TÜBİTAK 2237 - a BİLİMSEL EĞİTİM ETKİNLİKLERİ DESTEKLEME PROGRAMI BİLİMSEL SÜREÇLERDE MATEMATİKSEL MODELLEME VE UYGULAMALARI PROJE EĞİTİM ETKİNLİK LERİ KİTAPÇIĞI Proje Yürütücüsü: Doç.Dr.Osman Raşit IŞIK Proje Numarası: 1129B372000744 MUĞLA SITKI KOÇMAN ÜNİVERSİTESİ HAZİRAN 2021 Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları ” Aktivitenin Adı : Elastik Lastik Sınıf: 9-11 Aktivitenin Amacı : 1. Geometri tahtası üzerinde alan oluşturmaya dair uzamsal becerileri geliştirme. 2. Çokgenleri tanıma. 3. Oluşturulan çokgenlerin alanlarını bulma. 4. Geometrik örüntü oluşturmaya dair uzamsal becerileri geliştirme. Araç-Gereçler : Geometri tahtası ve paket lastikler (tercihen farklı renklerde), 5x5 noktalı kâğıt, elastik lastik. Süre : 45 dakika. Aktivitenin sonunda öğrenci : 1. Tümevarım yöntemini kullanarak geometrik çıkarımlar yapar. 2. Çokgenleri tanır. 3. Çokgensel bölgelerin alanlarını hesaplar. 4. Yaptığı geometrik çıkarımları cebirsel olarak ifade eder. Aktivitenin yapılışı: 1. Öğrenciler, bir tanesi formatör öğrenci olmak üzere, 4’er kişilik gruplara ayrılır. Her gruba bir adet geometri tahtası ve yeterli miktarda paket lastiği verilir. 2. Paket lastikleriyle içinde çivi olmayan; sırasıyla 3, 4, 5,......, n çiviye geçen şekiller oluşturmaları ve aşağıdaki tabloyu (Tablo 1) doldurmaları istenir. Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları ” Tablo 1 Lastiğin geçtiği çivi sayısı Alan ı 3 4 5 6 7 8 9 ... N Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları ” 3. Paket lastikleriyle içinde 1, 2, 3 çivi varken sırasıyla 3, 4, 5,...., n çiviye değen şekiller oluşturmaları ve Tablo 2’yi doldurmaları istenir. Buldukları şekilleri noktalı kağıda çizmeleri ve oluşabilecek şekillerin hepsinin alanlarının aynı olup olmadığını sorgulamaları istenir. Lastiğin geçtiği çivi sayısı Alanı Şeklin içinde 1 çivi varken oluşan alan Şeklin içinde 2 çivi varken oluşan alan Şeklin içinde 3 çivi varken oluşan alan .... Şeklin içinde M çivi varken oluşan alan 3 4 5 6 7 8 9 10 ... N Doç. Dr. Burçak Boz Yaman “31.05.2021-05.06.2021 Bilimsel Süreçlerde Matematiksel modelleme ve Uygulamaları ” Değerlendirme Soruları: 1. Şeklin içindeki çivi sayısı - oluşan alan grafiği çizilirse oluşan grafik nasıl bir grafiktir? 