∫ ∞ 0 dx 1+ x a u = x a x = u 1 a dx = 1 a u 1 a − 1 du. 1 a ∫ ∞ 0 u 1 a − 1 du 1+ u I(t) = 1 a ∫ ∞ 0 u 1 a − 1 e − t (1+ u ) du 1+ u We want I(0). (Note, I ( ∞ ) = 0) I’(t)= − 1 a ∫ ∞ 0 u 1 a − 1 e − t (1+ u ) du I’(t)= − 1 a e − t ∫ ∞ 0 u 1 a − 1 e − tu du I’(t)= − e − t Γ( 1 a ) at 1 a 1 We have that ∫ ∞ 0 I ′ ( t ) dt = I ( ∞ ) − I (0) , I ( ∞ ) = 0 Then − I (0) = − Γ( 1 a ) a ∫ ∞ 0 e − t t 1 a Then I (0) = Γ( 1 a ) a ∫ ∞ 0 t − 1 a e − t Then I (0) = 1 a Γ( 1 a )Γ(1 − 1 a ) Euler’s reflection formula: Γ( z )Γ(1 − z ) = πcsc ( πz ) Then ∫ ∞ 0 dx 1+ x a = π a csc ( π a ) 2