון מקובל ל־ bהוא . n a 9 [email protected] סדרות 2 הוכחה :נוכיח למקרה בו .n = 2 יחידות :נניח בשלילה כי יש 0 < c 6= bהמקיים .c2 = aנניח בה"כ כי ,c < bאז ממונוטוניות החזקה a = cn < bn = aוזאת סתירה. קיום :נסמן } A = {x ≥ 0 | x2 < aונבחין כי: :A 6= φמההגדרה ברור כי .0 ∈ A Aחסומה מלעיל :נסמן } M = max {1, aוניקח .x ∈ Aאם x ≤ 1אז .x ≤ 1 ≤ Mאחרת x > 1ואז .x < x2 < a ≤ Mסה"כ M ,חסם מלעיל של .A 2 n 2 o n 2 כעת נסמן τ = sup Aונוכיח כי o :τ = a .0 < ε = 21 min 1, a−τברור כי 0 < ε < 1 2a+1 < min 1, a−τ 2a+1 :τ 2 ≥ aנניח בשלילה כי τ 2 < aונבחר ולכן: 2 2 2 a − τ2 2 (α + ε) = τ + ε (2a + ε) < τ + ε (2a + 1) < τ + (2a + 1) = a 2a + 1 אבל אז α + ε ∈ Aבסתירה לכן ש־ τחסם מעיל. :τ 2 ≤ aנניח בשלילה כי .τ 2 > aיהא t ∈ Aונבחין כי: τ 2 − t2 τ2 − a =α−t > τ + t (∗) 2τ 1 = uמקיים ,u2 < aלכן 0 < u ∈ Aומהגדרת הסופרימום ,0 < u ≤ τכלומנר .τ > 0 2 )∗( נבחין כי }min {1, a τ 2 −τ T = τ −נקבל: 2τ לכן אם נסמן τ2 a τ τ t<T =τ− + < + =τ 2τ 2α 2 2 כלומר T ,חסם מלעיל קטן יותר מהסופרמום וזאת סתירה. סדרות 2 הגדרה 2.1סדרה היא אוסף אינסופי מסודר של מספרים ממשיים .מסמנים: ∞} {an n=1 = {an }n∈N אופן הגדרת סדרה: .1נוסחה מפורשת .למשל: )א( סדרת הטבעיים.an = n : )ב( סדרה קבועה :נקבע c ∈ Rואז .an = c 1 = .an n )ג( סדרה הרמונית: n )(−1 = .an n )ד( סדרה הרמונית מתחלפת: 10 [email protected] סדרות 2 )ה( סדרה חשבונית an = a + (n − 1) d :כאשר a, d ∈ Rקבועים ) dנקרא הפרש הסדרה(. )ו( סדרה הנדסית an = aq n−1 :כאשר a, q ∈ Rקבועים ) qנקרא מנת הסדרה(. .2כלל לפיו בוחרים את אברי הסדרה .למשל: )א( כלל מילולי ,למשל} :האיבר ה־ nאחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של .an = {π )ב( סדרה רקורסיבית :סדרה המוגדרת על־ידי נוסחת נסיגה ,למשל מספרי פיבונאצ׳י: a1 = a2 = 1 ∀n ≥ 3, an = an−1 + an−2 מושג הגבול 2.1 פרדוקס אכילס והצב מסופר על הלוחם אכילס אשר התחרה בצב ,בכדי לתת סיכוי לצב הוחלט שהצב יעמוד מרחק מסויים לפני אכילס, נניח כי אכילס עומד בנקודה a1והצב בנקודה .a1 < a2עם התחלת המירוץ מתחילים אכילס והצב בתנועתם ובזמן T > 0עקף אכילס את הצב .מצד שני ,בפרק הזמן בו רץ אכילס מנקודה a1ל־ a2הגיע הצב לנקודה חדשה ,a2 < a3נסמן פרק זמן זה ב־ ,0 < t1וכן הלאה .נראה לכאורה כי יש אינסוף זמנים · · · < 0 < t1 < t2בהם אכילס נמצא מאחורי הצב ,ברור גם כי לכל iמתקיים .ti < Tלמעשה T ,היא נקודת זמן אשר אליה ”שואפים“ הערכים .ti נעבור כעת ,להגדרת הגבול ∞} {anמתכנסת )שואפת( לגבול Lונסמן lim an = Lאו , an −→ Lאם: הגדרה 2.2נאמר כי סדרה n=1 ∞→n ∞→n ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, |an − L| < ε אם לסדרה לא קיים הגבול ,נאמר כי הסדרה מתבדרת. הערות: .1נבחין כי שינוי של מספר סופי של אברי הסדרה ,לא משפיע על ההתכנסות או על ערך הגבול. .2לא נקפיד על Nטבעי .יתרה מזאת ,אין דרישה למינימליות .N .3אומרים כי תכונה מסויימת מתקיימת כמעט לכל nאם היא מתקיימת לכל anפרט אולי למספר סופי של איברים ,או באופן שקול ,החל ממקום מסויים .אם סדרה מתכנסת אז ניתן לומר כי כל סביבה של הגבול מכילה את כמעט כל אברי הסדרה .בפרט ,שינוי מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול .יש הבדל בין n ) an = (−1חיוביים בעוד שלאn אינסוף מאברי הסדרה לכמעט כל אברי הסדרה .לדוגמה אינסוף מאברי כמעט כל אברי הסדרה חיוביים. 11 [email protected] סדרות 2 דוגמאות: .1הסדרה an = cשואפת ל־ .cאכן: ∀ε > 0, ∃N = 1, ∀n > N, |c − c| = 0 < ε 1 1 ∞ > Nואז לכל n > Nמתקיים: ε השואפת לאפס .אכן לכל ε > 0נבחר n n=1 .2הסדרה 1 1 1 < = −0 <ε n n N ∞} {q nהשואפת לאפס .ראשית ,אם q = 0אז הטענה ברורה ,לכן נניח כי .3יהא ,|q| < 1נוכיח כי הסדרה n=1 1 1 ) N > εMכאשר (M = |q| − 1 > 0ואז לכל n > Nמתקיים: .q 6= 0לכל ε > 0נבחר 1 1 1 = |q n − 0| = |q|n ≤ n < <ε ) (1 + M nM NM ! n n n )∗( לפי הבינום של ניוטוןM k ≥ nM : P = ) .(1 + M k=0 k .4נוכיח כי הסדרה an = (−1)nמתבדרת ע"י כך שנוכיח כי כל Lממשי הוא לא הגבול .אכן ,ניקח L ∈ R ונפריד למקרים: :L = 1ניקח , ε = 1כעת לכל N ∈ Nניקח n0 = 2N + 1 > Nואז: |an0 − 1| = |−1 − 1| = 2 > ε לפיכך L = 1איננו הגבול. :L 6= 1ניקח | ,ε = |L − 1כעת לכל N ∈ Nניקח n0 = 2N > Nואז: |an0 − L| = |1 − L| = ε לפיכך L = 1איננו הגבול. ∞} {anחסומה אם יש M > 0כך שלכל n ∈ Nמתקיים .|an | ≤ M הגדרה 2.3נאמר כי סדרה n=1 הערה מגדירים חסומה מלעיל/מלרע באופן אנלוגי לקבוצות חסומות. ∞ n 1 + n1 חסומה .הסדרה בבירור חיובית ולכן מספיק לחסום אותה מלעיל .נבחין כי n=1 דוגמה הסדרה 1 מאי־שיוויון הממוצעים : 1 n k ! n+k n 1 + n1 + k 1 − k1 1 1 1+ · 1− ≤ =1 n k n+k n n ≤ . 1 + n1כעת ,עבור k = 2נקבל כי . 1 + n1 ≤ 11 2 = 4סה"כ ,לכל nמתקיים 1 מכאןk , ) (1− 2 ) (1− k1 n .0 < 1 + n1 < 4 n √ a1 +···+an . 1 +··· a1 ≤ n ≤ a1 · · · an n 1כידוע ,ממוצע חשבוני ≤ ממוצע הנדסי ≤ ממוצע הרמוני ,ובאופן מפורש a1 n 12 [email protected] סדרות 2 תכונות בסיסיות ואריתמטיקה 2.2 נתחיל בטענה שימושית אשר עוזרת באינטואיציה וכן בהוכחות. ∞} {anסדרה המתכנסת לגבול ,Lאז: משפט 2.4תהא n=1 .1הגבול Lהוא יחיד. .2הסדרה חסומה. הערה נסיק כי סדרה לא חסומה היא לא סדרה מתכנסת. הוכחה: | |L1 −L2 = .εהסדרה מתכנסת ל־ L1ולכן יש N1 3 .1נניח בשלילה כי יש שני גבולות שונים L1 , L2ונגדיר > 0 כל שלכל :n > N1 |an − L1 | < ε באותו האופן ,הסדרה מתכנסת ל־ L2ולכן יש N2כל שלכל :n > N2 |an − L2 | < ε ניקח ,n0 = max {N1 , N2 } + 1עבור ערך זה נקבל: | |L1 − L2 | ≤ |an0 − L1 | + |an0 − L2 | < ε + ε < 3ε = |L1 − L2 )(i )(ii ) (iאי־שיוויון המשולש. ) (iiמבחירתו n0 > N1 ,וגם .n0 > N2 וזאת סתירה. .2ניקח ,ε = 1לפי הגדרת הגבול יש Nכך שלכל n > Nמתקיים: |an − L| < 1 לכן ,לכל ,n > Nמאי־שיוויון המשולש נסיק: ||an | ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L אם כך ,חסם אפשרי לסדרה הוא: }|M = max {|a1 | , ..., |aN | , 1 + |L ∞} {bnסדרות המתכנסות לגבולות b, aבהתאם ,אז ∞ משפט ) 2.5אריתמטיקה של גבולות (.