Proje_Kitapcigi.pdf -

Please enable JavaScript to view the full PDF

TÜBİTAK 2237-a BİLİMSEL EĞİTİM ETKİNLİKLERİ DESTEKLEME PROGRAMI BİLİMSEL SÜREÇLERDE MATEMATİKSEL MODELLEME VE UYGULAMALARI PROJE EĞİTİM ETKİNLİKLERİ KİTAPÇIĞI Proje Yürütücüsü: Doç.Dr.Osman Raşit IŞIK Proje Numarası: 1129B372000744 MUĞLA SITKI KOÇMAN ÜNİVERSİTESİ HAZİRAN 2021 Aktivitenin Adı: Elastik Lastik Sınıf: 9-11 Aktivitenin Amacı: 1. Geometri tahtası üzerinde alan oluşturmaya dair uzamsal becerileri geliştirme. 2. Çokgenleri tanıma. 3. Oluşturulan çokgenlerin alanlarını bulma. 4. Geometrik örüntü oluşturmaya dair uzamsal becerileri geliştirme. Araç-Gereçler: Geometri tahtası ve paket lastikler (tercihen farklı renklerde), 5x5 noktalı kâğıt, elastik lastik. Süre: 45 dakika. Aktivitenin sonunda öğrenci: 1. Tümevarım yöntemini kullanarak geometrik çıkarımlar yapar. 2. Çokgenleri tanır. 3. Çokgensel bölgelerin alanlarını hesaplar. 4. Yaptığı geometrik çıkarımları cebirsel olarak ifade eder. Aktivitenin yapılışı: 1. Öğrenciler, bir tanesi formatör öğrenci olmak üzere, 4’er kişilik gruplara ayrılır. Her gruba bir adet geometri tahtası ve yeterli miktarda paket lastiği verilir. 2. Paket lastikleriyle içinde çivi olmayan; sırasıyla 3, 4, 5,......, n çiviye geçen şekiller oluşturmaları ve aşağıdaki tabloyu (Tablo 1) doldurmaları istenir. Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları” Tablo 1 Lastiğin geçtiği çivi sayısı Alanı 3 4 5 6 7 8 9 ... N Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları” 3. Paket lastikleriyle içinde 1, 2, 3 çivi varken sırasıyla 3, 4, 5,...., n çiviye değen şekiller oluşturmaları ve Tablo 2’yi doldurmaları istenir. Buldukları şekilleri noktalı kağıda çizmeleri ve oluşabilecek şekillerin hepsinin alanlarının aynı olup olmadığını sorgulamaları istenir. Lastiğin Şeklin içinde 1 Şeklin içinde 2 Şeklin içinde 3 Şeklin içinde M çivi geçtiği çivi Alanı çivi varken çivi varken çivi varken .... varken oluşan alan sayısı oluşan alan oluşan alan oluşan alan 3 4 5 6 7 8 9 10 ... N Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları” Değerlendirme Soruları: 1.Şeklin içindeki çivi sayısı-oluşan alan grafiği çizilirse oluşan grafik nasıl bir grafiktir? 2.Çivi sayısı-alan grafiğinin eğimi, her bir x aralığında aynı olur mu? Neden? Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları” Doç.Dr. Erhan PI·ŞKI·N Dicle Üniversitesi [email protected] Matematiksel Modelleme Kainat¬n yasalar¬n¬n matematik diline çevrilmesine matematiksel modelleme diyebiliriz. Birçok du- ra¼ gan (statik) olay¬n modellenmesi için cebir yeterlidir. Fakat, kainattaki birçok olay dura¼ gan de¼ gildir. De¼ gişimler içerir; örne¼ gin bir cismin yere düşmesi, bir telin titreşimi, bulaş¬c¬hastal¬klar¬n yay¬lmas¬,.. vb. Dolay¬s¬yla burada türev kavram¬ ve türev içeren denklemler karş¬m¬z ç¬kar. Bir fonksiyonu ve onun sonlu mertebeden türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem denir. Şimdi baz¬…ziksel olaylar¬n modellenmesini elde edece¼ giz. 1. Serbest Düşme Kütlesi m olan bir cisim yüksek bir yerden aşa¼ g¬ do¼ gru b¬rak¬ls¬n (serbest düşme, yani ilk h¬z s¬f¬rd¬r) bu durumda cisme sadece yerçekimi kuvveti etki etmektedir. Newton’un ikinci kanununa göre kuvvet, kütle ile ivmenin çarp¬m¬na eşit oldu¼ gundan F = ma dy dv d2 y d¬r. Yolun zamana göre türevi h¬z¬ (v = dt ) ve h¬z¬n zamana göre türevi de ivmeyi (a = dt = dt2 ) verdi¼ ginden d2 y F =m (1) dt2 olur. Ayr¬ca cisme etki eden tek kuvvet yerçekimi kuvveti oldu¼ gundan (mg), (1) denklemi dv mg = m ; dt dv =g dt olur. I·ntegral al¬n¬rsa v = gt + c1 2 Erhan Pişkin bulunur. I·lk h¬z s¬f¬r oldu¼ gundan v (0) = 0 dan c1 = 0 olur. Böylece cismin t an¬ndaki h¬z¬ v = gt olarak bulunur. dy Şimdi yolu bulal¬m, v = dt den dy = gt; dt dy = gtdt integral al¬n¬rsa 1 2 y= gt + c2 2 olur. Taş¬n ilk b¬rak¬ld¬g¼¬nokta y (0) = 0 al¬n¬rsa c2 = 0 olaca¼ g¬ndan, cismin t an¬ndaki konumu 1 2 y (t) = gt 2 bulunur. Örnek. 10 gram a¼ g¬rl¬g¼¬ndaki bir bilye, 200 metre yükseklikten b¬rak¬l¬yor. Hava direncinin ol- mad¬g¼¬n¬varsayarsak bilye kaç saniye sonra yere düşer? (g = 9; 8 m=sn2 al¬n¬z) Çözüm. Al¬nan yol 1 2 y (t) = gt 2 oldu¼ gundan, y = 200 ise 1 200 = (9; 8) t2 ; 2 t ' 6; 3 saniye bulunur. 2. Gecikmeli Düşme Şimdi yukar¬daki cismin düşerken h¬z¬yla orant¬l¬olarak hava direncine maruz kald¬g¼¬n¬varsayal¬m. Bu durumda k orant¬sabiti olmak üzere, Newton’un ikinci kanunundan F = ma Matematiksel Modelleme 3 d¬r ve cisme etki eden kuvvetler dv F = mg kv ve a = dt olaca¼ g¬ndan dv mg kv = m ; dt dv kv + =g dt m birinci merteden lineer diferansiyel denklemi bulunur. Buradan integral çarpan¬ R k = e m dt kt = em oldu¼ gundan kt 0 kt ve m = ge m olur, integral al¬n¬rsa kt mg kt ve m = e m + c1 ; k mg kt v= + c1 e m k genel çözümü bulunur. Cismin ilk h¬z¬s¬f¬r oldu¼ gundan, v (0) = 0 dan mg c1 = k bulunur. Böylece cismin t an¬ndaki h¬z¬ mg kt v (t) = 1 e m k dy olur. Şimdi cismin t an¬ndaki konumunu bulal¬m, v = dt den dy mg kt = 1 e m ; dt k mg kt dy = 1 e m dt k integral al¬n¬rsa mg m kt y= t+ e m + c2 k k 4 Erhan Pişkin olur. y (0) = 0 başlang¬ç koşulundan m2 g c2 = k2 olaca¼ g¬ndan mg m kt m2 g y = t+ e m k k k2 2 mgt m g kt = 1 e m k k2 bulunur. Örnek. Kütlesi 10 kg olan bir cisim herhangi bir yükseklikten 20 m=sn başlang¬ç h¬z¬yla düşey olarak aşa¼ g¬at¬lmaktad¬r. Cismi, a¼ g¬rl¬k kuvvetinin ve h¬z¬yla orant¬l¬olarak direnç kuvvetinin (orant¬ katsay¬s¬k = 2) etkiledi¼ gini göz önünde bulundurarak h¬z¬n de¼ gişme yasas¬n¬bulunuz. Çözüm. F = ma dan dv 10g 2v = 10 ; dt dv v + =g dt 5 olur. Bu denklem çözülürse t v (t) = 5g + ce 5 olur. I·lk h¬z v (0) = 20 den c = (20 5g) e4 d¬r. Böylece t v (t) = 5g + (20 5g) e4 5 bulunur. 