Chương 3 Tích phân 3.1 Tích phân bất định Tính chất: 1) ( ∫ f ( x ) dx ) ′ = f ( x ) 2) d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx 3) ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C 4) ∫ d f ( x ) = f ( x ) + C 5) ∫ α f ( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx 6) ∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx Bảng thông dụng 1) ∫ 0 dx = C 2) ∫ 1 dx = ∫ dx = x + C 3) ∫ x α dx = x α + 1 α + 1 + C với α ̸ = − 1 4) ∫ 1 x dx = ln | x | + C 5) ∫ a x dx = a x ln a + C 6) ∫ e x dx = e x + C 7) ∫ sin xdx = − cos x + C 8) ∫ cos xdx = sin x + C 9) ∫ tan xdx = − ln | cos x | + C 10) ∫ cot xdx = ln | sin x | + C 11) ∫ 1 cos 2 x dx = tan x + C 12) ∫ 1 sin 2 x dx = − cot x + C 3.2 Tích phân xác định Tính chất: 1) 2) ∫ b a f ( x ) dx = ∫ c a f ( x ) dx + ∫ b c f ( x ) dx với a ≤ c ≤ b 3) Nếu f ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ [ a ; b ] thì ∫ b a f ( x ) dx ≥ 0 Định lí 1 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] thì với mọi nguyên hàm F ( x ) ∫ b a f ( x ) dx = F ( x ) ∣ ∣ b a = F ( b ) − F ( a ) 1 3.3 Tích phân suy rộng Nếu tồn tại lim A → + ∞ ∫ A a f ( x ) dx thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng của hàm số f ( x ) trong khoảng [ a ; + ∞ ) và kí hiệu là ∫ + ∞ a f ( x ) dx Khi lim A → + ∞ F ( A ) là hữu hạn thì ta viết lim A → + ∞ F ( A ) = F ( ∞ ) và có thể viết ∫ + ∞ a f ( x ) dx = F (+ ∞ ) − F ( a ) Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫ + ∞ 1 e − 2 x dx | Lời giải. Ta có ∫ e − 2 x dx = − 1 2 e − 2 x + C I = ∫ + ∞ 1 e − 2 x dx = ( − 1 2 e − 2 x ) ∣ ∣ ∣ + ∞ 1 = ( − 1 2 e − 2 (+ ∞ ) ) − ( − 1 2 e − 2 · 1 ) Ta cần tính lim A → + ∞ ( − 1 2 e − 2 A ) . Khi A → + ∞ thì − 2 A → − ∞ = ⇒ e − 2 A → 0 Vậy I = 1 2 e − 2 = 1 2 e 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫ + ∞ 0 e − x 2 dx (tích phân rất hay gặp trong lý thuyết xác suất). Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫ + ∞ e dx x ln 2 x | Lời giải. I = ∫ + ∞ e dx x ln 2 x = lim b → + ∞ ∫ b e dx x ln 2 x Trước hết, ta tìm nguyên hàm J = ∫ dx x ln 2 x . Ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt u = ln x = ⇒ du = 1 x dx . Khi đó J = ∫ 1 ln 2 x · ( 1 x dx ) = ∫ 1 u 2 du = − 1 u + C Thay u = ln x trở lại, ta được: J = − 1 ln x + C Bây giờ, ta cần tính ∫ b e dx x ln 2 x = ( − 1 ln x ) ∣ ∣ ∣ b e = ( − 1 ln b ) − ( − 1 ln e ) = − 1 ln b − ( − 1 1 ) = 1 − 1 ln b Cuối cùng, ta tính được I = lim b → + ∞ ( 1 − 1 ln b ) = 1 Ví dụ 4. Tính tích phân I = ∫ + ∞ 4 1 x 2 − 5 x + 6 dx | Lời giải. Ta có I = ∫ + ∞ 4 1 x 2 − 5 x + 6 dx = ∫ + ∞ 4 dx ( x − 3 )( x − 2 ) = ∫ + ∞ 4 ( 1 x − 3 − 1 x − 2 ) dx = lim b → + ∞ ∫ b 4 ( 1 x − 3 − 1 x − 2 ) dx Lại có ∫ b 4 ( 1 x − 3 − 1 x − 2 ) dx = ∫ b 4 dx x − 3 − ∫ b 4 dx x − 2 = ( ln | x − 3 | − ln | x − 2 | ) ∣ ∣ ∣ b 4 = ln ∣ ∣ ∣ ∣ x − 3 x − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ b 4 Do x ≥ 4 nên x − 3 , x − 2 luôn dương, khi đó ∫ b 4 ( 1 x − 3 − 1 x − 2 ) dx = ln x − 3 x − 2 ∣ ∣ ∣ b 4 = ln b − 3 b − 2 − ln 1 2 . Do đó, I = lim b → + ∞ ( ln b − 3 b − 2 − ln 1 2 ) = ln 1 − ln 1 2 = ln 2 2 Ví dụ 5. Tính tích phân I = ∫ + ∞ 0 e − 2 x cos xdx | Lời giải. Ta có I = ∫ + ∞ 0 e − 2 x cos xdx = lim b → + ∞ ∫ b 0 e − 2 x cos xdx Tiếp theo ta tìm nguyên hàm J = ∫ e − 2 x cos x dx . Ta sử dụng phương pháp từng phần. Đặt { u = cos x dv = e − 2 x dx = ⇒ du = − sin xdx v = − 1 2 e − 2 x . Khi đó J = uv − ∫ vdu = − 1 2 e − 2 x cos x − ∫ 1 2 e − 2 x sin xdx = − 1 2 e − 2 x cos x − 1 2 ∫ e − 2 x sin xdx Tìm K = ∫ e − 2 x sin x dx . Đặt { u = sin x dv = e − 2 x dx = ⇒ du = cos xdx v = − 1 2 e − 2 x . Khi đó K = uv − ∫ vdu = − 1 2 e − 2 x sin x + 1 2 ∫ e − 2 x cos xdx Do đó J = − 1 2 e − 2 x cos x − 1 2 ( − 1 2 e − 2 x sin x + 1 2 J ) + C = − 1 2 e − 2 x cos x + 1 4 e − 2 x sin x − 1 4 J + C = ⇒ J = e − 2 x 5 ( sin x − 2 cos x ) + C Bây giờ, ta tính ∫ b 0 e − 2 x cos x dx = [ e − 2 x 5 ( sin x − 2 cos x ) ] ∣ ∣ ∣ b 0 = ( e − 2 b 5 ( sin b − 2 cos b ) ) − ( e − 2 ( 0 ) 5 ( sin 0 − 2 cos 0 ) ) = ( e − 2 b 5 ( sin b − 2 cos b ) ) − ( e 0 5 ( 0 − 2 · 1 ) ) = e − 2 b ( sin b − 2 cos b ) 5 + 2 5 Cuối cùng, ta chỉ cần tính I = lim b → + ∞ ( e − 2 b ( sin b − 2 cos b ) 5 + 2 5 ) = lim b → + ∞ sin b − 2 cos b 5 e 2 b + 2 5 = 2 5 Ví dụ 6. Tính I = ∫ + ∞ 0 arctan x ( 1 + x 2 ) 3 2 dx | Lời giải. Đổi biến x = tan θ = ⇒ dx = 1 cos 2 θ d θ Khi x = 0 , tan θ = 0 = ⇒ θ = 0 . Khi x → + ∞ , tan θ → + ∞ = ⇒ θ → π 2 Ta có arctan x = arctan ( tan θ ) = θ 1 + x 2 = 1 + tan 2 θ = 1 + sin 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ + sin 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ ( 1 + x 2 ) 3 2 = ( 1 cos 2 θ ) 3 2 = 1 ( cos 2 θ ) 3 2 = 1 cos 3 θ (Vì θ ∈ [ 0 , π 2 ) nên cos θ ≥ 0 ). Bây giờ ta thay tất cả các biểu thức này vào tích phân I thì được I = ∫ π 2 0 θ ( 1 cos 3 θ ) · 1 cos 2 θ d θ = ∫ π 2 0 ( θ · cos 3 θ ) · ( 1 cos 2 θ ) d θ = ∫ π 2 0 θ cos θ d θ 3 Đặt { u = θ dv = cos θ d θ = ⇒ { du = d θ v = sin θ . Khi đó I = uv ∣ ∣ ∣ π 2 0 − ∫ π 2 0 vdu = ( θ sin θ ) ∣ ∣ ∣ π 2 0 − ∫ π 2 0 sin θ d θ = π 2 sin π 2 − ( − cos θ ) ∣ ∣ ∣ π 2 0 = π 2 − ( − cos ( π 2 )) + ( − cos 0 ) = π 2 − 1 3.4 Bài tập cuối chương Câu 1. Cho d dx ( f ( x 2 )) = 2021 x 3 và f ( 0 ) = 0 . Tính f ( 2 ) A 2021. B 2021 2 C 2021 3 D 2021 4 | Lời giải. Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 2. Cho f ( x ) = ∫ ( sin x + cos x ) e x dx , f ( 0 ) = 0 . Tính I = ∫ π 2 0 f ( x ) e x dx A I = 1 B I = 0 C I = − 1 D I = 2 | Lời giải. Gợi ý: ∫ [ f ( x ) + f ′ ( x )] e x dx = f ( x ) e x + C Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 3. Tính I = ∫ f ( x ) cot 2 xdx , biết F ( x ) = x − tan x là nguyên hàm của f ( x ) A I = x + C B I = x 2 2 + C C I = − x + C D I = − x 2 2 + C | Lời giải. Gợi ý: Tính được f ( x ) = − tan 2 x Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 4. Cho I = ∫ ln 2 0 e 3 x e x + 2 dx = a + b ln 2 + c ln 3 . Tính a + b + c A 7 2 B . C . D . | Lời giải. Gợi ý: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = e x = ⇒ dt = e x dx Khi đó I = ∫ 2 1 t 2 t + 2 dt Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 5. Cho I = ∫ π 0 x sin xdx 1 + cos 2 x = π a b với a , b ∈ Z + Tính log b a A 1 2 B 1. C 2. D 1 4 | Lời giải. Gợi ý: Sử dụng tính chất cận của tích phân: ∫ π 0 f ( x ) dx = ∫ π 0 f ( π − x ) dx Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 6. Cho I = ∫ cos xdx 5 cos x + 12 sin x + 13 Đặt t = tan x 2 khi đó I = a ln ( 1 + t 2 ) + b arctan t + c 2 t + 3 + d ln | 2 t + 3 | + C . Tính 1 5 a + b + c + d A 24. B 25. C 26. D 27. | Lời giải. 4 Gợi ý: Có t = tan x 2 = ⇒ dx = 2 dt 1 + t 2 ; sin x = 2 t 1 + t 2 ; cos x = 1 − t 2 1 + t 2 Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ 5