rationale Zahlen Erkl ̈ arung Die Menge der rationalen Zahlen ist Q := { a b : a ∈ Z , b ∈ N } Q entspricht der Menge der Bruchzahlen. Definition der rationalen Zahlen Addition Addition und Subtraktion Bei gleichem Nenner: a b ± c b = a ± c b Bei verschiedenen Nennern: a b ± c d = a · d b · d ± c · b b · d = a · d ± c · b b · d g Unterschiedliche Nenner? Auf gemeinsamen Nenner bringen! Addition und Subtraktion von Br ̈ uchen Erkl ̈ arung Multiplikation Division a b · c d = a · c b · d a b : c d = a b · d c = a · d b · c Vorzeichenregeln: • gleiches Vorzeichen → Ergebnis positiv • verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ Multiplikation und Division von Br ̈ uchen Br ̈ uche Dezimal Bruch → Dezimalzahl Dezimalzahl → Bruch a b kann als Division a : b aufgefasst werden. Ausf ̈ uhren der Rechnung liefert die Dezimalzahl. Erweitere Dezimalzahl a mit einer Zehnerpotenz 10 k , sodass 10 k · a kommafrei ist. 10 k · a 10 k ist der gesuchte Bruch. Alle rationalen Zahlen k ̈ onnen als Bruch darge- stellt werden, aber auch periodische Dezimalzahlen sind eine M ̈ oglichkeit, ratio- nale Zahlen darzustellen. Umwandlung: Br ̈ uche vs Dezimalzahlen Erkl ̈ arung K ̈ urzen Erweitern Enthalten a und b jeweils den Faktor c , kann dieser gek ̈ urzt werden: a b = a 1 · c b 1 · c = a 1 b 1 Z ̈ ahler und Nenner k ̈ onnen mit einem Faktor c ∈ N multipliziert werden: a b = a · c b · c Jede rationale Zahl kann durch verschiedene Br ̈ uche dargstellt werden. Das be- schriebene Verh ̈ altnis bleibt hierbei gleich! K ̈ urzen und Erweitern Kommu. Assoziativ Distributiv Inverse Betrag Rechengesetze Folgende Gesetze gelten f ̈ ur alle rationalen Zahlen a, b, c • Kommutativgesetze: a + b = b + a a · b = b · a • Assoziativgesetze: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a · ( b · c ) = ( a · b ) · c • Distributivgesetz: a · ( b + c ) = a · b + a · c Die rationalen Zahlen Q bilden einen K ̈ orper. Dadurch gelten neben- stehende Regeln f ̈ ur al- le rationalen Zahlen. Existenz inverser Elemente • Gegenzahl: Die Gegenzahl von a ist − a (additives Inverses) Es gilt a + ( − a ) = 0 • Kehrwert: Der Kehrwert von a b 6 = 0 ist b a (multiplikatives Inverses) Es gilt a b · b a = 1. Rechengesetze Der Betrag | a | einer rationalen Zahl a ∈ Q beschreibt den Abstand, den a zur 0 hat. Darum gilt immer | a | ≥ 0. a und − a haben den gleichen Betrag! der Betrag Algebraba Aufgaben Rechnen mit rationalen Zahlen L ̈ osung Aufgabe 1. Sind die folgenden Zahlen rational? a) 3 4 b) 1 c) − 5 d) 3 , 5863 e) − 18 10000 f) π g) 42 h) 0 , 2 L ̈ osung Aufgabe 2. Berrechne a) 3 4 + 2 4 b) 2 3 + 7 3 c) 1 5 + 12 5 d) 13 8 + 3 8 e) 1 2 − 3 2 f) 3 4 − 1 4 g) 9 8 − 15 8 h) 2 6 − 3 6 i) 1 2 + 1 3 j) 3 8 + 7 4 k) 0 3 + 2 6 l) 5 3 + 3 5 m) 2 7 − 3 8 n) 12 5 − 3 10 o) 1 6 − 1 10 p) 13 5 − 7 8 L ̈ osung Aufgabe 3. Berrechne a) 3 2 · 2 4 b) 2 5 · 7 3 c) 1 4 · 6 3 d) 3 8 · 10 8 e) 3 2 · ( − 3 4 ) f) 14 4 · 4 5 g) ( − 9 4 ) · ( − 3 8 ) h) ( − 15 6 ) · 3 8 i) 7 2 : 1 2 j) 3 5 : 1 3 k) 12 5 : 2 7 l) 12 9 : 15 9 m) ( − 10 7 ) : 12 14 n) 14 4 : 12 10 o) ( − 5 6 ) : ( − 3 10 ) p) 16 6 : ( − 12 8 ) L ̈ osung Aufgabe 4. Wandle folgende Br ̈ uche in Dezimalzahlen um: a) 1 4 b) 19 5 c) 100 200 d) 17 10 e) − 1 3 f) 1 9 g) 33 11 h) 42 7 L ̈ osung Aufgabe 5. Wandle folgende Dezimalzahlen in Br ̈ uche um: a) 3 , 4 b) 12 , 3 c) 0 , 2 d) 0 , 5 e) − 13 , 25 f) 4 , 125 g) 0 , 0001 h) − 10 L ̈ osung Aufgabe 6. K ̈ urze folgende Br ̈ uche soweit wie m ̈ oglich: a) 24 64 b) 125 25 c) 12 4 d) 31 10 e) − 39 13 f) 100 36 g) 121 44 h) 128 64 L ̈ osung Aufgabe 7. Erweitere die folgenden Br ̈ uche jeweils mit 2, 5 und 8: a) 1 3 b) 2 5 c) 1 4 d) 3 10 Erweitere die folgenden Br ̈ uche jeweils mit 3, 10 und 15: e) − 1 5 f) 1 6 g) 2 3 h) 4 5 L ̈ osung Aufgabe 8. Nutze die Rechengesetze, um vorteilhaft zu rechnen: a) 13 25 · 35 62 + 13 25 · 27 62 b) 31 28 · 12 15 · 28 31 c) 10 25 + 2 8 + 3 4 d) 31 10 · ( − 12 45 ) + 31 10 · 57 45 e) 25 16 · ( 32 125 + 48 15 ) f) 13 11 · ( 11 26 − 22 39 ) g) 1 5 + 1 3 + 4 5 + 2 3 h) 12 17 + 19 23 + 22 17 + 4 23 L ̈ osung Aufgabe 9. Bestimme Betrag sowie Gegenzahl und Kehrwert folgender rationaler Zahlen: a) 3 5 b) 25 c) 1 2 d) 1 e) 10 3 f) − 5 g) 0 h) 2 , 5 i*) Wann sind Gegenzahl und Betrag einer rationalen Zahl gleich? Aufgabe 10. Ordne folgende rationalen Zahlen nach ihrer Gr ̈ oße. Beginne mit der kleisten Zahl. a) 2 , 0 , 1 2 , 2 3 , − 5 2 , 2 5 , 10 , − 12 b) 3 , 8 3 , − 8 3 , − 3 , 2 , 5 2 , − 3 2 , 11 5 c) 4 , 15 4 , 19 5 , − 2 , − 7 4 , 0 , − 9 2 d) 1 , − 2 , 3 , − 4 , 5 , − 6 , 3 2 , − 4 5 , 6 7 , 4 3 L ̈ osung Algebraba