אם {an }n=1ו־ n=1 הגבולות הבאים קיימים: 13 [email protected] סדרות 2 .∀α ∈ R, lim α · an = αa .1 ∞→n . lim (an ± bn ) = a ± b .2 ∞→n lim (an · bn ) = a · b .3ובאינדוקציה ,לכל k ∈ Nמתקיים . lim (akn ) = ak ∞→n ∞→n = ) . lim ( abnn a b .4אם ,b 6= 0אז ∞→n הערות: .1אריתמטיקה נכונה רק בכיוון הנתון במשפט .לדוגמה ,מכך של־} {an + bnיש גבול ,לא ניתן להסיק כי } {an ו/או } {bnמתכנסות. .2באינדוקציה נסיק מ־ .3כי לכל k ∈ Nקבוע מתקיים . lim akn = akלמעשה ,בהנחה ש־ a 6= 0ובשימוש ∞→n גבול של מנה ניתן להסיק זאת לכל .k ∈ Z ””0 ”. ”0 .3לא ניתן להפעיל אריתמטיקה במקרה בו מקבלים דוגמה נחשב את הגבול הבא: n2 + n − 1 1 + n1 − n12 1+0−0 1 = = = 3n2 − 1 3 − n12 ∞→n 3−0 3 הוכחה: 0 מתכנסת ל־ aולכן לכל ε > 0 ∞} {an n=1 .1ראשית ,אם α = 0הטענה ברורה .כעת ,יהא .ε > 0מניחים כי ובפרט עבור ε0 = αε > 0יש Nכך שלכל n > Nמתקיים ,|an − a| < ε0לפיכך לכל n > Nנקבל: |αan − αa| = α |an − a| < αε0 = ε ∞} {anמתכנסות ל־ a, bבהתאמה ולכן לכל ε0 > 0ובפרט עבור ∞ .2יהא ,ε > 0מניחים כי n=1 , {bn }n=1 ε0 = 2ε > 0מתקיים: ∃N1 , ∀n > N1 , |an − a| < ε0 ∃N2 , ∀n > N2 , |bn − b| < ε0 לפיכך לכל } n > N = max {N1 , N2נקבל: |an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε0 + ε0 = ε ∞} {an ∞ .3יהא .ε > 0נתון כי {bn }n=1מתכנסת ולכן מטענה קודמת חסומה ,נניח ע"י .0 < Mבנוסף ,גם n=1 }| ε0 = max{M,|aמתקיים: ε מתכנסת ל־ aולכן לכל ε0 > 0ובפרט עבור > 0 ∃N1 , ∀n > N1 , |an − a| < ε0 ∃N2 , ∀n > N2 , |bb − b| < ε0 14 [email protected] סדרות 2 כעת ,לכל } n > N = max {N1 , N2נקבל: ||an bn − ab| = |an bn − abn + abn − ab |≤ |an bn − abn | + |abn − ab |= |bb | |an − a| + |a| |bn − b ≤ M |an − a| + |a| |bn − b| < M ε0 + |a| ε0 ≤ ε |b|2 ε = ε0 )|2(|b|+|a ∞} {anמתכנסות ולכן לכל ε0 > 0ובפרט עבור > 0 ∞ .4יהא .ε > 0נתון כי n=1 {bn }n=1 מתקיים: ∃N1 , ∀n > N1 , |an − a| < ε0 ∃N2 , ∀n > N2 , |bn − b| < ε0 ||b = ε00יש N3כך שלכל n > N3מתקיים: 2 באופן דומה עבור > 0 ||bn − b| < ε00 = |b 2 m ||b 2 |< |bn | < 23 |b כעת ,לכל } n > N = max {N1 , N2 , N3נקבל: an a | |an b − abn − = bn b ||bn | |b | |an b − ab + ab − abn = ||bn | |b | |b| |an − a| + |a| |b − bn ≤ ||b 2 ||b ||an − a | |a| |b − bn ≤2 +2 ||b |b|2 |2 |b |2 |a 2 (|b| + |a|) 0 = < 2 ε0 + 2 ε0 ε =ε ||b ||b |b|2 ∞}| {|anהמתכנסת לגבול |.|L ∞ משפט 2.6תהא {an }n=1סדרה המתכנסת לגבול ,Lאז הסדרה n=1 הערה ההיפך לא נכון ,למשל עבור .an = (−1)nעם זאת ,אם L = 0אז גם ההיפך נכון ,להוכיח בבית. הוכחה :הסדרה מתכנסת ולכן לכל ε > 0יש Nכל שלכל n > Nמתקיים .|an − L| < εכעת ,לכל ε > 0ניקח את אותו Nואז לכל n > Nמאי־שיוויון המשולש: ||an | − |L|| ≤ |an − L| < ε כלומר }| {|anמתכנסת ל־|.|L 15 [email protected] סדרות 2 √ √ טענה 2.7תהא } {anסדרה אי־שלילית ונניח כי ,an −→ L ≥ 0אז . an −→ L ≥ 0 ∞→n ∞→n הערה הטענה למעשה נכונה לכל חזקה ממשית ,את ההוכחה נראה בהמשך בעזרת פונקציות. הוכחה :יהא .ε > 0נפריד לשני מקרים: 0 √ 0 = εיש Nכך שלכל n > Nמתקיים: :L > 0מההנחה והגדרת הגבול ,לכל ε > 0ובפרט Lε |an − L| < ε0 כעת ,נבחין כי לכל :n > N √ √ √ √ √ √an + L a −L ||a − L ε0 = an − L √ an − L √ = √ n √ = √ n √ < √ =ε an + L an + L an + L L √ √ מתכנסת ל־. L ולכן an 0 2 0 :L = 0מההנחה והגדרת הגבול ,לכל ε > 0ובפרט ε = εיש Nכך שלכל n > Nמתקיים: an = |an | = |an − 0| < ε0 = ε2 ⇓ √ √ an − 0 = an < ε √ √ מתכנסת ל־. 0 = 0 ולכן an טענה ) 2.8חסומה כפול אפסה( אם } {anסדרה השואפת לאפס ו־} {bnסדרה חסומה אז } {an bnסדרה השואפת לאפס. ∞} {anהשואפת לאפס ולכן לכל ε0 > 0 הוכחה :יהא .ε > 0נניח כי M > 0הוא חסם של } ,{bnמניחים כי n=1 ובפרט עבור ε0 = Mε > 0יש Nכך שלכל n > Nמתקיים ,|an | < ε0לפיכך לכל n > Nנקבל: |an bn − 0| = |bn | |an | < M |an | < M ε0 = ε 1 (−1)n n3 +n+1 = anשהיא בבירור שואפת לאפס, n = cnשואפת לאפס כי היא המכפלה של n4 +n3 +12n דוגמה הסדרה (−1)n n3 +n+1 = .bnאכן: n3 +n2 +12n והסדרה החסומה ||(−1)n n3 + n + 1 |(−1)n | + n12 + 1 n3 1+1+1 = | 0 ≤ |bn ≤ ≤ =3 n3 + n2 + 12n 1 + n1 + n122 1 ∞} {anסדרות .אם מתקיים: ∞ ∞ משפט ) 2.9כלל הסנדוויץ( נניח כי n=1 , {bn }n=1 , {cn }n=1 an ≤ bn ≤ cn .1החל ממקום מסוים. ∞} {anמתכנסות לאותו הגבול .L ∞ n=1 , {cn }n=1 .2 אז גם } {bnמתכנסת לגבול .L 16 [email protected] סדרות 2 הוכחה :נניח כי אי־השיוויונים מתקיימים לכל nויהא .ε > 0מכך שהסדרות מתכנסות ,נסיק: ∃N1 , ∀n > N1 . |an − L| < ε ∃N2 , ∀n > N2 . |cn − L| < ε לכן ,עבור } N = max {N1 , N2נסיק: L − ε < a n ≤ bn ≤ c n < L + ε m |bn − L| < ε דוגמאות: nq 2 ∞o √ שואפת לאפס .כעת ,לכל n−1 .1נוכיח כי . lim n n = 1מאריתמטיקה וטענה קודמת ברור כי n=2 √ √ ∞→n n > 1מתקיים n n > 1ולכן ניתן לרשום . n n = 1 + hnנבחין כי לכל :n > 1 n ! ! X n n n (n − 1) 2 = n = (1 + hn )n > hin = h2n hn )(i i=0 i )(ii 2 2 ) (iנוסחת הבינום. nq ∞o .n >q ) (iiברור hn > 0לכל 1 שואפות לאפס, ∞}{0 n=1 , 2 n−1 < 0 < hכמעט לכל .nהואיל והסדרות 2 n 2 n−1 מכאן נסיק כי √ n=2 ∞ מכלל הסנדוויץ נקבל כי {hn }n=1השואפת לאפס ומאריתמטיקה נקבל כי . lim n n = 1 ∞→n √ . limנפריד לשני מקרים: n .2נוכיח כי לכל a > 0מתקיים a = 1 ∞→n )א( :a ≥ 1ממונוטוניות השורש ,לכל n > aמתקיים: √ √ ≤1 n <a n n √ שני האגפים שואפים ל־ 1ולכן מכלל הסנדוויץ נובע כי . lim n a = 1 ∞→n √ q n √ = a1 n 1 )ב( :0 < a < 1אז a1 > 1ולפי המקרה הקודם נקבל כי . lim n a1 = 1אך ברור כי a ∞→n ומאריתמטיקה נקבל את הנדרש. ∞} {anמתכנסת לגבול a > 0אז החל ממקום מסויים .an > 0 טענה 2.10אם n=1 הערות: (−1)n = .an n .1אם a ≥ 0הטענה לא נכונה ,למשל 2יש לפרט. 17 [email protected] סדרות 2 ∞} {anסדרות