Note sur une Méthode pour la Réduction d'Intégrales Définies et sur son Application à Quelques Formules Spécials - D. Bierens de (David Bierens) Haan

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6 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES définie. A cet effet prenons q pour la variable, le théorème précédent nous fournira l’équation Z β  ϕ(q, x) · dq f (q, x) dq = ϕ(β, x) · f (β, x) − ϕ(α, x) · f (α, x) α Z β  − f (q, x) · dq ϕ(q, x) dq; α tandis que la méthode mentionnée est comprise, dans le cas général, sous la for- mule : Z β Z b Z b Z β dy F(y, z) dz = dz F(y, z) dy − ∆, α a a α où ∆ est la correction, qu’il faut ajouter en divers cas de discontinuité. Prenons dans cette formule q et x au lieu de y et z : nous aurons Z β Z b Z b Z β dq F(q, x) dx = dx F(q, x) dq − ∆. α a a α  Supposons en outre que F(q, x) soit de la forme ϕ(q, x) · dq f (q, x) , et nous trouverons enfin par la substitution de la première équation Z β Z b Z b    dq ϕ(q, x) · dq f (q, x) dx = dx ϕ(β, x) · f (β, x) − ϕ(α, x) · f (α, x) α a a Z b Z β  − dx f (q, x) · dq ϕ(q, x) dq − ∆. (B) a α Il s’en suit donc le Z b Théorème II. Lorsque dans une intégrale définie F(q, x) dx la fonction F(q, x) a peut être mise sous la forme d’un produit, tel que l’un des facteurs soit la différentielle d’une fonction connue quelconque de q , c’est-à-dire, lorsqu’on a  F(q, x) = ϕ(q, x) · dq f (q, x) , on aura aussi l’équation Z β Z b Z b Z β   dq ϕ(q, x) · dq f (q, x) dx = − dx f (q, x) · dq ϕ(q, x) dq − ∆ α a a α Z b   + dx ϕ(β, x) · f (β, x) − ϕ(α, x) · f (α, x) ; a où ∆ est la correction nécessaire dans certains cas de discontinuité de la fonction F(a, x) — pour des valeurs de q et de x, qui tombent entre les ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 7 limites respectives incluses, α et β , a et b, — lors de l’application de la méthode du changement dans l’ordre des intégrations. Toutefois ce résultat ne peut valoir que sous la double condition, à laquelle ce changement est soumis, savoir que Z b 1 d2 · F(q, x) y= 2 Lim. ε et Lim. y dx dq 2 a soient toutes deux nulles. Comme pour le Théorème I il faut observer, qu’on a supposé que ϕ(q, x) · f (q, x) soit continu entre les limites α et β de q : lorsque cela ne serait plus le cas, il faudrait ajouter au second membre de cette équation la correction Z β   Lim. f (c − ε) · ϕ(c − ε) − f (c + ε) · ϕ(c + ε) . α 4. A l’aide de cette méthode les intégrales C et D se déduisent aisément. Nous pouvons appliquer le théorème ici de trois manières différentes, savoir Z ∞ −px Z ∞ e dx e−px k = k d·x 0 (x + q) 0 (x + q) xe−px ∞ Z ∞  −pe−px dx   −px −k dx = − x +e (x + q)k 0 0 (x + q)k (x + q)k+1 ∞ ∞ xe−px    k − pq Z −px p kq = + e dx + − , (x + q)k 0 0 (x + q)k−1 (x + q)k (x + q)k+1 Z ∞ −px Z ∞ ∞ Z ∞ e dx 1 −px e−px −px −k −p k = k d · e = − e dx , 0 (x + q) 0 (x + q) (x + q)k 0 0 (x + q)k+1 Z ∞ −px Z ∞ ∞ Z ∞ e dx −px 1 e−px 1 −k k+1 = e d· k = k − k · −pe−px dx. 0 (x + q) 0 (x + q) (x + q) 0 0 (x + q) b Ici, comme partout dans la suite, la notation : F(x) signifie, que l’on doit prendre a la fonction F(x) entre les limites a et b. Voyons d’abord ce que deviennent ici les termes déjà intégrés, dont les deux derniers sont égaux. Pour la limite 0 de x ils sont xe−px 0·1 e−px 1 k = k =0 et k = k. (x + q) q (x + q) q Pour l’autre limite ∞ de x ils s’offrent sous la forme xe−px ∞·0 e−px 0 k = = 0, pour k = 1, = = 0, pour k > 0. (x + q) ∞k (x + q)k ∞ 8 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Donc ces termes, quoiqu’on partie ils semblent indéterminés, sont en vérité 0 ou q −k . Donc les équations deviennent, après la séparation des intégrales, réunies par les signes + ou −, Ck = pCk−1 + (k − pq)Ck − kqCk+1 , ou bien kqCk+1 = pCk−1 − (pq − k + 1)Ck , k=1 (c) et 1  −pCk = − k + kCk+1 , k > 0  q  (d) 1 −kCk+1 = − k + pCk , k > 0   q dont les deux dernières coincident. Dans l’application la formule (d) sera la plus 1 facile : en tous cas on trouve, parceque C0 = , C1 = a : p 1 C2 = −ap + , q ap2 1 − pq C3 = + , 2 2q 2 ap3 2 − pq + p2 q 2 C4 = − + , 2·3 2 · 3 · q3 ap4 2 · 3 − 2pq + p2 q 2 − p3 q 3 C5 = + ; 2·3·4 2 · 3 · 4 · q4 donc en général (−p)k−1 1 k−1 P k−n−1/1 Ck = a+ 1 (−pq)n−1 (3) 1k−1/1 1 k−1/1 q k−1 1 en accord avec les deux formules générales de réduction. On trouverait de même (−p)k−1 1 k−1 P k−n−1/1 Dk = b+ 1 (pq)n−1 . (4) 1k−1/1 1 k−1/1 (−q) k−1 1 5. Restent encore les intégrales analogues Z ∞ −px h Z ∞ −px h e x dx e x dx = Eh,k , = Fh,k , 0 (x + q)k 0 (x − q)k qui ne sont pas aussi simples. En premier lieu notre méthode donne ici d’un triple point de vue e−px xh+1 ∞ Z ∞ −px h Z ∞ e−px  e x dx h+1 (h + 1) = d·x = 0 (x + q)k 0 (x + q) k (x − q)k 0 Z ∞  −px dx  h+1 −pe −px −k dx − x +e ; 0 (x + q)k (x + q)k+1 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 9 e−px xh+1 ∞ Z ∞ −px h+1 Z ∞ xh+1  e x dx −px −p = d·e = 0 (x + q)k 0 (x + q) k (x + q)k 0 Z ∞ ( ) h −k dx −px (h + 1)x dx h+1 − e +x ; 0 (x + q)k (x + q)k+1 e−px xh+1 ∞ Z ∞ −px h+1 Z ∞  e x dx −px h+1 1 −k = e x d· = 0 (x − q)k+1 0 (x + q)k (x + q)k 0 Z ∞ 1 n −px h+1 h −px o − k −pe x dx + (h + 1)x e dx . 0 (x + q) Les termes déjà intégrés, qui ici sont les mêmes dans les trois formules, donnent 1·0 pour la limite x = 0, k = 0 ; mais pour la limite supérieure x = ∞, ils semblent q 0 · ∞h+1 indéterminés, vid. . Voyons ce qui en est et mettons les sous la forme ∞k xh+1 xh+1 (h + 1)xh . Nous aurons = . Donc la puis- epx (x + q)k epx (x + q)k epx p(x + q)k + k(x + q)k−1  sance diminue de degré dans le numérateur, jusqu’à ce que l’on aura 1h+1/1 ; dans le dénominateur on aura alors epx ph (x + q)k + · · · · · · + · · · (x + q)k−h  si k > h ; dans le cas contraire le dernier terme est (x + q)0 . Ce polynome est infini 0 pour x = ∞, epx est de même infini : donc la fraction est devenue bien ∞·∞ certainement zéro. Les équations deviennent ainsi : (h + 1)Eh,k = pEh+1,k + kEh+1,k+1 , −pEh+1,k = −(h + 1)Eh,k + kEh+1,k+1 , −kEh+1,k+1 = pEh+1,k − (h + 1)Eh,k . Ces trois équations sont donc identiques, et l’on a en général (k − 1)Eh,k = −pEh,k−1 + hEh−1,k−1 . (e) En application elle donne Eh,1 = Ah , Eh,2 = −pAh + hAh−1 , Eh,3 = 21 (−pEh,2 + hEh−1,2 ) = 21 p2 Ah − 2p · hAh−1 + h · (h − 1)Ah−2 ,
1 (−pE Eh,4 = 2·3 h,3 + hEh−1,3 ) 1 −p3 A 2
= 2·3 h+3 p hAh−1 − 3p · h(h − 1)Ah−2 + h · (h − 1)(h − 2)Ah−3 ; 10 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES donc en général k    1 P h k Eh,k+1 = 1k−m/1 (−p)m Ah−k+m (5) 1k/1 0 k−m m   x où est la notation usuelle pour le coefficient à index y de la puissance xième . y Mais cette formule a le grave inconvénient d’obliger à recourir à k + 1 valeurs différentes de A : l’on ne peut y remédier, qu’en perdant la forme simple, obtenue jusqu’ici. Car en vertu de (a) on a 1h−1/1 qAh−1 = − Ah ; ph substituons cette valeur dans l’équation pour Eh,2 et il ne reste que Ah et une quantité déterminée, non fonction de Ah : donc tous les Eh,k peuvent se déterminer de la même manière. Par le calcul on trouve en effet 1h/1 1 pq + h Eh,2 = − Ah , ph q q 1h/1 pq + h − 1 p2 q 2 + h · 2pq + h · (h − 1) Eh,3 = − + Ah , ph 1 · 2 · q 2 1 · 2 · q2 1h/1 pq + p2 q 2 + (h − 1) · 2pq + (h − 1) · (h − 2)
Eh,4 = h p 1 · 2 · 3 · q3 p3 q 3 + h · 3p2 q 2 + h · (h − 1) · 3pq + h · (h − 1)(h − 2) − Ah . 1 · 2 · 3 · q3 L’acte de progression dans le coefficient de Ah est facile à saisir : nous ne transcri- rons donc dorénavant que le premier terme, comme suit :  3 3 2 2   2pq(pq + h − 2) + p q + (h − 1) · 3p q    + (h − 1)(h − 2) · 3pq 
 1h/1 + (h − 1) · (h − 2) · (h − 3)   Eh,5 = − h + &c. p 1 · 2 · 3 · 4 · q4 ( 2 2 2p q + 3pq p2 q 2 + (h − 2) · 2pq + (h − 2) · (h − 3)
) + p4 q 4 + (h − 1) · 4p3 q 3 + etc.