2. Çivi sayısı - alan grafiğinin eğimi, her bir x aralığında aynı olur mu? Neden? DoÁ.Dr. Erhan P∑ I∏ SK∑ IN Dicle ‹niversitesi episkin@Dicle.edu.tr Matematiksel Modelleme Kainat ̈ n yasalar ̈ n ̈ n matematik diline Áevrilmesine matematiksel modelleme diyebiliriz. BirÁok du- raº gan (statik) olay ̈ n modellenmesi iÁin cebir yeterlidir. Fakat, kainattaki birÁok olay duraº gan deº gildir. Deº gi∏ simler iÁerir; ˆrneº gin bir cismin yere d ̧∏ smesi, bir telin titre∏ simi, bula∏ s ̈ c ̈hastal ̈ klar ̈ n yay ̈ lmas ̈ ,.. vb. Dolay ̈ s ̈ yla burada t ̧rev kavram ̈ ve t ̧rev iÁeren denklemler kar∏ s ̈ m ̈ z Á ̈ kar. Bir fonksiyonu ve onun sonlu mertebeden t ̧revlerini iÁeren denklemlere diferansiyel denklem denir. ∏ Simdi baz ̈Öziksel olaylar ̈ n modellenmesini elde edeceº giz. 1. Serbest D ̧∏ sme K ̧tlesi m olan bir cisim y ̧ksek bir yerden a∏ saº g ̈ doº gru b ̈ rak ̈ ls ̈ n (serbest d ̧∏ sme, yani ilk h ̈ z s ̈ f ̈ rd ̈ r) bu durumda cisme sadece yerÁekimi kuvveti etki etmektedir. Newtoní un ikinci kanununa gˆre kuvvet, k ̧tle ile ivmenin Áarp ̈ m ̈ na e∏ sit olduº gundan F = ma d ̈ r. Yolun zamana gˆre t ̧revi h ̈ z ̈ ( v = dy dt ) ve h ̈ z ̈ n zamana gˆre t ̧revi de ivmeyi ( a = dv dt = d 2 y dt 2 ) verdiº ginden F = m d 2 y dt 2 (1) olur. Ayr ̈ ca cisme etki eden tek kuvvet yerÁekimi kuvveti olduº gundan ( mg ), (1) denklemi mg = m dv dt ; dv dt = g olur. ∑ Integral al ̈ n ̈ rsa v = gt + c 1 2 Erhan Pi∏ skin bulunur. ∑ Ilk h ̈ z s ̈ f ̈ r olduº gundan v (0) = 0 dan c 1 = 0 olur. Bˆylece cismin t an ̈ ndaki h ̈ z ̈ v = gt olarak bulunur. ∏ Simdi yolu bulal ̈ m, v = dy dt den dy dt = gt; dy = gtdt integral al ̈ n ̈ rsa y = 1 2 gt 2 + c 2 olur. Ta∏ s ̈ n ilk b ̈ rak ̈ ld ̈ º g ̈nokta y (0) = 0 al ̈ n ̈ rsa c 2 = 0 olacaº g ̈ ndan, cismin t an ̈ ndaki konumu y ( t ) = 1 2 gt 2 bulunur. ÷rnek. 10 gram aº g ̈ rl ̈ º g ̈ ndaki bir bilye, 200 metre y ̧kseklikten b ̈ rak ̈ l ̈ yor. Hava direncinin ol- mad ̈ º g ̈ n ̈varsayarsak bilye kaÁ saniye sonra yere d ̧∏ ser? ( g = 9 ; 8 m=sn 2 al ̈ n ̈ z) «ˆz ̧m. Al ̈ nan yol y ( t ) = 1 2 gt 2 olduº gundan, y = 200 ise 200 = 1 2 (9 ; 8) t 2 ; t ' 6 ; 3 saniye bulunur. 2. Gecikmeli D ̧∏ sme ∏ Simdi yukar ̈ daki cismin d ̧∏ serken h ̈ z ̈ yla orant ̈ l ̈olarak hava direncine maruz kald ̈ º g ̈ n ̈varsayal ̈ m. Bu durumda k orant ̈sabiti olmak ̧zere, Newtoní un ikinci kanunundan F = ma Matematiksel Modelleme 3 d ̈ r ve cisme etki eden kuvvetler F = mg kv ve a = dv dt olacaº g ̈ ndan mg kv = m dv dt ; dv dt + kv m = g birinci merteden lineer diferansiyel denklemi bulunur. Buradan integral Áarpan ̈ = e R k m dt = e kt m olduº gundan ve kt m 0 = ge kt m olur, integral al ̈ n ̈ rsa ve kt m = mg k e kt m + c 1 ; v = mg k + c 1 e kt m genel Áˆz ̧m ̧ bulunur. Cismin ilk h ̈ z ̈s ̈ f ̈ r olduº gundan, v (0) = 0 dan c 1 = mg k bulunur. Bˆylece cismin t an ̈ ndaki h ̈ z ̈ v ( t ) = mg k 1 e kt m olur. ∏ Simdi cismin t an ̈ ndaki konumunu bulal ̈ m, v = dy dt den dy dt = mg k 1 e kt m ; dy = mg k 1 