המתכנסות לגבולות a, bהמקיימים a < b ∞ .2הכללה :באופן דומה מראים כי אם n=1 , {bn }n=1 אז החל ממקום מסויים .an < bn הוכחה :הסדרה מתכנסת ל־ 0 < aולכן לכל ε > 0ובפרט עבור ε = a > 0יש Nכך שלכל n > Nמתקיים: |an − a| < ε = a ⇐⇒ 0 < an < 2a וסיימנו. ∞} {anסדרות ונניח כי החל ממקום מסויים .an ≤ bnאם הסדרות מתכנסת לגבולות ∞ טענה 2.11יהיו n=1 , {bn }n=1 a, bבהתאמה אז .a ≤ b = .an = − n1 , bn 1 n הערה אם an < bnלא נובע בהכרח כי ,a < bלמשל a−b = εנקבל: 2 הוכחה :נניח בשלילה כי .a > bהסדרות מתכנסות ולכן לכל ε > 0ובפרט עבור > 0 a+b 3a − b ⇒⇐ ∃N1 , ∀n > N1 . |an − a| < ε < < an 2 2 −a + 3b a+b ⇒⇐ ∃N2 , ∀n > N2 . |bn − b| < ε < < bn 2 2 לכן ,לכל } n > max {N1 , N2נקבל: a+b < bn < an 2 וזאת סתירה. גבול במובן הרחב 2.3 ∞} {anשואפת לאינסוף ונסמן ∞ → an −או ∞ = lim anאם לכל מספר ממשי הגדרה 2.12נאמר כי סדרה n=1 ∞→n ∞→n Mיש Nכך שלכל n > Nמתקיים .an > Mבאופן דומה נגדיר ∞. lim an = − ∞→n הערות: .1בשאיפה לאינסוף מספיק להוכיח עבור .M > 0 .2נאמר כי סדרה מתכנסת במובן הרחב אם יש לה גבול סופי או אינסופי .עם זאת ,המושג סדרה מתכנסת מתייחס תמיד לגבול סופי. .3כללי האריתמטיקה :מוכיחים לפי הגדרה כי: )א( אם ∞ → an −ו־∞ → bn −אז ∞ → an bn −וכן ∞ →.an + bn − ∞→n ∞→n ∞→n ∞→n )ב( אם ∞ → an −ו־ bn −→ L > 0אז ∞ →.an bn − ∞→n ∞→n ∞→n 18 [email protected] סדרות 2 .4לא כל כללי האריתמטיקה תקפים :אם ∞ → an −→ ∞, bn −ו־ cn −→ 0אז לא ניתן לומר דבר על ∞→n ∞→n ∞→n הגבול של הסדרות: an {an − bn } , } , {an cn bn לדוגמה עבור an = bn = nברור כי הסדרות שואפות לאינסוף וכן , lim an − bn = 0אך גם הסדרות ∞→n an = 2n, bn = nשואפות לאינסוף וכך גם ההפרש. דוגמאות: √ = anמתכנסת במובן הרחב לאינסוף .אכן ,לכל M > 0ניקח N = M 2ואז לכל n > N .1הסדרה n נקבל: √ √ = an >n N =M 1−n3 = anמתכנסת במובן הרחב ל־∞ .−אכן ,לכל M < 0ניקח N > 1 − Mואז לכל n > N n2 +n+1 .2הסדרה נקבל: 1 − n3 )(1 − n) (n2 + n + 1 = an = =1−n<1−N <M n2 + n + 1 n2 + n + 1 n o 1 שואפת לאפס. an טענה 2.13אם } {anסדרה השואפת לאינסוף אז 1 = Mיש Nכך שלכל n > Nמתקיים ε הוכחה :יהא .ε > 0מההנחה והגדרת הגבול ,לכל Mובפרט עבור .an > M = 1ε > 0לפיכך ,לכל n > Nנקבל: 1 1 1 1 = −0 = < =ε an an (∗) an M 1 = an > Mובפרט anחיובית. ε n nמתקיים > 0 > No )∗( לכל 1 שואפת לאפס לפי ההגדרה. an לכן, באופן דומה מוכיחים את הטענה: n o 1 שואפת לאינסוף. an טענה 2.14אם } {anסדרה חיובית השואפת לאפס אז הערה נהוג לומר כי סדרה חיובית השואפת לאפס שואפת ל־ .0+לכן.” 01+ ” = ”∞” , משפט ) 2.15משפט הפיצה( אם לכל nמתקיים an ≤ bnו־ ∞ → an −אז גם ∞ →.bn − ∞→n ∞→n הערות: .1המשפט נכון גם אם an ≤ bnהחל ממקום מסויים. 19 [email protected] סדרות 2 .2באופן אנלוגי ל־∞.− הוכחה :יהא ,M > 0מהגדרת הגבול ,לכל M 0ובפרט עבור M 0 = Mיש Nכך שלכל n > Nמתקיים .an > M ואז: b n ≥ an > M ולכן ∞ →.bn − ∞→n משפטים שימושיים נוספים אשר נובעים מכלל הסנדוויץ הם: . an+1 an ∞} {anסדרה חיובית ונניח שקיים הגבול −→ q משפט 2.16כלל המנה :תהא n=1 ∞→n .1אם q > 1או ∞ = qאז ∞ →.an − ∞→n .2אם q < 1אז .an −→ 0 ∞→n .3אם q = 1הכלל לא עוזר. √ ∞} {anסדרה אי־שלילית ונניח שקיים הגבול . n an −→ q .1כלל השורש :תהא n=1 ∞→n )א( אם q > 1או ∞ = qאז ∞ →.an − ∞→n )ב( אם q < 1אז .an −→ 0 ∞→n )ג( אם q = 1הכלל לא עוזר. דוגמאות: n ! . enהסדרה חיובית ,נבחין כי: .1נחשב את גבול הסדרה en+1 an+1 !)(n+1 e = en = −→ 0 < 1 an !n ∞→n + 1 n לכן ממבחן המנה ,הסדרה שואפת לאפס. n ko .2נחשב את גבול הסדרה nanכאשר a > 1, k ∈ Zקבועים .הסדרה חיובית ,נבחין כי: r √ k n nk )( n n 1 n = −→ < 1 a a ∞→n a לכן ממבחן השורש ,הסדרה שואפת לאפס. 20 [email protected] סדרות 2 סדרות מונוטוניות 2.4 ∞} {anהיא מונוטונית עולה אם: הגדרה 2.17נאמר כי סדרה n=1 ∀n ∈ N, an ≤ an+1 נאמר כי הסדרה מונוטונית עולה ממש אם: ∀n ∈ N, an < an+1 באופן אנלוגי ,יורדת/יורדת ממש. הערות: .1לפעמים במקום עולה אומרים לא־יורדת ובמקום יורדת אומרים לא־עולה. .2כאשר אומרים מונוטוניות מתכוונים לכל nאך מרבית המשפטים נכונים גם אם הסדרה מונוטונית החל ממקום מסויים. דןוגמאות: .1הסדרה an = cהיא סדרה עולה וגם יורדת. .2הסדרה an = n1היא סדרה יורדת ממש. ( k , n = 2k = anהיא סדרה עולה. .3הסדרה k , n = 2k + 1 משפט 2.18סדרה מונוטונית תמיד מתכנסת במובן הרחב ,בפרט: .1אם הסדרה חסומה אז היא מתכנסת )לגבול סופי(. .2אם הסדרה לא חסומה אז היא מתכנסת ל־∞ אם היא עולה ול־∞ −אם היא יורדת. הערות: .1מההוכחה נראה כי אם הסדרה עולה אז היא מתכנסת לסופרמום שלה ואם היא יורדת לאינפימום. .2במקרים רבים נוכל להוכיח התכנסות של סדרה על־ידי המשפט ללא יכולת לחשב את הגבול עצמו. הוכחה :תהא } {anסדרה .נוכיח עבור סדרה עולה ,ההוכחה לסדרה יורדת ,אנלוגית. .1נניח כי הסדרה חסומה מלעיל ונניח כי Mהוא הסופרמום שלה .יהא ,ε > 0ברור כי M − εלא חסם מלעיל ,לכן ממשפט קודם יש N ∈ Nעבורו .aN > M − εכעת ממונוטוניות נסיק כי לכל n > Nמתקיים .an ≥ aN > M − εמצד שני ,ברור כי .an ≤ M < M + εסה"כ ,לכל ε > 0יש Nכל שלכל n > Nמתקיים .|an − M | < ε .2נניח כי הסדרה לא חסומה .יהא ,M ∈ Rהסדרה לא חסומה ולכן לכל M1ממשי ובפרט עבור M1 = M יש N ∈ Nעבורו .aN > M1 = Mכעת ממונוטוניות נסיק כי לכל n > Nמתקיים .an ≥ aN > Mסה"כ ,לכל Mממשי יש Nכל שלכל n > Nמתקיים .an > M 21 [email protected] סדרות 2 דוגמאות: Pn 1 ∞ .קל לראות כי הסדרה עולה ממש ,פחות קל לראות כי היא חסומה: k=1 k2 n=1 .1נביט בסדרה n n n n X 1 X 1 X 1 X 1 1 1 ≤1 2 =1+ 2 ≤1+ =1+ − = 1+1− ≤ 2 k=1 k k=2 k k=2 )k (k − 1 k=2 )k − 1 k (i )n (ii ) (iזהו "סכום טלסקופי" ,כלומר ,מרבית אברי הסכום מצטמצמים. )(iהרי nטבעי ובפרט חיובי. מתכנסת .3 לכן ,לפי המשפט הסדרה n 1 + n1מונוטונית עולה .אכן ,מאי־שיוויון הממוצעים: .2הסדרה 1 n n+1 1 + n 1 + n1 1 1 1· 1+ ≤ =1+ n n+1 n+1 נעלה בחזקת n + 1ונקבל .an ≤ an+1ראינו כבר כי הסדרה חסומה ולכן מהמשפט היא מתכנסת .