1h/1 Eh,6 = h − &c. p 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · q5 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 11     3 · 2 · p2 q 2 (pq + h − 3)     + 4pq p3 q 3 + (h − 2) · 3p2 q 2           + (h − 2) · (h − 3) · 3pq  
     + (h − 2) · (h − 3) · (h − 4)     5 5   1 h/1  + (p q + etc.)  Eh,7 = − h + &c. p 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · q6 2 · 3 · p3 q 3 + 6 · 2 · p2 q 2 p2 q 2 + (h − 3) · 2pq      
  + (h − 3) · (h − 4)     + 5pq p4 q 4 + (h − 2) · 4p3 q 3 + etc. 
     6 6   1 h/1  + (p q + etc.)  Eh,8 = h − &c. p 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · q7  3 3    4 · 2 · 3 · p q (pq + h − 4)   2 2 3 3 2 2
  + 10 · 2 · p q p q + (h − 3) · 3p q + etc.     5 5 4 4
   + 6pq p q + (h − 2) · 5p q + etc.      h/1  7 7  1 + (p q + etc. ) Eh,9 = − h + &c. p 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · q8 d’où l’on pourra juger de l’acte de progression dans le premier terme : donc on aura en général k    Ah k−m/1 h k (pq)m P Eh,k+1 = 1 1 k/1 k (−q) 1 k−m m 1h/1 P k    1 k−m/1 h − 1 k−1 + h 1 (pq)m−1 p (−q)k 1k/1 1 k−m m−1   k    k−2 h−2 k−3 pq 1k−m/1 (pq)m−3 P + 1 3 k − m m − 3 k      k − 3 2/1 2 2 P k−m/1 h − 3 k−5 + 1 p q 1 (pq)m−5 2 5 k−m m−5 k       k − 4 3/1 3 3 P k−m/1 h − 4 k−7 m−7 + 1 p q 1 (pq) + &c. (6) 3 7 k−m m−7 où les coefficients du binôme ne valent que pour des valeurs positives de k–l : celles, où k < l, étant nulles. k    1 P h k Fh,k+1 = 1k−m/1 (p)m Bh−k+m , (7) 1k/1 0 k−m m 12 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES k    Bh P k−m/1 h k Fh,k+1 = 1 (−pq)m 1 k/1 k q 1 k−m m 1 1h/1 P k    k−m/1 h − 1 k−1 + h k 1 (−pq)m−1 p q 1k/1 1 k−m m−1   k    k−2 P k−m/1 h − 2 k−3 − pq 1 (−pq)m−3 1 3 k − m m − 3 k       k − 3 2/1 2 2 P k−m/1 h − 3 k−5 m−5 + 1 p q 1 (−pq) − &c. . (8) 2 5 k−m m−5 En effet, on voit que les formules (6), (8) ne sont pas aussi simples que (5), (7), mais en révanche, elles ne contiennent que le seul Ah ou Bh , qui se substitue aisément des formules (1) et (2). 6. Passons aux intégrales, dont le dénominateur est de la forme (x2 − q 2 )k . L’équation de réduction Z ∞ h+2 −px Z ∞ h −px Z ∞ h −px x e dx x e dx 2 x e dx 2 2 k+1 = 2 2 k+1 +q 2 2 k+1 0 (x − q ) 0 (x − q ) 0 (x − q ) nous apprend d’abord, que ces intégrales se divisent en deux classes, savoir à exponent h pair ou impair, de telle sorte que les intégrales d’une de ces classes se déterminent à l’aide d’intégrales de la même classe seulement. Les intégrales, que nous avons à étudier, sont donc les suivantes : Z ∞ −px 2h Z ∞ −px Z ∞ −px 2h e x dx e dx e x dx 2 2 = G2h , 2 2 k = Hk , 2 2 k = Kh,k , 0 x −q 0 (x − q ) 0 (x − q ) Z ∞ −px 2h+1 Z ∞ −px Z ∞ −px 2h+1 e x dx e x dx e x dx 2 2 = G2h+1 , 2 2 k = Ik , 2 2 k = Lh,k . 0 x −q 0 (x − q ) 0 (x − q ) Pour les deux premières on a Z ∞ −px h Z ∞ Z ∞ −px h−2 e x dx −px h−2 2 e x dx 2 2 = e x dx + q 2 2 , 0 x −q 0 0 x −q ou bien 12h−2/1 12h−1/1 G2h = + q 2 G2h−2 , G2h+1 = + q 2 G2h−1 ; (f ) p2h−1 p2h ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 13 ce qui donne en application 1 G0 = (b − a), Voir (VII) G1 = 12 (a + b), Voir (VIII) 2q 1 1 G2 = + 12 q(b − a), G3 = 2 + 12 q 2 (a + b), p p 12/1 q 2 1 3 13/1 q 2 1 4 G4 = + + 2 q (b − a), G5 = + 2 + 2 q (a + b), p3 p p4 p 1h/1 12/1 q 2 q 4 1 5 15/1 13/1 q 2 q 4 1 6 G6 = + + + 2 q (b − a), G7 = + + 2 + 2 q (a + b); p5 p3 p p6 p4 p donc en général 1 Ph G2h = 12 q 2h−1 (b − a) + 2h−1 12h−2n/1 (p2 q 2 )n−1 , (9) p 1 1 h G2h+1 = 12 q 2h (b + a) + 2h P 2h−2n+1/1 2 2 n−1 1 (p q ) , (10) p 1 Quant à ces intégrales, on peut rémarquer, qu’on aurait pu les déduire des formules (1) et (2) par les rélations : A2h + B2h = 2G2h+1 , B2h − A2h = 2qG2h , A2h−1 + B2h−1 = 2G2h , B2h−1 − A2h−1 = 2qG2h−1 ; d’où     1 1 G2h = B2h − A2h = 2 B2h−1 + A2h−1 , 2q     1 1 B G2h+1 = B2h+1 − A2h+1 = 2 2h + A2h . 2q 7. Pour les deux suivantes Hk et Ik , il faut avoir recours au Théorème I de No . 3. Comme dans No . 4, on aura ici Z ∞ e−px d·x 0 (x2 − q 2 )k ∞ Z ∞  xe−px −pe−px dx  −px −k · 2x dx = 2 − x +e (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 ∞ ∞ xe−px 2kq 2  Z   −px px 2k = 2 + e dx + 2 + 2 , (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x − q 2 )k (x − q 2 )k+1 ou bien Z ∞ −px ∞ Z ∞ xe−px 2kq 2   e dx −px px (1 − 2k) 2 2 k = 2 + e dx + 2 ; 0 (x − q ) (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x − q 2 )k+1 14 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Z ∞ ∞ Z ∞  xe−px x2 e−px −pe−px x + e−px  −px −k · 2x dx 2 2 k dx = 2 − x dx + xe 0 (x − q ) (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 pq 2   p + 2     2 −px ∞ Z ∞  2 2 k−1 2 k  x e −px  (x − q ) (x − q )  = 2 + e dx ; (x − q 2 )k 0 0  (2k − 1)x 2kq 2 x   + 2 + 2     (x − q 2 )k (x − q 2 )k+1  Z ∞ Z ∞ e−px e−px si l’on voulait prendre 2 2 − q 2 )k x dx = 2 − q 2 )k d · x2 ou retrouverait 0 (x 0 (x la dernière équation elle-même. Z ∞ Z ∞ e−px dx 1 −p 2 2 k−1 = 2 2 k−1 d · e−px 0 (x − q ) 0 (x − q ) ∞ Z ∞ e−px −(k − 1)2x dx = 2 2 k−1 − e−px , (x − q ) 0 0 (x2 − q 2 )k Z ∞ −px Z ∞ e x dx x −p 2 2 k = 2 2 k d · e−px 0 (x − q ) 0 (x − q ) ∞ Z ∞ xe−px   −px 1 −k · 2x = 2 − e dx + x (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 ∞ ∞ xe−px 2kq 2    2k − 1 Z −px = 2 + e dx + , (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 Z ∞ Z ∞ e−px x dx −px 1 −2k 2 2 k+1 = e d · 0 (x − q ) 0 (x2 − q 2 )k −px ∞ Z ∞ e 1 = 2 2 k − 2 2 )k (−pe−px dx), (x − q ) 0 0 (x − q Z ∞ −px 2 Z ∞ e x dx 1 −2k 2 2 k+1 = xe−px d · 2 0 (x − q ) 0 (x − q 2 )k ∞ Z ∞ xe−px    1 −px −px = 2 − e + x · (−pe ) dx, (x − q 2 )k 0 2 0 (x − q ) 2 k mais aussi Z ∞ −px 2 Z ∞ Z ∞ −px e x dx 2 e−px dx e dx 2 2 k+1 =q 2 2 k+1 + 2 2 k . 