ENSEÑANZAS 2. Las funciones trigonométricas se definen con base en ángulos en posición normal. Si es un ángulo en posición normal, y x M , es cualquier punto sobre el lado final, diferente de 0 , 0 , y , 2 2 y x OM r entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo se definen de la siguiente manera: r y sen seno 0 , tan tan x x y gente r x eno cos cos 0 , cot cot y y x angente 0 , sec sec x x r ante 0 , csc cos y y r ecante MODELACIÓN I. Sea un ángulo en posición normal, tal que 3 , 2 P es un punto ubicado sobre su lado final. Determinar las funciones trigonométricas para el ángulo Solución: Dado que 3 , 2 P , entonces 2 x y 3 y . Luego, 13 3 2 2 2 2 2 y x r , Por tanto: 13 13 3 13 3 r y sen 13 13 2 13 2 cos r x 2 3 tan x y 3 2 cot y x 2 13 sec x r 3 13 csc y r EJERCICIOS 1. Encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para cada ángulo en posición normal. Conociendo un punto ubicado sobre el lado final del ángulo dado. a. , si 3 , 4 P b. , si 2 , 1 P c. , si 5 , 1 P 2. Hallar el valor de las funciones trigonométricas en el ángulo indicado en cada gráfica. ENSEÑANZA 3. El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo , se determina según el cuadrante en el cual está ubicado o Si y x P , es un punto sobre el lado final de , la distancia , 2 2 y x r siempre es positiva, por lo cual, los signos de las funciones trigonométricas de , dependen de los signos de x y y. o Para un ángulo en el primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues 0 x y 0 y para cualquier punto y x , ubicado en este cuadrante. MODELACIÓN I. Hallar el signo de las seis funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, ubicado en el cuadrante I del plano. Solución: 0 x , 0 y , 0 2 2 y x r sen r y r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc EJERCICIOS 1. Complete la siguiente tabla sen cos tan cot sec csc I + + + + + + II III IV 2. Escribir los símbolos > o < según corresponda: a. sen rad 4 3 _____ 0 b. tan 315º _____ 0 c. sen rad 4 11 _____ 0 d. cos 150º _____ 0 e. csc rad 6 11 _____ 0 f. sec 210º _____ 0 ENSEÑANZAS 4. Se denominan ángulos cuadrantales, aquellos cuyo lado final coincide con alguno de los ejes coordenados. o Los ángulos cuadrantales son 0º,90º,180º,270º,360º, etc. Los valores de las funciones trigonométricas para estos ángulos, se obtienen utilizando cualquier Punto P ubicado sobre su lado final. MODELACIÓN I. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para 90º. Solución: Sea y P , 0 un punto sobre el lado final de 90º, como y OP r , entonces sen 1 º 90 r r r OP r y 0 0 º 90 cos r r x 0 0 º 90 tan r OP x y ind 0 0 º 90 cot OP y x 0 º 90 sec r x r ind 1 º 90 csc r r OP r y r EJERCICIOS 1. Complete la siguiente tabla sen cos tan cot sec csc 0º 90º 1 0 ind 0 ind 1 180º 270º 360º 2. Determinar el valor de a. cot 450º b. sen 360º c. csc rad 2 7 d. sec rad 2 13 e. tan rad 2 17 f. sen 1800º ENSEÑANZAS 5. Las razones trigonométricas se definen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo sen h co hipotenusa opuesto cat h ca hipotenusa adyacente cat cos ca co adyacente cat opuesto cat tan co ca opuesto cat adyacente cat cot ca h adyacente cat hipotenusa sec co h opuesto cat hipotenusa csc MODELACIÓN I. Encontrar el valor de las razones trigonométricas para el ángulo Solución: Por Pitágoras: 614 6 75 43 5 7 10 2 2 y Por lo tanto sen 6614 0 10 614 6 h co hipotenusa opuesto cat 75 0 10 5 7 cos h ca hipotenusa adyacente cat 8819 0 5 7 614 6 tan ca co adyacente cat opuesto cat 3338 1 614 6 5 7 cot co ca opuesto cat adyacente cat 3 1 5 7 10 sec ca h adyacente cat hipotenusa co h opuesto cat hipotenusa csc = 5118 1 614 6 10 II. Si se sabe que 2 6 sec , calcular sen y tan Solución: Sabiendo que adyacente cat hipotenusa 2 6 sec Por Pitágoras: 2 2 6 2 2 y sen 3 3 3 1 6 2 h co hipotenusa opuesto cat 2 2 tan ca co adyacente cat opuesto cat y 6 2 EJERCICIOS 1. En los siguientes triángulos rectángulos, hallar el valor de las razones trigonométricas para 2. Hallar las razones trigonométricas de sabiendo: a. sen 3 2 b. 2 5 cot c. 6 15 csc d. 3 3 tan