Angewandte Mehrk ̈ orpersimulation im Maschinenbau SS 2023 FH Technikum Wien DI B. Wazel 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einf ̈ uhrung 5 1.1 Problemtypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Topologie von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Offene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Geschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Mechanische und mathematische Grundlagen 13 2.1 Virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Prinzip der Virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Beispiel Stab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Beispiel Waage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Beispiel Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.4 Beispiel Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Lagrange Formalismus 2. Art 19 3.1 Herleitung f ̈ ur konservative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1 D’ Alembert’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.2 Hamilton’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3 Lagrangefunktion und Lagrange-Gleichung f ̈ ur konservative Systeme . . . . . . 23 3.1.4 Lagrange Formalismus am Beispiel des mathematischen Pendels . . . . . . . . 24 3.1.5 Tr ̈ agheit eines ausgedehnten K ̈ orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.6 Math. Pendel: vereinfachte homogene DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.7 Math. Pendel: nichtlineare numerische L ̈ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.8 Konservatives System mit generalisierter Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.9 Beispiel Doppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Lagrange Funktion f ̈ ur dissipative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.1 Beispiel math. Pendel mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Lagrange Formalismus 1. Art 31 4.1 Ein-Massen-Schwinger in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Doppelpendel Bewegungsgleichungen nach 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Beispiell ̈ osung mit maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Allgemeine Form der Lagrange-Gleichungen f ̈ ur Punktmassen 37 6 Kinematik ausgedehnter K ̈ orper in 3D 39 6.1 Starrk ̈ orperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.2 K ̈ orperfestes Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3 Aufeinanderfolgende Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.4 Parametrisierung der Rotationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 4 INHALTSVERZEICHNIS 6.5 Euler Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.6 Rotationsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.7 Eulerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.8 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsanteile des Ortsvektors . . . . . . . . . . . . . . 47 6.9 Winkelgeschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.10 Verbindung von ˆ Ω und q r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.10.1 Eulerwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.10.2 Euler Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7 Dynamik ausgedehnter K ̈ orper in 3D - Euler-Lagrange-Gleichungen 51 7.1 Kinetische Energie ausgedehnter Starrk ̈ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.2 Generalisierte Kr ̈ afte in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.3 Eigenschaften der G-Matrix im Fall von Eulerparametern . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.4 Die Bewegungsgleichungen f ̈ ur ausgedehnte Starrk ̈ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8 Zwangsbedingungen in 2/3D 57 8.0.1 Kurbeltrieb in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.0.2 Sph ̈ arisches Gelenk in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.0.3 Scharnier in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.0.4 Holonome und nicht holonome Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.0.5 Rekursive Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 9 Flexible K ̈ orper in der MKS 61 9.1 FEM und MKS Zugang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9.1.1 Finite Elemente Methode Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 9.1.2 MKS Formulierung mit k ̈ orperfesten Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . 61 9.2 Ritz Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9.3 Kinetische Energie f ̈ ur flexible K ̈ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 9.4 Generalisierte Kr ̈ afte f ̈ ur kleine Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.5 Beispiel eines rotierenden Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9.5.1 Geometrische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9.5.2 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9.5.3 Lagrange-Formalismus f ̈ ur die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.5.4 Generalisierte Kr ̈ afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 9.5.5 Bewegungsgleichungen f ̈ ur den elastischen Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9.6 Bestimmung von Ansatzfunktionen und Reduktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . 68 9.6.1 Guyan Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.6.2 Modale Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.6.3 Craig-Bampton Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9.6.4 CMS -Component mode systhesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10 Numerische Simulation von Mehrk ̈ orpersystemen 75 10.1 Zeitintegration ADAMS Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.2 Zeitintegration BDF Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.3 Stabilisierung des Driftproblems der 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.3.1 Baumgarte Stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Anhang 80 Kapitel 1 Einf ̈ uhrung Mehrk ̈ orperdynamik is eine wichtige Disziplin in der modernen Ingenieursmechanik. Es betrachtet Sys- teme mit großen Bewegungen starrer und deformierbarer K ̈ orper welche mittels Zwangsbedingungen miteinander verbunden sind. Anwendungen k ̈ onnen im Bereich der Kraftfahrzeugtechnik, Luftfahrt, Biomechanik, Robotik und vielen anderen Bereichen des Maschinenbaus und der Mechatronik. Obwohl die grundlegende Physik seit Newton, Euler, D’ Alembert und Lagrange seit ̈ uber 200 Jahren bekannt ist, war es lange nicht m ̈ oglich die L ̈ osungen f ̈ ur die meisten Mehrk ̈ orperprobleme wegen mathematischen Schwierigkeiten zu finden. Jedoch, durch die Fortschritte der Computertechnik der letzten Jahrzehnte k ̈ onnen die unterschiedlichsten Problemstellungen nun numerisch gel ̈ ost werden. Die Schl ̈ usselfrage in der Mehrk ̈ orperdynamik ist, wie diese Bewegungsgleichungen automatisiert generiert und numerisch gel ̈ ost werden k ̈ onnen mittels eines Computers. Die Grundlagen daf ̈ ur werden in den nachfolgenden Kapiteln behandelt. 1.1 Problemtypen Haupts ̈ achlich zwei Kategorien: Kinematische Probleme und kinetische bzw. dynamische Probleme. In kinematischen Problemen wird die Bewegung eines Systems ohne die Betrachtung von Kr ̈ aften simuliert. Dies wird in der Regel von CAD Programmen geleistet. In kinetischen Problemstellungen werden jedoch zus ̈ atzlich die Kr ̈ afte und Momente in Kombination mit der so entstehenden Bewegung berechnet, was mit speziellen Computerprogrammen realisiert wird. Diese werden als Programme f ̈ ur die Mehrk ̈ orpersimulation angesehen. Dynamische Simulation (forw ̈ arts) Hier soll die Bewegung eines System ausgehend von einem Anfangszustand simuliert werden. Ziel sind die Positionen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und die Kr ̈ afte die auf die K ̈ orper wirken als Funktion der Zeit zu erhalten. Das ist die Standardaufgabe der Mehrk ̈ orperdynamik und der Hauptfokus hier. Statisches Gleichgewicht Ziel ist hier eine Position des Systems zu finden, in welcher alle Kr ̈ afte ausbalanciert sind. Sehr oft beginnt eine Simulation in diesem Zustand. Modale Dynamik Oft soll das Verhalten in der N ̈ ahe eines statischen Gleichgewichtes ermittelt werden. Zum Beispiel um einen Regler zu bestimmen. Gew ̈ ohnlich wird das System linearisiert und die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Inverse Dynamik Falls Informationen ̈ uber das System aus Messungen an ̈ ahnlichen Systemen in der Realit ̈ at vorhanden sind kommt die Frage auf: Wie muss das System angeregt werden um das gleiche Verhalten an ausgew ̈ ahlten Punkten abbilden zu k ̈ onnen welche als Zeitreihen vorliegen (z.B. Position, Beschleunigung). Generelle Problemstellung f ̈ ur dynamische Pr ̈ ufst ̈ ande. 5 6 KAPITEL 1. EINF ̈ UHRUNG Parameter Identifikation Hier sollen Systemparameter so identifiziert werden, dass das System vorliegenden Messungen entspricht. Zum Beispiel sollen Massen, Steifigkeiten etc. so angepasst werden, dass Beschleunigungsmessungen an gewissen Punkten entsprochen wird. Der erste Schritt ist hier die Sensitivit ̈ at von ausgesuchten Parametern zu ermitteln, sprich, welcher Parameter beeinflusst mein System ̈ uberhaupt wesentlich. Parameter Optimierung In den vorhergehenden Aufz ̈ ahlungspunkten ging es um ein bestehendes System. Jedoch kann es auch darum gehen Parameter so optimal einzustellen, dass z.B. Design- Kriterien erf ̈ ullt werden sollen. Wie lang, breit etc. muss ein Bauteil sein, um bestimmte Kriterien zu erf ̈ ullen. Optimale Regelung Ziel ist ein Regelgesetz zu finden, welches erm ̈ oglicht das System optimal bewegen zu k ̈ onnen um gewisse Energie- oder Belastungsziele erreichen zu k ̈ onnen. Zum Beispiel soll die Zeit oder Energie f ̈ ur einen Roboterbewegung minimiert werden. Diese Problematik ist oft mathematisch aufw ̈ andig. 