את ∼ ,eזהו מספר אי־רציונלי .בנוסף ,בהמשך נראה כי לכל x ∈ Rמתקיים גבול הסדרה מסמנים ב־= 2.71 n . lim 1 + nx = ex ∞→n .3נוכיח קיום ונחשב את הגבול של הסדרה הבאה: a =2 1 ∀n ∈ N, an+1 = √2an − 1 )א( להוכיח לבד כי הסדרה מוגדרת לכל .n )ב( מונוטוניות :הסדרה יורדת ממש ,נוכיח באינדוקציה על :n .iבסיס האינדוקציה :עבור n = 1מתקיים: √ √ √ √ = a1 = 2 >4 =3 =2·2−1 2a1 − 1 = a2 .iiשלב האינדוקציה :נניח נכונות ל־ nונוכיח עבור :n + 1 p √ = an+2 2an+1 − 1 < 2an − 1 = an+1 )∗( )∗( הנחת האינדוקציה ומונוטוניות השורש. )ג( חסימות :הסדרה יורדת ולכן חסומה מלעיל על־ידי .a1 = 2כמו כן ,הסדרה בבירור חיובית ולכן חסומה מלרע על־ידי .0 2 3אין לנו שום דרך לחשב את הגבול אך למעשה ,גבול הסדרה הוא . π6 22 [email protected] סדרות 2 מהמשפט ,הסדרה מתכנסת לגבול .Lמהגדרת הסדרה ,לכל nמתקיים ,a2n+1 = 2an − 1לפיכך ,מיחידות הגבול ואריתמטיקה נובע כי .L2 = 2L − 1הפתרון היחיד של המשוואה הוא L = 1וקיבלנו כי הסדרה מתכנסת ל־.1 ( a1 = 1 ברור כי הגבול הוא הערה לא ניתן להשתמש בשיטה ללא הוכחת התכנסות ,לדוגמה עבור an = −an−1 0בעוד שהסדרה בכלל מתבדרת. משפט ) 2.19הלמה של קנטור( נניח } {an } , {bnסדרות המקיימות: .1לכל nמתקיים .an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn .bn − an −→ 0 .2 ∞→n אז יש נקודה יחידה c ∈ Rהמקיימת לכל .an ≤ c ≤ bn :n הערות: .1אם נוותר על התנאי השני אז cלא בהכרח יחידה. .2ניסוח שקול עבור קטעים :יהיו ] In = [an , bnקטעים סגורים המקיימים In+1 ⊆ Inלכל n ∈ Nוכן כי , bn − an −→ 0אז } . ∩ In = {cנבחין כי המשפט לא נכון עבור קטעים פתוחים ,למשל עבור n∈N ∞→n .In = 0, n1 הוכחה :קיום :cמההנחה הראשונה נסיק כי } {anעולה וחסומה מלעיל ו־ } {bnיורדת וחסומה מלרע ,לכן ממשפט קודם הסדרות מתכנסות ,נסמן: an −→ a ∞→n bn −→ b ∞→n מהנתון השני ,מונוטוניות ,אריתמטיקה ויחידות הגבול נסיק כי .a = bלפיכך ,אם נסמן c = a = bוניעזר המשפט שאומר שסדרה עולה/יורדת מתכנסת לסופרמום/אינפימום שלה נקבל כי לכל .an ≤ c ≤ bn :n יחידות :cנניח בשלילה כי יש d 6= cהמקיים לכל ,an ≤ d ≤ bn :nבה"כ .c < d ,מתכונות סדר בין גבולות נקבל: b = lim bn ≥ d > c ≥ a = lim an = a ∞→n ∞→n ואז a < bוזאת סתירה לכן שראינו קודם כי .a = b תת־סדרות 2.5 ∞} {ankכאשר n1 < n2 < ...סדרה עולה ממש ∞ הגדרה 2.20תת־סדרה של סדרה נתונה {an }n=1היא סדרה k=1 של מספרים טבעיים. הערה קל לראות כי לכל k ∈ Nמתקיים .nn ≥ k דוגמאות: 23 [email protected] סדרות 2 ∞} {a2kותת־הסדרה של ∞ .1לכל סדרה {an }n=1ניתן לקחת את תת־הסדרה של האינדקסים הזוגיים k=1 ∞} .{a2k−1 האינדקסים האי־זוגיים k=1 ∞ ∞}.{n 2 .2הסדרה {n }n=1היא תת־סדרה של n=1 הגדרה 2.21אם } {ankהיא תת־סדרה של } {anן־ ank −→ Lאז Lנקרא גבול חלקי של } .{an ∞→k הערה מאפשרים לגבול להיות גם אינסופי ואז אומרים גבול חלקי במובן הרחב. ∞ ∞} {1ולכן n דוגמה תהא הסדרה .{(−1) }n=1אז תת־הסדרה עם האינדקסים הזוגיים היא הסדרה הקבועה n=1 ∞} {−1ולכן מתכנסת ל־ .−1נסיק כי מתכנסת ל־ 1ואילו תת־הסדרה של האינדקסים האי־זוגיים היא n=1 1, −1הם גבולות חלקיים של הסדרה. ∞} {anמתכנסת לגבול Lאז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל־.L משפט 2.22אם סדרה n=1 הערות: .1המשפט נכון גם במובן הרחב. .2מסקנה חשובה היא שאם יש לפחות שתי תת־סדרות המתכנסות לגבולות שונים אז הסדרה לא מתכנסת. הוכחה :תהא } {ankתת־סדרה ,נוכיח כי היא מתכנסת ל־ .Lיהא ,ε > 0מהנתון נסיק כי לכל ε0 > 0ובפרט ε0 = εיש N 0כל שלכל n > N 0מתקיים .|an − L| < ε0 = εכעת ,לכל ε > 0ניקח את N = N 0ואז לכל k > Nמתקיים nk ≥ k > N = N 0ולכן נקבל כי .|ank − L| < ε דוגמאות: ∞ .1ראינו כי לסדרה {(−1)n }n=1יש שני גבולות חלקיים שונים ולפי המשפט ,הסדרה לא מתכנסת. √ n ∞ √ √ n ∞ .2הואיל ו־ 5 5n n=1תת־סדרה של , { n n}n=1מהמשפט ,מתקיים כי . lim 5 5n = 1 4 ∞→n טענה L 2.23הוא גבול חלקי של } {anאם ורק אם כל סביבת אפסילון של Lמכילה אינסוף מאברי הסדרה. הוכחה ⇐ :נניח כי Lהוא גבול חלקי ,אז יש תת־סדרה } {ankאשר שואפת ל־ ,Lלכן לכל ε > 0יש Kכך שלכל k > Kמתקיים .|ank − L| < εלכן החל ממקום מסויים ,כל אברי } {ankבסביבת אפסילון של ,Lאבל איברים אילו הם גם אברי } {anולכן אינסוף מאברי } {anבסביבת אפסילון של .L ⇒ נניח כי כל סביבת אפסילון של Lמכילה אינסוף מאברי הסדרה ונבנה תת־סדרה המתכנסת ל־ .Lנבחר n1עבורו ) ,an1 ∈ (L − 1, L + 1נבחר n2 > n1המקיים an2 ∈ L − 21 , L + 21ונמשיך באינדוקציה .נקבל תת־סדרה } {ankהמקיימת לכל L − k1 < ank < L + k1 :kולכן מכלל הסנדוויץ } {ankשואפת ל־.L דוגמאות: √ lim n 4כזכור ,ראינו כי n = 1 ∞→n 24 [email protected] סדרות 2 .1סדרה שכל מספר טבעי הוא גבול שלה.1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... : .2סדרה שכל מספר ממשי הוא גבול שלה: משפט 2.24לכל סדרה יש תת־סדרה מונוטונית. הוכחה :ניקח סדרה } ,{anנגדיר } A = {n | ∀m > n, am ≥ anונבחין בין שני מקרים: A .1לא סופית :אז נגדיר תת־סדרה } {ankכאשר האינדקסים מסודרים בסדר עולה לפי אברי .Aמהגדרת הקבוצה נסיק כי } {ankמונוטונית וסיימנו. ∈ n1 A .2סופית :נבחר n1המקיים n1 > nלכל ) n ∈ Aברור שיש כזה ,הרי הקבוצה סופית( .כעת/ A , ולכן בהכרח יש m > n1עבורו am < an1נבחר .n2 = mנניח שבחרנו כבר את n1 < n2 < ... < nnאז שוב ∈ nkולכן יש בהכרח m > nkהמקיים ,am < ankלכן נבחר את .nk+1 = mסה"כ ,קיבלנו תת־סדרה } {ank /A המקיימת לכל ,ank+1 < ank kכלומר בנינו תת־סדרה יורדת ממש. משפט ) 2.25בולצאנו־ויירשטראס( לכל סדרה יש תת־סדרה אשר מתכנסת במובן הרחב. הערות: .1ברור כי אם הסדרה חסומה אז כך גם תת־הסדרה שלה ולכן לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת, בפרט ,לכל סדרה חסומה יש לפחות גבול חלקי אחד .באופן דומה נקבל כי לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד במובן הרחב. .2ניתן להוכיח כי אם הסדרה לא חסומה מלעיל אז יש לה תת־סדרה מונוטונית השואפת לאינסוף ,באופן דומה עבור לא חסומה מלרע. הוכחה :ממשפט קודם ,לכל סדרה יש תת־סדרה מונוטונית .