3. Nüfus Problemleri Bir bölgenin nüfusu do¼ gum ve ölümlerle de¼ gişir. E¼ ger D; t an¬nda do¼ • de ölenleri ganlar¬ ve O gösteriyorsa, nüfusun de¼ gişme h¬z¬o andaki toplam nüfus ile orant¬l¬olaca¼ g¬ndan dN • N = D O dt Matematiksel Modelleme 5 olur. E¼ • sabit ise D ger D ve O • = k al¬n¬rsa O dN = kN dt olur. Burada k nüfus art¬ş oran¬d¬r. Örnek. Toplam nüfusu 30000 olan bir bölgenin nüfus art¬ş oran¬%1; 2 oldu¼ guna göre, bölgenin 10 y¬l sonraki nüfusu kaç olur? Çözüm. N (0) = 30000; 12 3 k = %1; 2 = = ; 1000 250 N (10) =? Nüfus art¬ş¬n¬veren denklem dN = kN dt oldu¼ gundan dN = kdt; N N = c1 ekt 3 olur. N (0) = 30000 ve k = 250 den 3 N (t) = 30000e 250 t d¬r. Buradan 10 y¬l sonraki nüfus 3 N (10) = 30000e 25 ' 33824 bulunur. * Yukar¬daki nüfus problemi için elde etti¼ gimiz denklemde pek çok şey ihmal edildi, örne¼ gin do¼ gum ve ölüm oranlar¬ayn¬al¬nd¬. Farkl¬kabullerle daha farkl¬nüfus modelleri kurulabilir. Örne¼ gin do¼ gumun sabit ve ölümün nüfus ile orant¬l¬oldu¼ • = kN olaca¼ gu varsay¬l¬rsa O g¬ndan dN • N; = D O dt = (D kN ) N olur. Bu denklem düzenlenirse dN DN = kN 2 dt 6 Erhan Pişkin Bernoulli denklemi bulunur. Burada D ve k pozitif sabitler ise bu denkleme lojistik denklem de denir. 4. So¼ guma Problemleri Newton’un so¼ guma kanununa göre bir cismin s¬cakl¬g¼¬, ortam¬n s¬cakl¬g¼¬ile cismin s¬cakl¬g¼¬aras¬n- daki farkla orant¬l¬olarak de¼ gişti¼ ginden, cismin t an¬ndaki s¬cakl¬g¼¬y (t) ; ortam¬n s¬cakl¬g¼¬T ve orant¬ katsay¬s¬k olmak üzere dy = k (y T) dt diferansiyel denklemi elde edilir. Burada cismin s¬cakl¬g¼¬ortam¬n s¬cakl¬g¼¬ndan daha fazla (y > T ) ise cisim zamanla so¼ guyaca¼ g¬ndan azalma problemi olur. Dolay¬s¬yla k yaz¬ld¬. Örnek. S¬cakl¬g¼¬ 900 C olan bir bardak çay 200 C bir ortamda bulunuyor. 5 dakika sonra çay¬n s¬cakl¬g¼¬800 C ye indi¼ gine göre 20 dakika sonra çay¬n s¬cakl¬g¼¬kaç 0 C olur? Çözüm. Newton’un so¼ guma denkleminden dy = k (y T); dt dy = kdt; y T ln jy Tj = kt + c1 ; kt y = T + c2 e d¬r. Ortam¬n s¬cakl¬g¼¬T = 200 C; çay¬n başlang¬çtaki s¬cakl¬g¼¬ y (0) = 90 dan 90 = 20 + c2 e0 ; c2 = 70 olur. 5 dakika sonra çay¬n s¬cakl¬g¼¬ y (5) = 80 oldu¼ gundan 5k y (5) = 20 + 70e ; 5k 80 = 20 + 70e ; 1 6 k= ln 5 7 Matematiksel Modelleme 7 olur. Böylece herhangi bir t an¬ndaki çay¬n s¬cakl¬g¼¬ 20 + 70e ( )t 1 6 ln y (t) = 5 7 t 6 5 = 20 + 70: 7 olur. 20 dakika sonraki çay¬n s¬cakl¬g¼¬ 4 6 y (20) = 20 + 70: 7 ' 57; 7840 C olur. Örnek. Normal vücut s¬cakl¬g¼¬370 C olan bir kişi, arabas¬yla seyahat ederken kaza geçirip ölüyor. gunda s¬cakl¬g¼¬320 C ve bulunduktan bir saat sonraki vücut s¬cakl¬g¼¬300 C Bu kişinin cesedi bulundu¼ gu ortam¬n s¬cakl¬g¼¬ 200 C ise bu kişi bulundu¼ d¬r. Ayr¬ca cesedin bulundu¼ gundan kaç dakika önce ölmüştür? Çözüm. Newton’un so¼ guma denkleminden dy = k (y T); dt kt y = T + c2 e d¬r. Ortam¬n s¬cakl¬g¼¬ T = 200 C başlang¬çtaki vücut s¬cakl¬g¼¬ y (0) = 37; bulundu¼ gunda vücut s¬cakl¬g¼¬ y (t) = 32 ve bulunduktan bir saat sonraki vücut s¬cakl¬g¼¬ y (t + 1) = 30 d¬r. y (0) = 37 den 37 = 20 + c2 ) c2 = 17 d¬r. y (t) = 32 ve y (t + 1) = 30 dan kt 12 32 = 20 + 17e ) kt = ln ; 17 k(t+1) 10 30 = 20 + 17e ) k (t + 1) = ln 17 8 Erhan Pişkin d¬r. Bu denklemler oranlan¬rsa t ln 12 17 = ; t+1 ln 10 17 ln 12 17 t = 10 ln 12 ' 1; 91 saat bulunur. Yani kaza (1; 91) :60 ' 114 dakika önce olmuştur. 5. Kurtulma H¬z¬ Kütlesi m olan bir roket yeryüzünden yukar¬ do¼ gru bir v0 ilk h¬z¬ ile f¬rlat¬l¬yor. Hava direncini ihmal ederek sadece yerçekimi etkisi alt¬nda hareket eden roketin herhangi bir t an¬ndaki h¬z¬n¬ ve roketin bir daha yeryüzüne dönmemesi için v0 ilk h¬z¬n¬n ne olmas¬gerekti¼ gini bulal¬m. Newton’un evrensel çekim kuvvetinden; aralar¬ndaki uzakl¬k R; kütle çekim sabiti G ve kütleleri m ve M olan herhangi iki cisim aras¬ndaki çekim kuvvetinin mM F =G R2 oldu¼ gu biliniyor. Yerçekim ivmesi g; yerkürenin kütlesi M ve yar¬çap¬R ise 9 F = G mM = mM R2 ise mg = G 2 ; F = mg ; R gR2 G= M olur. Herhangi bir t an¬nda cismin yere olan uzakl¬g¼¬y ve h¬z¬v olsun. Bu durumda roket ile merkez aras¬ndaki uzakl¬k y + R (R dünyan¬n yar¬çap¬d¬r) olaca¼ g¬ndan, roketin hareket denklemi mM ma = G 2; (y + R) Matematiksel Modelleme 9 M a = G 2; (y + R) dv M = G 2 dt (y + R) gR2 olur. Yukar¬da G = M oldu¼ gundan dv gR2 = 2 dt (y + R) bulunur. Ayr¬ca dv dv dy dv = =v dt dy dt dy oldu¼ gundan dv gR2 v = 2; dy (y + R) gR2 dy vdv = 2 (y + R) birinci mertebeden de¼ gişkenlerine ayr¬labilen denklem bulunur. Bu denklemin çözümü v2 gR2 = +c 2 y+R d¬r. t = 0 da y = 0 (roket ile yer aras¬ndaki mesafe) ve v (0) = v0 oldu¼ gundan v02 c= gR 2 bulunur. Böylece cismin yerden uzaklaşma h¬z¬ v2 gR2 = +c 2 y+R gR2 v2 = + 0 gR; y+R 2 2gR2 v 2 = v02 2gR + y+R olur. Roketin tekrar yeryüzüne geri dönmemesi için h¬z¬n daima pozitif olmas¬gerekir. Yani v02 2gR 0; p v0 2gR olmal¬d¬r. Bu durumda ilk h¬z en az p v0 = 2gR olmal¬d¬r. Bu h¬za kurtulma h¬z¬da denir. g = 9; 8 m=sn ve R = 6; 3:106 m oldu¼ gundan kurtulma h¬z¬ 11100 m=sn 10 Erhan Pişkin olmal¬d¬r. 6. Kar¬ş¬m Problemleri Bir depo, içinde a gram tuz eritilmiş V0 litre tuzlu su içermektedir. Litresinde b gram tuz bulunan V1 litre tuzlu su saniyede s1 litre sabit h¬zla depoya ak¬yor ve iyice kar¬şt¬r¬l¬p homojen hale getirildikten sonra da saniyede s2 litre sabit h¬zla depodan ak¬t¬l¬yor. Herhangi bir t an¬nda depodaki tuz miktar¬n¬ bulal¬m. dy Herhangi bir t an¬nda depodaki tuz miktar¬y (t) olsun. y nin zamanla de¼ gişimi dt oldu¼ gundan dy = [depoya giren tuz miktar¬] [depodan ç¬kan tuz miktar¬] dt d¬r. Depoya saniyede giren tuz miktar¬ bs1 V1 d¬r. Depodan saniyede ç¬kan tuz miktar¬ için önce herhangi bir t an¬ndaki depoda bulunan tuzlu su hacmini hesaplayal¬m. Başlang¬çtaki tuzlu su V0 litre, depoya eklenen tuzlu su s1 t ve depodan dökülen tuzlu su s2 t oldu¼ gundan, depoda herhangi bir t an¬nda bulunan tuzlu su miktar¬ V0 + s1 t s2 t ve tuz miktar¬ y V0 + s1 t s2 t olaca¼ g¬ndan, depodan ç¬kan tuz m¬ktar¬ y :s2 V0 + s1 t s2 t olur. Böylece herhangi bir t an¬nda depodaki tuz miktar¬ dy bs1 y = :s2 dt V1 V0 + (s1 s2 ) t birinci merteden lineer diferansiyel denklemi ile hesaplan¬r. Örnek Bir depoda 20 gram¬ tuz olan 100 litre tuzlu su bulunmaktad¬r. Bu depoya saniyede 10 litre saf su ilave ediliyor ve oluşan kar¬ş¬m¬n saniyede 10 litresi depodan d¬şar¬ak¬t¬l¬yor. Herhangi bir t an¬nda depodaki tuz miktar¬n¬bulunuz. Çözüm. dy = [depoya giren tuz miktar¬] [depodan ç¬kan tuz miktar¬] dt Matematiksel Modelleme 11 oldu¼ gundan dy 10y = [0] ; dt 100 dy y = ; dt 10 dy dt = y 10 integral al¬n¬rsa t y = c1 e 10 olur. y (0) = 20 den t y = 20e 10 bulunur. E¼ ger bu zaman uzarsa depoya saf su eklenip, oluşan kar¬ş¬m döküldü¼ günden depodaki tuz miktar¬azalacakt¬r. E¼ ger t ! 