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rationale Zahlen Erklärung Definition der rationalen Zahlen na o Q entspricht der Menge der Die Menge der rationalen Zahlen ist Q := : a ∈ Z, b ∈ N . Bruchzahlen. b Addition Addition und Subtraktion von Brüchen Addition und Subtraktion a c a±c Unterschiedliche Nenner? Bei gleichem Nenner: ± = . b b b Auf gemeinsamen Nenner a c a·d c·b a·d±c·b Bei verschiedenen Nennern: ± = ± = . bringen! g b d b·d b·d b·d Erklärung Multiplikation und Division von Brüchen Multiplikation Division a c a·c Vorzeichenregeln: a c a d a·d · = : = · = • gleiches Vorzeichen → Ergebnis positiv b d b·d b d b c b·c a • verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ Brüche Umwandlung: Brüche vs Dezimalzahlen a Bruch → Dezimalzahl ab Dezimalzahl → Bruch Erweitere Dezimalzahl a mit r Alle rationalen Zahlen kann als Division können als Bruch darge- b einer Zehnerpotenz 10k , sodass eb Dezimal a : b aufgefasst werden. stellt werden, aber auch 10k · a kommafrei ist. Ausführen der Rechnung periodische Dezimalzahlen 10k · a liefert die Dezimalzahl. ist der gesuchte Bruch. sind eine Möglichkeit, ratio- 10k nale Zahlen darzustellen. lg Erklärung Kürzen und Erweitern A Kürzen Erweitern Enthalten a und b jeweils Zähler und Nenner können Jede rationale Zahl kann den Faktor c, kann dieser mit einem Faktor c ∈ N durch verschiedene Brüche gekürzt werden: multipliziert werden: dargstellt werden. Das be- a a1 · c a1 a a·c schriebene Verhältnis bleibt = = . = . b b1 · c b1 b b·c hierbei gleich! Kommu. Rechengesetze Assoziativ Rechengesetze Folgende Gesetze gelten für alle rationalen Zahlen a, b, c. • Kommutativgesetze: a+b = b+a Die rationalen Zahlen a·b = b·a Q bilden einen Körper. Dadurch gelten neben- • Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c stehende Regeln für al- a · (b · c) = (a · b) · c le rationalen Zahlen. • Distributivgesetz: a · (b + c) = a·b+a·c Existenz inverser Elemente • Gegenzahl: Die Gegenzahl von a ist −a. (additives Inverses) Es gilt a + (−a) = 0 Distributiv a b Inverse • Kehrwert: Der Kehrwert von 6= 0 ist . b a a b (multiplikatives Inverses) Es gilt · = 1. b a Betrag der Betrag a und −a haben den Der Betrag |a| einer rationalen Zahl a ∈ Q beschreibt den Abstand, gleichen Betrag! den a zur 0 hat. Darum gilt immer |a| ≥ 0. Aufgaben Rechnen mit rationalen Zahlen Lösung Aufgabe 1. Sind die folgenden Zahlen rational? 3 18 a) 4 b) 1 c) −5 d) 3, 5863 e) − 10000 f) π g) 42 h) 0, 2 Aufgabe 2. Berrechne Lösung 3 2 2 7 1 12 13 3 a) 4 + 4 b) 3 + 3 c) 5 + 5 d) 8 + 8 1 3 3 1 9 15 2 3 e) 2 − 2 f) 4 − 4 g) 8 − 8 h) 6 − 6 1 1 3 7 0 2 5 3 i) 2 + 3 j) 8 + 4 k) 3 + 6 l) 3 + 5 2 3 12 3 1 1 13 7 m) 7 − 8 n) 5 − 10 o) 6 − 10 p) 5 − 8 Lösung Aufgabe 3. Berrechne 3 2 2 7 1 6 3 10 a) 2 · 4 b) 5 · 3 c) 4 · 3 d) 8 · 8 3 3 14 4 9 3 h) − 15 3



e) 2 · −4 f) 4 · 5 g) − 4 · − 8 6 · 8 7 1 3 1 12 2 12 15 i) 2 : 2 j) 5 : 3 k) 5 : 7 l) 9 : 9 a m) − 10 12 14 12 o) − 56 : − 10 3 16 : − 12



7 : 14 n) 4 : 10 p) 6 8 Aufgabe 4. Wandle folgende Brüche in Dezimalzahlen um: a) 1 4 r b) 19 5 ab c) 100 200 d) 17 10 Lösung e) − 13 f) 1 9 g) 33 11 h) 42 7 eb Lösung Aufgabe 5. Wandle folgende Dezimalzahlen in Brüche um: a) 3, 4 b) 12, 3 c) 0, 2 d) 0, 5 lg e) −13, 25 f) 4, 125 g) 0, 0001 h) −10 A Lösung Aufgabe 6. Kürze folgende Brüche soweit wie möglich: 24 125 12 31 a) 64 b) 25 c) 4 d) 10 e) − 39 13 f) 100 36 g) 121 44 h) 128 64 Lösung Aufgabe 7. Erweitere die folgenden Brüche jeweils mit 2, 5 und 8: 1 2 1 3 a) 3 b) 5 c) 4 d) 10 Erweitere die folgenden Brüche jeweils mit 3, 10 und 15: e) − 51 f) 1 6 g) 2 3 h) 4 5 Lösung Aufgabe 8. Nutze die Rechengesetze, um vorteilhaft zu rechnen: 13 35 13 27 31 12 28 10 2 3 31 · − 12 31 57
a) 25 · 62 + 25 · 62 b) 28 · 15 · 31 c) 25 + 8 + 4 d) 10 45 + 10 · 45 25 32 48 13 11 22 1 1 4 2 12 19 22 4

e) 16 · 125 + 15 f) 11 · 26 − 39 g) 5 + 3 + 5 + 3 h) 17 + 23 + 17 + 23 Lösung Aufgabe 9. Bestimme Betrag sowie Gegenzahl und Kehrwert folgender rationaler Zahlen: 3 1 10 a) 5 b) 25 c) 2 d) 1 e) 3 f) −5 g) 0 h) 2, 5 i*) Wann sind Gegenzahl und Betrag einer rationalen Zahl gleich? Lösung Aufgabe 10. Ordne folgende rationalen Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der kleisten Zahl. a) 2, 0, 12 , 23 , − 52 , 25 , 10, −12 b) 3, 38 , − 83 , −3, 2, 52 , − 32 , 11 5 c) 4, 15 19 7 9 4 , 5 , −2, − 4 , 0, − 2 d) 1, −2, 3, −4, 5, −6, 23 , − 45 , 67 , 43