1.2 Anwendungsbeispiele Die Anwendung von Mehrk ̈ orpersimulationsmethoden ist weit verbreitet in den Ingenieurswissenschaf- ten. Die Abk ̈ urzung MKS wird hier einerseits f ̈ ur die Mehrk ̈ orpersimulation bzw. f ̈ ur Mehrk ̈ orpersysteme verwendet. Sie ist Teil der Systemsimulation, beschreibt als also mehrere interagierende Komponenten und deren Dynamik. Im Gegensatz zur finite Elemente Methode, die oft f ̈ ur statische Spannungsunter- suchungen oder komplexes Materialverhalten und Kurzzeitdynamik wie z.B. in der Crash-Simulation eingesetzt wird. Kurz gesagt geht es in der MKS in der Regel um Wege, Geschwindigkeiten, Beschleu- nigungen, Kr ̈ afte und Momente. In der FEM in der Regel um Spannungen und Dehnungen. Dies h ̈ angt mit der zugrundeliegenden mathematischen Formulierung zusammen. Verbrennungskraftmaschinen Der Antriebsstrang eines Verbrennungsmotors ist wohl die Kom- ponente mit dem komplexesten dynamischen Verhalten einer VKM. Ein typisches Problem stellt die Bestimmung der Lagerkr ̈ afte der Kurbelwelle dar, welche durch die Verbrennungsgase und der damit erzeugte Bewegung des Kurbeltriebes entstehen. F ̈ ur einen einfachen Zylinder sind die Lagerbelastun- gen ̈ uber dem Umfang quasi statisch. F ̈ ur eine mehrfach gelagerte Welle z.B. eines V8-Motors k ̈ onnen die Belastungen nur durch die Verwendung von flexiblen K ̈ orpern berechnet werden (ein starrer K ̈ orper kann nicht mehrfach gelagert werden). Außerdem wird die Reibung und der ̈ Olfilm mitberechnet. Die ermittelten Kr ̈ afte, Momente und Druckverteilungen im Lager k ̈ onnen sp ̈ ater f ̈ ur eine finite Elemente Berechnung verwendet werden um z.B. die Kurbelwelle oder das Geh ̈ ause auf Versagen zu untersuchen. Abbildung 1.1: Kurbeltrieb eines Reihen 4- Zylinders (PD) Abbildung 1.2: Die antike Version eines Kurbel- trieb Mehrk ̈ orpersystems Darstellung der r ̈ omischen Steins ̈ agem ̈ uhle von Hierapolis. Die Was- serm ̈ uhle aus dem 3. Jh. n. Chr. gilt als die erste bekannte Maschine mit Kurbelwelle und Pleuel ̈ uberhaupt. (PD) 1.3. TOPOLOGIE VON SYSTEMEN 7 Fahrdynamik Eine der Hauptanwendungen von Mehrk ̈ orpersimulationsprogrammen ist die Fahrdy- namik. Das Fahrzeug wird mit den relevanten Elementen wie Querlenker, Feder/D ̈ ampfer System modelliert. Der Motor wird oft nur als Datendiagramm modelliert. Besonderer Augenmerk ist hier auf die Reifen zu legen. Hier kommen im einfachsten Fall sogenannte ’Magic-Formula’ oder Pacjeka- Reifenmodelle zum Einsatz welche durch Messdaten angepasste Spline-Kurven f ̈ ur die Kr ̈ afte und Mo- mente beziehungsweise der Interaktion dieser beinhalten. Außerdem wird ein virtueller Fahrer ben ̈ otigt, welcher die Strecke ’nachfahren’ kann. Hier werden MPC-Regler (Model Predictive Control) eingesetzt welche Beschleunigen, Bremsen, Lenken und Schalten k ̈ onnen. Auch hier werden flexible K ̈ orper ein- gesetzt wenn es zum Beispiel um die Simulation von Querlenkerkomponenten geht. Auch R ̈ uttel-Tests oder andere Standard Fahrzeugtestsituationen werden hier nachgestellt. Robotik Im Bereich der Robotik mit den oft sehr schnellen Bewegungen und im Sinne der Si- mulation großen Rotationen ist der Einsatz von MKS-Programmen pr ̈ adestiniert, im Vergleich zur FEM-Methode. Man stelle sich nur einen Kuka-Schweißroboter vor. Einerseits k ̈ onnen die Kr ̈ afte und Momente ermittelt werden welche die Gelenke des Roboters erfahren, andererseits kann bestimmt werden welche Momente notwendig sind um den Roboter eine bestimmte Bahn abfahren zu lassen. Abbildung 1.3: Kuka Roboterarm Biomechanik Auch der K ̈ orper ist ein Mehrk ̈ orpersystem und kann entsprechend modelliert wer- den. Zum Beispiel k ̈ onnen die Muskeln und Sehnen durch elastische Elemente mitbetrachtet werden. Ergebnisse einer Simulation k ̈ onnen in die Entwicklung von z.B. Prothesen einfließen. Hier findet auch oft eine Kombination von MKS und FEM statt. 1.3 Topologie von Systemen Mehrk ̈ orpersysteme k ̈ onnen in Kettensysteme, Baumsysteme (open-loop systems) und geschlossene Systeme (closed-loop systems) unterschieden werden wie in Abb. (1.4) dargestellt. Beachte, dass die einzelnen K ̈ orper mittels sogenannten Zwangsbedinungen (Joints) verbunden sind. Wie solche Systeme mathematisch modelliert werden k ̈ onnen ist Hauptbestandteil der Vorlesung. 1.3.1 Offene Systeme Offene Systeme haben eine klare Hierarchie, in welcher jeder K ̈ orper zu genau einem ’niedrigeren’ K ̈ orper verbunden ist aber mehrere ’obere’ K ̈ orper tragen kann. In vielen F ̈ allen ist der K ̈ orper mit der geringsten Ebene der ’Boden’ (ground), welcher sich nicht bewegt. F ̈ ur solche Systeme ist es m ̈ oglich eine minimale Anzahl von sogenannten generalisierten Koordinaten anzugeben, um die translatorische und rotatorische Position relativ zum ’Boden’ angeben zu k ̈ onnen. Typisches Beispiel ist wieder der Schweißroboter bzw. der menschliche K ̈ orper als Baumsystem - wenn nur ein Fuß auf dem Boden aufsteht. 