e kt m dt integral al ̈ n ̈ rsa y = mg k t + m k e kt m + c 2 4 Erhan Pi∏ skin olur. y (0) = 0 ba∏ slang ̈ Á ko∏ sulundan c 2 = m 2 g k 2 olacaº g ̈ ndan y = mg k t + m k e kt m m 2 g k 2 = mgt k m 2 g k 2 1 e kt m bulunur. ÷rnek. K ̧tlesi 10 kg olan bir cisim herhangi bir y ̧kseklikten 20 m=sn ba∏ slang ̈ Á h ̈ z ̈ yla d ̧∏ sey olarak a∏ saº g ̈at ̈ lmaktad ̈ r. Cismi, aº g ̈ rl ̈ k kuvvetinin ve h ̈ z ̈ yla orant ̈ l ̈olarak direnÁ kuvvetinin (orant ̈ katsay ̈ s ̈ k = 2 ) etkilediº gini gˆz ˆn ̧nde bulundurarak h ̈ z ̈ n deº gi∏ sme yasas ̈ n ̈bulunuz. «ˆz ̧m. F = ma dan 10 g 2 v = 10 dv dt ; dv dt + v 5 = g olur. Bu denklem Áˆz ̧l ̧rse v ( t ) = 5 g + ce t 5 olur. ∑ Ilk h ̈ z v (0) = 20 den c = (20 5 g ) e 4 d ̈ r. Bˆylece v ( t ) = 5 g + (20 5 g ) e 4 t 5 bulunur. 3. N ̧fus Problemleri Bir bˆlgenin n ̧fusu doº gum ve ˆl ̧mlerle deº gi∏ sir. Eº ger D; t an ̈ nda doº ganlar ̈ ve O de ˆlenleri gˆsteriyorsa, n ̧fusun deº gi∏ sme h ̈ z ̈o andaki toplam n ̧fus ile orant ̈ l ̈olacaº g ̈ ndan dN dt = D O N Matematiksel Modelleme 5 olur. Eº ger D ve O sabit ise D O = k al ̈ n ̈ rsa dN dt = kN olur. Burada k n ̧fus art ̈ ∏ s oran ̈ d ̈ r. ÷rnek. Toplam n ̧fusu 30000 olan bir bˆlgenin n ̧fus art ̈ ∏ s oran ̈ %1 ; 2 olduº guna gˆre, bˆlgenin 10 y ̈ l sonraki n ̧fusu kaÁ olur? «ˆz ̧m. N (0) = 30000 ; k = %1 ; 2 = 12 1000 = 3 250 ; N (10) =? N ̧fus art ̈ ∏ s ̈ n ̈veren denklem dN dt = kN olduº gundan dN N = kdt; N = c 1 e kt olur. N (0) = 30000 ve k = 3 250 den N ( t ) = 30000 e 3 250 t d ̈ r. Buradan 10 y ̈ l sonraki n ̧fus N (10) = 30000 e 3 25 ' 33824 bulunur. * Yukar ̈ daki n ̧fus problemi iÁin elde ettiº gimiz denklemde pek Áok ∏ sey ihmal edildi, ˆrneº gin doº gum ve ˆl ̧m oranlar ̈ayn ̈al ̈ nd ̈ . Farkl ̈kabullerle daha farkl ̈n ̧fus modelleri kurulabilir. ÷rneº gin doº gumun sabit ve ˆl ̧m ̧n n ̧fus ile orant ̈ l ̈olduº gu varsay ̈ l ̈ rsa O = kN olacaº g ̈ ndan dN dt = D O N; = ( D kN ) N olur. Bu denklem d ̧zenlenirse dN dt DN = kN 2 6 Erhan Pi∏ skin Bernoulli denklemi bulunur. Burada D ve k pozitif sabitler ise bu denkleme lojistik denklem de denir. 4. Soº guma Problemleri Newtoní un soº guma kanununa gˆre bir cismin s ̈ cakl ̈ º g ̈ , ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ile cismin s ̈ cakl ̈ º g ̈aras ̈ n- daki farkla orant ̈ l ̈olarak deº gi∏ stiº ginden, cismin t an ̈ ndaki s ̈ cakl ̈ º g ̈ y ( t ) ; ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ T ve orant ̈ katsay ̈ s ̈ k olmak ̧zere dy dt = k ( y T ) diferansiyel denklemi elde edilir. Burada cismin s ̈ cakl ̈ º g ̈ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ ndan daha fazla ( y > T ) ise cisim zamanla soº guyacaº g ̈ ndan azalma problemi olur. Dolay ̈ s ̈ yla k yaz ̈ ld ̈ ÷rnek. S ̈ cakl ̈ º g ̈ 90 0 C olan bir bardak Áay 20 0 C bir ortamda bulunuyor. 