Nota metodologica R(t).pdf

Introduzione e m odello SIR Il modello SIR (che trae origine dalla formulazione proposta da Kermack e McKendrick 1 nel 1927 ) è un modello deterministico compartimentale (ovvero che presuppone la suddivisione della popolazione in gruppi con caratteristiche comun i ) in cui i tassi di transizione da una classe all’altra sono espressi matematicamente mediante equazioni differenziali 𝑑𝑆 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 = − β 𝐼 ( 𝑡 ) 𝑆 ( 𝑡 ) 𝑁 ( 1 ) 𝑑𝐼 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 𝛽𝐼 ( 𝑡 ) 𝑆 ( 𝑡 ) 𝑁 − 𝛾𝐼 ( 𝑡 ) ( 2 ) 𝑑𝑅 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 = γ 𝐼 ( 𝑡 ) ( 3 ) nelle quali: • S(t) è il numero di persone suscettibili al tempo t; • I(t) è il numero di persone infette al tempo t; • R(t) è il num ero di persone rimosse (guarite e decedute) al tempo t; • β è il tasso di infezione; • γ è il tasso di recupero ovvero il reciproco del tempo infettivo medio; • N è la popolazione con 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑆 ( 𝑡 ) + 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝑅 ( 𝑡 ) in quanto 𝑑𝑆 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 ( 𝑡 ) 𝑑 𝑡 = 0 Dallo studio della (2), che rappresenta la derivata prima della funzione 𝐼 ( 𝑡 ) , è possibile individuare gli intervalli nei quali tale funzione risulta crescente o decrescente. In particolare, assumendo che 𝑆 ( 𝑡 ) = 𝑁 (ovvero che il numero di soggetti suscettibili rimanga costante nel tempo e uguale all’intera popolazione) la funzione 𝐼 ( 𝑡 ) che descrive il numero di infetti in funzione del tempo è cr escente per 𝐼 ′ ( 𝑡 ) > 0 , quindi per β 𝐼 ( 𝑡 ) − γ 𝐼 ( 𝑡 ) > 0 → β γ > 1 Si definisce il rapporto tra il tasso di infezione β e il tasso di recupero γ come numero di riproduzione di base 𝑅 0 e di conseguenza si definisce 𝑅 ( 𝑡 ) il numero di riproduzione effettivo al tempo t. Tal e valore permette di monitorare l’evoluzione di un’epidemia e l’efficacia degli interventi adottati per contenerla. Infatti se 𝑅 ( 𝑡 ) > 1 la derivata prima della funzione 𝐼 ( 𝑡 ) è positiva, pertanto 1 A contribution to the mathematical theory of epidemics , in Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, vol. 11 5, n. 772, 1927 - 08, pp. 700 – 721, DOI: 10.1098/rspa.1927.0118 tale funzione risulta essere crescente. Analogamente la curva d el numero degli infetti è decrescente per 𝑅 ( 𝑡 ) < 1 Semplice stima di 𝑹 ( 𝒕 ) Assumendo che 𝑆 ( 𝑡 ) = 𝑁 , si ottiene β dalla (2) β = 𝑑𝐼 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 + γ 𝐼 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 ) = 𝐼 ′ ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + γ ( 4 ) 𝐼 ′ ( 𝑡 ) rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di 𝐼 ( 𝑡 ) pertanto 𝐼 ′ ( 𝑡 ) = Δ 𝐼 Δ 𝑡 = 𝐼 ( 𝑡 ) − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝑡 − ( 𝑡 − 1 ) = 𝐼 ( 𝑡 ) − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) Sostituendo 𝐼 ′ ( 𝑡 ) nella (4) β = 𝐼 ′ ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + γ = 𝐼 ( 𝑡 ) − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + γ = 1 − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + γ che permette di calcolare l’indice 𝑅 𝑔 ( 𝑡 ) 𝑅 𝑔 ( 𝑡 ) = 1 − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝛾 𝛾 = 1 𝛾 ( 1 − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 ) ) + 1 ( 5 ) Poiché tale valore è spesso influenzato da eventi anomali (dovuti essenzialmente al numero fluttuante di test giornalieri) , si considera più rappresentativa della situazione al tempo t il valore medio dell’ultima settiman a 𝑅 ( 𝑡 ) = 1 7 ∑ 𝑅 𝑔 ( 𝑡 𝑗 ) 7 𝑗 = 1 = 1 7 ∑ [ 1 γ ( 1 − 𝐼 ( 𝑡 𝑗 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 𝑗 ) ) + 1 ] 7 𝑗 = 1 ( 6 ) È possibile migliorare il modello implementando il numero di soggetti vaccinati 𝑉 ( 𝑡 ) (non più suscettibili) in modo tale da non assumere che 𝑆 ( 𝑡 ) = 𝑁 , ma assumendo che 𝑆 ( 𝑡 ) = 𝑁 − 𝑉 ( 𝑡 ) si ottiene: 𝑅 𝑔𝑣 ( 𝑡 ) = ( 1 − 𝑉 ( 𝑡 ) 𝑁 ) [ 1 γ ( 1 − 𝐼 ( 𝑡 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 ) ) + 1 ] ( 7 ) Valore del quale si calcola la media mobile a 7gg 𝑅 𝑣 ( 𝑡 ) = 1 7 ∑ 𝑅 𝑔𝑣 ( 𝑡 𝑗 ) 7 𝑗 = 1 = 1 7 ∑ ( 1 − 𝑉 ( 𝑡 𝑗 ) 𝑁 ) [ 1 γ ( 1 − 𝐼 ( 𝑡 𝑗 − 1 ) 𝐼 ( 𝑡 𝑗 ) ) + 1 ] 7 𝑗 = 1 ✉️ Dennis Angemi