1 olursa y!0 olur. Yani zaman sonsuz olursa tuz miktar¬s¬f¬r olur. 8. Dalga Denklemi L uzunlu¼ gundaki bir cisim (örne¼ gin; tel) xu koordinat sisteminde x = 0 ve x = L de gerilsin. Bu cismin sadece düşey do¼ grultuda hareket etti¼ gini varsayal¬m. Bu telin başlang¬ç an¬ndaki (t = 0 da) konumu u (x; 0) = f (x) ve başlang¬ç an¬ndaki h¬z¬ ut (x; 0) = g (x) 12 Erhan Pişkin olsun. Bu cismin küçük bir [x; x + x] aral¬g¼¬ndaki parças¬na etki eden kuvvetler: i) Gerilme kuvveti: T sin 2 T sin 1 d¬r. Burada küçük titreşimler için tan 1 sin 1 = p 1 + tan2 1 ' tan 1 = ux (x; t) ve sin 2 ' ux (x + x; t) oldu¼ gundan, gerilme kuvveti T sin 2 T sin 1 = T [ux (x + x; t) ux (x; t)] olur. ii) D¬ş kuvvet F (x; t) iii) Sürtünme kuvveti ( ut ) d¬r. Newton’un ikinci kanununa göre F = ma oldu¼ gundan T [ux (x + x; t) ux (x; t)] + x:F (x; t) xut = x utt yaz¬labilir. Burada sol taraftaki ifadeler: cisme etki eden kuvvetler, sa¼ g tarafta ise kütle: m = x ( : yo¼ gunluk) ve ivme (a = utt ) d¬r. Bu ifade x ile bölünür ve x ! 0 için limit al¬n¬rsa ux (x + x; t) ux (x; t) T: + F (x; t) ut = utt ; x 1 Burada @u @2u tan = @x = ux (e¼ g im), ve a = @t2 = utt (ivme) d¬r. Matematiksel Modelleme 13 utt = T uxx + F (x; t) ut ; utt c2 uxx + ut = F (x; t) denklemi bulunur. Burada ut (zay¬f) damping terim olarakta adland¬r¬l¬r, denkleme etki eden (sürtünme F (x;t) gibi) d¬ş kuvvettir. F (x; t) = cismi harekete geçiren d¬ştan etki eden kuvvet ve = 1 ; c2 = T d¬r. Burada elde edilen bir boyutlu dalga denklemi bir telin (ipin, şeritin) titreşim hareketidir. Örne¼ gin bir keman telinin hareketini tan¬mlar. Elde edilen bu dalga denkleminde …ziksel birimler vard¬r. Örne¼ gin; Kuvvetin birimi: Newton, kütlenin birimi: gram, yo¼ gun birimi: gr/cm3 ; ivmenin birimi: cm/sn2 şeklindedir. Matematik- gunlu¼ sel problemlerin çözümlerinde birimsiz veriler yani say¬lar tercih edilir. Bu nedenle birimler birbiri cinsinden yaz¬l¬p bunlar sabit say¬olarak al¬n¬r. Bu işleme birimsizleştirme (boyutsuzlaşt¬rma) denir. Elde edilen bir boyutlu homojen utt = c2 uxx dalga denklemi sezgisel olarak kolayca elde edilebilir. Şöyle ki gra…k konkav (uxx < 0) oldu¼ gunda ivme negatif (utt < 0), konveks (uxx > 0) oldu¼ gunda ivme pozitif (utt > 0) olaca¼ g¬ndan; uxx ile utt do¼ gru orant¬l¬olur. Böylece c2 orant¬sabiti için utt = c2 ; uxx utt = c2 uxx yaz¬labilir. Bir Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Çözümü 14 Erhan Pişkin Bu k¬s¬mda 8 > > u c2 uxx = 0; x 2 ( 1; 1) ; t > 0 > < tt u (x; 0) = f (x) ; x 2 ( 1; 1) (2) > > > : u (x; 0) = g (x) ; x 2 ( 1; 1) t başlang¬ç de¼ ger problemini çözece¼ giz. Sabit katsay¬l¬, homojen utt c2 uxx = 0 denkleminin çözümü Dt2 c2 Dx2 u = 0; (Dt cDx ) : (Dt + cDx ) u = 0 den u (x; t) = ' (x + ct) + (x ct) (3) olur. Burada '; 2 C 2 d¬r. (3) de t = 0 yaz¬l¬rsa u (x; 0) = ' (x) + (x) = f (x) (4) olur. (3) in t göre türevi al¬n¬r 0 ut (x; t) = c'0 (x + ct) c (x ct) ve t = 0 yaz¬l¬p 0 ut (x; 0) = c'0 (x) c (x) = g (x) ; 0 1 '0 (x) (x) = g (x) c integral al¬n¬rsa Zx 1 ' (x) (x) = g( )d + C (5) c x0 olur. Şimdi (4) ve (5) ün ortak çözümünden 8 > < ' (x) + (x) = f (x) Rx > : ' (x) (x) = 1c g ( ) d + C x0 den Zx 1 1 C ' (x) = f (x) + g( )d + (6) 2 2c 2 x0 ve Zx 1 1 C (x) = f (x) g( )d (7) 2 2c 2 x0 Matematiksel Modelleme 15 bulunur. (6) ten Z x+ct 1 1 C ' (x + ct) = f (x + ct) + g( )d + 2 2c 2 x0 ve (7) ten xZ ct 1 1 C (x ct) = f (x ct) g( )d 2 2c 2 x0 yaz¬l¬r. Böylece çözüm u (x; t) = ' (x + ct) + (x ct) 2 3 Z x+ct 1 1 C = 4 f (x + ct) + g( )d + 5 2 2c 2 x0 2 xZ ct 3 1 1 C + 4 f (x ct) g( )d 5 2 2c 2 x0 Z x+ct xZ ct 1 1 1 = [f (x + ct) + f (x ct) ] + g( )d g( )d ; 2 2c 2c x0 x0 Z x+ct 1 1 u (x; t) = [f (x + ct) + f (x ct) ] + g( )d (8) 2 2c x ct olur. Bu problemi 1750 de Frans¬z matematikçi Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) çözdü¼ günden bu formüle D’Alembert formülü (D’Alembert çözümü) denir. Kaynaklar [1] C.H. Edwards, D.E. Penney, Di¤erential Equations and Boundary Value Problems, Pearson Education, 2008. [1] E. Pişkin, Diferansiyel Denklemler, Seçkin Yay¬nc¬l¬k, 2019. [2] E. Pişkin, K¬smi Türevli Denklemler, Seçkin Yay¬nc¬l¬k, 2021. MATEMATİKSEL MODELLEMEYE GİRİŞ Doç. Dr. Hatice Kübra GÜLER SELEK-Bursa Uludağ Üniversitesi Örnek: Elinde karton plakalar olan bir şirket sahibi bu plakalardan üstü açık kutular yapmak istemektedir. En az maliyet ile içine en fazla malzeme koyulabilecek kutuyu yapması için levhaların köşelerinden ne kadarlık parçaları kesip çıkartmalıdır? Çözüm:(Durum: Kenar uzunlukları a ve b birim olan dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden bir miktar kesip çıkartılmak suretiyle üstü açık kutu yapılmak isteniyor. Ne kadar kesilmesi halinde en büyük hacimli kutu elde edilir?) V(x)=x.(a-2x).(b-2x) V(x)=abx-2ax2-2bx2+4x3 V’(x)=ab-4ax-4bx+12x2 V’(x)=0 için x1,2 değerleri bulunur. V(x1) ve V(x2) değerleri bulur ve yorumlanır. Matematiksel Modelleme Gerektiren Problemlere Örnekler: • En az malzeme kullanılarak en büyük hacimli kutu nasıl üretilir? (türev) • Elimizdeki malzemeyle en sağlam bina nasıl yapılır? (türev) • En sağlam bina için en ucuz malzeme nasıl temin edilir? (türev) • Çay bardağı, sürahi gibi kıvrımlı yapıların hacmi nasıl hesaplanır? (integral) • Meyve suyu şişeleri nasıl en çok sıvı alır ve en az yer kaplar?