Re: [calcul] Calculer une distance dans un système non-orthogonal June 23, 2022 Sur la figure on a disposé deux vecteurs 1 et 2 formant une base. De même on a disposé deux vecteurs e1 et e2 formant une autre base. Si l’on choisit (c’est bien un choix) de munir cet espace du produit scalaire usuel, cad tel que he1 , e1 i = 1, he1 , e2 i = 0 et he2 , e2 i = 1 alors 1 e1 , e2 est une base orthonormée. Il faut bien avoir à l’esprit que ces vecteurs ont leur vie propre dans notre espace vectoriel ”abstrait” de dimension 2. On peut parler d’addition ou de produit avec un scalaire (sans aucune structure supplémentaire). Par exemple, on peut écrire: v = 2e1 + 4e1 = −11 + 42 Maintenant si l’on veut calculer la norme de kvk, il faut avoir à l’esprit que cette norme est induite par un produit scalaire particulier. Si nous gar- dons le produit scalaire du début, h., .i pour lequel e1 , e2 sont orthonormés, alors : kvk2 = hv, vi = h2e1 + 4e1 , 2e1 + 4e1 i = 4he1 , e1 i + 16he1 , e2 i + 16he2 , e2 i = 4 + 0 + 16 = 20 La chose était aisée car les composantes (c’est ici qu’il faudrait parler d’espace dual) de v étaient exprimées dans la base des e1 , e2 et que nous connaissions l’action de notre produit scalaire sur ces vecteurs de base. Notons les composantes de v dans la base des e par: 2 [v]e = 4 Mine de rien, ici nous avons fait quelque chose d’important ! Nous sommes passés de notre espace vectoriel ”abstrait” de dimension 2 précédent à R2 muni de sa structure vectorielle usuelle. Il faut munir ce nouvel espace vectoriel, R2 , d’un produit scalaire. Nous le notons h., .ie pour rappeler qu’il fait référence aux composantes dans la base des e. Comment déterminer ce produit scalaire, afin qu’il soit compatible avec le produit scalaire initial ? Il suffit de l’exprimer en fonction ne notre produit scalaire initial: 2 2 h[v]e , [v]e ie = h , ie 4 4 = h2e1 + 4e1 , 2e1 + 4e1 i = 4 + 16 = 20 2 Il est important de bien voir, à la ligne 2, le passage de h., .ie à h., .i. De plus on voit que le résultat est sans surprise on calcule bien le produit scalaire par le produit des composantes. Cependant il faut bien avoir conscience que pour que cela se passe ainsi il faut que la base initiale e1 , e2 soit orthonormée pour le produit scalaire initial h., .i. Revenons à votre problème initial. Dans votre situation, vous n’avez que les composantes de v dans la base des : −1 [v] = 4 et votre problème est de calculer la norme de v ainsi défini. La chose à réaliser est que nous sommes toujours dans R2 , mais ce n’est pas le ”même” espace que le R2 précédent. En effet, ici les composantes sont relatives à la base des et non plus des e. Comme ce n’est pas le même espace, le produit scalaire h., .i est également différent ! Pour le définir on utilise la même approche que précédemment mais en travaillant dans la base des : −1 −1 h[v] , [v] i = h , i 4 4 = h−11 + 41 , −11 + 41 i = h−1(2e1 ) + 4(e1 + e2 ), −1(2e1 ) + 4(e1 + e2 )i = h2e1 + 4e2 , 2e1 + 4e2 i = 4 + 16 = 20 On retrouve heureusement le même résultat! Par contre le produit scalaire h., .i ne se calcule plus en faisant le produit des composantes (car les com- posantes sont ici relatives à la base des et que cette base n’est pas or- thonormée pour h., .i). Pour reformuler ceci de façon plus compacte, il faut introduire la notion de matrice de passage (ou de changement de base). On introduit donc une matrice P qui transforme les coordonnés dans la base de en coordonnées dans la base des e. [v]e = P.[v] Dans notre cas particulier cette matrices est: 2 1 P = 0 1 3 La construction de P se fait colonne par colonne. La colonne j est [j ]e , c’est-à-dire les composantes de j exprimées dans la bases des e. Par exemple: 2 1 1 2 P.[1 ] = . = = 2[e1 ]e 0 1 0 0 Le calcul du produit scalaire h., .i prend alors la forme : h[v] , [w] i = hP.[v] , P.[w] ie = h[v] , [w] iP où le produit scalaire h[v] , [w] iP a pour expression : h[v] , [w] iP = hP.[v] , P.[w] ie = [v]t P t P [w] (si ceci n’est pas clair, je peux détailler) Pour finir, et en se rappelant que les colonnes de P sont les [j ]e on arrive à l’expression: (P t P )k,l = h[k ]e , [l ]e ie qui est présente dans les autres emails réponse. De façon très concrète, vous prenez l’expression de vos vecteurs dans la base orthonormée e, cad les []e . 2 1 [1 ]e = , [2 ]e = 0 1 Ensuite vous calculez la matrice P t P , ce qui donne ici: t 4 2 P P = 2 2 et pour chaque vecteur exprimé dans la base des v1 [v] = v2 vous calculez k[v] k2 = h[v] , [v] i = [v]t P t P [v] = 4v12 + 4v1 v2 + 2v22 En espérant que cela clarifie un peu la question, Bien cordialement, Vincent P. 4
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-