تمرين شامل ورائع حول المتتاليات الجزء الأول نعتبر المتتالية العددية ( 𝒖 𝐧 ) المعرفة على 𝐼𝑁 حيث 𝒖 𝟎 = 𝛂 و 𝛂 𝜖 𝐼𝑅 − { 2 } و 𝒖 𝒏 + 𝟏 = 𝟖 𝐮 𝐧 − 𝟖 𝐮 𝐧 + 𝟐 ( 𝟏 ) عين قيم العدد الحقيقي 𝛂 التي من أجلها تكون 𝒖 𝐧 متتالية ثابتة ( 𝟐 ) أ - نضع فيمايأتي 𝜶 = 3 , أحسب 𝒖 𝟏 , 𝒖 𝟐 ثم أعط تخمينا حول إتجاه تغير المتتالية 𝒖 𝐧 فففف ب - عين العددين الحقيقيين 𝑏 و 𝑎 حيث 𝒖 𝐧 + 𝟏 = 𝒂 + 𝒃 𝒖 𝒏 + 𝟐 - -- ج - برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي 𝒏 : 𝟑 ≤ 𝒖 𝐧 ≤ 𝟒 ددد د - أدرس إتجاه تغير المتتالية ( 𝒖 𝐧 ) ثم استنتج أنها متقاربة نحو نهاية يطلب حسابها ( 3 ) أ - بين أنه من أجل كل كل عدد طبيع ي 𝒏 : فإن 𝟎 ≤ 𝟒 − 𝒖 𝒏 + 𝟏 ≤ 𝟒 𝟓 ( 𝟒 − 𝒖 𝒏 ) فففف ب - استنتج بطريقتين مختلفتين أن 𝟎 ≤ 𝟒 − 𝒖 𝒏 + 𝟏 ≤ ( 𝟒 𝟓 ) 𝟐 من أجل كل عدد طبيعي 𝒏 . ثم عين lim 𝑥 → + ∞ 𝒖 𝐧 - -- ج - نضع المجموع 𝒔 𝐧 حيث + ( 4 − 𝑢 n ) 𝑠 n = ( 4 − 𝑢 0 ) + ( 4 − 𝑢 𝟏 ) + ⋯ ... ... ... ... ... **************** * أعط حصرا للعدد 𝑠 n .. الجزء الثاني ( 𝑣 𝑛 ) التتالية العددية المعرفة على 𝐼𝑁 حيث 𝑣 n = 𝒖 𝐧 − 𝟒 𝒖 𝐧 − 𝟐 ... أ - بين أن المتتالية ( 𝑣 𝑛 ) هندسية يطلب تعيين أساسها وحدها الاول ثم إستنتج أنها متقاربة . ف ب - أكتب 𝑣 𝑛 بدلالة 𝑛 ثم استنتج 𝑢 n بدلالة 𝑛 وعين مرة أخرى lim 𝑥 → + ∞ 𝒖 𝐧 .. الجزء الثالث أحسب بدلالة 𝑛 المجاميع التالية و الجداء 𝑝 n وأحسب نهاية كل واحدة منها : s 1 = − 2 𝑣 0 − 2 𝑣 1 − 2 𝑣 𝑛 , s 2 = 𝑣 0 2 + 𝑣 1 2 ... + 𝑣 𝑛 2 s 3 = 3 𝑣 0 + 3 𝑣 1 ... + 3 𝑣 𝑛 , s 4 = 𝑣 0 + ( 3 2 ) 𝑣 1 + ( 3 2 ) 2 𝑣 2 ... + ( 3 2 ) 𝑛 𝑣 𝑛 𝑣 0 2 + ( 3 2 ) 𝑣 1 2 + ( 3 2 ) 2 𝑣 2 2 ... + ( 3 2 ) 𝑛 𝑣 𝑛 2 s 5 = s 6 = 𝑣 0 + 𝑣 2 + 𝑣 2 𝑛 s 7 = 𝑣 1 + 𝑣 3 + 𝑣 2 𝑛 − 1 s 8 = 1 ( 𝑢 0 − 2 ) 2 + 1 ( 𝑢 1 − 2 ) 2 ... + 1 ( 𝑢 n − 2 ) 2 s 8 = ln ( − 𝑣 0 ) + ln ( − 𝑣 1 ) ... + ln ( − 𝑣 𝑛 ) 𝑣 0 × 𝑣 2 ... ... ... × 𝑣 2 𝑛 p n = الجزء الرابع الالج ا لتكن المتتالية 𝑤 n المعرفة على 𝐼𝑁 حيث ب 𝑤 n = ln ( − 𝑣 𝑛 ) بب .. أ - برهن أن المتتالية ( 𝑤 n ) حسابية يطلب تعيين أساسها وحدها الأول ثم إستنتج إتجاه تغيرها ف ب - أكتب 𝑤 n بدلالة 𝑛 و أحسب نهايتها . المؤسسة ثانوية 08 ماي 194 5 السنة الدراسية 2020/2021 بالتوفيق من إعداد الأستاذ نور الدين