(integral) • Tıpta bir bakterinin ömrü nasıl grafiklenir?(integral) • Otomobil farlarının uzaklık ayarları nasıl yapılır?(integral) • Radyoaktif maddelerin kütle kaybı nasıl hesaplanır?(türev ve integral ) • Bir alana etki eden toplam sıvı basıncı nasıl hesaplanır? (türev ve integral ) • Radyo dalgalarındaki analog sinyaller dijitale nasıl dönüştürülür? (türev ve integral ) • Bir savaş sırasında fırlatılan füzenin havada giderken izlediği yörünge, hangi açıya giderse nereye düşeceği nasıl belirlenir?(diferansiyel denklem ) • Düşen bir yağmur damlasının hareketi nasıl belirlenir? (adidif. Denklem) • Ağırlıksız bir ipin ucundaki ufak bir ağırlıktan oluşan basit sarkaç ağırlık biraz yana çekilip bırakılırsa bundan sonra nasıl hareket eder?(2.dereceden dif. Denk) Model-Matematiksel Model-Modelleme-Matematiksel Modelleme Model, gerçek dünyadaki nesneleri açıklamak için kullanılan ilişki ve kuralları içeren kavramsal sistemlerdir (Lesh&Doerr, 2003).Eskiden matematiksel bir model, öğretimde kullanılan fiziksel bir nesne olarak tanımlanmaktaydı. Şimdilerde ise matematiksel kavramları ve dili kullanan bir sistem olarak tanımlanabilir (Stacey, 2015). Matematiksel model, bireylerin deneyimlerini anlamlandırmak için geliştirdikleri kavramsal sistemler olarak da tanımlanmaktadır. Modelleme öğrenciler için oldukça zor kabul edilir. Bunun nedenleri modelleme becerisinin diğer bilişsel yeterliklerle ilişkisinden kaynaklanmaktadır. Okuma, iletişim, problem çözme stratejisi geliştirme, muhakeme, işlem becerisi gibi beceriler ile de ilişkilidir (Blum &Ferri, 2009). Bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecine modelleme denir (Lesh ve Doerr, 2003).Modellemede amaç, yalnız model oluşturmak değil, modeller vasıtasıyla bir durumu veya olayı açıklayabilmektir (Bukova-Güzel,2019).Matematiksel modelleme, matematiksel temsiller aracılığıyla gerçek yaşam problemlerinin ifade edilmesi süreci olarak tanımlanabilir (Blum &Ferri, 2009). Matematik eğitimi literatüründe matematiksel modelleme için tek bir tanım veya teoriden henüz bahsedilememektedir. Matematiksel Modelleme Neden Önemlidir Matematiksel modelleme ile matematik öğrenciler için anlamlı bir hale gelir. Matematiksel modeller ve modelleme, yeni teknolojilerle bağlantılıdır ve çevremizdeki her yerdedir. Öğrencilerin hayata hazırlanması için modelleme becerisini geliştirmeleri gerekir. Ayrıca matematiksel modelleme, • Öğrencilerin dünyayı daha iyi anlamalarına yardımcı olur, • Matematik öğrenimini destekler (motivasyon, kavram oluşturma, anlama vs.), • Çeşitli matematiksel becerilerin ve uygun tutumların geliştirilmesine katkıda bulunur. • Matematiğin özellikleri ve gerçek yaşamdaki rolü için bir çerçeve çizer (Blum &Ferri, 2009). Analitik düşünebilen, gerçek hayattaki problemlere çözümler üretebilen ve teknoloji çağının gerektirdiği donanımlara sahip bireyler yetiştirmek için matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanılması gerektiği vurgulanmaktadır (Kertil, Çetinkaya, Erbaş ve Çakıroğlu, 2016). Modelleme Perspektifleri Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan incelemede farklı matematiksel modelleme yaklaşımları sınıflandırılmıştır. Bu sınıflandırma amaçlar bağlamında farklılık göstermekte ve modellemenin farklı teorik çerçevelerini çizmekle beraber sistematik bir analiz ile oluşturulmadığından perspektifleri net bir şekilde birbirinden ayrıma imkanı sunmamaktadır. Tablo 1. Modelleme Perspektifleri Diğer İlişkili olduğu Perspektif Temel Hedef perspektifler Önemli İsimler felsefe ile ilişkisi Gerçekçi veya otantik problemlere Burkhardt ilişkin yaratıcı çözümler Anglosakson Haines ve Pragmatik Crouch Gerçekçi/Uygulamalı ortaya koyma, pragmatizmi perspektif Modelleme gerçek yaşam ve uygulamalı Kaiser ve (Pollak, 1979) durumlarını matematik Schwarz modelleme ve modelleme Pollak yeterliklerini geliştirme Chevallard Teorik temelli hedefler Freudenthal’in Freudenthal Epistemolojik/Teorik gerçekleştirme bilimsel- Roma Garcia, Gascon, Modelleme (teorinin hümanistik epistemolojisi RuizHigueras ve gelişimine katkı perspektifi Bosch sağlama) Treffers Blomhoj ve HoffKjeldsen Eğitimsel ve konu ile ilgili Blum ve Leiss amaçlar Bütünleştirici Eğitimsel Modelleme Blum ve Niss perspektifler ( Öğrenme Öğretimsel Blum ve Niss, Öğrenme- Galbraith ve süreçlerini Modelleme ve 1991) ve öğretme Stillman tasarlama ve bilimsel- teorileri Kavramsal geliştirme Lingefjard hümanistik Modelleme perspektif Kavramları Maaß tanıma ve geliştirme Michelsen Niss Chamberlin Amerikan Iversen ve Konuyla ilgili problem Sistemsel Larson ve psikolojik çözme yaklaşıma hedefler (sözel tartışamları, Lesh ve Caylor Bağlamsal Modelleme öncü olan bilgi ve açık uçlu günlük okul işleme problem alıştırmaları, Lesh ve Doerr yaklaşımı çözme) psikolojik Pierce ve Stacey deneyler Sriraman Eğitimsel hedefler Barbosa Politik (yaşadığımız Sosyo-eleştirel Özgürlükçü sosyolojideki dünyayı D’Ambrosio Modelleme perspektif sosyo-eleştirel eleştirel bir yaklaşım Skovsmose yolla anlama vb.) Araştırma amaçları Çözüm Blum ve Leiss sürecinde meydana gelen BorromeoFerri Bilişsel Bilişsel Modelleme bilişsel psikoloji Piaget süreçlerin analiz edilmesi Skemp ve anlaşılması Psikolojik amaçlar Modelleri zihinsel imgeler/fiziksel resimler olarak kullanarak veya modellemeyi soyutlama ve genelleme gibi zihinsel süreçler ile ele alarak matematiksel düşünme süreçlerini geliştirme (Bukova-Güzel, 2019). Model Oluşturma Etkinliklerinin İlkeleri Model oluşturma etkinliklerinde amaç verilen problem durumunun çözümüne yönelik bir model geliştirmek ve bu modeli yeni bir problem durumu için uygulayabilmektir. Model oluşturma etkinlikleri, eğitimsel modelleme gibi öğrenme teorilerini diğer matematiksel