0 (x − q ) 0 (x − q ) 0 (x − q ) e−px xb e−px Dans ces six équations on a des termes intégrés et . Pour la (x2 − q 2 )a (x2 − q 2 )a 1 limite inférieure x = 0, ils deviennent respectivement et 0. Pour la limite (−q 2 )a 1 1 supérieure x = ∞, le premier est ∞ a = = 0, et le second semble être e ∞ ∞ ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 15 ∞b 0 xb indéterminé de la forme : mais si on le met sous la forme , et ∞a e+px (x2 − q 2 )a si l’on différentie le numérateur et le dénominateur de cette fraction, il vient : bxb−1 bxb−1 = . pepx (x2 − q 2 )a + epx a(x2 − q 2 )a−1 2x epx (x2 − q 2 )a−1 (px2 + 2ax − pq 2 ) Le degré du numérateur s’est abaissé d’une unité, celui du dénominateur n’a pas diminué : en réitérant cette différentiation, le numérateur devient à la fin 1b/1 et alors la fraction a la valeur 1b/1 1b/1 = = 0. e∞ · ∞ a ∞·∞ Ce raisonnement exige que a soit = 0, c’est-à-dire k = 1. A présent la première, la quatrième et la sixième des équations trouvées donnent : 0 = pIk + (2k − 1)Hk + 2kq 2 Hk+1 ; (g 0 ) la seconde donne : pHk−1 + pq 2 Hk + 2(k − 1)Ik + 2kq 2 Ik+1 = 0; la troisième et la cinquième enfin : 1 = pHk + 2kIk+1 . (h0 ) (−q 2 )k Par la substitution de la dernière dans l’avant-dernière de ces formules on ob- tient une équation identique. Il nous reste donc les deux autres, qui doivent servir réciproquement à éliminer les I ou les H : de sorte que nous trouvons −p 4q 2 · k · (k − 1) · Hk+1 = − 2 · (k − 1) · (2k − 1) · Hk + p2 Hk−1 , (g) (−q 2 )k+1 −1 4q 2 · k · (k − 1) · Ik+1 = − 2 · (k − 1) · (2k − 3) · Ik + p2 Ik−1 . (h) (−q 2 )k+1 Or, nous avons 1 b−a 1 a+b H0 = , H1 = , I0 = 2 , I1 = . p 2q p 2 Donc il nous faut encore H2 et I2 pour pouvoir faire usage des formules (g) et (h), qui valent seulement pour k = 1. Les formules (g 0 ) et (h0 ) nous aideront ici en donnant pour k = 1 : b−a a+b −2q 2 H2 = 1 · H1 + pI1 = + p, 2q 2 1 −1 b − a −2I2 = 2 1 + pH1 = 2 + p; (−q ) q 2a 16 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES donc b−a 1 a+b p 1 b−a p H2 = + , I2 = − − . 2q 2(−q 2 ) 2(−q 2 ) 2 2(−q 2 ) 2q 2 Le calcul de (g) et (h) nous donne à présent successivement : p2 q 2 + 3 b − a   1 H3 = p+ + 3p(a + b) , 4(−q 2 )2 (−q 2 ) 2q 6p2 q 2 + 30 b − a   1 2 2 H4 = 6p + + (p q + 15)p(a + b) , 24(−q 2 )3 (−q 2 ) 2q p4 q 4 + 45p2 q 2 + 210 b − a   1 2 2 2 2 H5 = p(p q + 88) + (10p q + 105)p(a + b) , 96(−q 2 )4 (−q 2 ) 2q .............................................................................   1 2 2 (a + b) b−a I3 = −p +p , 2(−q 2 ) (−q 2 ) 2 2q  2 2  1 p q + 26 2a + b 2 2 b−a I4 = − 6p − (p q − 12)p 12(−q 2 )2 −q 2 2 2q ............................................................................. Vu la complication des formules (g) et (h), l’on ne pourra mettre la valeur générale de Hk et Ik sous une forme assez simple pour pouvoir en faire usage. 8. Le Théorème I du No . 3 nous fournira ensuite pour les intégrales K et L les formules suivantes : Z ∞ −px h−1 Z ∞ e x dx e−px h 2 2 k = 2 2 k d · xh 0 (x − q ) 0 (x − q ) ∞ Z ∞  e−px xh −pe−px  h −px −k · 2x = 2 − x +e dx, (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 Z ∞ −px h Z ∞ e x dx xh −p = d · e−px 0 (x2 − q 2 )k 2 0 (x − q ) 2 k ∞ Z ∞ ( ) e−px xh −px hxh−1 h −k · 2x = 2 − e +x dx, (x − q 2 )k 0 0 (x2 − q 2 )k (x2 − q 2 )k+1 Z ∞ −px h Z ∞ e x dx 1 −2k 2 2 k+1 = e−px xh d · 2 0 (x − q ) 0 (x − q 2 )k ∞ Z ∞ e−px xh  1 n h−1 −px −px h o = 2 − hx e − pe x dx. (x − q 2 )k 0 2 0 (x − q ) 2 k Le terme intégré étant zéro, comme on a vu au numéro précédent, ces trois équa- tions se réduisent à une seule. Mais en vertu de ce que l’on a observé plus haut, ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 17 il faut distinguer entre le cas où h est pair et est impair. Si l’on met 2h et 2h + 1 successivement au lieu de h, on a respectivement : 0 = 2hLh−1,k + 2kLh,k+1 + pKh,k et 0 = (2h + 1)Kh,k + 2kKh+1,k+1 + pLh,k . (i0 ) On peut se servir de ces deux équations pour éliminer réciproquement les L ou les K : de cette manière on obtient : 0 = p2 Kh,k + (4h2 − 4hk − 2h − k) · 2q 2 Kh,k+2    − (2h − 1) · 2hq 4 Kh−1,k+2 − 2(k − h)(2k − 2h + 1)Kh+1,k+2  ,  (i) 0 = p2 Lh,k + (4h2 − 4hk + 2h − 3k) · 2q 2 Lh,k+2     − (2h + 1) · 2hq 4 Lh−1,k+2 − 2(k − h)(2k − 2h − 1)Lh+1,k+2 .  Afin de pouvoir en faire usage, il sera plus commode de les ramener au même index partiel. En premier lieu, par exemple, au même k : alors il faut substituer les équations identiques Kh,k = Kh+2,k+2 − 2q 2 Kh+1,k+2 + q 4 Kh,k+2 , Lh,k = Lh+2,k+2 − 2q 2 Lh+1,k+2 + q 4 Lh,k+2 ; et l’on obtient, en diminuant k de deux unités après la réduction : 0 = p2 Kh+1,k − p2 q 2 + (k − h − 1)(2k − 2h − 1) · 2Kh,k       2 2 2 2  + p q + 2(4h − 4hk − 2h + 3k) q Kh−1,k      4  − (h − 1)(2h − 3) · 2q K , h−2,k   (k) 0 = p2 Lh+1,k − p2 q 2 + (k − h − 1)(2k − 2h − 3) · 2Lh,k      + p2 q 2 + 2(4h2 − 4hk + 2h − k) q 2 Lh−1,k        − (h − 1)(2h − 1) · 2q 4 Lh−2,k .   Pour k = 1, on a Kh,1 = G2h , Lh,1 = G2h+1 ; on a dans ce cas pour ces formules : 0 = p2 G2h+2 − p2 q 2 + h(2h − 1) · 2G2h  + p2 q 2 + 2(4h2 − 6h + 3) q 2 G2h−2  − (h − 1)(2h − 3) · 2q 4 G2h−4 , 0 = p2 G2h+3 − p2 q 2 + h(2h + 1) · 2G2h+1  + p2 q 2 + 2(4h2 − 2h − 1) q 2 G2h−1  − (h − 1)(2h − 1) · 2q 4 G2h−3 , équations, qui sont identiques par la substitution des formules (f ), comme il doit être. 18 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Au contraire, l’on pourrait aussi ramener les formules (i) au même index h : dans ce cas on a les substitutions Kh,k = Kh−1,k−1 + q 2 Kh−1,k , Lh,k = Lh−1,k−1 + q 2 Lh−1,k , Kh+1,k = Kh−1,k−2 + 2q 2 Kh−1,k−1 + q 4 Kh−1,k , Lh+1,k = Lh−1,k−2 + 2q 2 Lh−1,k−1 + q 4 Lh−1,k . A l’aide de ces formules, en diminuant k d’une unité, et en augmentant h d’une unité, après les substitutions diverses, on a enfin : 0 = − k(k − 1) · 4q 4 Kh,k+1 + (4h − 4k + 5)(k − 1) · 2q 2 Kh,k    + p2 q 2 − 2(k − h − 2)(2k − 2h − 3) Kh,k−1 + p2 Kh,k−2 ,    (l) 0 = − k(k − 1) · 4q 4 Lh,k+1 + (4h − 4k + 7)(k − 1) · 2q 2 Lh,k     2 2  2  + p q − 2(k − h − 2)(2k − 2h − 5) Lh,k−1 + p Lh,k−2 . Pour h = 0, on a K0,k = Hk , L0,k = Ik : donc ces formules donnent : 0 = − k(k − 1) · 4q 4 Hk+1 − (4k − 5)(k − 1) · 2q 2 Hk + p2 q 2 − 2(k − 2)(2k − 3) Hk−1 + p2 Hk−2 ,  0 = − k(k − 1) · 4q 4 Ik+1 − (4k − 7)(k − 1) · 2q 2 Ik + p2 q 2 − 2(k − 2)(2k − 5) Ik−1 + p2 Ik−2 .  Ces derniers résultats doivent être identiques avec les formules (g) et (h) ; en effet la substitution de ces dernières en démontre la vérité. Si les formules (g) et (h) étaient déjà trop compliquées pour se traduire en expression générale, simple, à plus forte raison ces formules (i), (h) ou (l) ne permettent pas de chercher un tel résultat. Néanmoins elles sont propres à dé- duire dans chaque cas spécial, pour des valeurs données de h et k, une intégrale Kh,k ou Lh,k , soit par les formules (g) et (h), soit par les équations (9) et (10) en faisant usage respectivement des équations (k) ou (l) : la dernière voie sera bien la plus aisée à suivre. 