לפיכך ,ממשפט 2.18תת־הסדרה מתכנסת במובן הרחב. משפט 2.26סדרה מתכנסת במובן הרחב אם ורק אם יש לה גבול חלקי יחיד במובן הרחב. הוכחה :כיוון אחד כבר ראינו במשפט .2.22בכיוון השני ,אם יש לסדרה גבול חלקי יחיד ,Lנפריד למקרים: אם L .1סופי :יהא ,ε > 0מספיק להוכיח כי מחוץ לקטע ) (L − ε, L + εיש מספר סופי של איבריםo . אכןn , יש אינסוף איברים ,נסמן אותם כתת־סדרה } {ankואז מבולצאנו־ויירשטראס יש ל־} {ankתת־סדרה ankl 25 [email protected] סדרות 2 אשר מתכנסת במובן הרחב לגבול .Tאך תת־סדרה של תת־סדרה היא גם תת־סדרה של הסדרה המקורית ולכן קיבלנו שגם Tהוא גבול חלקי של } .{anמתכונות סדר בין גבולות נסיק כי T ≤ L − εאו L + ε ≤ Tבפרט, L 6= Tגבול חלקי נוסף וזאת סתירה. L .2אינסופי :נניח בה"כ כי ∞ = ,Lיהא ,M > 0מספיק להוכיח כי מחוץ לקטע )∞ (M,יש מספר סופי של איבריםo.אכןn,אם יש אינסוף איברים ,נסמן אותם כתת־סדרה } {ankואז מבולצאנו־ויירשטראס יש ל־} {ank תת־סדרה anklאשר מתכנסת במובן הרחב לגבול .Tשוב ,אך תת־סדרה של תת־סדרה היא גם תת־סדרה של הסדרה המקורית ולכן קיבלנו שגם Tהוא גבול חלקי של } .{anמתכונות סדר בין גבולות נסיק כי T ≤ M בפרט ∞ = T 6גבול חלקי נוסף וזאת סתירה. תהא } {anסדרה חסומה ונסמן } Lהוא גבול חלקי של } .L = {L | {anלפי בולצאנו־ויירשטראס הקבוצה לא ריקה .כמו כן ,מכך שהסדרה חסומה ומתכונות סדר בין גבולות ,נסיק כי Lחסומה .אכן ,נניח כי הסדרה חסומה בקטע ] [a, bאז כל תת־סדרה שלה חסומה גם כן בקטע ומתכונת סדר בין גבולות ,הגבול גם כן בקטע. הגדרה 2.27תהא } {anסדרה חסומה .הקבוצה Lחסומה ולכן יש לה סופרמום ואינפימום ,נסמן: lim sup an = sup L lim inf an = inf L לערכים אילו קוראים גם גבול עליון/תחתון של הסדרה. דוגמאות: .1הסדרה an = n1מתכנסת ,ממשפט קודם יש לה גבול חלקי יחיד .לפיכך ,הגבול החלקי העליון שווה לגבול החלקי התחתון שהוא .0 .2לסדרה an = (−1)nיש שני גבולות חלקיים בלבד ,לכן הגבול החלקי העליון הוא 1והגבול החלקי התחתון הוא 1־. ( (−1)k + k1 n = 2k = anיש שלושה גבולות חלקיים , ±1, 3לכן הגבול החלקי העליון 1 .3לסדרה 3+ k n = 2k − 1 הוא 3והגבול החלקי התחתון הוא 1־. למעשה ,הגבול החלקי העליון והתחתון גם הם גבולות חלקיים: משפט 2.28תהא } {anסדרה חסומה ,הגבול החלקי העליון והתחתון גם הם גבולות חלקיים ,בפרט: lim sup an = max L lim inf an = min L הערות: .1מכלילים לגבול חלקי עליון ותחתון במובן הרחב. 26 [email protected] סדרות 2 .2כללי האריתמיטקה לא חלים על הגבולו החלקי העליון/תחתון ,לדוגמה lim sup (−1)n = 1 lim sup (−1)n+1 = 1 אך .lim sup (−1)n + (−1)n+1 = 0 6= 2 הוכחה :נוכיח עבור הגבול החלקי העליון .לפי משפט ,2.23מספיק להוכיח כי כל סביבה של α = lim sup an מכילה אינסוף מאברי הסדרה .אכן ,יהא ,ε > 0לפי הגדרת הסופרמום ,יש גבול חלקי Lבקטע α − 2ε , αולכן יש תת־סדרה ankהשואפת ל־ .Lמהגדרת הגבול ,עבור ε0 = 2εיש Nכך שלכל n > Nמתקיים .|ank − L| < 2ε אם כך ,לכל :n > N ε ε ε ε ε α−ε<α− − < L − < ank < L + < α + < α + ε 2 2 2 2 2 לכן אינסוף מאברי anנמצאים בסביבת εשל .α טענה 2.29סדרה מתכנסת במובן הרחב אם ורק אם גבול חלקי עליון שווה לגבול חלקי תחתון. הוכחה :ההוכחה נובעת ממשפט 2.28ומסקנה .2.26 לבסוף ,תכונה חשובה נוספת היא הבאה: טענה 2.30נניח שנתונה סדרה חסומה } ,{anאז: )∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, an ∈ (lim inf an − ε, lim sup an + ε הערה לא ניתן "לוותר" על האפסילון ולומר שהחל ממקום מסויים כל אברי הסדרה הם בקטע ] ,[lim inf an , lim sup anכל סדרה מתכנסת לא קבועה החל ממקום מסויים תהווה דוגמה נגדית. הוכחה :נניח בשלילה כי המסקנה לא מתקיימת ,כלומר;: ∈ ∃ε > 0, ∀N ∈ N, ∃n > N, an )/ (lim inf an − ε, lim sup an + ε מכך נסיק כי אינסוף מאברי הסדרה גדולים מ־ lim sup an + εאו קטנים מ־ .lim inf an − εנניח בה"כ כי יש תת־הסדרה חסומה מלרע ע"י n o אינסוף מאברי הסדרה הגדולים מ־ lim sup an + εונבנה מהם תת־סדרה } .{ank lim sup an + εולכן לפי בולצאנו־ויירשטראס יש לה תת־סדרה מתכנסת במובן הרחב . anklמתכונת סדר של n o n o גבולות ,הגבול של anklנמצא בקטע )∞ [lim sup an + ε,או שהוא אינסוף .אך anklהיא גם תת־סדרה של } {anוקיבלנו גבול חלקי גדול או שווה ל־ ,lim sup an + εבפרט גדול ממש מ־ lim sup anוזאת סתירה. 27 [email protected] סדרות 2 סדרות קושי 2.6 ההגדרה של סדרות מתכנסות מכילה בתוכה את הגבול עצמו .ראינו כי ממונוטוניות ניתן להוכיח התכנסות ללא צורך בגבול עצמו .נראה כעת הגדרה שקולה להתכנסות אשר לא מכילה את הגבול: הגדרה 2.31נאמר כי סדרה } {anהיא סדרת קושי אם לכל ε > 0יש N ∈ Nכך שלכל n, m > Nמתקיים .|an − am | < ε הערות: .1הגדרה שקולה היא: ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, ∀p ∈ N, |an+p − an | < ε .2קל להסיק כי אם } {anהיא סדרת קושי אז הסדרה } {an+1 − anשואפת לאפס .עם זאת ,הכיוון ההפוך לא נכון כפי שנראה בדוגמה בהמשך. n 1 P = anהיא סדרת קושי .יהא ε > 0נחשב: k2 דוגמה נוכיח כי k=1 n m X 1 X 1 = | |an − am 2 − k=1 k k=1 k2 n X 1 = )(i k=m+1 k2 n X 1 ≤ k=m+1 )k (k − 1 n X 1 1 = − = k=m+1 k−1 k 1 1 1 1 = < − < )(ii m n m N ) (iנניח בה"כ כי .n ≥ m ) (iiסכום טלסקופי. 1 > Nואז לכל n, m > Nנקבל : ε לכן ,לכל ε > 0נבחר 1 < | |an − am <ε N משפט 2.32כל סדרת קושי היא סדרה חסומה. 28 [email protected] סדרות 2 הוכחה :תהא } {anסדרת קושי ,מההגדרה עבור ε = 1יש Nכך שלכל n, m > Nמתקיים ,|an − am | < 1 בפרט לכל n > Nנקבל: aN +1 − 1 ≤ an ≤ aN +1 + 1 לכן לכל n ∈ Nמתקיים: }min {a1 , ..., aN −1 , aN +1 − 1} ≤ an ≤ max {a1 , ..., aN −1 , aN +1 + 1 נעבור לאפיון חשוב: משפט 2.33סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. הערה לא כל סדרת קושי של מספרים רציונליים מתכנסת למספר רציונלי ,לכן לא נכון לומר שבשדה Qכל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת. = ε0יש Nכל שלכל n > Nמתקיים ε 2 הוכחה :נניח כי } {anשואפת לגבול ,Lמהגדרת הגבול ,לכל ε > 0ובפרט .