8 KAPITEL 1. EINF ̈ UHRUNG Abbildung 1.4: Mehrk ̈ orpertopologien: (a) Kettentopologie (b) Baumtopologie; (c) und (d) geschlos- sene Topologie 1.3.2 Geschlossene Systeme Im Gegensatz zu oben kann bei geschlossenen Systemen keine Hierarchie angegeben werden, da alle K ̈ orper von den Bewegungen der anderen mit verbundenen K ̈ orpern abh ̈ angen. Nur der Boden ist als K ̈ orper statisch. Die Bewegung eines Kolbentriebs w ̈ are hier ein Beispiel oder ein Peaucellier Mecha- nismus, siehe unten in Abbildung (1.5). Hier kann es schwierig werden die Freiheitsgrade solch eines Systems zu bestimmen. Es hat nur einen einzigen Freiheitsrad und generiert eine senkrechte Bewe- gungslinie des Punktes A. Zum Beispiel k ̈ onnte der Winkel des Teilst ̈ ucks C als Freiheitsgrad verwendet werden um das gesamte System beschreiben zu k ̈ onnen. Jedoch ist es aufw ̈ andig die Positionen der an- deren K ̈ orper nur ̈ uber diesen einen Freiheitsgrad zu bestimmen. Nat ̈ urlich m ̈ ussen MKS-Programme in der Lage sein solche Problemstellungen zu berechnen. Das kann durch die Verwendung von redundan- ten Koordinaten bzw. Freiheitsgraden und der Verwendungen von algebraischen Zwangsgleichungen erm ̈ oglicht werden. Eine M ̈ oglichkeit ist allen K ̈ orpern jeweils alle 6 Freiheitsgrade zu geben was als globale Methode bekannt ist und in vielen MKS-Programmen Anwendung findet, z.B. MSC ADAMS. Es bedarf speziellen numerischen Routinen um die auftretenden Gleichungssysteme von differential- und algebraischen Gleichungen zu l ̈ osen. Abbildung 1.5: Peaucellier und Kurbeltrieb Mechanismus als Beispiel f ̈ ur geschlossene Systeme. Eine Animation findet sich unter: https://en.wikipedia.org/wiki/Peaucellier bzw. https://en.wikipedia.org/wiki/Crankshaft 1.4. HISTORISCHES 9 1.4 Historisches Die Moderne Physik beginnt mit Sir Isaac Newton , einem der bekanntesten und wichtigsten Naturwis- senschaftler der westlichen Welt. Newton legte seine Ideen zur Mechanik in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica dar, welches er im Jahr 1687 ver ̈ offentlichte. Seine ber ̈ uhmten drei universalen Gesetze der Bewegung waren haupts ̈ achlich durch astronomische Beobachtungen motiviert, stellten sich aber als universell f ̈ ur mechanische Systeme heraus. Die Formel ’Masse mal Beschleuni- gung ist gleich der Kraft’ kann nicht so in dem Werk gefunden werden. Newton ́ s Version dieser Gleichung ist die Betrachtung der zeitlichen ̈ Anderung des linearen Impulses, welcher gleich ist der auf den K ̈ orper einwirkenden Kraft d dt [ mv ] = f Abbildung 1.6: Sir Isaac Newton (1643-1727) war ein englischer Physiker, Mathematiker, Astronomer, Naturphilosoph, Alchemist und Theologe. Hier ab- gebildet ungef ̈ ahr im Alter von 45, kurz nach der Ver ̈ offentlichung seines Werks ’Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’. Sie wird allgemein als Grund- werk der klassischen Mechanik angesehen. In der Ma- thematik entwickelte er unabh ̈ angig von Gottfried Leib- niz die Infinitesimalrechnung. Er ist auch bekannt f ̈ ur die Entwicklung des allgemeinen binomischen Theo- rems, die ’Newton Methode’ um die Nullstellen einer Funktion zu finden und Beitr ̈ age zu Exponentialreihen. Newton war auch ein engagierter Christ, wenn auch unorthodox. Er schrieb mehr zur Alchemie und Ausle- gung der Bibel als zu naturwissenschaftlichen Themen, f ̈ ur die er heute so bekannt ist. (PD) Der Einfluss von Newton ́ s Theorie auf die Naturwissenschaften war enorm. Einige Naturwissenschaft- ler und Philosophen glaubten sogar, dass alle Ph ̈ anomene des Universums durch die Newtion ́ sche Mechanik erkl ̈ art werden k ̈ onnten. Erst durch die Entwicklung der Relativit ̈ atstheorie und der Quan- tenmechanik f ̈ uhrte hier zu einem v ̈ olligen Umdenken am Beginn des 20. Jahrhunderts. Es ist jedoch ein Missverst ̈ andnis, dass s ̈ amtliche S ̈ atze der klassischen Mechanik aus den Newton ́ schen Gesetzen allein abgeleitet werden k ̈ onnten. Im Einzelnen, beinhalten sie nicht das Gesetz des Drehim- pulses, welches zum ersten Mal von Leonhard Euler publiziert wurde. F ̈ ur Starrk ̈ orper beschreibt das Gesetz des linearen Impulses nur die Bewegung des Massenschwerpunktes, w ̈ ahrend das Gesetz des Drehimpulses n ̈ otig ist um Drehbewegungen zu beschreiben. Euler wird als der vorherrschende Ma- thematiker des 18. Jahrhunderts gesehen bzw. als einer der gr ̈ oßten aller Zeiten. Ohne Euler, w ̈ are die Mehrk ̈ orperdynamik nicht vollst ̈ andig. Die Gesetze von Newton und Euler reichen nun aus die Bewegung eines Starrk ̈ orpers zu beschreiben. Der lineare so wie der Drehimpuls sind kartesische Vektoren welche in Bezug stehen zu den Kr ̈ aften und Momenten die am K ̈ orper angreifen. Um die Bewegungsgleichungen zu