9. Quant aux intégrales au dénominateur (x2 + q 2 )k , leurs valeurs et les for- mules de réduction respectives se déduisent de la même manière, que pour les précédentes, dont on s’est occupé dans les trois derniers numéros. Pour celles-ci, si l’on met : Z ∞ −px 2h Z ∞ −px Z ∞ −px 2h e x dx e dx e x dx 2 2 = M2h , 2 2 k = Nk , 2 2 k = Ph,k , 0 x +q 0 (x + q ) 0 (x + q ) Z ∞ −px 2h+1 Z ∞ −px Z ∞ −px 2h+1 e x dx e x dx e x dx 2 2 = M2h+1 , 2 2 k = Ok , 2 2 k = Qh,k , 0 x +q 0 (x + q ) 0 (x + q ) ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 19 1 on trouve, en ayant égard aux formules (III) et (IV), savoir M0 = c et M1 = d, au q lieu des formules (9) et (10) les suivantes : h  h 2h−1 1 12h−2n/1 2 2 n−1 P M2h = (−1) cq + 2h−1 (−p q ) ,   p 1  (11) 1 h h 2h 12h−2n+1/1 (−p2 q 2 )n−1 . P  M2h+1 = (−1) dq + 2h   p 1 De la même manière les formules (g) et (h) deviennent ici : p  4q 2 · k(k − 1)Nk+1 = 2k−2 + 2(k − 1)(2k − 1)Nk − p2 Nk−1 ,   q  1 (m) 4q 2 · k(k − 1)Ok+1 = 2k−1 + 2(k − 1)(2k − 3)Ok − p2 Ok−1 , q  avec les cas spéciaux : 1 1 N0 = Voir (V), O0 = 2 Voir (VI), p p 1 N1 = c Voir (III), O1 = d Voir (IV), q       1 1 1 1 −1 1 1 p N2 = 2 (1N1 − pO1 ) = 2 c − pd , O2 = − 2 + pN1 = 2 − c , 2q 2q q q2 q2 q etc. etc. tandis qu’au lieu des équations de réduction (i), (k) et (l), il faut mettre respecti- vement les suivantes : 0 = p2 Ph,k − (4h2 − 4hk − 2h − k) · 2q 2 Ph,k+2     4  − (2h − 1) · 2hq Ph−1,k+2      − 2(k − h)(2k − 2h + 1)Ph+1,k+2 ,   (n) 0 = p2 Qh,k − (4h2 − 4hk + 2h − 3k) · 2q 2 Qh,k+2     4  − (2h + 1) · 2hq Qh−1,k+2      − 2(k − h)(2k − 2h − 1)Qh+1,k+2 ,  n o  0 = p2 Ph+1,k + p2 q 2 − (k − h − 1)(2k − 2h − 1) · 2Ph,k     n o  2 2 2 2  + p q − 2(4h − 4hk − 2h − 3k) q Ph−1,k      4  − (h − 1)(2h − 3) · 2q Ph−2,k ,   n o (o) 0 = p2 Qh+1,k + p2 q 2 − (k − h − 1)(2k − 2h − 3) · 2Qh,k     n o   2 2 2 2  + p q − 2(4h − 4hk + 2h − k) q Qh−1,k       4 − (h − 1)(2h − 1) · 2q Qh−2,k ,  20 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES  0 = k(k − 1) · 4q 4 Ph,k+1 + (4h − 4k + 5)(h − 1) · 2q 2 Ph,k   n o   2 2  + p q + 2(k − h − 2)(2k − 2h − 3) Ph,k−1      2  − p Ph,k−2 ,   (p) 0 = k(k − 1) · 4q 4 Qh,k+1 + (4h − 4k + 7)(h − 1) · 2q 2 Qh,k    n o  2 2  + p q + 2(k − h − 2)(2k − 2h − 5) Qh,k−1       2  − p Qh,k−2 .  L’emploi de ces formules est restreint tout comme celui des formules analogues (i), (k) et (l) : c’est-à-dire, qu’elles peuvent fournir aisément des résultats pour chaque cas spécial, sans toutefois être susceptibles de pouvoir donner une valeur simple pour les intégrales générales Nk , Ok , Ph,k , Qh,k . 10. Puisque nous connaissons à présent les intégrales à dénominateur (x2 − q 2 )k et (x2 + q 2 )k , dont on a traité respectivement dans les No . 6 à 8 et 9, nous pourrions en déduire les intégrales de même forme, mais à dénominateur (x4 −q 4 )k . L’équation de réduction Z ∞ −px h−4 Z ∞ −px h Z ∞ −px h−4 e x dx e x dx 4 e x dx 4 4 k = 4 4 k+1 −q 4 4 k+1 0 (x − q ) 0 (x − q ) 0 (x − q ) nous montre d’abord, que nous avons à distinguer ici entre quatre classes d’inté- grales, où les valeurs de h sont respectivement de la forme 4h, 4h + 1, 4h + 2, 4h + 3. En effet, si l’on nomme l’intégrale Z ∞ −px h e x dx = Rh , 0 x − q4 4 l’équation précédente mène aisément par le chemin du Numéro 2 aux formules suivantes :  14h−4/1 1 P h R4h = 4h−3 + q 4 R4h−4 = q 4h R0 + 4h−3 14h−4n/1 (p4 q 4 )n−1 ,    p p   1    14h−3/1 h  4 4h 1 P 4h−4n+1/1 4 4 n−1   R4h+1 = + q R4h−3 = q R1 + 4h−2 1 (p q ) ,  p4h−2  p 1  (q) 14h−2/1 1 Ph + q 4 R4h−2 = q 4h R2 + 4h−1 14h−4n+2/1 (p4 q 4 )n−1 ,  R4h+2 = 4h−1   p p 1      14h−1/1 1 h   4 4h P 4h−4n+3/1 4 4 n−1  R4h+3 = + q R4h−1 = q R3 + 4h 1 (p q ) .  p4h p  1 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 21 Ces formules font voir qu’il y a vraiment quatre classes distinctes et indépen- dantes, et que pour la connaissance de ces intégrales générales il nous faut au- paravant la valeur des intégrales spéciales R0 , R1 , R2 , R3 . On peut observer ici, que ces mêmes formules résulteraient soit de l’addition, soit de la soustraction des équations (9), (10) et (11) : remarque analogue à celle faite à la fin du No . 6, et qui donnerait des formules de réduction tout-à-fait semblables à celles, que l’on a trouvées là. Quant aux intégrales nécessaires R0 , R1 , R2 , R3 , la soustraction et l’addition des formules (III) et (VII) nous fournissent :  1 1 R0 = 3 (b − a − 2c), R2 = (b − a + 2c),  4q 4q     comme celles des formules (IV) et (VIII) les suivantes : (12)  1 1   R1 = 2 (b + a − 2d), R3 = (b + a + 2d).   4  4q On a donc enfin : h  −a + b − 2c 4h−3 1 P 4h−4n/1 4 4 n−1  R4h = q + 4h−3 1 (p q ) , 4  p 1     h  a + b − 2d 4h−2 1 P 4h−4n+1/1 4 4 n−1    R4h+1 = q + 4h−2 1 (p q ) ,  4 p 1  (13) −a + b + 2c 4h−1 1 Ph 14h−4n+2/1 (p4 q 4 )n−1 ,  R4h+2 = q + 4h−1   4 p 1      a + b + 2d 4h 1 h P 4h−4n+3/1 4 4 n−1   R4h+3 = q + 4h 1 (p q ) .   4 p 1 Suivent les intégrales Z ∞ −px Z ∞ −px Z ∞ −px 2 Z ∞ −px 3 e dx e x dx e x dx e x dx 4 − q 4 )k = Sk , 4 − q 4 )k = Tk , 4 − q 4 )k = Uk , 4 − q 4 )k = Vk , 0 (x 0 (x 0 (x 0 (x qui sont toutes distinctes par la même cause, qui fournissait les quatre valeurs des R, c’est-à-dire, que les exposants h des quatre formes mentionnées précédem- ment ne peuvent se réduire l’un à l’autre, mais qu’ils sont tout-à-fait indépendants. Commençons à y appliquer le Théorème du No . 3, afin d’obtenir des formules, qui pourront servir à la réduction successive et indépendante de ces quatre séries d’intégrales, et prenons à cette fin pour f (x) successivement x, x2 , x3 , x4 , ou e−px , ou encore (x4 − q 4 )−k , tout comme nous avons fait auparavant, lorsque nous avions à étudier les intégrales à dénominateur (x ± q)k etc. 22 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES La première supposition nous donne Z ∞ −px ∞ Z ∞  xe−px −pe−px −k · 4x3  e dx −px 4 4 k = 4 − x +e dx 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k+1 ∞ Z ∞ xe−px 4kq 4   −px px 4k = 4 + e dx + 4 + 4 ; (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x − q 4 )k (x − q 4 )k+1 et de même Z ∞ −px ∞ Z ∞ x2 e−px px2 4kq 4 x   e x dx −px 4kx 2 4 4 k = + e dx + + , 0 (x − q ) (x4 − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k+1 Z ∞ −px 2 ∞ Z ∞ x3 e−px px3 4kx2 4kq 4 x2   e x dx −px 3 4 4 k = + e dx + + , 0 (x − q ) (x4 − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k+1 pq 4   p + 4     Z ∞ −px 3 4 −px ∞ Z ∞  4 4 k−1 4 k  e x dx x e −px  (x − q ) (x − q )  4 4 4 k = + e dx , 0 (x − q ) (x4 − q 4 )k 0 0  4kx3 4kq 4 x3   + 4 + 4     (x − q 4 )k (x − q 4 )k+1  ce qui revient à écrire — à cause de la valeur zéro qu’obtient le terme intégré d’après le même raisonnement que dans le No . 