Komplexe Berechnung • L ̈ osung der Differentialgleichung: y ′ ( t ) + a y ( t ) = A sin( ω t − φ ) Homogene L ̈ osung: p ( λ ) = λ − a = 0 ⇒ λ = − a Homogene L ̈ osung: y p = C e − a t Partikul ̈ are L ̈ osung: y p = c e i θ e i ω t ⇒ ( i ω + a ) c e i θ e i ω t = A e i ω t e − i φ ⇒ ( i ω + a ) c = A e − i ( φ + θ ) Koeffizientenvergleich: a c = A cos( − φ − θ ) I ω c = A sin( − φ − θ ) II Mithilfe von I 2 + II 2 : c = A √ a 2 + ω 2 Mithilfe von I / II : θ = − arctan ( ω a ) − φ Partikul ̈ are L ̈ osung: y p = c sin( ω t + θ ) Gesamte L ̈ osung: Die L ̈ osung: y = C e − a t + c sin( ω t + θ )