erstellen muss der K ̈ orper zuerst freigeschnitten werden (free body diagram, Abbildung (1.7) und (1.8) ). Zwangskr ̈ afte erscheinen ebenfalls in diesen Gleichungen, obwohl sie nicht unbedingt von Interesse sind. Abgesehen vom Newton-Euler Zugang wurde eine alternative Beschreibung von Mehrk ̈ orpersystemen w ̈ ahrend des 18. Jahrhunderts entwickelt. Basierend auf den Werken des Mathematikers Jakob Ber- noulli , formulierte der Physiker und Philosoph Jean le Rond D’ Alembert ein wegweisendes Theorem um das dynamische Verhalten von interagierenden K ̈ orpern zu analysieren. Das Theorem f ̈ uhrt keine Zwangsbedingungen oder -kr ̈ afte ein. 10 KAPITEL 1. EINF ̈ UHRUNG Abbildung 1.7: Bildliche Beschreibung des Sys- tems (PD) Abbildung 1.8: Freigeschnittenes System - free body diagram (PD) Abbildung 1.9: Leonhard Euler (1707-1783) war ein Schweizer welcher den meisten Teil seines Lebens in Russland und Deutschland verbrachte. Er wird als der vorherrschende Mathematiker des 18. Jahrhunderts angesehen und als einer der gr ̈ oßten aller Zeiten. Er ist bekannt f ̈ ur seine Arbeiten in Mechanik, Fluid Me- chanik, Optik und Astronomie. Euler war auch einer der produktivsten Wissenschaftler der an die 900 Ar- tikel, Aufs ̈ atze und B ̈ ucher ver ̈ offentlichte. Er war ein engagierter Christ, schrieb zur Apologetik des christli- chen Glaubens und debattierte kraftvoll gegen die be- kannten Atheisten seiner Zeit. D’Alemberts Idee ist enthalten in seinem Werk Trait` e de dynamique welches 1743 ver ̈ offentlicht wurde. Es ist nicht einfach zu lesen und den Argumentationen zu folgen. Was heute als ’D’ Alemberts Prinzip’ bezeichnet wird ist eine modifizierte Version der S ̈ atze aus der Trait` e de dynamique welche auf Joseph Louis Lagrange zur ̈ uckgeht. Ein italienischer Mathematiker aus Turin, welcher die meiste Zeit seines Lebens in Frankreich und Preußen lebte. Lagrange fasste s ̈ amtliche Arbeit im Bereich der Mechanik seit Newton in seinem ber ̈ uhmten Werk M` ecanique analytique , ver ̈ offentlicht 1788, zusammen. Mit dieser Arbeit transformierte Lagrange die Mechanik in einen Zweig der mathematischen Analysis. Er schrieb in der Einleitung: Abbildung 1.10: Avertissement M` ecanique analytique von Joseph Louise Lagrage (PD) Keine Figuren werden in dieser Arbeit gefunden. Die Methoden die ich beschreibe ben ̈ otigen weder geo- metrische, noch mechanische Konstruktionen oder Erkl ̈ arungen, sondern nur algebraische Operationen verbunden mit einer standardisierten und einheitlichen Prozedur. All jene die Analysis lieben werden mit Freuden sehen das die Mechanik ein Teil von Ihr geworden ist und mir danken, dass ich ihren Anwendungsbereich erweitert habe. Neben der modernen Version des D’ Alember’teschen Prinzips beinhaltet die M` ecanique analytique 1.4. HISTORISCHES 11 die Ableitung der ber ̈ uhmten Lagrange Gleichungen welche die Dynamik eines Systems in Bezug auf willk ̈ urliche gew ̈ ahlten Koordinaten beschreibt. Lagrange verdanken wir auch das Verst ̈ andnis der Beziehung von Mechanik und Variationsrechnung (bzw. Optimierung). In fr ̈ uhem Alter von ca. 19 Jahren machte er einige wichtige Entdeckungen in diesem neuen Gebiet der Variationsrechnung, welche seinen ̈ alteren Kollegen Euler sehr beeindruckten. Abbildung 1.11: Jean le Rond D’Alembert (1717 - 1783) war ein franz ̈ osischer Mathematiker, Mecha- niker, Physiker und Philosoph. Als uneheliches Kind wurde er an der Kirche St-Jean-le-Rond ausgesetzt. Sp ̈ ater aber von seinem leiblichen Vater unterst ̈ utzt was seine Ausbildung anging. Abgesehen von seiner Wirkung in Mathematik und Naturwissenschaften war er einer der wichtigsten Vertreter der Zeitalter der Er- leuchtung. Auch ist D’Alembert bekannt als Mitheraus- geber mit Denis Diderot der ”Encyclop` edie“, ein Le- xikon, das die Kenntnisse, insbesondere der naturwis- senschaftlichen, des 18. Jahrhunderts zusammenfass- te und auch subversive Ideen, welche die franz ̈ osische Monarchie angriffen. Der Discours pr ́ eliminaire des ersten Bandes, ein Manifest f ̈ ur die Aufkl ̈ arung, mach- ten ihn weltbekannt. Er verfasste dazu 1700 Eintr ̈ age. Abbildung 1.12: Joseph Louis Lagrange (1736-1813) war ein italienischer Mathematiker und Astronom und wurde in Turin geboren. Sein urspr ̈ unglicher Name war Giuseppe Lodovico Lagrangia. Er brachte sich als Jugendlicher innerhalb eines Jahres das Wissen eines ausgebildeten Mathematikers bei. Er lebte die meiste Zeit seines Lebens in Preußen und Frank- reich, wo er bedeutende Beitr ̈ age zu allen Bereichen der Analysis, Zahlentheorie, klassischen Mechanik und Himmelsmechanik machte. Wie Euler schrieb er zum Dreik ̈ orperproblem, damals eines der schwierigsten Probleme, welches sich fast nur numerisch l ̈ osen l ̈ asst. Auf die Empfehlung von Euler und D’ Alembert folg- te Lagrange 1766 Euler als Direktor der Mathematik an der preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin nach, wo er 20 Jahre lang blieb. 