5 dakika sonra Áay ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ 80 0 C ye indiº gine gˆre 20 dakika sonra Áay ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈kaÁ 0 C olur? «ˆz ̧m. Newtoní un soº guma denkleminden dy dt = k ( y T ) ; dy y T = kdt; ln j y T j = kt + c 1 ; y = T + c 2 e kt d ̈ r. Ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ T = 20 0 C; Áay ̈ n ba∏ slang ̈ Átaki s ̈ cakl ̈ º g ̈ y (0) = 90 dan 90 = 20 + c 2 e 0 ; c 2 = 70 olur. 5 dakika sonra Áay ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ y (5) = 80 olduº gundan y (5) = 20 + 70 e 5 k ; 80 = 20 + 70 e 5 k ; k = 1 5 ln 6 7 Matematiksel Modelleme 7 olur. Bˆylece herhangi bir t an ̈ ndaki Áay ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ y ( t ) = 20 + 70 e ( 1 5 ln 6 7 ) t = 20 + 70 : 6 7 t 5 olur. 20 dakika sonraki Áay ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ y (20) = 20 + 70 : 6 7 4 ' 57 ; 784 0 C olur. ÷rnek. Normal v ̧cut s ̈ cakl ̈ º g ̈ 37 0 C olan bir ki∏ si, arabas ̈ yla seyahat ederken kaza geÁirip ˆl ̧yor. Bu ki∏ sinin cesedi bulunduº gunda s ̈ cakl ̈ º g ̈ 32 0 C ve bulunduktan bir saat sonraki v ̧cut s ̈ cakl ̈ º g ̈ 30 0 C d ̈ r. Ayr ̈ ca cesedin bulunduº gu ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ 20 0 C ise bu ki∏ si bulunduº gundan kaÁ dakika ˆnce ˆlm ̧∏ st ̧r? «ˆz ̧m. Newtoní un soº guma denkleminden dy dt = k ( y T ) ; y = T + c 2 e kt d ̈ r. Ortam ̈ n s ̈ cakl ̈ º g ̈ T = 20 0 C ba∏ slang ̈ Átaki v ̧cut s ̈ cakl ̈ º g ̈ y (0) = 37 ; bulunduº gunda v ̧cut s ̈ cakl ̈ º g ̈ y ( t ) = 32 ve bulunduktan bir saat sonraki v ̧cut s ̈ cakl ̈ º g ̈ y ( t + 1) = 30 d ̈ r. y (0) = 37 den 37 = 20 + c 2 ) c 2 = 17 d ̈ r. y ( t ) = 32 ve y ( t + 1) = 30 dan 32 = 20 + 17 e kt ) kt = ln 12 17 ; 30 = 20 + 17 e k ( t +1) ) k ( t + 1) = ln 10 17 8 Erhan Pi∏ skin d ̈ r. Bu denklemler oranlan ̈ rsa t t + 1 = ln 12 17 ln 10 17 ; t = ln 12 17 ln 10 12 ' 1 ; 91 saat bulunur. Yani kaza (1 ; 91) : 60 ' 114 dakika ˆnce olmu∏ stur. 5. Kurtulma H ̈ z ̈ K ̧tlesi m olan bir roket yery ̧z ̧nden yukar ̈ doº gru bir v 0 ilk h ̈ z ̈ ile f ̈ rlat ̈ l ̈ yor. Hava direncini ihmal ederek sadece yerÁekimi etkisi alt ̈ nda hareket eden roketin herhangi bir t an ̈ ndaki h ̈ z ̈ n ̈ ve roketin bir daha yery ̧z ̧ne dˆnmemesi iÁin v 0 ilk h ̈ z ̈ n ̈ n ne olmas ̈gerektiº gini bulal ̈ m. Newtoní un evrensel Áekim kuvvetinden; aralar ̈ ndaki uzakl ̈ k R; k ̧tle Áekim sabiti G ve k ̧tleleri