TOÁN VUI VẺ Chương 1 Hàm nhiều biến 1.1 Đạo hàm và vi phân 1.1.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa 1. Cho hàm số z = f ( x , y ) xác định trong một miền D ⊂ R 2 và ( x , y ) ∈ D . Đạo hàm riêng của f ( x , y ) theo biến x là lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) ∆ x nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. Kí hiệu là f ′ x hay ∂ f ∂ x hay ∂ z ∂ x Tương tự, như vậy người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f ( x , y ) theo biến y kí hiệu là f ′ y hay ∂ f ∂ y hay ∂ z ∂ y Đạo hàm riêng của hàm n biến ( n ≥ 3 ) được định nghĩa tương tự. Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số nào, chỉ việc xem như hàm số chỉ phụ thuộc biến số ấy, các biến số khác được coi là hằng số, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến số. Ví dụ 1. Tìm đạo hàm riêng của các hàm số 1) f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 2 xy 2) f ( x , y ) = x 3 y 2 + 3 x 2 | Lời giải. Đạo hàm của các đạo hàm riêng cấp 1 gọi là được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Kí hiệu ∂ 2 f ∂ x 2 = f ′′ xx = ( f ′ x ) ′ x ; ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f ′′ xy = ( f ′ x ) ′ y ∂ 2 f ∂ y 2 = f ′′ yy = ( f ′ y ) ′ y ; ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f ′′ yx = ( f ′ y ) ′ x Định lí 1 (Schwarz). Nếu trong một lân cận nào đó của điểm ( a , b ) mà hàm f ( x , y ) có các đạo hàm hỗn hợp và các đạo hàm này liên tục tại ( a , b ) thì f ′′ xy ( a , b ) = f ′′ yx ( a , b ) Định lí Schwarz cũng được mở rộng cho hàm nhiều biến và cho các đạo hàm cấp cao hơn. 1 TOÁN VUI VẺ 1.1.2 Đạo hàm riêng của hàm hợp Cho hàm số w = f ( u , v ) với u = u ( x ) , v = v ( x ) là các hàm theo biến x . Khi đó ta có hàm hợp: w = f [ u ( x ) , v ( x )] Đạo hàm của w theo x được tính theo công thức dw dx = ∂ f ∂ u · du dx + ∂ f ∂ v · dv dx Nếu u , v phụ thuộc vào nhiều biến, chẳng hạn u = u ( x , y ) ; v = v ( x , y ) thì ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ u · ∂ u ∂ x + ∂ w ∂ v · ∂ v ∂ x và ∂ w ∂ y = ∂ w ∂ u · ∂ u ∂ y + ∂ w ∂ v · ∂ v ∂ y Một cách tổng quát nếu w = f ( u 1 , u 2 , . . . , u m ) và mỗi biến u k ( k = 1 , m ) lại là hàm số của các biến x 1 , x 2 , . . . , x n thì đạo hàm của w theo x i ( i = 1 , n ) được tính theo công thức: ∂ w ∂ x i = n ∑ l = 1 ∂ w ∂ u l · ∂ u l ∂ x i = ∂ w ∂ u 1 · ∂ u 1 ∂ x i + . . . + ∂ w ∂ u n · ∂ u n ∂ x i nếu các đạo hàm riêng của vế phải tồn tại. 1.1.3 Đạo hàm riêng của hàm ẩn Đối với các phương trình dạng F ( x , y ) = 0 , đạo hàm của y theo x được xác định bởi công thức: dy dx = − F ′ x F ′ y ( F ′ y ̸ = 0 ) Đối với các phương trình dạng F ( x , y , z ) = 0 xác định z là hàm ẩn theo x và y . Khi đó: ∂ z ∂ x = − F ′ x F ′ z ; ∂ z ∂ y = − F ′ y F ′ z 1.1.4 Vi phân toàn phần Định nghĩa 2. Nếu hàm số z = f ( x , y ) xác định trên miền D ⊂ R 2 . Nếu số gia ∆ f = f ( x + ∆ x , y + ∆ y ) − f ( x , y ) có thể biểu diễn dưới dạng ∆ f = A ∆ x + B ∆ y + α ∆ x + β ∆ y A , B không phụ thuộc vào ∆ x , ∆ y , khi ∆ x → 0 , ∆ y → 0 thì hàm z khả vi tại điểm ( x , y ) ; còn biểu thức A ∆ x + B ∆ y được gọi là vi phân toàn phần của hàm f ( x , y ) tại điểm ( x , y ) , kí hiệu là dz hay d f và được tính theo công thức dz = f ′ x dx + f ′ y dy với dx = ∆ x , dy = ∆ y Hàm số khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm trong miền đó. Khi ∆ x , ∆ y có trị số tuyệt đối khá bé, ta có thể xem ∆ f ≈ d f , tức là f ( x + ∆ x , y + ∆ y ) ≈ f ( x , y ) + f ′ x ∆ x + f ′ y ∆ y 1.2 Cực trị của hàm hai biến 1.2.1 Cực trị tự do Tìm cực trị của hàm số z = f ( x , y ) 2 TOÁN VUI VẺ Phương pháp giải Bước 1. Tìm điểm dừng Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và giải hệ phương trình: { f ′ x ( x , y ) = 0 f ′ y ( x , y ) = 0 Giả sử ta tìm được điểm dừng là M 0 ( x 0 , y 0 ) Bước 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 Tại điểm M 0 , ta tính các giá trị sau: A = f ′′ xx ( x 0 , y 0 ) ; B = f ′′ xy ( x 0 , y 0 ) ; C = f ′′ yy ( x 0 , y 0 ) Bước 3. Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 • ∆ > 0 : Hàm số đạt cực trị tại M 0 – A > 0 : M 0 là điểm cực tiểu – A < 0 : M 0 là điểm cực đại • ∆ < 0 : Hàm số không đạt cực trị tại M 0 • ∆ = 0 : chưa kết luận được. Ví dụ 2. Tìm cực trị tự do của hàm số f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 2 x + 4 y | Lời giải. Tìm điểm dừng { f ′ x = 2 x − 2 = 0 f ′ y = 2 y + 4 = 0 ⇐⇒ { x = 1 y = − 2 Ta có một điểm dừng duy nhất là M ( 1 , − 2 ) Tại điểm M ( 1 , − 2 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M ) = 2 , B = f ′′ xy ( M ) = 0; C = f ′′ yy ( M ) = 2 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = 4 > 0 mà A > 0 nên M là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f min = − 5 C2 (HĐT). f ( x , y ) = ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) − 5 = ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 − 5 ≥ − 5 Dấu "=" xảy ra ⇐⇒ x = 1 , y = − 2 Ví dụ 3. Tìm cực trị tự do của f ( x , y ) = x 3 + y 2 − 2 xy + 7 x − 8 y + 2 | Lời giải. Tìm điểm dừng { f ′ x = 3 x 2 − 2 y + 7 = 0 f ′ y = 2 y − 2 x − 8 = 0 ⇐⇒ { 3 x 2 − 2 x − 1 = 0 y = x + 4 ⇐⇒ [ x = 1 , y = 5 x = − 1 3; y = 11 3 Ta có hai điểm dừng là M 1 ( 1 , 5 ) và M 2 ( − 1 3; 11 3 ) Ta tính các đạo hàm riêng cấp 2 A = f ′′ xx = 6 x ; B = f ′′ xy = − 2; C = f ′′ yy = 2 3 TOÁN VUI VẺ Tại điểm M 1 ( 1 , 5 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M 1 ) = 6 , B = f ′′ xy ( M 1 ) = − 2; C = f ′′ yy ( M 1 ) = 2 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = 8 > 0 mà A > 0 nên M 1 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f min = − 15 Tại điểm M 2 ( − 1 3; 11 3 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M 2 ) = − 2 , B = f ′′ xy ( M 1 ) = − 2; C = f ′′ yy ( M 1 ) = 2 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = − 8 < 0 = ⇒ hàm số không đạt cực trị tại điểm M 2 Bài toán tương tự. Tìm cực trị tự do của f ( x , y ) = 2 x 3 − 3 y 2 + 6 xy − 6 x − 6 y ĐS: f max = 23 ⇐⇒ x = − 2 , y = − 3 Ví dụ 4. Tìm cực trị tự do của f ( x , y ) = 8 xy − 1 4 ( x + y ) 4 | Lời giải. Tìm điểm dừng f ′ x = 8 y − 1 4 · 4 · ( x + y ) 3 = 0 f ′ y = 8 x − 1 4 · 4 · ( x + y ) 3 = 0 ⇐⇒ { x = y 8 x = ( x + x ) 3 ⇐⇒ x = 0 , y = 0 x = 1 , y = 1 x = − 1 , y = − 1 Ta có ba điểm dừng là M 1 ( 0 , 0 ) , M 2 ( 1 , 1 ) , M 3 ( − 1 , − 1 ) Ta tính các đạo hàm riêng cấp 2 A = f ′′ xx = − 3 ( x + y ) 2 ; B = f ′′ xy = 8 − 3 ( x + y ) 2 ; C = f ′′ yy = − 3 ( x + y ) 2 Tại điểm M 1 ( 0 , 0 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M 1 ) = 0 , B = f ′′ xy ( M 1 ) = 8; C = f ′′ yy ( M 1 ) = 0 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = − 64 < 0 = ⇒ hàm số không đạt cực trị tại M 1 Tại điểm M 2 ( 1 , 1 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M 2 ) = − 12 , B = f ′′ xy ( M 2 ) = − 4; C = f ′′ yy ( M 2 ) = − 12 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = 128 > 0 mà A < 0 nên M 2 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f max = 4 Tại điểm M 3 ( − 1 , − 1 ) ta tính được A = f ′′ xx ( M 1 ) = − 12 , B = f ′′ xy ( M 1 ) = − 4; C = f ′′ yy ( M ) = − 12 Xét biệt thức ∆ = AC − B 2 = 128 > 0 mà A < 0 nên M 3 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f max = 4 Vậy hàm số đạt cực đại tại hai điểm M 2 ( 1 , 1 ) và M 3 ( − 1 , − 1 ) Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = xy + 8 x + 8 y với x , y > 0 ĐS: f min = 12 ⇐⇒ x = 2 , y = 2 Ví dụ 6. Tìm cực trị tự do của f ( x , y ) = e 4 y − x 2 − y 2 ĐS: f max = e 4 ⇐⇒ x = 0 , y = 2 Ví dụ 7. Tìm cực trị tự do của f ( x , y ) = ( x − y ) ln ( xy ) ĐS: Không có cực trị 1.2.2 Cực trị có điều kiện Tìm cực trị của hàm z = f ( x , y ) với điều kiện ràng buộc φ ( x , y ) = 0 4 TOÁN VUI VẺ Phương pháp giải Nếu từ điều kiện φ ( x , y ) = 0 ta có thể rút y theo x (hoặc ngược lại), ta thế vào hàm f ( x , y ) để đưa về bài toán tìm cực trị của hàm 1 biến thông thường. Phương pháp giải Bước 1. Lập hàm Lagrange: L ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ · φ ( x , y ) (Trong đó λ là nhân tử Lagrange). Bước 2. Tính đạo hàm riêng và giải hệ phương trình để tìm điểm dừng ( x 0 , y 0 , λ 0 ) : L ′ x = f ′ x + λ φ ′ x = 0 L ′ y = f ′ y + λ φ ′ y = 0 L ′ λ = φ ( x , y ) = 0 Bước 3. Xét điều kiện đủ (Dùng vi phân cấp 2). Tại điểm dừng M ( x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 , ta tính vi phân cấp 2 của hàm Lagrange: d 2 L = L ′′ xx dx 2 + 2 L ′′ xy dxdy + L ′′ yy dy 2 Kết hợp với điều kiện ràng buộc lấy vi phân: φ ′ x dx + φ ′ y dy = 0 = ⇒ biểu diễn dy theo dx (hoặc ngược lại). Thế vào biểu thức d 2 L : • Nếu d 2 L ( M ) > 0 (với mọi dx ̸ = 0 ): Hàm số đạt cực tiểu có điều kiện. • Nếu d 2 L ( M ) < 0 (với mọi dx ̸ = 0 ): Hàm số đạt cực đại có điều kiện. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = 4 x + 6 y với điều kiện x 2 + y 2 = 13 | Lời giải. Ta có điều kiện ràng buộc: φ ( x , y ) = x 2 + y 2 − 13 = 0 . Hàm Lagrange được thiết lập như sau: L ( x , y , λ ) = 4 x + 6 y + λ ( x 2 + y 2 − 13 ) Giải hệ phương trình: L ′ x = 4 + 2 λ x = 0 L ′ y = 6 + 2 λ y = 0 x 2 + y 2 = 13 ⇐⇒ [ x = − 2 , y = − 3 , λ = 1 x = 2 , y = 3 , λ = − 1 Ta tính đạo hàm cấp 2 của hàm L L ′′ xx = 2 λ ; L ′′ xy = 0; L ′′ yy = 2 λ Vi phân cấp 2 d 2 L = 2 λ dx 2 + 2 λ dy 2 = 2 λ ( dx 2 + dy 2 ) Tại điểm M 1 ( − 2 , − 3 ) ứng với λ = 1 d 2 L ( M 1 ) = 2 · 1 · ( dx 2 + dy 2 ) > 0 Dẫn đến hàm số đạt Cực tiểu tại M 1 ( − 2 , − 3 ) . Giá trị cực tiểu: f min = 4 · ( − 2 ) + 6 · ( − 3 ) = − 26 Tại điểm M 2 ( 2 , 3 ) ứng với λ = − 1 d 2 L ( M 2 ) = 2 ( − 1 )( dx 2 + dy 2 ) < 0 5 TOÁN VUI VẺ Dẫn đến hàm số đạt Cực đại tại M 2 ( 2 , 3 ) . Giá trị cực đại: f max = 4 · 2 + 6 · 3 = 26 C2. (BĐT Bunhiacopski) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được | 4 x + 6 y | ≤ √ ( 4 2 + 6 2 )( x 2 + y 2 ) = √ 52 · 13 = 26 = ⇒ | f | ≤ 26 Dấu ” = ” xảy ra ⇐⇒ x 4 = y 6 ⇐⇒ y = 3 x 2 . Thay vào x 2 + y 2 = 13 ta được x 2 + 9 x 2 4 = 13 ⇐⇒ 13 4 x 2 = 13 ⇐⇒ x 2 = 4 ⇐⇒ x = ± 2 = ⇒ y = ± 3 Kết luận. Bài toán tương tự. 1. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = 8 x + 9 y với ràng buộc 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ĐS: | f | ≤ 30 2. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = x + y với ràng buộc x 2 + y 2 = 1 ĐS: | f | ≤ √ 2 Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = x 2 + y 2 với ràng buộc xy = 1 ĐS: f min = 2 Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số f ( x , y ) = xy với ràng buộc x 2 + y 2 = 18 ĐS: f max = 9 , f min = − 9 1.2.3 Ứng dụng trong thực tế Ví dụ 1. Một sợi dây kim loại dài l ( m ) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r . Cần chia đoạn dây như thế nào để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất. | Lời giải. Ta cần tìm cực tiểu của hàm f ( a , r ) = a 2 + π r 2 với điều kiện ràng buộc 4 a + 2 π r = l ⇐⇒ φ ( a , r ) = 4 a + 2 π r − l = 0 