1787 wurde er Mitglied der franz ̈ osischen Akademie der Wissen- schaften und verblieb in Frankreich bis zum Lebensen- de. Napoleon zeichnete Lagrange mit dem Legion the Honour aus und machte Ihn zum Reichsgraf. Der Zugang von Lagrange zur Mechanik wird als Lagrange-Mechanik bezeichnet und ist dadurch aus- gezeichnet, dass sie nicht von der geometrischen Beschreibung des Systems abh ̈ angt. Die Freiheitsgrade k ̈ onnen (fast) willk ̈ urlich gew ̈ ahlt werden. Jedoch war Lagrange ́ s epochales Werk noch nicht das En- de der Beschreibung der klassischen Mechanik. Noch tieferen Einblick in die Mechanik gew ̈ ahrte die Arbeit des irischen Mathematikers Sir William Rowan Hamiltion in der ersten H ̈ alfte des 19. Jahr- hunderts. W ̈ ahrend des 20. Jahrhunderts wurde die sogenannte Hamilton ́ sche Mechanik sehr wichtig 12 KAPITEL 1. EINF ̈ UHRUNG Abbildung 1.13: Sir William Rowan Hamilton (1805- 1865) war ein irischer Physiker, Astronom und Ma- thematiker, der wichtige Beitr ̈ age geleistet hat zur klassischen Mechanik, Optik und Algebra. Hamilton soll dabei immenses Talent in fr ̈ uhem Alter bewiesen haben. Sein gr ̈ oßter Beitrag ist vielleicht die Neufor- mulierung der Newtonschen Mechanik, jetzt Hamilton- sche Mechanik genannt. Diese Arbeit hat sich als zen- tral f ̈ ur die Entwicklung von Quantenmechanik erwie- sen. In der Mathematik ist er bekannt f ̈ ur seine Ent- deckung der Quaternionen, i 2 = j 2 = k 2 = ijk = − 1 Lord Kelvin schrieb dazu: Quaternionen erfand Ha- milton, nachdem seine wirklich bedeutenden Arbeiten abgeschlossen waren. Sie sind, obwohl sch ̈ on und ge- nialen Ursprungs, f ̈ ur jeden, der in irgendeiner Weise mit ihnen in Ber ̈ uhrung kam, ein Fluch gewesen. f ̈ ur die Entwicklung der Quantenmechanik. Heute kann die formale Entwicklung der klassischen Mechanik als abgeschlossen angesehen werden, obwohl sie immer noch eine Quelle der Inspiration f ̈ ur Mathematiker ist. In heutiger Zeit wurden die formalen Konzepte der Lagrang ́ schen und Hamilton ́ schen Mechanik interessant f ̈ ur die Simulation von Mehrk ̈ orpersystemen mit entsprechenden Programmen. Somit ist es grundlegend f ̈ ur Ingenieure sich mit diesen Wissenschaften auseinanderzusetzen. Kapitel 2 Mechanische und mathematische Grundlagen 2.1 Virtuellen Verschiebungen Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen ist ein Instrument um in vielen F ̈ allen sehr viel einfacher die Statik des Systems beschreiben zu k ̈ onnen als s ̈ amtliche Kr ̈ afte und Momente an jedem Knoten auswerten zu m ̈ ussen. Eine virtuelle Verschiebung (manche nennen es Verr ̈ uckung) ist eine gedachte, sprich virtuell vorgestellte, Verschiebung des mechanischen Systems. Eine vertr ̈ agliche Verschiebung ist eine solche, welche keine Zwangsbedingungen wie feste Lager etc. aufl ̈ ost und entsprechend der beweglichen Freiheitsgrade des Systems durchgef ̈ uhrt wird. Falls Zwangsbedingungen aufgel ̈ ost werden m ̈ ussen entsprechend Kr ̈ afte und Momente zus ̈ atzlich eingebracht werden. Der Vektor r entspricht dem Abbildung 2.1: vertr ̈ agliche virtuelle Verschiebung f ̈ ur ein zweiwertiges Lager Abbildung 2.2: beliebige virtuelle Verschiebung Ortsvektor zum Kraftangriffspunkt P. Eine infinitesimal kleine virtuelle Verschiebung dieses Vektors wird mit δ r gekennzeichnet und kann als Ableitung des Ortsvektors r nach allen Freiheitsgraden, multipliziert mit einer infinitesimalen Verschiebung in die entsprechende Richtung, aufgefasst werden. Dies wird als Variation von r bezeichnet. Mathematisch ausgedr ̈ uckt schreibt es sich f ̈ ur unser Beispiel: r P = l [ cos φ sin φ ] → δ r P = l [ − sin φ cos φ ] δφ (2.1) 13 14 KAPITEL 2. MECHANISCHE UND MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Man bemerke, dass die Variation δ r der Normalenvektor auf r ist, da die Komponenten vertauscht und das Vorzeichen einer Komponente wechselt. Dieser Umstand hat wesentliche Bedeutung und wird uns sp ̈ ater noch besch ̈ aftigen. Allgemein kann die virtuelle Verschiebung geschrieben werden als die Summe der partiellen Ableitungen nach den Systemvariablen. Diese werden auch generalisierte Koordinaten genannt und k ̈ onnen frei gew ̈ ahlt werden, solange sie unabh ̈ angig voneinander sind. Zum totalen Differential grenzt sich die virtuelle Verschiebung dadurch ab, dass sie ohne Zeitableitung auskommt - die Zeit wird quasi fixiert. Variation: δ ( ) = ∑ i ∂ ( ) ∂q i δq i (2.2) Totales Differential: d ( ) = ∑ i ∂ ( ) ∂q i dq i + ∂ ( ) ∂t dt (2.3) 2.2 Prinzip der Virtuellen Arbeit L ̈ asst man nun eine Kraft f angreifen gelangt man zum Prinzip der Virtuellen Arbeit, wobei auch die Momente mit ber ̈ ucksichtigt werden m ̈ ussen um einen statischen Zustand erzeugen zu k ̈ onnen. δW = ∑ i f i · δ r i + ∑ i M i δq i = ∑ i f i ∂ r ∂q i δq i + ∑ i M i δq i (2.4) Der Kerngedanke ist nun, dass die virtuelle Verschiebung ja nur gedachte ist (virtuell) und keine Abbildung 2.3: Virtuelle Arbeit bei vertr ̈ aglicher Verschiebung physikalische Bedeutung hat. Deshalb muss sie schlussendlich verschwinden. Man kann somit ansetzten δW ! = 0 (2.5) was ein Extremum darstellt. Mit dem Aufstellen der virtuellen Arbeit k ̈ onnen z.B. Gleichgewichtslagen sehr einfach bestimmt wer- den oder einzelne Zwangskr ̈ afte ohne das gesamte System freischneiden zu m ̈ ussen. 