m ve M olan herhangi iki cisim aras ̈ ndaki Áekim kuvvetinin F = G mM R 2 olduº gu biliniyor. YerÁekim ivmesi g; yerk ̧renin k ̧tlesi M ve yar ̈ Áap ̈ R ise F = G mM R 2 F = mg 9 = ; ise mg = G mM R 2 ; G = gR 2 M olur. Herhangi bir t an ̈ nda cismin yere olan uzakl ̈ º g ̈ y ve h ̈ z ̈ v olsun. Bu durumda roket ile merkez aras ̈ ndaki uzakl ̈ k y + R ( R d ̧nyan ̈ n yar ̈ Áap ̈ d ̈ r) olacaº g ̈ ndan, roketin hareket denklemi ma = G mM ( y + R ) 2 ; Matematiksel Modelleme 9 a = G M ( y + R ) 2 ; dv dt = G M ( y + R ) 2 olur. Yukar ̈ da G = gR 2 M olduº gundan dv dt = gR 2 ( y + R ) 2 bulunur. Ayr ̈ ca dv dt = dv dy dy dt = v dv dy olduº gundan v dv dy = gR 2 ( y + R ) 2 ; vdv = gR 2 dy ( y + R ) 2 birinci mertebeden deº gi∏ skenlerine ayr ̈ labilen denklem bulunur. Bu denklemin Áˆz ̧m ̧ v 2 2 = gR 2 y + R + c d ̈ r. t = 0 da y = 0 (roket ile yer aras ̈ ndaki mesafe) ve v (0) = v 0 olduº gundan c = v 2 0 2 gR bulunur. Bˆylece cismin yerden uzakla∏ sma h ̈ z ̈ v 2 2 = gR 2 y + R + c = gR 2 y + R + v 2 0 2 gR; v 2 = v 2 0 2 gR + 2 gR 2 y + R olur. Roketin tekrar yery ̧z ̧ne geri dˆnmemesi iÁin h ̈ z ̈ n daima pozitif olmas ̈gerekir. Yani v 2 0 2 gR 0 ; v 0 p 2 gR olmal ̈ d ̈ r. Bu durumda ilk h ̈ z en az v 0 = p 2 gR olmal ̈ d ̈ r. Bu h ̈ za kurtulma h ̈ z ̈da denir. g = 9 ; 8 m=sn ve R = 6 ; 3 : 10 6 m olduº gundan kurtulma h ̈ z ̈ 11100 m=sn 10 Erhan Pi∏ skin olmal ̈ d ̈ r. 6. Kar ̈ ∏ s ̈ m Problemleri Bir depo, iÁinde a gram tuz eritilmi∏ s V 0 litre tuzlu su iÁermektedir. Litresinde b gram tuz bulunan V 1 litre tuzlu su saniyede s 1 litre sabit h ̈ zla depoya ak ̈ yor ve iyice kar ̈ ∏ st ̈ r ̈ l ̈ p homojen hale getirildikten sonra da saniyede s 2 litre sabit h ̈ zla depodan ak ̈ t ̈ l ̈ yor. Herhangi bir t an ̈ nda depodaki tuz miktar ̈ n ̈ bulal ̈ m. Herhangi bir t an ̈ nda depodaki tuz miktar ̈ y ( t ) olsun. y nin zamanla deº gi∏ simi dy dt olduº gundan dy dt = [ depoya giren tuz miktar ̈ ] [ depodan Á ̈ kan tuz miktar ̈ ] d ̈ r. Depoya saniyede giren tuz miktar ̈ bs 1 V 1 d ̈ r. Depodan saniyede Á ̈ kan tuz miktar ̈ iÁin ˆnce herhangi bir t an ̈ ndaki depoda bulunan tuzlu su hacmini hesaplayal ̈ m. Ba∏ slang ̈ Átaki tuzlu su V 0 litre, depoya eklenen tuzlu su s 1 t ve depodan dˆk ̧len tuzlu su s 2 t olduº gundan, depoda herhangi bir t an ̈ nda bulunan tuzlu su miktar ̈ V 0 + s 1 t s 2 t ve tuz miktar ̈ y V 0 + s 1 t s 2 t olacaº g ̈ ndan, depodan Á ̈ kan tuz m ̈ ktar ̈ y V 0 + s 1 t s 2 t :s 2 olur. Bˆylece herhangi bir t an ̈ nda depodaki tuz miktar ̈ dy dt = bs 1 V 1 y V 0 + ( s 1 s 2 ) t :s 2 birinci merteden lineer diferansiyel denklemi ile hesaplan ̈ r. ÷rnek Bir depoda 20 gram ̈ tuz olan 100 litre tuzlu su bulunmaktad ̈ r. Bu depoya saniyede 10 litre saf su ilave ediliyor ve olu∏ san kar ̈ ∏ s ̈ m ̈ n saniyede 10 litresi depodan d ̈ ∏ sar ̈ak ̈ t ̈ l ̈ yor. Herhangi bir t an ̈ nda depodaki tuz miktar ̈ n ̈bulunuz. «ˆz ̧m. dy dt = [ depoya giren tuz miktar ̈ ] [ depodan Á ̈ kan tuz miktar ̈ ] Matematiksel Modelleme 11 olduº gundan dy dt = [0] 10 y 100 ; dy dt = y 10 ; dy y = dt 10 integral al ̈ n ̈ rsa y = c 1 e t 10 olur. y (0) = 20 den y = 20 e t 10 bulunur. Eº ger bu zaman uzarsa depoya saf su eklenip, olu∏ san kar ̈ ∏ s ̈ m dˆk ̧ld ̧º g ̧nden depodaki tuz miktar ̈azalacakt ̈ r. Eº ger t ! 1 olursa y ! 0 olur. Yani zaman sonsuz olursa tuz miktar ̈s ̈ f ̈ r olur. 8. Dalga Denklemi L uzunluº gundaki bir cisim (ˆrneº gin; tel) xu koordinat sisteminde x = 0 ve x = L de gerilsin. Bu cismin sadece d ̧∏ sey doº grultuda hareket ettiº gini varsayal ̈ m. Bu telin ba∏ slang ̈ Á an ̈ ndaki ( t = 0 da) konumu u ( x; 0) = f ( x ) ve ba∏ slang ̈ Á an ̈ ndaki h ̈ z ̈ u t ( x; 0) = g ( x ) 12 Erhan Pi∏ skin olsun. Bu cismin k ̧Á ̧k bir [ x; x + x ] aral ̈ º g ̈ ndaki parÁas ̈ na etki eden kuvvetler: i) Gerilme kuvveti: T sin 2 T sin 1 d ̈ r. Burada k ̧Á ̧k titre∏ simler iÁin sin 1 = tan 1 p 1 + tan 2 1 ' tan 1 = u x ( x; t ) ve sin 2 ' u x ( x + x; t ) olduº gundan, gerilme kuvveti T sin 2 T sin 1 = T [ u x ( x + x; t ) u x ( x; t )] olur. ii) D ̈ ∏ s kuvvet F ( x; t ) iii) S ̧rt ̧nme kuvveti ( u t ) d ̈ r. Newtoní un ikinci kanununa gˆre F = ma olduº gundan T [ u x ( x + x; t ) u x ( x; t )] + x:F ( x; t ) xu t = xu tt yaz ̈ labilir. Burada sol taraftaki ifadeler: cisme etki eden kuvvetler, saº g tarafta ise k ̧tle: m = x ( : yoº gunluk) ve ivme ( a = u tt ) d ̈ r. Bu ifade x ile bˆl ̧n ̧r ve x ! 0 iÁin limit al ̈ n ̈ rsa T: u x ( x + x; t ) u x ( x; t ) x + F ( x; t ) u t = u tt ; 1 Burada tan = @u @x = u x (eº gim), ve a = @ 2 u @t 2 = u tt (ivme) d ̈ r. Matematiksel Modelleme 13 u tt = T u xx + F ( x; t ) u t ; u tt c 2 u xx + u t = F ( x; t ) denklemi bulunur. Burada u t (zay ̈ f) damping terim olarakta adland ̈ r ̈ l ̈ r, denkleme etki eden (s ̧rt ̧nme gibi) d ̈ ∏ s kuvvettir. F ( x; t ) = F ( x;t ) cismi harekete geÁiren d ̈ ∏ stan etki eden kuvvet ve = 1 ; c 2 = T d ̈ r. Burada elde edilen bir boyutlu dalga denklemi bir telin (ipin, ∏ seritin) titre∏ sim hareketidir. ÷rneº gin bir keman telinin hareketini tan ̈ mlar. Elde edilen bu dalga denkleminde Öziksel birimler vard ̈ r. ÷rneº gin; Kuvvetin birimi: Newton, k ̧tlenin birimi: gram, yoº gunluº gun birimi: gr/cm 3 ; ivmenin birimi: cm/sn 2 ∏ seklindedir. Matematik- sel