|an − L| < εכעת ,לכל n, m > Nנקבל: ε ε ≤ ||an − am | = |an − L + L − am | ≤ |an − L| + |am − L + =ε 2 2 בכיוון השני ,אם סדרה היא סדרת קושי אז לפי משפט קודם היא חסומה ולפי בולצאנו־ויירשטראס יש לה תת־סדרה מתכנסת ,נסמן ank −→ Lונוכיח כי .an −→ Lיהא ,ε > 0מההנחה יש Nכך שלכל n, m > N ∞→n ∞→k ε 5 ε < | ,|anK − Lמכאן: 2 עבורו < | .|an − amנקבע K > N 2 מתקיים ε ε < ||an − L| ≤ |an − anK + anK − L| ≤ |an − anK | + |anK − L + =ε 2 2 וסיימנו. n 1 P = anשואפת לאינסוף .ברור כי הסדרה עולה ממש ,לכן לפי משפט 2.18היא k דוגמה נוכיח כי הסדרה k=1 מתכנסת במובן הרחב .אם נוכיח כי היא לא סדרת קושי אז ממשפט 2.33היא לא סדרה מתכנסת ולכן בהכרח שואפת לאינסוף .ניקח ε = 12ואז לכל Nנבחר m = 2n > n = N + 1 > Nונבחין כי: n m m m X 1 X 1 X 1 X 1 m−n 1 = | |an − am − = ≥ = =1− =ε k=1 k k=1 k k=n+1 k k=n+1 m m 2 השלילה הלוגית של ההגדרה מתקיימת ולכן הסדרה היא לא סדרת קושי. 5ברור כי .nK > N 29 [email protected] סדרות 2 הלמה של היינה־בורל 2.7 P P כאשר Ijקטע ממשי ו־ Jקבוצת אינדקסים .נאמר ש־ מכסה הגדרה 2.34תהא A ⊆ Rותהא = {Ij }j∈J P∗ P P P ⊆ הם קטעים פתוחים נאמר ש־ הוא כיסוי פתוח של .Aאם את Aאם .A ⊆ ∪ Ijאם כל אברי j∈J ∗P הוא תת־כיסוי של .Aאם הכיסוי/תת־כיסוי הוא קבוצה סופית אז נאמר מכסה גם כן את Aאז נאמר כי כיסוי/תת־כיסוי סופי. דוגמאות: P הוא כיסוי פתוח של )∞ .(1,זהו גם כיסוי לקטע ] ,[2, 3במקרה זה יש .1הכיסוי }= {(n, n + 2) | n ∈ N ∗P . גם תת־כיסוי סופי שהוא })= {(1, 3) , (2, 4 1 1 P הוא כיסוי פתוח של ] .[0, 1ניתן לבחור תת־כיסוי סופי = x − 10 , x + 10 .2הכיסוי ]| x ∈ [0, 1 שהוא: X∗ n 1 n 1 = − , + | n = 0, ..., 10 10 10 10 10 משפט ) 2.35הלמה של היינה־בורל( לכל כיסוי פתוח של קטע סגור יש תת־כיסוי סופי. הערות: P כיסוי פתוח של )∞ (1,ואין לו .1המשפט לא נכון עבור קטע פתוח ,לדוגמה }= {(n, n + 2) | n ∈ N תת־כיסוי סופי. .2הלמה של היינה־בורל מספקת הוכחה נוספת למשפט בולצאנו־ויירשטראס :נניח כי } {anסדרה חסומה בקטע ] [a, bונניח בשלילה כי אין לה תת־סדרה מתכנסת .מכאן נסיק כי לכל ] x ∈ [a, bיש סביבה Ixבה יש מספר סופי של אברי הסדרה )אחרת ,היינו יכולים לבנות תת־סדרה שתתכנס ל־ .(xכזכור ,סביבה היא P היא כיסוי פתוח של ] .[a, bלפי הלמה של היינה־בורל ,לכיסוי זה קטע פתוח ,לכן }]= {Ix | x ∈ [a, b יש תת־כיסוי סופי .אבל אז כל קטע בתת־הכיסוי מכיל מספר סופי של אברי הסדרה ויש מספר סופי של קטעים אשר מכסים את הקטע ] ,[a, bלפיכך יש מספר סופי של אברי הסדרה בקטע וזאת סתירה. .3הלמה לא נכונה בשדה ,Qלדוגמה לא מכל כיסוי פתוח של הקטע I = [0, 1] ∩ Qניתן לבחור תת־כיסוי סופי .הרעיון הוא לקחת מספר אי־רציונלי בקטע ,למשל ,α = √12לבנות שתי סדרות מונוטוניות ממש אשר עולות/יורדות ל־ αשל מספרים רציונליים ,להראות כי } {(−1, an ) | n ∈ N} ∪ {(bn , 2) | n ∈ Nהוא כיסוי פתוח ל־ Iאך אין לו תת־כיסוי סופי. P כיסוי פתוח של הקטע ] [a, bונניח בשלילה בשלילה כי אין לו תת־כיסוי סופי .נסמן a0 = a, b0 = b הוכחה :יהא P מכסה כל אחד משני החצאים ולפי הנחת ונגדיר ] ∆0 = [a0 , b0ונחצה את ∆0לשני חצאים שווים .ברור כי השלילה לפחות לאחד מהם אין תת־כיסוי סופי ,נסמן קטע זה ב־] .∆1 = [a1 , b1נמשיך באופן זה ונקבל סדרה של קטעים סגורים {∆n }n∈Nהמוכלים אחד בשני אשר .בנוסף ,אורך כל קטע שווה למחצית אורך הקטע הקודם, ) b−aכאשר b − aהוא אורך הקטע .(∆0לפי הלמה של קנטור ,יש נקודה cמשותפת 2n לפיכך אורך הקטע ∆nהוא 30 [email protected] סדרות 2 P P ∈ Iעבורו .c ∈ Iהקטע Iפתוח ולכן cנקודה פנימית שלו, לכל הקטעים .הואיל ו־ כיסוי של הקטעים ,יש b−aונקבל: 2n כלומר ,יש ε > 0עבורו .(c − ε, c + ε) ⊆ Iנבחר n ∈ Nגדול מספיק עבורו < ε ∆n ⊆ (c − ε, c + ε) ⊆ I ∗P P הוא תת־כיסוי סופי של ∆nבסתירה לבניית הקטעים. ⊆ }= {I אך זה אומר ש־ חזקות ממשיות 2.8 נרצה להגדיר חזקות של מספרים ממשיים. 2.8.1חזקות טבעיות ושלמות כזכור לכל a ∈ Rולכל מספר טבעי n ∈ Nמגדירים: an = a }| · a{z· · · a n עבור חזקות שלמות ,אם n = 0אז לכל a ∈ Rנגדיר .a0 = 1לכל n ∈ Nולכל 0 6= a ∈ Rנגדיר n n ) .a−n = a1 = a1n = (a−1מהגדרות נסיק באופן מיידי את חוקי החזקות: טענה 2.36לכל 0 6= a ∈ Rולכל n, m ∈ Zמתקיים: .an+m = an am .1 .an·m = (an )m = (am )n הערה כמובן שאם n, m ≥ 0אז לא צריך לדרוש .a 6= 0נציין כי 00מוגדר להיות .1 2.8.2חזקות רציונליות ראינו בעבר כי למספר ממשי חיובי יש שורש n־י יחיד ,כלומר לכל n ∈ Nולכל 0 < a ∈ Rיש 0 < b ∈ Rיחיד √ 1 המקיים ,bn = aמסמנים .b = n a = a n טענה 2.37יהא ,0 < a ∈ Rלכל m ∈ Z, n ∈ Nמתקיים: 1 m 1 an = (am ) n 1 1 −1 1 .a− n = a n הערה באופן דומה לחזקות שלמות נסמן = (a−1 ) n הוכחה :נבחין כי: 1 m n 1 n m an = an = am 1 m 1 1 m . an a nהוא השורש ה־n־י של ,amכלומר = (am ) n לכן 31 [email protected] סדרות 2 m = ,qאז: n הגדרה 2.38יהא 0 < a ∈ Rויהא ∈ Q m 1 m 1 aq = a n = a n = (am ) n m1 m2 m1 m2 = qאז .a n1 = a n2אכן ,נקבל m1 n2 = m2 n1 n1 = n2 הערה ההגדרה לא תלוייה בהצגה של ,qכלומר אם ואז: (am1 )n2 = am1 n2 = am2 n1 = (am2 )n1 נוציא שורש n1למשוואה ונקבל: q n1 (am1 )n2 = am2 נוציא שורש n2למשוואה ונקבל: r q √ (am1 )n2 = n2 am2 n2 n1 הוצאת שורש היא חילופית ולכן: r q r q m1 √ √ m2 (am1 )n2 = 2 n1 (am1 )n2 = n2 am2 = a n2 n1 n1 n2 n = a n2 = am 1 משפט ) 2.39חוקי חזקות( יהיו 0 < a, b ∈ Rויהיו q, p ∈ Qאז: .ap+q = ap · aq .1 .ap·q = (ap )q .2 .ap · bp = (ab)p .3 .4אם p > 0אז .ap < bp ⇐⇒ a < b .5אם a > 1ו־ p < qאז .ap < aq .6אם 0 < a < 1ו־ p < qאז .ap > aq הערה כפי שראינו מקודם ,אפשר לוותר על החיוביות של a, bבמקרים מסויימים. m l = pונחשב: n ,q = k הוכחה :ההוכחה של הסעיפים מאוד דומה ואלמנטרית ,נוכיח לדוגמה את הראשון .