2.2. PRINZIP DER VIRTUELLEN ARBEIT 15 2.2.1 Beispiel Stab Vertr ̈ agliche virtuelle Verschiebung: δW = [[ 0 − F ] · l [ − sin φ cos φ ] + M ] δφ ! = 0 (2.6) Beliebige virtuelle Verschiebung: Hier m ̈ ussen zus ̈ atzlich die Lagerkr ̈ afte A und B der aufgel ̈ osten Zwangsbedingungen eingebracht und variiert werden: r = [ x + l cos φ y + l sin φ ] → δ r = l [ − sin φ cos φ ] δφ + [ 1 0 ] δx + [ 0 1 ] δy (2.7) δW = [[ 0 − F ] · l [ − sin φ cos φ ] + M ] δφ + [[ 0 − F ] + [ 0 A ]] · [ 0 1 ] δy + [ B 0 ] · [ 1 0 ] δx ! = 0 (2.8) Nun muss jeder einzelne variierte Term f ̈ ur sich verschwinden. Daraus ergeben sich die Gleichgewichts- bedingungen der Statik ∑ F = ∑ M = 0. Falls die Stabkr ̈ afte im Falle einer vertr ̈ aglichen virtuellen Verschiebung mit eingebracht werden ergibt sich, dass deren virtuelle Arbeit verschwindet. Einerseits weil die Variation des Ortsvektors 0 ergibt f ̈ ur S 1 am Lagerpunkt angreifend und andererseits weil das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren verschwindet f ̈ ur S 2 am Kraftangriffspunkt angreifend (blau): δW = [[ 0 − F ] · l [ − sin φ cos φ ] + M ] δφ + S [ cos φ sin φ ] · 0 + S [ − cos φ − sin φ ] · l [ − sin φ cos φ ] δφ ! = 0 (2.9) Damit konnte gezeigt werden, dass bei vertr ̈ aglicher Verschiebung die Zwangskr ̈ afte keine virtuelle Arbeit leisten. Somit k ̈ onnen viele Probleme vereinfacht werden und es m ̈ ussen nicht in jedem Fall die kompletten Gleichgewichtsbedingungen der Statik durchgerechnet werden. Falls jedoch bestimmte Zwangskr ̈ afte ausgewertet werden sollen, so k ̈ onnen diese gezielt bestimmt werden indem das System so beweglich gemacht wird, dass die interessierenden Zwangskr ̈ afte nicht mehr verschwinden. Fazit: Die Summe der virtuellen Arbeiten aller eingepr ̈ agter Kr ̈ afte eines mechanischen Systems im Gleichgewicht verschwindet → das ist die St ̈ arkte der Betrachtung der virtuellen Arbeit, da in der Regel nur an wenigen Punkten eingepr ̈ agte Kr ̈ afte wirken. Das wirklich alle Zwangskr ̈ afte keine virtuelle Arbeit leisten, ist damit aber noch nicht abschließend erwiesen, sondern steht als Hypothese im Raum und kann als Axiom der Mechanik angesehen werden. Zu beachten ist, dass Reibungskr ̈ afte sehr wohl virtuelle Arbeit verrichten, da sie immer gegen die m ̈ ogliche Bewegungsrichtung gerichtet sind. Auch innere Kr ̈ afte in deformierbaren K ̈ orpern. Solche Kr ̈ afte z ̈ ahlen definitionsgem ̈ aß allerdings zu den eingepr ̈ agten Kr ̈ aften. Innere Kraft ̈ Außere Kraft Zwangskraft Stab-, Gelenkkr ̈ afte (S,G) Aufstands-, F ̈ uhrungskr ̈ afte (A,B) Eingepr ̈ agte Kr ̈ afte ̈ Außere Kraft (F), freigemachte Zwangskr ̈ afte 16 KAPITEL 2. MECHANISCHE UND MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Abbildung 2.4: Beispiele von Zwangskr ̈ aften die keine virtuelle Arbeit verrichten: Stabkr ̈ afte am starren K ̈ orper, F ̈ uhrungskr ̈ afte, Gelenkkr ̈ afte 2.2.2 Beispiel Waage Abbildung 2.5: Waage mit angreifenden Kr ̈ aften δW = [[ 0 − F 1 ] · l 1 [ − sin φ cos φ ] + [ 0 − F 2 ] · l 2 [ sin φ − cos φ ]] δφ ! = 0 (2.10) Die Gleichung ist erf ̈ ullt wenn der Ausdruck in der Klammer verschwindet. Somit gilt [ − F 1 l 1 + F 2 l 2 ] cos φ ! = 0 (2.11) Der Termin in der Klammer muss verschwinden, was auf die Hebelgesetze f ̈ uhrt um ein Gleichgewicht zu erzeugen. Man erkennt aber noch einen weiteren Gleichgewichtszustand, n ̈ amlich wenn φ gleich π 2 gesetzt wird. Das entspricht der senkrechten Ausrichtung der Waage. 2.2. PRINZIP DER VIRTUELLEN ARBEIT 17 2.2.3 Beispiel Leiter Abbildung 2.6: Leiter mit gel ̈ ostem Zwang und Einbringung von Stabkr ̈ aften als eingepr ̈ agte Kr ̈ afte δW = [[ 0 − F ] · a [ − sin α cos α ] + [ S 0 ] · s [ − sin α cos α ] + [ − S 0 ] · [ − 2 L sin α + s sin α s cos α ]] δα ! = 0 (2.12) → S = a cot α 2( L − s ) F (2.13) Der Ausdruck f ̈ ur die Seilkraft S kann auch durch Aufstellen der statischen Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden. Jedoch m ̈ ussen hierzu Aufstands- und Gelenkkr ̈ afte berechnet werden. 2.2.4 Beispiel Balken Abbildung 2.7: Mehrfach gelagerter Balken mit angreifenden Kr ̈ aften Das Beispiel zeigt einen mehrfach gelagerten Balken. Es soll die Aufstandskraft des zweiten Lagers ermittelt werden. Die L ̈ osung mittels der Gleichgewichtsbedingungen ist nicht mehr einfach gegeben. 