Thiết lập hàm Lagrange L ( a , r , λ ) = a 2 + π r 2 + λ ( 4 a + 2 π r − l ) Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình L ′ a = 2 a + 4 λ = 0 L ′ r = 2 π r + 2 πλ = 0 4 a + 2 π r = l ⇐⇒ a = − 2 λ r = − λ 4 a + 2 π r = l ⇐⇒ a = 2 r = l π + 4 Ta tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm Lagrange L L ′′ aa = 2 , L ′′ ar = 0 , L ′′ rr = 2 π Vi phân cấp 2 d 2 L = 2 da 2 + 2 π dr 2 > 0 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm dừng này. Chu vi hình vuông x = 4 a = 4 l π + 4 . Chu vi hình tròn y = 2 π r = π l π + 4 Để tổng diện tích là nhỏ nhất, ta cần cắt đoạn dây thành hai phần: Phần làm hình vuông có độ dài 4 π + 4 l ; Phần làm hình tròn có độ dài π π + 4 l 6 TOÁN VUI VẺ Ví dụ 2 (HSGQG 2026). Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tính sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất. Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz (đơn vị trên mỗi trục Ox , Oy , Oz đều bằng 6400km), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) theo quỹ đạo có phương trình là x 2 + 3 y 2 = 17 . Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí A ( 2; 16 √ 3; 8 ) thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm C (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí C đến vị trí A là ngắn nhất. | Lời giải. Điểm C nằm trên quỹ đạo thuộc ( Oxy ) , nên tọa độ của C có dạng C ( x ; y ; 0 ) . Ta có AC = √ ( x − 2 ) 2 + ( y − 16 √ 3 ) 2 + 64 Ta cần tìm cực tiểu của f ( x , y ) = ( x − 2 ) 2 + ( y − 16 √ 3 ) 2 + 64 với điều kiện ràng buộc x 2 + 3 y 2 = 17 ⇐⇒ φ ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 − 17 = 0 Thiết lập hàm Lagrange L ( x , y , λ ) = ( x − 2 ) 2 + ( y − 16 √ 3 ) 2 + 64 + λ ( x 2 + 3 y 2 − 17 ) Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình L ′ x = 2 ( x − 2 ) + 2 λ x = 0 L ′ y = 2 ( y − 16 √ 3 ) + 6 λ y = 0 x 2 + 3 y 2 = 17 ⇐⇒ x = 2 1 + λ y = 16 √ 3 ( 1 + 3 λ ) x 2 + 3 y 2 = 17 Giải tìm λ và Làm tương tự các bước trên, ta tìm được tọa độ điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán là C ( 1; 4 √ 3; 0 ) Ví dụ 3. Một doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí TC = 3 Q 2 1 + 2 Q 1 Q 2 + 2 Q 2 2 + 10 trong đó Q i là lượng sản phẩm i . Tìm mức sản lượng Q 1 , Q 2 để doanh nghiệp có được lợi nhuận tối đa khi giá sản phẩm một là 180$ và giá sản phẩm hai là 160$ | Lời giải. Hàm doanh thu T R = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 = 180 Q 1 + 160 Q 2 Hàm lợi nhuận π ( Q 1 , Q 2 ) = 180 Q 1 + 160 Q 2 − 3 Q 2 1 − 2 Q 1 Q 2 − 2 Q 2 2 − 10 7 TOÁN VUI VẺ Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình ∂ π ∂ Q 1 = 180 − 6 Q 1 − 2 Q 2 = 0 ∂ π ∂ Q 2 = 160 − 2 Q 1 − 4 Q 2 = 0 ⇐⇒ { Q 1 = 20 Q 2 = 30 