modelleme perspektiflerine göre daha fazla vurgular. Öğrencilerin gerçek hayat durumları için matematiksel bir yorum yapabilmeleri, gerçek durumları matematikselleştirebilemeleri amaçlanır. Yani amaç sadece okulda değil, gerçek yaşamda da başarılı olmalarıdır. Lesh&Doerr (2003:56)’e göre model oluşturma ilkeleri • Model oluşturma • Gerçeklik • Öz değerlendirme • Yapıyı belgeleme • Modeli genelleme • Basitlik’tir. Model Oluşturma İlkesi: Verilen görev-problem Karmaşık bir gerçek yaşam durumunun çözümlenmesi için bir model geliştirilmesini mi gerektiriyor? Etkinlik model oluşturmaya zemin hazırlayacak nitelikte olmalıdır. Gerçeklik ilkesi: Öğrencilerin gerçek yaşamlarında karşılaşabilecekleri olayları ifade eder. Öğrenci için anlamlı bir problem durumu olmalıdır. Öz değerlendirme ilkesi: Öğrencilerin öğretmenlerinden yardım almadan çözümlerinin doğruluğunu, uygunluğunu, kullanışlılığını vb. değerlendirebilme becerisini ifade eder. Yapıyı belgeleme ilkesi: Probleme çözüm üretilirken öğrencilerin nasıl düşündüklerini ortaya çıkartmaya müsait mi? Modeli Genelleme ilkesi: Geliştirilen model benzer başka durumlar içinde genellenebiliyor mu? Basitlik ilkesi: Oluşturulan model öğrenciler benzer bir durumla karşılaştıklarında akıllarına gelir mi? Gerçekçi Matematik Eğitiminde Model Problem çözmede ilk olarak model, öğrencilere tanıdık gelen bir durumun modelidir. Genelleme ve formalleştirme süreci ile model sonuçta kendi üzerinde bir varlığa dönüşür ve matematiksel düşünme için bir model olarak kullanılır. Model terimi öğrencilerin kendisi tarafından oluşturulmuş durum ve matematiksel modellere atıfta bulunmaktadır. Streefland (1985)’e göre bir model bir problem durumundan oluşturulur ve geliştirilir. Burada karşımıza “model of” ve “model for” kavramları çıkar (Akt: Özdemir, 2008). Model of ve model forinformal ve formal bilgiyi bağlamak amacıyla köprü olarak kullanılır. Gravemeijer (2004) matematik eğitiminde 3 tür modellemeden bahsetmektedir. • Didaktik modelleme • Matematiksel modelleme • Ortaya çıkan modelleme Modelleme Etkinliklerinin Taşıması Gereken Özellikler • Açık ve anlaşılır olmalı • Mümkün olduğunca açık uçlu olmalı • Gerçek yaşamda anlamlı olmalı • Gerçek verilerden oluşmalı • Farklı çözüm süreçlerine imkan vermeli • Bazen bireysel bazen de işbirliği gerektirmeli • Gerektiğinde animasyon, resim vb. içermeli • Öğrencinin ilgisini çekmeli • Öğrencilerin düzeyine uygun olmalı (Bukova-Güzel, 2019 Bilişsel Modelleme Döngüsü Şekil 1. Bilimsel Model Döngüsü Not. Blum &Leiß 2006; Blum &Ferri (2009)’dan alınmıştır. Bilişsel modelleme yeterlikleri olarak da genellenebilir. (Bunlar modelleme yeterliklerinin hepsini içerek şekilde olduğu kabul edilebilir.) Problemi anlama: Öğrenci problemi kendi cümleleri ile ifade edilmeli ve problemde ne istendiğini yorumlayabilmelidir. Problemi sadeleştirme: Varsayımlar oluşturmalı. Matematikleştirme: Varsayımlara bağlı olarak problemdeki değişkenler matematiksel olarak ifade edilmeli. Çözüme götürecek modeller oluşturulmalı Matematiksel olarak çalışma: Oluşturulan modeller çözümlenmeli Yorumlama: Elde edilen sonuçlar yorumlanmalı ve problem için çözümler ortaya konmalı Doğrulama: Varsayımların doğruluğu, varsayıma dayalı oluşturulan model ve modelin çözümünün doğruluğu tartışılmalı Dev’in Ayakkabıları Problemi “Filipinler'deki bir spor merkezinde, FlorentinoAnonuevoJr. bir çift ayakkabıyı parlatıyor. Bu ayakkabılar, Guinness Rekorlar Kitabı'na göre 2,37 m genişliğinde ve 5,29 m uzunluğuyla dünyanın en büyük rekoruna sahiptir. Bu ayakkabıları giyebilecek bir dev yaklaşık olarak ne kadar uzun olabilir? Çözümünüzü açıklayın” (Blum &Ferri, 2009). Bu görev matematiksel modelleme olarak adlandırılabilir. Ortaokul düzeyine uygun bir problemdir. Gerçek hayat ile matematik dünya arasındaki dönüşümü gerektirir. Bu problemde yaşanabilecek zorluklar: Yapılandırma/anlama sorunu. Öğrenciler bağlamı anlamlandıramayabilir ya da göz ardı edebilir. Bu, iyi bilinen yüzeysel çözüm stratejisinin bir örneğidir "Bağlamı göz ardı edin, metinden tüm sayıları çıkarın ve bunlarla tanıdık bir şemaya göre hesaplayın", sınıflarda sözel problemlerini çözmek için genellikle oldukça başarılıdır. Diğer bir zorluk, “doğrulama”olabilir. Çoğunlukla, öğrenciler görev çözümlerinin makul ve uygun olup olmadığını hiç kontrol etmezler, öğretmen çözümlerin doğruluğundan tamamen sorumlu gibi görünür. Doldurma problemi “Bayan Stone, Lüksemburg sınırına 20 km uzaklıkta Trier'de yaşıyor. VW Golf'unu doldurmak için, sınırın hemen arkasında bir benzin istasyonunun bulunduğu Lüksemburg'a gidiyor. Orada bir litre benzine 1.10 Euro, Trier'de ise 1.35 Euro ödemeniz gerekiyor. Bayan Stone'un Lüksemburg'a gitmesine değer mi? Cevabınız için sebepler sunun.” (Blum &Ferri, 2009). Bu problemde deyapılandırılması gereken bir model, bir durum var. Durum yapılandırılıp, daha basit ve net ifade edildikten sonra durum modellenebilir. Örneğin problem metnindeki değer mi? Sorusunda değmesi için kriterleri belirlemek gerekiyor. Bu standart bir modelde maliyetin en aza indirilmesini ifade etmektedir. Burada gerçek, matematiksel bir modele dönüşür ve bir denklemi içerir. Burada hesaplar yapmak, denklem çözmek yorumlanarak gerçek hayat için matematiksel sonuçlar verir ve Bayan Stone’a ne yapacağı bilgisini sunar. Ve hangi faktörleri göz önünde bulundurduğunuza bağlı olarak vereceğiniz cevaplar farklılaşabilir. Bu problemde yaşanabilecek zorluk: Basitleştirme: “Golf'ün ne tükettiğini bilmediğiniz için bunun değerli olup olmadığını bilemezsiniz. Ayrıca ne kadar doldurmak istediğini de bilmiyorsunuz." Şeklinde olan öğrenci düşünceleri problemin basitleştirilmesi basamağında zorluk kaynağı olabilir. Öğrenci uygun bir durum modeli oluşturabilir, ancak varsayımlarda bulunamaz. Bağlamsal Modelleme Döngüsü Şekil 2. Bağlamsal Modelleme Döngüsü