7 — Sk = pTk + 4kSk + 4kq 4 Sk+1 , ou 0 = pTk + (4k − 1)Sk + 4kq 4 Sk+1 ,     2Tk = pUk + 4kTk + 4kq 4 Tk+1 , 4 ou 0 = pUk + (4k − 2)Tk + 4kq Tk+1 ,      3Uk = pVk + 4kUk + 4kq 4 Uk+1 , ou 0 = pVk + (4k − 3)Uk + 4kq 4 Uk+1 , (r0 )  4Vk = pSk−1 + pq 4 Sk ou 0 = pSk−1 + pq 4 Sk       + 4kVk + 4kq 4 Vk+1 , + (4k − 4)Vk + 4kq 4 Vk+1 .  Encore a-t-on par la deuxième supposition pour f (x) : Z ∞ −px ∞ Z ∞ e dx e−px 3 −px −k · 4x dx −p 4 4 k = − e , 0 (x − q ) (x4 − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k+1 Z ∞ −px ∞ Z ∞ e−px x −k · 4x3   e x dx −px 1 −p 4 4 k = 4 − e +x 4 dx 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x − q 4 )k+1 ∞ Z ∞ e−px x 4kq 4   −px 4k − 1 = 4 + e dx + 4 , (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x − q 4 )k+1 Z ∞ −px 2 ∞ Z ∞ e−px x2 3   e x dx −px 2x 2 −k · 4x −p 4 4 k = 4 − e +x dx 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k+1 ∞ Z ∞ e−px x2 4kq 4 x   −px (4k − 2)x = 4 + e dx + 4 , (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x − q 4 )k+1 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 23 Z ∞ −px 3 ∞ Z ∞ e−px x3 3x2 3   e x dx −px 3 −k · 4x −p 4 4 k = 4 − e +x dx 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x4 − q 4 )k+1 ∞ Z ∞ e−px x3 (4k − 3)x2 4kq 4 x2   −px = 4 + e dx + 4 . (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k (x − q 4 )k+1 1 Or pour la première de ces quatre équations, le terme intégré devient pour (−q 4 )k la limite inférieure 0 de x, tandis qu’il devient pour la limite supérieure x = ∞, 1 = 0 : donc cette équation donne ∞ · ∞k 1 −pSk = − + 4kVk ; (r00 ) (−q 4 )k tandis que les trois équations suivantes sont absolument les mêmes que les trois premières de celles, que l’on a trouvées en premier lieu : et cela parceque les termes intégrés s’annulent ici par la même raison, qui avait lieu là. Enfin on obtient par la troisième supposition : Z ∞ −px 3 ∞ Z ∞ e x dx e−px 1 −4k 4 4 k+1 = − (−pe−px dx), 0 (x − q ) (x4 − q 4 )k 0 0 (x4 −q )4 k Z ∞ −px 4 −px ∞ Z ∞ e x dx e x 1 −pe−px x + e−px dx,  −4k 4 4 k+1 = 4 − 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 4 (x − q )4 k Z ∞ −px 5 −px 2 ∞ Z ∞ e x dx e x 1 n −px 2 −px o −4k 4 4 k+1 = 4 − −pe x + 2xe dx, 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k Z ∞ −px 6 −px 3 ∞ Z ∞ e x dx e x 1 n −px 3 2 −px o −4k 4 4 k+1 = 4 − −pe x + 3x e dx. 0 (x − q ) (x − q 4 )k 0 0 (x4 − q 4 )k En observant que d’un autre côté, on a identiquement : Z ∞ −px 4 Z ∞ −px Z ∞ e x dx e dx 4 e−px dx 4 4 k+1 = 4 4 k +q , 0 (x − q ) 0 (x − q ) 0 (x4 − q 4 )k+1 Z ∞ −px 5 Z ∞ −px Z ∞ e x dx e x dx e−px x dx 4 − q 4 )k+1 = 4 − q 4 )k + q4 , 0 (x 0 (x 0 (x4 − q 4 )k+1 Z ∞ −px 6 Z ∞ −px 2 Z ∞ e x dx e x dx e−px x2 dx 4 − q 4 )k+1 = 4 − q 4 )k + q4 , 0 (x 0 (x 0 (x4 − q 4 )k+1 on voit facilement que ces quatre formules coincident directement avec les quatre équations précédentes : de sorte que nous avons les cinq équations différentes (r0 ) et (r00 ) pour chercher des équations de réduction entre les intégrales des quatre classes diverses séparément. Dans ce but substituons la valeur de Sk de (r00 ) dans la première des équations (r0 ) ; la résultante exprimera Tk en fonction de divers V : substituons cette valeur dans la deuxième de (r0 ), et l’intégrale Uk se trouve donnée 24 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES par divers V : enfin éliminons les U entre cette dernière équation et la troisième des (r0 ) : il en résultera une équation de condition entre les V seulement ; et main- tenant à l’aide des équations originales, on peut aisément obtenir des formules où l’on ne rencontre que les seules intégrales S, U, ou T. Le résultat sera enfin donné par les formules suivantes :  6 n 4 o 0= − p − (4k − 3)(4k − 2)(4k − 1) · 4k Vk   (−q 4 )k      + (16k 2 + 1)k(k + 1) · 48q 4 Vk+1      + (2k + 1)k(k + 1)(k + 1) · 384q 8 Vk+2       + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) · 256q 12 Vk+3 ,        6p n 4 o   0= + p − (4k − 3)(4k − 2)(4k − 1) · 4k (4k − 3)Uk   (−q 4 )k     n o  + p4 − (256k 4 + 144k 3 + 104k 2 + 9k + 3)4 4kq 4 Uk+1        − (32k 3 + 76k 2 + 67k + 21)k(k + 1) · 192q 8 Uk+2       − (16k 2 + 51k + 39)k(k + 1)(k + 2) · 256q 12 Uk+3      − k(k + 1)(k + 2)(k + 3)2 · 1024q 16 Uk+4 ,        3p2 n o  0= − p 4 − (4k − 3)(4k − 2)(4k − 1) · 4k (4k − 3)(2k − 1)Tk (s) (−q 4 )k     n o  4 5 4 3 2 4  − p (8k − 1) − (640k + 256k + 584k + 64k + 24k + 3)·8 2kq Tk+1     n o   4 4 3 2 8  − p − (640k + 1632k + 2276k + 1239k + 39)4 k(k + 1) · 8q Tk+2      3 2 12  + (160k + 592k + 723k + 36)k(k + 1)(k + 2) · 128q Tk+3      2 16  + (20k + 77k + 45)k(k + 1)(k + 2)(k + 3) · 512q Tk+4      2 2 20  + k(k + 1)(k + 2) (k + 3) · 4096q Tk+5 ,       p3 n o   4  0= 4 k − p − (4k − 3)(4k − 2)(4k − 1) · 4k Sk   (−q )      2 2 4 + (16k + 1)k · 48q Sk+1      2 8  + (2k + 1)k (k + 1) · 384q Sk+2      2 12  + k (k + 1)(k + 2) · 256q Sk+3 .  11. On pourrait encore aller plus loin et déterminer généralement les inté- grales de la forme Z ∞ e−px xh dx , 0 (x + q)k (x − q)l (x2 + q 2 )m ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 25 mais outre que les réductions deviennent de plus en plus compliquées, ces intégrales ne sont plus aussi remarquables que les précédentes. Car, en mettant successive- ment x au lieu de x2 et de x4 — ce qui est évidemment permis, puisque entre les mêmes limites ces fonctions de x, savoir x2 et x4 , restent continues, et n’ont ni un maximum ni un minimum — les limites de la nouvelle variable x restent les mêmes 0 et ∞. Dès-lors les formules trouvées donneront aussi la valeur des intégrales suivantes : Z ∞ −p√x h Z ∞ −p√x h e x dx e x dx √ = 2G2h+1 , x = 2G2h+2 , 0 x − q2 0 x − q2 Z ∞ −p√x Z ∞ −p√x e dx e dx √ 2 k = 2Ik , 2 k x = 2Hk+1 , 0 (x − q ) 0 (x − q ) √ Z ∞ −p x h Z ∞ −p√x h e x dx e x dx √ = 2Lh,k , x = 2Kh+1,k , 0 (x − q 2 )k 0 (x − q 2 )k Z ∞ −p√x h Z ∞ −p√x h e x dx e x dx √ = 2M2h+1 , x = 2M2h+2 , 0 x + q2 0 x + q2 Z ∞ −p√x √ Z ∞ −p x e dx e dx √ 2 k = 2Ok , 2 k x = 2Nk+1 , 0 (x + q ) 0 (x + q ) √ Z ∞ −p x h Z ∞ −p√x h e x dx e x dx √ = 2Qh,k , x = 2Ph+1,k , 0 (x + q 2 )k 0 (x + q 2 )k Z ∞ −p √4 x xh dx Z ∞ −p √4 x xh dx √ e e = 4R4h+3 , x = 4R4h+5 , 0 x − q4 0 x − q4 Z ∞ −p √4 x dx √ Z ∞ −p 4 x e e dx √ = 4Vk , x = Tk+1 . 