נסמן m l nk m nk l nk a n · ak = an ak = amk aln = amk+ln לכן: m l 1 1 m l a n · a k = amk+ln = a nk (mk+ln) = a n + k nk טענה שנזדקק לה בקרוב היא: 32 [email protected] סדרות 2 טענה 2.40יהא ,1 < a ∈ Rאם } {qnסדרת רציונלים המתכנסת לאפס אז .aqn −→ 1 ∞→n 1 1 הוכחה :יהא .ε > 0כפי שראינו בעבר ,a− n , a n −→ 1 6לכן מהגדרת הגבול נובע כי עבור ε > 0ניתן למצוא ∞→n k ∈ Nהמקיים: 1 1 1 − ε < a− k < 1 < a k < 1 + ε < ,− k1 < qnמתכונות קודמות נסיק: 1 k בנוסף qn −→ 0 ,ולכן יש N1כך שלכל n > N1מתקיים ∞→n 1 1 1 − ε < a− k < aqn < a k < 1 + ε לפיכך ,לכל ε > 0ניקח N = N1ואז לכל n > Nנקבל .|aqn − 1| < ε 2.8.3חזקות ממשיות יהיו x ∈ R ,1 < a ∈ Rותהא } {qnסדרה מונוטונית עולה של מספרים רציונלים המתכנסת ל־ .xמטענה קודמת נסיק כי } {aqnגם כן סדרה עולה .בנוסף ,ניקח מספר טבעי x < kואז qn ≤ x ≤ kולכן ,aqn ≤ akמכאן } {aqn היא סדרה עולה וחסומה ,לכן ממשפט 2.18היא סדרה מתכנסת. הגדרה 2.41יהא x ∈ Rותהא } {qnסדרה מונוטונית עולה של מספרים רציונלים המתכנסת ל־.x .1אם 1 < a ∈ Rאז axהוא גבול הסדרה } .{aqn .2אם 0 < a < 1אז 1 < a1ובעזרת סעיף קודם נגדיר .ax = 11 x )(a הערה מההגדרה נראה ש־ axתלוי 7בסדרה } ,{qnנראה כי זה לא המצב .נניח כי } {pn } , {qnסדרות רציונליות עולות אשר שואפות ל־ xונניח כי .aqn −→ axברור כי } {pn − qnהיא סדרה של רציונלים השואפת לאפס ∞→n ואז מטענה 2.40נסיק כי } {apn −qnסדרה השואפת ל־ ,1לפיכך ,מאריתמטיקה: apn = apn −qn +qn = apn −qn aqn −→ 1 · ax = ax ∞→n נעבור לתכונות של חזקות ממשיות: משפט 2.42יהיו 0 < a, b ∈ Rויהיו ,x, y ∈ Rאז: .ax+y = ax · ay .1 .axy = (ax )y .2 .(ab)x = ax · bx .3 .4אם a < bאז: √ = .a, a−1 1 a 6כזכור ,לכל b > 0ראינו כי n b −→ 1ובפרט עבור ∞→n 7כאשר הגדרה עושה שימוש בבניה "חיצונית" יש לוודא שהתוצאה לא תלויה בבניה .במקרה זה ,צריך להוכיח שההגדרה לא תלויה בבחירת הסדרה. 33 [email protected] סדרות 2 )א( אם x > 0אז .ax < bx )ב( אם x < 0אז .ax > bx .5אם x < yאז: )א( אם 1 < aאז .ax < ay )ב( אם 0 < a < 1אז .ax > ay הוכחה :נוכיח לדוגמה את סעיפים 1ו־) 5א(. .1ניקח שתי סדרות רציונליות } {qn } , {pnאשר שואפות ל־ x, yבהתאמה ,אז: ax+y = lim aqn +pn = lim aqn apn = lim aqn lim apn = ax · ay ∞→(i) n ∞→(ii) n ∞→(iii) n ∞→n )(i ) (iלפי הגדרת החזקה הממשית. α+β α β ,aלכן זה נכון לכל .n ) (iiהוכחנו כי לכל N α, β ∈ Qתקיים = a · a ) (iiiאריתמטיקה וההנחה כי lim apn = ayו־ . lim a = a qn x ∞→n ∞→n .5ניקח סדרות רציונליות } {xnאשר עולה ל־ {yn } ,xאשר יורדת ל־ yומספרים רציונליים p, qהמקיימים .x < p < q < yהואיל ו־ xx < x ,y < ynנסיק כי .axn < ap < aq < aynנשאיף את nלאינסוף ונקבל .ax ≤ ap < aq ≤ ayבאופן דומה עבור החלק השני של הסעיף. לבסוף ניעזר בחזקות בכדי להעשיר את הכלים האריתמטיים של גבולות: משפט 2.43יהיו } {anו־} {xnסדרות. .1אם xn −→ xו־ an −→ a > 0אז .axnn −→ ax ∞→n ∞→n ∞→n .2אם xn −→ x > 0ו־ 0 ≤ an −→ 0אז .axnn −→ 0 ∞→n ∞→n ∞→n .3אם ∞ →:xn − ∞→n )א( ו־ a > 1אז ∞ →.axn − ∞→n )ב( ו־ 0 < a < 1אז .axn −→ 0 ∞→n .4אם ∞:xn −→ − ∞→n )א( ו־ a > 1אז .axn −→ 0 ∞→n xn .a )ב( ו־ 0 < a < 1אז ∞ →− ∞→n .5הגבול המיוחד :e an 1 . 1+ an )א( אם ∞ → |an | −אז −→ e ∞→n ∞→n an 1 . 1+ an )ב( אם an −→ 0וגם שונה מאפס החל משלב מסויים אז −→ e ∞→n ∞→n 34 [email protected] פונקציות 3 a n . 1+ n →− )ג( לכל a ∈ Rמתקיים ea ∞→n הוכחה :נסתפק בהוכחת הסעיף הראשון במקרה הפרטי בו .an = aמאריתמטיקה ברור כי } {xn − xשואפת לאפס ,באופן דומה לטענה 2.40נקבל כי ,axn −x −→ 1לכן: ∞→n axn = axn −x+x = axn −x · ax −→ 1 · ax = ax ∞→n פונקציות 3 הגדרות ותכונות בסיסיות 3.1 הגדרה 3.1תהיינה .X, Y ⊆ Rפונקציה fמ־ Xל־ Yהיא התאמה המתאימה לכל איבר ב־ Xאיבר יחיד ב־ .Y מסמנים: f :X→Y f (x) = y ) f (xהוא כלל ההתאמה של fובמקרים רבים נהוג לרשום את כלל ההתאמה במקום הכתיב המלא של הפונקציה. התחום 8של fהוא Xוהטווח 9של fהוא . Yאם f (x) = yאז yהוא התמונה של xו־ xהוא מקור 10של .y הגרף של פונקציה ) f (xהוא אוסף הנקודות ) (x, yבמישור המקיימות .f (x) = y הערה כלל ההתאמה חייב לספק לכל איבר בתחום ההגדרה תמונה יחידה בטווח .אחרת נאמר שהפונקציה לא f mלא מוגדרת היטב כי n מוגדרת היטב .לדוגמה ,ה“פונקציה“ f : Q → Qעם כלל ההתאמה = m .2 = f 24 = f 21 = 1אם נדרוש שבר מצומצם ומכנה חיובי נקבל פונקציה מוגדרת היטב. איך מגדירים פונקציה? .1מפורשות על־ידי נוסחה. 1 √ = ).f (x x = ),f (x דוגמאותx ,f (x) = x2 ,f (x) = x + 2 : .2מפורשות אבל בחלוקה לתחומים. דוגמאות: ( x , 0≤x = |.|x )א( פונקצית הערך המוחלט היא −x , x < 0 8נעיר כי התחום גם נקרא תחום ההגדרה או תחום ההגדרה הטבעי ואם הוא לא נתון מפורשות אז הוא נבחר להיות המקסימלי האפשרי עבור הפונקציה הנתונה. 9אם הטווח לא נתון מפורשות אז הוא .R 10נציין כי מקור הוא לא בהכרח יחיד. 35 [email protected] פונקציות 3 ( 1 , x∈Q = ).D(x )ב( פונקצית דיריכלה היא ∈0 , x /Q .3על־ידי מתן הסבר מילולי. דוגמה פונקצית החלק השלם היא }הערך השלם הגדול ביותר שאינו עולה על .bxc = [x] ={xהגרף שלה הוא: הגדרה 3.2התמונה של פונקציה f : X → Yהיא הקבוצה: }f (X) = Im(f ) = {f (x) ∈ Y | x ∈ X} = {y ∈ Y | ∃x ∈ X, f (x) = y אם התמונה שווה לטווח ,כלומר ) ,Y = Im (fאז אומרים כי הפונקציה היא על. √ = ) f (x) = x2 , f (xלא על. דוגמאות f (x) = x, f (x) = x3 :הן על בעוד ש־x הגדרה 3.3אומרים כי פונקציה f : X → Yהיא חד־חד־ערכית )חח"ע( אם: ) ∀x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 → f (x1 ) 6= f (x2 הערה באופן שקול ניתן לבדוק שאם ) f (x1 ) = f (x2אז .x1 = x2 √ דוגמאות f (x) = x, f (x) = x3 :הן חח"ע בעוד ש־| f (x) = x2 , f (x) = |xלא חח"ע. הגדרה 3.4נאמר כי פונקציה f : X → Yהיא מונוטונית עולה אם: ) ∀x1 < x2 ∈ X, f (x1 ) ≤ f (x2 ונאמר כי הפונקציה מונוטונית עולה ממש אם: ) ∀x1 < x2 ∈ X, f (x1 ) < f (x2 באופן אנלוגי מגדירים מונוטונית יורדת ומונוטונית יורדת ממש. הערה קל לראות כי פונקציה מונוטונית ממש היא חח"ע. 36 [email protected] פונקציות 3 √ דוגמאות :פונקציה קבועה היא עולה וגם יורדת f (x) = x, f (x) = x3 ,הן עולות ממש f (x) = x2 ,לא מונוטונית בכל תחום הגדרתה אך היא עולה ממש בקטע )∞ [0,ויורדת ממש בקטע ].