Not. Lesh&Doerr (2003)’den alınmıştır. Bağlamsal modelleme döngüsünün dört adım şunları içerir: (1) gerçek (veya hayali) dünyadan model dünyasına bir eşleme kuran açıklama-tanımlama, (2) orijinal problem çözme durumuyla ilgili tahminler veya eylemler oluşturmak için modelin düzenlenmesi, (3) ilgili sonuçları gerçek (veya hayali) dünyaya geri taşıyan tahmin ve (4) eylemlerin ve tahminin yararlılığına ilişkin doğrulama 1. Problemi tanımlama: gerçek dünya ile tasarlanan model arasında bir eşleşme yapma 2. Düzenleme: problem durumuna çözüm bulmaya yönelik gerekli düzenlemeler yapma 3. Tahmin etme: bulunan sonuçları gerçek durumla karşılaştırma 4. Doğrulama: sonuçları gerçek durumla karşılaştırarak doğrulamak (Dede, Doğan, Aslan Tutak, 2020) Matematik Okuryazarlığında Modelleme Döngüsü Şekil 3. Matematik okuryazarlığında modelleme döngüsü Not. OECD (2013). Matematik okuryazarlığında da modelleme sürecinin üç bileşeni, formüle etme, kullanma/yürütme ve yorumlama ve değerlendirmedir. Diğer döngülerde olduğu gibi gerçek dünyadaki bir problemi matematik dünyaya taşıyıp gerekli matematiksel işlemleri yapıp elde edilen sonucun tekrar gerçek hayata yorumlanması söz konusudur. Günlük Yaşam Problemlerinde Matematiksel Modellemenin Önemi Matematik Nedir ? Matematiksel düşünceleri mantıklı bir şekilde açıklamak ve paylaşmak için doğru dili kullanmaktır. Gerçek hayat problemlerini ifade etmek için matematik olmazsa olmazımızdır. Matematik tarihine baktığımızda, günlük hayatımızda önemli yeri olan matematiğin ilk insanlarla birlikte ortaya çıktığı söylenebilir. Değiş tokuş gereksinmesi, ticaret yapma isteği, toprak ölçme sorunları insanları temel matematik kurallarını kullanmaya yöneltmiştir. Güncel hayatımızda çoğu zaman matematiğin işe yaramayacağını düşünürüz fakat hayatımızdaki matematik bizimle birlikte doğar. 1.1.Matematiksel model nedir? Matematiksel model, bir gerçeğe ait özellikleri, kendisine en yakın biçimde matematik dilini kullanarak taklit eden bir modeldir. İyi tanımlanmış modeller sayesinde gerçek yaşam problemlerini çözebiliriz. İlknur Koca’nın çalıştığı bazı matematiksel modeller: • Kişilerarası ilişkileri konu alan model (Doktora tezi) • Nuclear family model (çekirdek aile modeli) • H1N1 modeli • Rubella, Ebola, Hepatit C modelleri • Predator-Prey model • Glucose-insülin model… Mühendislik (bilgisayar bilimi, yapay zeka, lineer programlama) , doğa bilimleri (yer bilimi, meteoroloji, su altı kaynakları, fizik , biyoloji, tür modelleri ve av-avcı modeli) ve sosyal bilimlerde (finans ve ekonomi, sosyoloji, kişilerarası ilişkiler) eldeki problemin özelliklerini açıklamaya yardımcı olmak üzere matematiksel modeller geliştirilmiştir. Bu modellerin doğasında var olan karmaşık dinamikleri keşfetmek için dikkatli bir matematiksel çalışma yapmak önem arz etmektedir. Örneğin hastaların ilaç kullanırken aldıkları doz oranlarının belirlenmesi ele alınırken çok dikkat edilmesi gereken bir matematiksel modeldir. İlaçlar hekimlerin kullanmak istedikleri doza uygun hazırlanmamış olabilir. Bu durumda hastanın alması gereken ilaç dozu, doz hesaplama yöntemi ile hesaplanır. Doğru dozu hesaplama önemlidir. İlaç az bir dozda verilirse hastalık üzerine etki etmez. Fazla dozda verilirse ilaç zehirlenmesine neden olabilir. İlaç dozu hesaplamada; orantı kurma formülü hem sıvı hem de katı ilaçların doz hesabında kullanılır. İlaç dozları orantı kurularak ve aşağıdaki formülden yaralanılarak hesaplanır: İstenen doz × Eldeki miktar İstenen miktar (x) = Eldeki doz Örnek: hastaya Alfasilin cap. 4x500 mg P. O. verilmesi istenmektedir. Elinizde 250 mg’lık Alfasilin kapsülleri var. Hastaya verilecek ilaç dozunu hesaplayınız. 500 mg ×1 cap x= = 2 kapsül 250 mg Son birkaç yıldır kontrollü ilaç salım dozaj formlarındaki gelişmeler ile birlikte, ilaç salım alanında önemli medikal ilerlemeler sağlanmıştır (Erbaş, 2016). Bu amaçla, bu yaklaşım, matematiksel modelleme kullanımının önemini ortaya koymakta daha da önemlisi, salım sistemleri gerçekleştirilmeden önce salım kinetiği tahmini yapılabilmektedir Roger Bacon (1212-1292) matematiksel modellemenin önemini şu sözlerle vurgulamıştır. «Matematik olmadan, bilim ne anlaşılabilir, ne açıklanabilir, ne öğretilebilir ne de öğrenilebilir.» Gerçek olayları açıklamada, modelleme bir temel teşkil etmektedir. Bir önce oluşturulan modellerin yeniden düzenlenmesiyle (eğer mümkün ise) her biri bir öncesinden daha faydalı bir modeller dizisi elde edilebilir. Yani herhangi bir gerçek olay veya kavram için tek bir matematiksel model yoktur.Örneğin fizikçiler, ışığı bazen bir dalga olarak bazen de bir parçacık olarak düşünürler. Her ikisi de özel matematik modellerdir. Matematik derslerinde yaygın olarak kullanılan işçi, havuz, yaş, faiz, karışım vb. türden problemler öğrencilerde matematiğin gerçek hayatta uygulama becerilerini geliştirmekten uzaktır. Problem çözme; verilenlerin, ulaşılması gereken sonucun ve sonuca ulaşmak için kullanılması gereken işlemlerin belirli olduğu durumlardan farklıdır.Bu tür problemler öğrencilerde her problemin çabucak çözülebilir olması gerektiğini düşünme, çözüm için problem durumuna değil problem metnindeki anahtar kelimelere odaklanma, veya daha önce çözdükleri benzer problemlerdeki çözüm kalıplarını sorgulamadan uygulama gibi bazı kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Günlük yaşamdaki bir probleme matematiği kullanarak çözüm üreten öğrenciler, matematiğin günlük hayattaki uygulamalarını görürler ve matematiğe karşı olumlu tutum geliştirirler. Böylece matematiği öğrenmeye karşı istek ve motivasyonları artmaktadır GÜNLÜK HAYATTAN BAZI MATEMATİKSEL MODELLER • Banka Soygunu • Gerçekten Kanser Mi Değil Mi? • Kim 500 Milyar İster? • Diş Hekimi Randevuları • Antik Çağ Kalıntıları • Ayak İzi Problemi • Benzinin İyisi Hangisi? • Acile Gelen Yüksek Tansiyon Hastası • Boru Hattı Güzergâhını Belirlemek Banka Soygunu Modeli p, q ve r aşağıdaki şekilde tanımlanmış önermeler olsun. • p : Ahmet suçludur. • q : Burak suçludur. • r : Cem suçludur. • Bu önermeleri kullanarak sorgu tutanaklarındaki bilgiler aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. • (1) p’ (q⋀r ) [ Eğer Ahmet suçsuzsa, hem Burak hem Cem suçludur. ] • (2) q ’ v r’ [ Ya Burak ya da Cem suçsuzdur. ] • (3) p ’ v q [ Ya Ahmet suçsuzdur, ya Burak suçludur. ] Doğru önerme 1, yanlış önerme 0 ile ifade edilerek, (1), (2) ve (3) bileşik önermelerinin doğruluk tablosu şu şekilde elde edilir. Tablo 2. (1), (2) ve (3) bileşik önermelerinin doğruluk tablosu p q r P q r qr p  q  r p q (q  r) 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Doğruluk tablosuna göre yukarıda verilen üç ifadenin de doğru (1) olduğu ikinci satır sonucu verir. • Bu durumda p :1, q :1 ve r :0 olarak bulunur. • Sonuç olarak Ahmet ve Burak suçlu, Cem suçsuzdur (Erbaş, 2016). Acile Gelen Yüksek Tansiyon Hastası: Şekil 4. Tansiyon Değerleri Örnek çözüm yaklaşımı Tablodaki “tansiyon ölçüm zamanı (saat)”, hastaneye ilk gelişinden itibaren geçen zaman (dakika cinsinden) ile değiştirilerek oluşturulan yeni tablo verileri grafiksel ortama aktardığımızda, hastanın tansiyonunun (hem büyük tansiyon hem de küçük tansiyon) hastanede bulunduğu sürede zaman içinde düştüğünü; fakat düşüş oranının zamanla azaldığını (azalarak azalmak); düşüş oranının en fazla olduğu saatlerin hastaneye geldiği ilk 5 dakikalık zaman dilimindeyken, en az düşüşün olduğu saatlerin ise son bir saatlik zaman diliminde olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Hastayı rahatsız eden yüksek tansiyon belirtileri, hastanın büyük tansiyonunun 140, küçük tansiyonunun ise 85 mmHg’nin altına düştüğünde kaybolacaktır. Verilen tabloya baktığımızda hastanın tansiyonu bu değerlere 21:40 ve 22:19 saatleri arasındaki 39 dakikalık bir zaman dilimi içinde ulaşmış olmalıdır. Büyük ve küçük tansiyon için, bu aralıktaki (dakikalık) ortalama değişimlere bakacak olursak; Büyük tansiyondaki ortalama değişim (mmHg): (129-154)/39≈-0,64 Küçük tansiyondaki ortalama değişim (mmHg): (84-88)/39≈-0,10 Buradaki negatif işaret tansiyondaki düşüşü işaret etmektedir. Böylece büyük tansiyonun 140 mmHg ye ulaşması için geçen tahmini süre (140-154)/0,64≈22 dakika iken küçük tansiyonun 85 mmHg ye ulaşması için geçen tahmini süre 85-88/-0,10 ≈30 dakikadır. Böylece hastayı rahatsız eden yüksek tansiyon belirtileri tahminen saat 22:10 da (yani 21:40 tan 30 dakika sonra ) kaybolacaktır. Grafiği incelediğimizde hastanın tansiyondaki düşüşün neredeyse durmak üzere olduğu ve son ölçüm değerlerinin neredeyse normal tansiyona (120/80) yaklaştığını görebiliriz. Son bir saatte yaklaşık 4mmHg’lık bir düşüş olduğunu gözüne alırsak, son tansiyon ölçümünden en fazla bir saat sonrasında (eğer tansiyondaki düşüş miktarı son bir saatteki düşüş miktarıyla aynı kalsa bile)hastanın tansiyonu normale ulaşacağından, hasta saat 00:20’de taburcu edilebilir. Silahlanma yarışı (iki ülke arası) A ve B ülkeleri barış istemektedir. Saldırgan olmayacaklar fakat kendilerine yönelik bir saldırı durumunda da sessiz kalmayacaklardır. Böylece kendilerini koruduklarını düşünmektedirler. Bu yüzden ülkelerin orduları vardır ve silah biriktirmeleri ve geliştirmeleri tamamen savunma amaçlıdır. Ayrıca A ülkesinin silahlanma hareketleri B ülkesinin gözünden kaçmaz. A ülkesinin liderleri sürekli olarak barışçıl amaçlı olduklarını söylemelerine rağmen, bu ülkenin silahları B ülkesini yok etmek içinde kullanılabilir. Bu nedenle B ülkesi de sağlam bir savunma için silahlanır. Problemimiz anlattığımız senaryonun olası sonuçlarını ve bu şekilde davranan iki ülkenin gelecekteki durumunu tahmin etmek için , analiz etmektir (Özalp. 2015). Buna göre ülkelerin standart bir para birimine göre yıllık silahlanma harcamaları sırası ile x ve y olsun. Bu durumda x≥0 ve y≥0 olur. Her bir ülkenin, harcamalarını diğer ülkenin o anda var olan harcamaları ile orantılı olarak değiştiğini varsayalım. O halde matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz, a ve b pozitif sabitler olmak üzere, 𝑑𝑦 = 𝑎𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑏𝑥 𝑑𝑡 şeklindedir. İki ülkenin harcamaları da x (0) = x0, y (0) = y0. Çözüm: x (T) ve y (t) ülkeleri temsil etmek üzere x (t) ve y (t) arasındaki ilişkiyi bulmak için 𝑑𝑦 𝑏𝑥 = 𝑑𝑥 𝑎𝑥 değişkenlerine ayrılabilir denklemi elde edilir. Uygun düzenlemeler yapılır, başlangıç koşullarına göre denklem çözülürse lim 𝑥 (𝑡) = ∞ = lim 𝑦(𝑡) 𝑡→∞ 𝑡→∞ bulunur. Bu sonuca göre şu yorumu yapmamız mümkündür; Hiçbir ülke sonsuz kaynağa sahip olamayacağına göre, yukarıda elde edilen sonsuz harcama tahmini; «harcamaların sonlu bir limiti olmak zorundadır» düşüncesiyle çelişkilidir. Eğer harcamalar bütçenin oldukça fazla bir kısmını götürmeye başlarsa, ülke içinde de huzursuzluk başlar. Bu nedenle, muhtemelen silahlanma yarışı bir denge noktasına gelmek zorunda kalır. Kuşkusuz, silahlanma sınırsız artarsa, savaş çıkması olası duruma gelir. Geliştirilmiş Model Şimdi bahsedeceğimiz model orijinal olarak 1930’lu yıllarda İngiliz bilim adamı L. F. Richardson tarafından çalışılmıştır. Silahlanmadaki aşırı harcamanın ülke ekonomisinden büyük bir çekim oluşturacağı, böylece gerçek harcama düzeyinin harcama oranını bastıracağını kabul ederek model geliştirilir. Buna göre model; 𝑑𝑥 = 𝑎𝑦 − 𝑚𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑏𝑥 − 𝑛𝑦, (𝑎, 𝑏, 𝑛, 𝑚 > 0) 𝑑𝑡 denklemleri geçerli olacaktır. Richardson, ülkeler arasındaki dayanışma miktarının ölçüsü olarak uluslararası ticaret endekslerinin kullanılmasını önermiştir. Böylece, net düşmanlık miktarı uluslararası ticaret ve silah harcamaları arasındaki fark olacaktır. Eğer bu fark pozitif ise bu durumda, fark net olarak dayanışma olarak algılanılabilinir. Bu durum, x<0 ve