0 (x − q 4 )k 0 (x − q )k 4 De ces deux séries d’intégrales semblables, la première peut être regardée comme la suite de la série des intégrales (I), (1), (3), (5) et (II), (2), √ (4), (6) : la √ différence 4 consiste en ce que l’exponentielle e−px est changée ici en e−p x et e−p x . 12. Passons à un autre genre d’application du Théorème I, démontré dans le No . 3. Jusqu’ ici nous avions pris pour f (x) soit xh , soit (x ± q)−k , (x2 ± q 2 )−k , soit e−px , et nous avons vu que ces trois suppositions différentes menaient généra- lement aux mêmes résultats auprès des intégrales étudiées plus haut. Maintenant prenons pour f (x) en premier lieu 21 l · (q ± x)2 ou 21 l · (q 2 ± x2 )2 , forme à laquelle se prêtent les intégrales citées ou trouvées : le résultat sera tout autre que celui qu’on vient d’obtenir, puisque, outre les fonctions algébriques et exponentielles, on devra acquérir un logarithme sous le signe d’intégration définie. 26 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Commençons par les intégrales (I), (1), (3), (6) et (II), (2), (4), (8), dont le dénominateur est respectivement x + q et x − q , et voyons d’abord, si l’on peut déterminer la valeur du terme intégré entre les deux limites 0 et ∞. L’expression la plus générale de ce terme est évidemment e−px xh l · (q ± x)2 . (x ± q)k Pour la limite x = 0, le facteur e−px l · (q ± x)2 · (x ± q)−k est égal à l · q 2 : (±q)k : il reste alors le facteur xh , dont la valeur est zéro pour h > 0 : pour h = 0 au contraire ce facteur n’existe pas ; donc pour ces deux cas le terme en question devient pour la limite inférieure 0 ou l · q 2 : (±q)k , selon que h > ou = 0. Quant à l’autre limite x = ∞, il faut agir autrement : là la règle ordinaire pour e−∞ ∞h l · ∞ la détermination de la valeur indéterminée donne pour la valeur du ∞k terme : l · (q ± x)2 ±2 : (q ± x) −h = px −h −h−1 px e x (x ± q) k k pe x (x ± q) − hx epx (x ± q)k + k(x ± q)k−1 epx x−h 2xh+1 = px  e (px − h)(x ± q)k+1 + kx(x ± q)k  2xh+1 = px  . e p(x ± q)k+2 − (pq + h − k)(x ± q)k+1 ∓ kq(x ± q)k Si l’on poursuit la différentiation, on verra que le numérateur se réduit enfin à 1h+1/1 , tandis que le dénominateur garde toujours la forme epx . . . (x ± q)k+2 + . . . ;   1h+1/1 donc la fraction est toujours égale à ∞ = 0, sous la condition de k > −2 : ce e ·∞ qu’il s’agissait de chercher. On voit donc que le terme, déjà intégré, a une valeur zéro dans les intégrales dérivées des équations (1), (2), (6), (8) : tandis que sa valeur pour les intégrales déduites des formules (I), (II), (3) et (4), sera respectivement −l · q 2 −l · q 2 −l · q 2 , −l · q 2 , , . qk (−q)k ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 27 13. Après ces observations préliminaires le théorème I du No . 3 donnera tout de suite par les intégrales (I), (II), (1), (2), (3), (4), (6), (8) respectivement : Z ∞ Z ∞ −px 2a = e 2 2 d · l · (q + x) = −l · q − l · (q + x)2 (−pe−px dx), 0 0 Z ∞ 1 ∴ e−px l · (q + x)2 dx = (2a + l · q 2 ), (14) 0 p Z ∞ Z ∞ 2b = e−px d · l · (q − x)2 = −l · q 2 − l · (q − x)2 (−pe−px dx), 0 0 Z ∞ 1 ∴ e−px l · (q − x)2 dx = (2b + l · q 2 ), (15) 0 p Z ∞ Z ∞  −px h 2 e−px l · (q + x)2 pxh − hxh−1 dx,   2Ah = e x · d · l · (q + x) =   0 0 Z ∞ Z ∞ (t0 ) −px h 2 −px 2 h h−1 x · d · l · (q − x) = − l · (q − x) px − hx  2Bh = e e dx,  0 0 Z ∞ e−px  2 d · l · (q + x)  2Ck =   (x + q)k−1  0    Z ∞ l · q2 −pe−px    −px −(k − 1)  2  = − k−1 − l · (q + x) +e dx,   (x + q)k−1 (x + q)k  q 0  Z ∞ (u0 ) e−px d · l · (q − x)2  2Dk =   (x − q)k−1  0    ∞  l·q 2 Z  −pe −px −(k − 1)    2 −px  =− k−1 − l · (q − x) k−1 + e k dx,   (−q) (x − q) (x − q)  0 Z ∞ e−px xh  2 2Eh,k = d · l · (q + x)   k−1  0 (x + q)     Z ∞ ( ) −px h h−1 −px  −pe x + hx e −(k − 1)  −px h  2 =− l · (q + x)  k−1 + e x k dx,  (x + q) (x + q)  0  Z ∞ (v 0 ) e−px xh d · l · (q − x)2  2Fh,k =   k−1  0 (x − q)   ( )   Z ∞ −px h h−1 −px  −pe x + hx e −(k − 1)   2 −px h =− l · (q − x)  k−1 + e x k dx.  (x − q) (x − q)  0 Les intégrales (t0 ), (u0 ), (v 0 ) se présentent sous la forme d’une équation de réduc- tion. Tâchons de les ramener à une forme, où la valeur des intégrales soit exprimée généralement. Si nous nommons : Z ∞ Z ∞ −px h e 2 x dx · l · (q + x) = A0h , e−px xh dx · l · (q − x)2 = B0h , 0 0 28 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES la première des équations (t0 ) donne : pA0h − hA0h−1 = 2Ah ou ph A0h = 2ph−1 Ah + hph−1 A0h−1 . (t1 ) Parceque A00 n’est autre chose que l’intégrale (14) et qu’elle est connue par conséquent, on trouve : pA01 = 2A1 + 1A00 , p2 A02 = p · 2A2 + 2 · 2A1 + 1 · 2A00 , p3 A03 = p2 · 3A3 + 3p · 2A2 + 2 · 3 · 2A1 + 1 · 2 · 3A00 , donc en général h pm−1 ph A0h = 1h/1 A00 + 1h/1 P 2Am , 1 1m/1 ou par la substitution de la valeur de A00 , tirée de l’équation (14), h pm ph+1 A0h = 1h/1 (2a + l · q 2 ) + 2 · 1h/1 P A . (16) m/1 m 1 1 Mais si l’on veut éviter la sommation toujours difficile des diverses inté- grales Ah , on peut substituer successivement dans chaque résultat précédent les valeurs de A0h−1 trouvées par (t1 ), et celles de Ah suivant la formule (1) ; où l’on peut toujours prendre les intégrales A00 et A1 pour données. Alors on trouvera l’équation : ( ) h−1 2 h−2 (pq)n P n 1m+1/1 ph A0h = 1h/1 A00 + 2h−1/1 2A1 2n/1 (−pq)n + 3h−2/1 P P , 0 p 0 3n/1 0 (−pq)m donc par la substitution des valeurs connues de A00 et de A1 on obtient enfin : h−1 ph+1 A0h = 1h/1 (2a + l · q 2 ) − 2(apq − 1)2h−1/1 2n/1 (−pq)n P 0 ( ) P (pq)n P 2 h−2/1 h−2 n 1m+1/1 + ·3 . (17) p 0 3n/1 0 (−pq)m De même manière la seconde des équations (t0 ) donnera respectivement, en remarquant qu’ici B00 est donnée par l’équation (15) : pB0h − hB0h−1 = 2Bh , (t2 ) h pm ph+1 B0h = 1h/1 (2b + l · q 2 ) + 2 · 1h/1 P B ; (18) m/1 m 1 1 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 29 d’où par la même méthode que ci-dessus, on trouve : h−1 ph+1 B0h = 1h/1 (2b + l · q 2 ) + 2(bpq + 1)2h−1/1 2n/1 (pq)n P 0 ( ) h−2 (−pq)n P h 1m+1/1 h−2/1 P +2·3 . (19) 0 3n/1 0 (pq)m 14. Pour les intégrales qui suivent à présent, sav. Z ∞ −px Z ∞ −px e l · (q + x)2 e l · (q − x)2 k dx = C0k , k dx = D0k , 0 (x + q) 0 (x − q) la première des équations (u0 ) nous fournit d’abord : l · q2 (k − 1)C0k = k−1 + 2Ck − pC0k−1 (u1 ) q formule, qui ne vaut que pour k > 1, comme l’on a remarqué au No . 