18 KAPITEL 2. MECHANISCHE UND MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Mittels dem Prinzip der virtuellen Arbeit kann dieses Problem aber elegant gel ̈ ost werden. Da es sich nur um infinitesimale Verschiebungen handelt und die Kr ̈ afte nur in senkrechter Richtung angreifen k ̈ onnen folgende Vereinfachungen eingef ̈ uhrt werden: sin α a = sin ψ 2 a → sin ψ = sin α 2 (2.14) sin α ≈ α → ψ = α 2 → δψ = δα 2 (2.15) δW = A ( − a δα ) − F 1 ( − a δψ ) − F 2 2 a δψ ! = 0 (2.16) δW = − A a δα + F 1 a δα 2 − F 2 2 a δα 2 = [ − A + F 1 2 − F 2 ] a δα ! = 0 (2.17) Hiermit werden die einf ̈ uhrenden Beschreibungen abgeschlossen und es ist nun m ̈ oglich sich der Dy- namik zuzuwenden. Kapitel 3 Lagrange Formalismus 2. Art In diesem Kapitel werden die grundlegenden Gleichungen der Dynamiksimulation entwickelt, was in den Lagrange Formalismus m ̈ undet. Die 2. Art bezieht sich hier auf konservative und nicht konserva- tive Systeme ohne zus ̈ atzliche Zwangsbedingungen. Im ersten Schritt wollen wir uns auf konservative Systeme beschr ̈ anken. Ausgangspunkt sei der Ortsvektor r ( q 1 , ...q i , t ) im karthesischen Koordinatensystem. Die Variablen q i sind die generalisierten Koordinaten, auch Freiheitsgrade genannt, die gew ̈ ahlt wurden um das zu beschreibende System zu modellieren. Es gibt hier grunds ̈ atzlich keine Einschr ̈ ankungen, jedoch die Ka- tegorie der unabh ̈ angigen und abh ̈ angigen Freiheitsgrade. Wenn unabh ̈ angige Freiheitsgrade gew ̈ ahlt werden, kann das System mit einer minimalen Anzahl von Freiheitsgraden beschrieben werden. Im Fall von abh ̈ angigen Variablen m ̈ ussen noch Zusatzbedingungen, sogenannte Zwangsbedingungen, ein- gef ̈ uhrt werden. Zum Beispiel kann ein mathem. Pendel mit konstanter L ̈ ange mit nur einem Freiheitsgrad q = φ beschrieben werden. Es ist aber auch m ̈ oglich, das gleiche Pendel mit zwei Freiheitsgraden x 1 , y 1 zu beschreiben. Im zweiten Fall sind die gew ̈ ahlten generalisierten Koordinaten aber nicht unabh ̈ angig. Wenn x 1 verschoben wird muss sich notwendigerweise auch y 1 bewegen, da sonst die konstante L ̈ ange des Pendels verletzt wird. Das geschieht aber nur, wenn zus ̈ atzliche Zwangsbedingungen eingef ̈ uhrt werden. Die Lagrange-Gleichungen ohne Zwangsbedingungen und einem minimalen Set von Freiheits- graden heißen Gleichungen 2. Art. Hingegen mit Zwangsbedingungen werden sie als Gleichungen 1. Art bezeichnet. 3.1 Herleitung f ̈ ur konservative Systeme Am Anfang, quasi in historischer Folge, stehen die newton’schen Gesetze. F ̈ ur die Dynamik eines K ̈ orpers oder Systems im Besonderen das zweite Gesetz. Wenn man sich nun einen Starrk ̈ orper als als Ansammlung von Atomen der Anzahl k mit unver ̈ anderlichen Massen vorstellt erh ̈ alt man: ∑ k m k ̈ r k = ∑ k f k (3.1) r stellt hier den Ortsvektor im kartesischen Koordinatensystem dar, der einer zeitlichen ̈ Anderung unterliegt, siehe Abbildung (3.2). v = lim ∆ t → 0 r ( t + ∆ t ) − r ( t ) ∆ t = d r dt = ̇ r (3.2) a = lim ∆ t → 0 v ( t + ∆ t ) − v ( t ) ∆ t = d v dt = d 2 r dt 2 = ̈ r (3.3) Es w ̈ are aber schwierig die Bewegungsgleichungen zu finden, da es in der Regel viel mehr innere 19 20 KAPITEL 3. LAGRANGE FORMALISMUS 2. ART Abbildung 3.1: Modell eines starren K ̈ orpers aus Ato- men mit externer eingepr ̈ agter Kraft F und exempla- rischen inneren Zwangskr ̈ aften F z Zwangskr ̈ afte gibt als ̈ außere eingepr ̈ agte Kr ̈ afte der Form f = f ( t ) f ̈ ur welche ein Relation vorliegt. Im einfachsten Fall w ̈ are eine externe Kraft konstant im Betrag und in der Ausrichtung, z.B. das Gravi- tationsfeld in Erdn ̈ ahe. Auch w ̈ urden uns die newton’schen Gesetze nicht viel ̈ uber die Zwangskr ̈ afte Abbildung 3.2: Zeitliche ̈ Anderung des Ortsvektor r im Zeitinterval [ t, t + ∆ t ] aussagen, außer das die Kr ̈ afte zwischen den Atomen entgegen gesetzt wirken nach dem dritten Gesetz (Aktion = Reaktion, lex tertia ). Somit ben ̈ otigen wir ein anderes Prinzip welches es m ̈ oglich macht den K ̈ orper nicht in seine Atome zerlegen zu m ̈ ussen. 3.1.1 D’ Alembert’sches Prinzip Dieses Prinzip wurde von dem franz ̈ osischen Philosophen, Physiker und Mathematiker Jean D’ Alem- bert gefunden. Dazu variieren wir die obige Gleichung entsprechend der statischen Grundlagen und erhalten: ∑ k m k ̈ r k δ r k = ∑ k f k δ r k (3.4) Was zuerst nur wie eine rein formale Erweiterung aussieht beinhaltet aber den Aspekt, dass nun der rechte Termin die virtuelle Arbeit aller wirkenden Kr ̈ afte darstellt. In der Statik w ̈ urde diese verschwinden, in der Dynamik ist aber die Zeit mit inbegriffen, was durch die Gleichung ausgedr ̈ uckt wird. Wir k ̈ onnen uns aber vorstellen, die Zeit f ̈ ur jeden infinitesimalen Zeitschritt anzuhalten. Damit k ̈ onnen wir wiederum ableiten, dass s ̈ amtliche Zwangskr ̈ afte f ̈ ur eine vertr ̈ agliche virtuelle Verschiebung ver