problemlerin Áˆz ̧mlerinde birimsiz veriler yani say ̈ lar tercih edilir. Bu nedenle birimler birbiri cinsinden yaz ̈ l ̈ p bunlar sabit say ̈olarak al ̈ n ̈ r. Bu i∏ sleme birimsizle∏ stirme (boyutsuzla∏ st ̈ rma) denir. Elde edilen bir boyutlu homojen u tt = c 2 u xx dalga denklemi sezgisel olarak kolayca elde edilebilir. ∏ Sˆyle ki graÖk konkav ( u xx < 0 ) olduº gunda ivme negatif ( u tt < 0 ), konveks ( u xx > 0 ) olduº gunda ivme pozitif ( u tt > 0 ) olacaº g ̈ ndan; u xx ile u tt doº gru orant ̈ l ̈olur. Bˆylece c 2 orant ̈sabiti iÁin u tt u xx = c 2 ; u tt = c 2 u xx yaz ̈ labilir. Bir Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin «ˆz ̧m ̧ 14 Erhan Pi∏ skin Bu k ̈ s ̈ mda 8 > > > < > > > : u tt c 2 u xx = 0; x 2 ( 1 ; 1 ) ; t > 0 u ( x; 0) = f ( x ) ; x 2 ( 1 ; 1 ) u t ( x; 0) = g ( x ) ; x 2 ( 1 ; 1 ) (2) ba∏ slang ̈ Á deº ger problemini Áˆzeceº giz. Sabit katsay ̈ l ̈ , homojen u tt c 2 u xx = 0 denkleminin Áˆz ̧m ̧ D 2 t c 2 D 2 x u = 0 ; ( D t cD x ) : ( D t + cD x ) u = 0 den u ( x; t ) = ' ( x + ct ) + ( x ct ) (3) olur. Burada '; 2 C 2 d ̈ r. (3) de t = 0 yaz ̈ l ̈ rsa u ( x; 0) = ' ( x ) + ( x ) = f ( x ) (4) olur. (3) in t gˆre t ̧revi al ̈ n ̈ r u t ( x; t ) = c' 0 ( x + ct ) c 0 ( x ct ) ve t = 0 yaz ̈ l ̈ p u t ( x; 0) = c' 0 ( x ) c 0 ( x ) = g ( x ) ; ' 0 ( x ) 0 ( x ) = 1 c g ( x ) integral al ̈ n ̈ rsa ' ( x ) ( x ) = 1 c x Z x 0 g ( ) d + C (5) olur. ∏ Simdi (4) ve (5) ̧n ortak Áˆz ̧m ̧nden 8 > < > : ' ( x ) + ( x ) = f ( x ) ' ( x ) ( x ) = 1 c x R x 0 g ( ) d + C den ' ( x ) = 1 2 f ( x ) + 1 2 c x Z x 0 g ( ) d + C 2 (6) ve ( x ) = 1 2 f ( x ) 1 2 c x Z x 0 g ( ) d C 2 (7) Matematiksel Modelleme 15 bulunur. (6) ten ' ( x + ct ) = 1 2 f ( x + ct ) + 1 2 c x + ct Z x 0 g ( ) d + C 2 ve (7) ten ( x ct ) = 1 2 f ( x ct ) 1 2 c x ct Z x 0 g ( ) d C 2 yaz ̈ l ̈ r. Bˆylece Áˆz ̧m u ( x; t ) = ' ( x + ct ) + ( x ct ) = 2 4 1 2 f ( x + ct ) + 1 2 c x + ct Z x 0 g ( ) d + C 2 3 5 + 2 4 1 2 f ( x ct ) 1 2 c x ct Z x 0 g ( ) d C 2 3 5 = 1 2 [ f ( x + ct ) + f ( x ct ) ] + 1 2 c x + ct Z x 0 g ( ) d 1 2 c x ct Z x 0 g ( ) d ; u ( x; t ) = 1 2 [ f ( x + ct ) + f ( x ct ) ] + 1 2 c x + ct Z x ct g ( ) d (8) olur. Bu problemi 1750 de Frans ̈ z matematikÁi Jean Le Rond dí Alembert (1717-1783) Áˆzd ̧º g ̧nden bu form ̧le Dí Alembert form ̧l ̧ (Dí Alembert Áˆz ̧m ̧) denir. Kaynaklar [1] C.H. Edwards, D.E. Penney, Di§erential Equations and Boundary Value Problems, Pearson Education, 2008. [1] E. Pi∏ skin, Diferansiyel Denklemler, SeÁkin Yay ̈ nc ̈ l ̈ k, 2019. [2] E. Pi∏ skin, K ̈ smi T ̧revli Denklemler, SeÁkin Yay ̈ nc ̈ l ̈ k, 2021.