12. Or on a par l’équation (14) 2a + l · q 2 C00 = ; p donc cette formule (u1 ) donne dans le cas de k = 1 : l · q2 2a + l · q 2 0 · C01 = + 2C 1 − pC 0 0 = l · q 2 + 2a − p =0 q0 p donc la valeur de C01 est indéterminée ici, comme l’on pouvait s’y attendre d’avance, parceque la formule ne vaut plus pour ce cas ; j’ai tâché en vain de déterminer l’intégrale C01 de quelque autre manière. Par suite de l’équation (u1 ) toutes les intégrales C0k restent indéterminées. Tout de même nous aurons par la seconde des équations (u0 ) : l · q2 (k − 1)D0k = + 2Dk − pD0k−1 (u2 ) (−q)k−1 formule, qui, d’après la valeur de D00 connue par l’intégrale (15), ne donne dans la supposition de k = 1, pour D01 que 0 : 0, c’est-à-dire une valeur indéterminée ; donc on ne pourra déterminer ici aucune des intégrales D0k , comme nous l’apprend l’équation (u2 ). Il est clair que les mêmes observations valent des intégrales contenues dans les équations (v 0 ) où se trouve la même cause d’indétermination, savoir le facteur k −1. 30 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES 15. Vient le tour des intégrales à dénominateur q 2 −x2 , que l’on pourra trans- former par le Théorème I du No . 3, à l’aide de la supposition f (x) = 12 l · (q 2 − x2 )2 . Ce sont les équations (VII), (VIII), (9), (10), (g), (h), (l). D’abord il faut chercher la valeur du terme déjà intégré, dont la forme la plus générale sera : e−px xh l · (q 2 − x2 )2 . (x2 − q 2 )k 2l · q 2 Le facteur e−px l ·(q 2 −x2 )2 ·(x2 −q 2 )−k devient pour la limite inférieure 0 (−q 2 )k de x : l’autre facteur xh est zéro pour h plus grand que zéro : dans ce cas le terme sera nul ; mais lorsqu’il n’y a pas de facteur xh , sa valeur reste 2l · q 2 · (−q 2 )−k . Pour ∞·0·∞ la limite supérieure ∞ de x, le terme se présente sous la forme : donc il ∞k faut ici appliquer les règles usuelles, comme suit : l(q 2 − x2 )2 e−px x−h (x2 − q 2 )k 2 · (−2x) : (q 2 − x2 ) = pepx x−h (x2 − q 2 )k − hx−h−1 epx (x2 − q 2 )k + k · 2x(x2 − q 2 )k−1 epx x−h 4xh+1 = px  . e (p − hx)(x2 − q 2 )k+1 + 2kx(x2 − q 2 )k Tout comme au No . 12, la valeur sera nulle, sous la condition de k = 0. Le terme intégré devient donc pour la suite des intégrales, suivant que dans la numérateur de la fraction il y a le facteur xh ou non : 2l · q 2 0 et − . (−q 2 )k Les intégrales (VII) et (VIII) donnent à présent par le Théorème I du No . 3 : Z ∞ −px Z ∞ −px e dx e 4 2 − q2 = d · l · (q 2 − x2 )2 0 x 0 x e−px l · (q 2 − x2 )2 ∞  Z ∞  −px  2 2 2 −pe −px −1 = − l · (q − x ) +e dx, x 0 0 x x2 Z ∞ −px Z ∞ e x dx 4 2 − q2 = e−px d · l · (q 2 − x2 )2 0 x 0 ∞ Z ∞ −px =e 2 l · (q − x ) 2 2 − l · (q 2 − x2 )2 (−pe−px ) dx. 0 0 Pour la première intégrale obtenue ici, le terme intégré ne tombe pas sous la e0 l · q 4 forme étudiée ci-dessus : pour x = 0, il sera = ∞ ; donc ce terme étant 0 ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 31 infini, cette équation ne peut rien nous apprendre. Pour la seconde, au contraire, le terme déjà intégré est −2l · q 2 , ce qui donne Z ∞ 2 2(a + b) = −2lq + p e−px l · (q 2 − x2 )2 dx, 0 ou bien Z ∞ 2 e−px l · (q 2 − x2 )2 dx = (a + b + l · q 2 ); (20) 0 p résultat, qui est une suite nécessaire des équations (14) et (15). Pour l’application aux formules (9) et (10), nommons l’intégrale Z ∞ e−px xh l · (q 2 − x2 )2 dx = G0h ; 0 elles nous donnent les équations suivantes : Z ∞ 4G2h = e−px x2h−1 d · l · (q 2 − x2 )2 0 ∞ −px 2h−1 2 2 2 =e x (l · q − x ) 0 Z ∞ n o − l · (q − x ) −pe−px x2h−1 + (2h − 1)x2h−2 e−px 2 2 2 0 Z ∞ n o = e−px l · (q 2 − x2 )2 px2h−1 − (2h − 1)x2h−2 , Z0∞ 4G2h+1 = e−px x2h d · l · (q 2 − x2 )2 0 ∞ Z ∞ n o −px 2h =e 2 x l · (q − x ) 2 2 − l · (q 2 − x2 )2 −pe−px x2h + 2hx2h−1 e−px 0 0 Z ∞ n o = e−px l · (q 2 − x2 )2 px2h − 2hx2h−1 , 0 parceque les termes déjà intégrés ont une valeur nulle, d’après le raisonnement précédent. On s’assure aisément, qu’ici il n’y a pas occasion de distinguer entre les deux cas de h pair et impair, puisque dans la même formule on rencontre une G0 à h pair et une à h impair. De plus, on peut mettre ces équations sous la forme : 4G2h = pG02h−1 − (2h − 1)G02h−2 , 4G2h+1 = pG02h − 2hG02h−1 , d’où il suit que les deux équations sont identiques et qu’elles peuvent être rempla- cées par la seule pG0h = hG0h−1 + 4Gh+1 . (w0 ) 32 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Puisque la valeur de G00 revient à celle de l’intégrale (20), on a successivement : pG01 = 1 · G00 + 4 · G2 , p2 G02 = 1 · 2 · G00 + 2 · 4 · G2 + 4 · pG3 , p3 G03 = 1 · 2 · 3 · G00 + 2 · 3 · 4 · G2 + 3 · 4 · pG3 + 4 · p2 G4 , donc en général h pm−1 ph G0h = 1h/1 G00 + 4 · 1h/1 P Gm+1 , 1 1m/1 ou bien, par la substitution de la valeur (20) au lieu de G00 , ( ) 2 h pm G0h h/1 2 P = h+1 1 a+b+l·q +2 G . (21) p m/1 m+1 1 1 Dans ce cas-ci, on peut trouver pour les G0h , une autre valeur indépendante, assez simple, sans avoir besoin pour cela de recourir aux intégrales Gh . Lorsqu’on substitue pour G01 , G02 etc. leurs valeurs successivement calculées, pour G00 la valeur de (20) et pour G1 , G2 , etc., leurs valeurs tirées des formules (9) et (10), on obtient successivement : 0 1 1 1 1 2 pG1 = l · q 2 + (a + b) + q(b − a) + 2 , p p p 2 2   1 p2 G0 = 1 · 2 l · q 2 + 2 + p q (a + b) + 2q(b − a) + 2 1 + 1 , 2 2 p p p p 1 3 0 1·2·3 2 · 3 + 3p2 q 2 2 p G3 = l · q2 + (a + b) p p 1 1 · 2 + p2 q 2   1 + (2 · 3 + p2 q 2 )q(b − a) + 2 2 · 3 + +3· , p p p 1 p4 G0 1·2·3·4 2 · 3 · 4 + 3 · 4p2 q 2 + p4 q 4 2 4 = l · q2 + (a + b) + (2 · 3 · 4 + 4p2 q 2 )q(b − a) p p 1 · 2 + p2 q 2 1 1 · 2 · 3 + p2 q 2   1 +2 2·3·4 +4 +3·4 + . p p p p L’inspection de la formation des termes fait voir assez aisément — surtout si l’on continue le calcul des G0 suivantes, et si l’on fait attention à l’ordre gardé dans le dernier terme, dont 2 est le coefficient, — qu’ici il y a de nouveau différence entre les expressions de G0h pour h pair et impair : cette différence a sa source dans celle ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 33 entre les expressions de G2h et G2h+1 . On trouvera enfin les valeurs générales : 1 2h+1 G0 (−pq)n 2h−1 P (pq)n 2h−1 = 12h/1 l · q 2 + 12h/1 a + 12h/1 b P 2p 2h 0 1n/1 0 1n/1 h 1 n−1   2h−1/1 P P 2n−2m/1 2 2 m +2 1 (p q ) 1 12n/1 0 h n−1   2h−2/1 P 1 P 2n−2m−1/1 2 2 m +3 2 (p q ) , (22) 1 12n−1/1 0 2h (−pq)n 2h (pq)n 1 2h+2 G0 = 12h+1/1 l · q 2 + 12h+1/1 a P + 12h+1/1 b P 2p 2h+1 0 1n/1 0 1n/1 h+1 n−1   2h/1 P 1 P 2n−2m+1/1 2 2 m +2 1 (p q ) 12n/1 1 0 h n−1   1 + 32h−1/1 2n−2m/1 2 2 m P P 1 (p q ) . (23) 12n/1 1 0 L’on voit que la différence entre ces deux expressions se trouve principalement dans les