(−∞, 0 הגדרה 3.5פונקציה f : X → Yנקראת חסומה מלמעלה )מלעיל( אם קיים M ∈ Rעבורו: ∀x ∈ X, f (x) ≤ M Mנקרא חסם מלעיל .באופן אנלוגי מגדירים חסומה מלמטה )מלרע( .נאמר כי fחסומה אם היא חסומה מלמעלה ומלמטה .אם הפונקציה חסומה מלעיל אז יש לה סופרמום ואז נהוג לסמן ) .supf (xבאופן אנלוגי עבור x∈X אינפימום. xMעבורו: אם יש ∈ X ) ∀x ∈ X, f (x) ≤ f (xM אז xMנקרא נקודת מקסימום ו־) f (xMהמקסימום של הפונקציה נהוג לסמן ) .maxf (x) = f (xMבאופן x∈X דומה מגדירים נקודת־מינימום/מינימום. הערה משתמשים בסימונים של סופרמום/אינפימום/מקסימום/מינימום מהפרק של קבוצות חסומות. דוגמאות: √ = ) f (xחסומה מלמטה על־ידי אפס ,זהו גם המינימום שלה ,אך לא חסומה מלמעלה. x .1 1 f (x) = 1+xחסומה מלמעלה ומלמטה ,לכן חסומה .לפונקציה יש מקסימום שהוא 1המתקבל באפס אך 2 .2 אין לה מינימום. 1 f (x) = x−aמוגדרת בקטע אך לא חסומה שם .עם זאת ,ניתן .3אם נתון קטע לא ריק ) (a, bקל להראות כי לבנות פונקציה שהיא לא חסומה באף קטע .למשל: m x = ml ∈ Q = )f (x 1 x=0 0 x∈R−Q כאשר mlשבר מצומצם ו־ .m > 0בכדי להוכיח שהפונקציה לא חסומה בקטע לא ריק ) ,(a, bלכל n ∈ N נגדיר An = nk | k ∈ Zואז: )א( נוכיח כי לכל n ∈ Nהקבוצה ) An ∩ (a, bהיא קבוצה סופית. l בקטע ) (a, bכך שמתקיים .m > N m )ב( נוכיח כי לכל N ∈ Nקיים שבר מצומצם )ג( נסיק מהגדרת fכי היא אכן לא חסומה בקטע ).(a, b הגדרה 3.6נאמר כי פונקציה ) f (xהיא זוגית אם מתקיים לכל xבתחום ) .f (x) = f (−xנאמר כי פונקציה )f (x היא אי־זוגית אם מתקיים לכל xבתחום ).f (x) = −f (−x 37 [email protected] פונקציות 3 הערה נבחין כי פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר yואילו פונקציה אי־זוגות המקיימת שהגרף משמאל לציר yהוא סיבוב של הגרף מימין ב־ .180oכמו־כן ,קל לראות כי מכפלה/מנה של פונקציות זוגיות/אי־זוגיות היא גם פונקציה זוגית/אי־זוגית )ניתן להתייחס לזוגיות כ־" "+ואי־זוגיות כ־"־" לצורך קביעת זוגיות/אי־זוגיות של הפונקציה החדשה(. דוגמאות :הפונקציות f (x) = c, f (x) = x2 , f (x) = cos xזוגיות בעוד שהפונקציות f (x) = x, f (x) = sin x אי־זוגיות. הגדרה 3.7נאמר כי פונקציה ) f (xהיא מחזורית עם מחזור T 6= 0אם לכל xבתחום ההגדרה מתקיים ).f (x + T ) = f (x דוגמאות :הפונקציות sin x, cos xמחזוריות עם מחזור 2πואילו ) sin (2xמחזורית עם מחזור .π פעולות על פונקציות 3.2 חיבור/חיסור/כפל/חילוק תהיינה f, gפונקציות בעלות תחום הגדרה זהה .נגדיר פונקציה חדשה f + gבאופן הבא: )(f + g)(x) = f (x) + g(x זהו חיבור נקודתי .באופן דומה מגדירים את יתר הפעולות: )(f − g)(x) = f (x) − g(x )(f g)(x) = f (x)g(x (g(x) 6= 0), )(f /g)(x) = f (x)/g(x נבחין כי מחילופיות החיבור/חיסור/כפל של מספרים ממשיים נובע כי גם הפעולות המקבילות בפונקציות חילופיות. הרכבה תהיינה f : A → B, g : C → Dונניח כי .f (A) ⊆ Cפונקציות ההרכבה של gעל fמוגדרת ומסומנת באופן הבא: g◦f :A→D ))g ◦ f (x) = g(f (x נציין כי פעולת ההרכבה היא לא חילופית. דוגמה אם ,f (x) = sin x, g(x) = x2אז: f ◦ g(x) = sin x2 g ◦ f (x) = sin2 x ברור כי השניים לא שווים. 38 [email protected] פונקציות 3 פונקציה הפוכה הגדרה 3.8תהא ,f : A → Bאם יש g : B → Aכך שמתקיים: ∀x ∈ A, g ◦ f (x) = x ∀y ∈ B, f ◦ g (y) = y אז fנקראת פונקציה הפיכה ו־ gהפונקציה ההפוכה של ,fמסמנים .g = f −1 הערות: f −1 .1הוא סימון ,לא לבלבל עם . f1 .2מבחינה גיאומטרית ,הגרף של fו־ f −1זהים במישור )עם החלפת תפקידים בין הצירים( .אם רוצים לצייר את הגרף של פונקציה fו־ f −1כפונקציות של אותו המשתנה אז נשרטט את הגרף של fוהגרף של f −1 יהיה שיקוף הגרף של fבישר :y = x טענה 3.9תהא ,f : A → Bאז fהפיכה אם ורק אם fחח"ע ועל. הוכחה :נניח כי fהפיכה. −1 fונקבל חח"ע :נניח ) ,f (a1 ) = f (a2נפעיל על המשוואה את a1 = f −1 (f (a1 )) = f −1 (f (a2 )) = a2 על :ניקח b ∈ Bאז ,f (f −1 (b)) = bלכן f −1 (b) ∈ Aהוא מקור של .b בכיוון השני ,אם fחח"ע ועל אז ניתן להגדיר פונקציה g : B → Aאשר מתאימה לכל איבר b ∈ Bאיבר יחיד a ∈ A 11המקיים ,f (a) = bלפיכך: f ◦ g (b) = f (g (b)) = f (a) = b g ◦ f (a) = g (f (a)) = g (b) = a הערה פונקציה חח"ע תמיד ניתן "להפוך" ביחס לתמונה שלה .אם fלא חח"ע בכל תחום הגדרתה ניתן לקחת תחום חלקי בו היא חח"ע ולמצוא שם פונקציה הפוכה. 11מהגדרת חח"ע ועל יש אכן aיחיד כזה. 39 [email protected] פונקציות 3 דוגמאות: √ = ).f −1 (x 3 .1הפונקציה f (x) = x3היא חח"ע ועל ,Rמכאן ,היא הפיכה .הפונקציה ההפוכה היא x .2הפונקציה f (x) = x2לא חח"ע ועל בתחום ההגדרה הטבעי שלה אבל אם נצמצם את ת"ה והטווח לקרן )∞ ,[0,נקבל פונקציה הפיכה .הפונקציה ההפוכה היא: )∞ f −1 : [0, ∞) → [0, √ f −1 (x) = x .3הפונקציה sin xלא חח"ע בכל ת"ה אך אם נביט בקטע − π2 , π2נקבל פונקציה חח"ע ואז נוכל למצוא את ההופכית ,במקרה זה נהוג לסמן .arcsin xבאופן דומה את הפונקציה " cos xהופכים" בקטע ] [0, πואת tan xבקטע : − π2 , π2 sin x cos x tan x arcsin x arccos x arctan x פונקציות אלמנטריות 3.3 אוסף חשוב של פונקציות הוא הפונקציות אלמנטריות: • פולינומים p (x) = an xn + an−1 x.n−1 + ... + a1 x + a0 :כאשר n ∈ Nו־ .a0 , ..., an ∈ Rבהנחה כי an 6= 0 נאמר כי מעלת הפולינום היא .nתחום ההגדרה הוא .R מאפסים 12 • פונקציות רציונליות :מנה של פולינומים .תחום ההגדרה הוא כל מספר ממשי פרט לערכים אשר את המכנה. • פונקציות טריגונומטריות: sin x cos x sin x cos x = tan x cos x = cot x sin x π תחום הגדרהR : תחום הגדרהR : R − πk + 2 |k∈Z ת"ה: ת"הR − {πk | k ∈ Z} : 12מראים כי יש מספר סופי של ערכים כאלה ,לא יותר ממעלת המכנה. 40 [email protected]
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-