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 A = ∂ 2 π ∂ Q 2 1 = − 6; B = ∂ 2 π ∂ Q 1 ∂ Q 2 = − 2; C = ∂ 2 π ∂ Q 2 2 = − 4 Tính biệt thức ∆ : ∆ = AC − B 2 = ( − 6 )( − 4 ) − ( − 2 ) 2 = 24 − 4 = 20 > 0 Kết hợp với A = − 6 < 0 nên điểm dừng là điểm cực đại. Khi đó lợi nhuận tối đa đạt được là 4190$. Bài toán tương tự. 1. Một xí nghiệp sản xuất hai mặt hàng A và B với sản lượng lần lượt là Q 1 (nghìn sản phẩm) và Q 2 (nghìn sản phẩm) bán trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo. Chi phí để sản xuất hai mặt hàng này là: TC = 2 Q 2 1 + Q 1 Q 2 + 2 Q 2 2 . Đơn giá hai mặt hàng A và B lần lượt là P 1 = 14 (USD/sản phẩm) và P 2 = 11 USD/sản phẩm. Để đạt lợi nhuận tối đa, xí nghiệp nên sản xuất lượng sản phẩm A và B như thế nào? ĐS: Q 1 = 3 , Q 2 = 2 2. Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B để bán trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo. Hàm tổng chi phí cho hai sản phẩm trên là: C ( Q 1 , Q 2 ) = 5 Q 2 1 + 4 Q 1 Q 2 + Q 2 2 , trong đó Q 1 và Q 2 lần lượt là sản lượng của sản phẩm A và sản phẩm B (đơn vị: nghìn sản phẩm). Biết rằng giá của sản phẩm A và sản phẩm B lần lượt là 24 và 10 (đơn vị tiền). Tìm mức sản lượng ( Q 1 , Q 2 ) để doanh nghiệp đạt được lợi nhuận tối đa. ĐS: Q 1 = 2 , Q 2 = 1 3. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có sản lượng là Q 1 , Q 2 và đơn giá tương ứng là P 1 , P 2 . Biết mối quan hệ giữa sản lượng và giá là Q 1 = 1200 − 2 P 1 + P 2 ; Q 2 = 1440 + P 1 − P 2 Tổng chi phí của công ty là C = 480 Q 1 + 720 Q 2 + 400 . Tìm mức sản lượng Q 1 , Q 2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa? ĐS: Q 1 = 480 , Q 2 = 600 Ví dụ 4. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: Q = K ( L + 5 ) Công ty này nhận được hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Hãy cho biết phương án sử dụng các yếu tố K , L sao cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản w k = 70 và giá thuê lao động w L = 20 | Lời giải. Ta cần tìm cực tiểu của hàm Chi phí C = 70 K + 20 L với điều kiện ràng buộc Q = K ( L + 5 ) = 5600 ⇐⇒ 5600 − K ( L + 5 ) = 0 Thiết lập hàm Lagrange L ( K , L , λ ) = 70 K + 20 L + λ [ 5600 − K ( L + 5 )] 8 TOÁN VUI VẺ Tìm điểm dừng ∂ L ∂ K = 70 − λ ( L + 5 ) = 0 ∂ L ∂ L = 20 − λ K = 0 K ( L + 5 ) = 5600 ⇐⇒ K = 40 L = 135 λ = 1 2 Ta tính đạo hàm cấp 2 của hàm L L ′′ KK = 0; L ′′ KL = − λ ; L ′′ LL = 0 Vi phân cấp 2 d 2 L = − 2 λ dKdL Tại điểm M ( 40 , 135 ) ứng với λ = 1 2 d 2 L ( M ) = − dKdL Lấy vi phân 2 vế của phương trình ràng buộc ta được − ( L + 5 ) dK − KdL = 0 ⇐⇒ dL = − ( L + 5 ) dK K = − 7 2 dK Như vậy d 2 L ( M ) = 7 2 dK 2 > 0 Dẫn đến hàm số đạt Cực tiểu tại M ( 40 , 135 ) . Giá trị cực tiểu: C min = 5500 9