deux dernières sommations, les trois autres termes ne changeant pas de nature. Quant à la formule (g), elle est dans le même cas que (VII) et par la même raison ne donnerait rien : mais on peut pourtant l’employer à l’aide de l’équation (h), si l’on fait attention à la rélation identique Z ∞ −px 2 e x dx Hk−1 + q 2 Hk = 2 2 k ; 0 (x − q ) alors celle-ci, et l’équation (h) nous fourniront pour les intégrales Z ∞ −px Z ∞ −px e l · (q 2 − x2 )2 dx e l · (q 2 − x2 )2 x dx 2 2 k = H0k et 2 2 k = I0k 0 (x − q ) 0 (x − q ) les formules suivantes : e−px l · (q 2 − x2 )2 ∞ Z ∞ e−px   2 2 2 4Ik = d · l · (q − x ) =   2 2 k−1 (x2 − q 2 )k−1  0 (x − q )  0    Z ∞  −px  −pe −(k −  2 2 2 −px 1)2x   − l · (q − x ) +e dx,   (x2 − q 2 )k−1 (x2 − q 2 )k  0     4{Hk−1 + q 2 Hk } (x0 )  Z ∞ xe−px −px l · (q 2 − x2 )2 ∞  xe   2 2 · · −  = 2 2 k−1 d l (q x ) = 2 2 k−1   0 (x − q ) (x − q )  0   Z ∞  −px  −px   2 2 e − pe x −px −(k − 1)2x  2  − l · (q − x ) + xe dx.   2 2 k−1 2 2 k  0 (x − q ) (x − q ) 34 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES La valeur des termes intégrés est ici, d’après ce que l’on a dit à ce sujet, 2lq 2 − et 0 respectivement. On a donc les équations : (−q 2 )k  2 · lq 2 + pH0k−1 + 2(k − 1)I0k ,  4Ik = 2 k−1   (−q )   (x00 ) 4(Hk−1 + q 2 Hk ) = −H0k−1 + pI0k−1 + 2(k − 1){H0k−1 + q 2 H0k }   0 2 0 0  = (2k − 3)H + 2(k − 1)q H + pI k−1 k . k−1  Mais si l’on élimine par la première de ces formules soit les I0 , soit les H0 de la seconde, et que l’on augmente k d’une unité dans le premier résultat, on obtient à l’aide des équations (g 0 ) et (h0 ) : 4k(k − 1)q 2 H0k+1 + 2(k − 1)(2k − 1)H0k − p2 H0k−1 2pl · q 2 = 4(4k − 3)Hk + 8(2k − 1)q 2 Hk+1 − , (x1 ) (−q 2 )k−1 4k(k − 1)q 2 I0k+1 + 2(k − 1)(2k − 3)I0k − p2 I0k−1 2l · q 2 = 4(4k − 5)Ik + 8(2k − 1)q 2 Ik+1 − . (x2 ) (−q 2 )k−1 Dans le cas de k = 1, elles donnent bien, comme il doit être : 2 H00 = (a + b + l · q 2 ), Voyez (20) p 2 I00 = G01 = 2 + a + b + (b − a)pq + l · q 2 ; p mais le coefficient de H0k et de I0k devient zéro : de même, pour k = 0, les coefficients de H0k+1 et de I0k+1 s’annulent aussi : donc la valeur des intégrales H01 et I01 ne saurait être tirée des équations (x1 ) et (x2 ), qui la laissent indéterminée. Donc les H0k et les I0k restent indéterminées de même. On aurait pu s’attendre à ce résultat en vertu de ce que l’on a observé à l’égard des équations (u1 ) et (u2 ). 16. Passons à la transformation d’intégrales à dénominateur x2 + q 2 , savoir (III), (IV), (11), (m) et (p). De premier abord nous pouvons exclure les quatre in- tégrales (m) et (p) de nos recherches, parce qu’elles ne donneraient qu’un résultat indéterminé, d’après ce qu’on a observé au sujet des intégrales précédentes. En- core l’équation (III) est dans le cas de (VII), et ne pourrait offrir qu’une formule indéterminée, où l’un des termes a une valeur infinie. Restent donc les intégrales (IV) et (11). ET SUR SON APPLICATION À QUELQUES FORMULES SPÉCIALES. 35 L’application du Théorème I de No . 3 donnera ici pour le terme déjà intégré soit e−px l · (x2 + q 2 )2 , soit e−px xh l · (x2 + q 2 )2 . Un raisonnement, tout-à-fait analogue à celui du No . 15, fera voir que, entre les limites 0 et ∞ de x, la valeur de ces termes est respectivement −2l.q 2 et 0. Donc le théorème cité donnera ici immédiatement par l’équation (IV) : Z ∞ −px Z ∞ Z ∞ e x dx −px 4 = e 2 2 2 2 dl · (x + q ) = −2l · q − l · (q 2 + x2 )2 (−pe−px ) dx, 0 x2 + q 2 0 0 d’où Z ∞ 2 e−px l · (q 2 + x2 )2 dx = (l · q 2 + 2d). (24) 0 p Les équations (11) donnent de plus pour l’intégrale, que nous nommerons : Z ∞ e−px xh l · (q 2 + x2 )2 dx = M0 h 0 à l’aide toujours du même Théorème et d’après les observations précédentes sur le terme intégré : Z ∞ 4M2h = e−px x2h−1 d · l · (q 2 + x2 )2 0 Z ∞ n o =− l · (q 2 + x2 )2 −pe−px x2h−1 + (2h − 1)x2h−2 e−px , Z ∞0 4M2h+1 = e−px x2h d · l · (q 2 + x2 )2 0 Z ∞ n o =− l · (q 2 + x2 )2 −pe−px x2h + 2hx2h−1 e−px . 0 La distinction entre le cas de h pair et impair s’évanouit ici, parce que dans la même formule on rencontre une M0 à h pair et une à h impair ; de plus ces deux équations deviennent alors identiques, et l’on retombe sur la seule : 4M0h = pM0h−1 − (h − 1)M0h−2 ou bien pM0h = hM0h−1 + 4M0h+1 (y 0 ) lorsqu’on augmente le h d’une unité. Puisque M00 est donnée par l’équation (24), on trouve par l’application successive de cette formule de réduction (y 0 ) enfin l’équa- tion générale h pm−1 ph M0h = 1h/1 M00 + 4 · 1h/1 P Mm+1 , 1 1m/1 ou bien par substitution de la valeur de M00 , h pm ph+1 M0h = 2 · 1h/1 l · q 2 + 2d + 2  P  Mm+1 . (25) m/1 1 p 36 NOTE SUR UNE MÉTHODE POUR LA RÉDUCTION D’INTÉGRALES DÉFINIES Mais lorsqu’on ne veut pas dépendre d’une sommation des diverses intégrales Mh , on peut suivre le même chemin, comme pour les formules (22) et (23) ; on obtiendra alors des formules analogues, où de nouveau l’on doit distinguer entre les cas de h pair et impair : h (−p2 q 2 )n h (pq)2n−1 1 2h+1 M0 = 12h/1 l · q 2 + 12h/1 2d P + 12h/1 2c P 2p 2h 0 12n/1 1 12n−1/1 h n−1   2h−1/1 P 1 12n−2m/1 (−p2 q 2 )m P +2 1 12n/1 0 h n−1   2h−2/1 P 1 P 2n−2m/1 2 2 m +3 1 (−p q ) , (26) 1 12n−1/1 0 h (−p2 q 2 )n h+1(pq)2n−1 1 p2h+2 M0 = 12h+1/1 l · q 2 + 12h+1/1 2d P + 12h+1/1 2c P 2 2h+1 1 12n/1 1 1 2n−1/1 h+1 n−1   2h/1 P 1 P 2n−2m+1/1 2 2 m +2 1 (−p q ) 112n+1/1 1 h 1 n−1   2h−1/1 P P 2n−2m/1 2 2 m +3 1 (−p q ) . (27) 1 12n/1 0 17. Pour les intégrales au dénominateur q 4 − x4 , nous avons les formules (12) et (13) à transformer. Des quatre formules dans (12) on ne peut employer que la R3 , puisque la transformation par le Théorème I du No . 3 des trois pre- mières donnerait des termes intégrés à dénominateur x3 , x2 et x successivement, lesquelles donc pour la limite inférieure 0 de x deviendraient nécessairement infi- nies, ce qui rendrait le résultat indéterminé. Cette circonstance n’a pas lieu auprès de la quatrième, car on aura : Z ∞ ∞ Z ∞ 8R3 = e−px d · l · (x4 − q 4 )2 = e−px l · (x4 − q 4 )2 − l · (x4 − q 4 )2 (−pe−px dx), 0 0 0 donc, puisque l’on voit aisément que le terme déjà intégré se réduit nécessairement à −4l · q 2 , on obtient en réduisant : Z ∞ 2 4 e−px l · (q 4 − x4 )2 dx = (b + a + 2d) + l · q 2 0 p p 2 = (b + a + 2d + 2l · q 2 ). (28) p Ajoutons, que l’on aurait trouvé ce résultat de même par l’addition des formules (20) et (24). Lorsque nous nommons l’intégrale Z ∞ e−px xh l · (q 4 − x4 )2 dx = R0h , 0