y<0 durumlarına da anlam katmış olacaktır. Çıkan sonuçlara göre yapılabilecek yorumlar şu şekildedir: Sonsuz silahlanma: x→∞, y→∞, Karşılıklı silahlanma: x→0, y→0 Dengeli silahlanma yarışı: (x, y)→ (x*, y*). Bazı Epidemik Modellerin matematiksel İncelemesi Salgın hastalıklar yüzyıllar boyunca insanlığın en büyük düşmanı olmuştur. Hastalığa yol açan bir enfeksiyonun diğer canlılara doğrudan veya dolaylı yolla geçmesi ile oluşan bulaşıcı hastalıkların kişiden kişiye yayılarak çok sayıda canlıda hastalık oluşturması, salgın hastalık olarak tanımlanır [1]. Salgın hastalık konu olduğunda duyduğumuz epidemi ise, geniş bir coğrafi alanda meydana gelen ve nüfusun son derece yüksek bir oranını etkileyen bir hastalık salgını olarak tanımlanır. Epidemi, bir hastalığın aktif olarak yayıldığı bir olaydır. Pandemi çok fazla alanı kapsayan yani tüm ülkeyi veya tüm dünyayı etkileyen bir hastalığı tanımlamak için kullanılır. Tıpkı şuan yaşadığımız Coronavirüs (Covid-19) tablosu gibi. Şekil 5. Epidemi ve Pandeminin Farkı MÖ 430’da Mora Savaşı’nda ortaya çıkan bilinen eski salgın ile beraber, salgın hastalıklar insanlık tarihi boyunca medeniyetleri etkiledi. 1- Koronavirüs veya COVID-19 (2019 – günümüz) 2- Ebola (2014-2016) 3- Domuz Gribi veya H1N1 (2009-2010) 4- SARS (2002-2003) 5- HIV / AIDS (1981 – günümüz) 6- Hong Kong Gribi veya H3N2 (1968-1970) 7- İspanyol Gribi veya H1N1 (1918-1919) 8- Kolera (1817-1823) 9- Çiçek hastalığı (15. – 17. yüzyıllar) 10- Kara Ölüm (1347-1351) 11- Jüstinyen Vebası (MS 541-750) Salgın hastalıkların bulaşması, yayılması veya sona erme durumları matematiksel olarak geliştirilen ve günümüzde nümerik olarak çözülebilen diferansiyel denklemlerle modellenmektedir. Geliştirilen bu modeller salgın hastalıkların yapısını temsil etmekle birlikte yerine göre seçilen uygun parametrelerle salgının seyri tahmin edilebilmektedir. Bazı endemik (yerel salgın), epidemik (bölgesel salgın) ve pandemik (küresel salgın) model örnekleri SI Modeli SI modeli en basit bulaşıcı hastalık modelidir. Bu modelde bireyleri iki değişkene göre ayırabiliriz : • S (Susceptible) : Hastalık bulaşmasına duyarlı birey, • I (Infective) : Hastalık bulaşmış/taşıyıcı birey SI MODELİ 𝑑𝑆 𝐵 = − 𝑆𝐼 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐼 𝐵 = 𝑆𝐼 𝑑𝑡 𝑁 SIS Modeli SIS modelinde taşıyıcı iyileşerek tekrar duyarlı hale gelir. Bu sebeple N= S + I olacak şekilde bir N nüfusu sabit tutulur. SIS modelinde kullanılan değişkenler: S (Susceptible): Hastalık bulaşmasına duyarlı birey I (Infwctive): Hastalık bulaşmış/ taşıyıcı birey SIS modelinde kullanılan parametreler: ꞵ: Hastalık bulaş kat sayısı γ:Enfekte olmuş bireyin iyileşme oranı μ:Kişi başına düşen ölüm oranıdır. Bu durumda SIS modeli aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: 𝑑𝑆 𝐵 = − 𝑆𝐼 + 𝛾𝐼 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐼 𝐵 = 𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 𝑑𝑡 𝑁 SIR MODEL SIR modelinde SIS modelinden farklı olarak; nüfusu üç değişkene göre ayrılır: S (Susceptible): Hastalık bulaşmasına duyarlı birey, I (Infective): Hastalık bulaşmış/taşıyıcı birey, R (Recovered): Hastalıktan etkilenmeyen/iyileşmiş birey Modelde kullanılan parametreler: β∶ Temas sayısı ve bulaşıcılık düzeyini içeren bulaşma hızı, γ∶ İyileşme hızı. Burada, etkilenmeyen sınıfındaki bireyler ne taşıyıcı ne de hastalığa duyarlı bireylerdir. Mesela aşı vurulmuş olabilir veya hastalığı geçirip iyileşmiş ve bağışıklık kazanmış olabilir, hatta diğer nüfustan soyutlanmış (ölmüş) olabilirler. N= S+ I + R olacak şekilde N nüfus olsun. Bu durumda SIR modeli aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. 𝑑𝐼 𝐵 = 𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝑅 = 𝛾𝐼 𝑑𝑡 Yukarıda bahsettiğimiz modellerden ayrı SIR, SEIR, SEAIR, SEIQR … gibi matematiksel modeller vardır. Temel Üreme Sayısı Temel üreme sayısı (R0: Basic reproduction number) olarak da bilinmekte olup, klinik anlamda enfeksiyon epidemiyolojisinde kullanılan bir terimdir.R0 sayısı genel olarak bir rakam veya rakamsal olarak belirtilir. Temel üreme katsayısı bir kişinin virüsü kaptıktan sonraki bulaştırıcılık süresi, hastalığa yakalanma riski olan ile hasta kişi teması sonrası bulaşma olasılığı, temas yoğunluğu ve süresine bağlıdır. Tek vakadan kaynaklanan yeni vakaların sayısı; hastalığın bulaşma katsayısı. Açıklama: Bir bölgede bir hastalık için R0 değeri 3 ise bir kişi hastalığı 3 kişiye bulaştırıyor demektir (Sağlık Bakanlığı, 2020). Sağlık Bakanı Fahrettin Koca, 13 Mayıs'ta düzenlediği basın toplantısında Türkiye'de R0 değerinin 1,56 olduğunu söyledi. Fahrettin Koca, BBC Türkçe'nin sorusu üzerine, "R0 değerinin İstanbul'da bir bölgede 16'ya kadar çıktığını biliyoruz ama il bazında baktığımızda 4,5 ila 5'i gördüğümüz dönemler oldu. Şu anda Türkiye genelinde 1,56 olduğunu söyleyebilirim" dedi. R0, tek bir sayı gibi görünse de hesaplanmasında enfeksiyonun bulaş yolu, kuluçka süresi, toplumun kazanmış olduğu bağışıklık, hasta ve sağlam kişiler arasında ortamın özellikleri, temas riski, yoğunluğu ve süresi gibi birçok faktöre göre değişebilir. Yani R0 birçok faktörün epidemiyolojik özeti gibi düşünülebilir. Peki R0’ın rakamsal değeri ne anlama gelmektedir. R0>1 ise; hasta bir kişinin hastalığı birden fazla kişiye bulaştırabileceği ve zamanla hastalığın toplumda giderek yayılacağı ön görülür. R0<1 ise; her olgu hastalığı başka bir kişiye oransal olarak bulaştıramaz demektir ve hastalık giderek kendini sınırlar ve görülen olgular zamanla kesilir. R0 değeri bir hastalığın toplumda sadece hasta bir kişiden kaç kişiye yayıldığını gösterir. R0 değeri ile hastalığın ciddiyeti arasında da bir ilişki yoktur. Yani R0 değeri ile bir hastalığın toplumda ne kadar süratle yayıldığını anlayamaz. Örneğin; yavaş kuluçka süreli bir hastalıkta veya aşikar klinik öncesi uzun gizli enfeksiyon süresi olan