Sur la validit ́ e conditionnelle de l’ ́ equation du mouvement en r ́ ef ́ erentiel tournant Abstract L’ ́ equation du mouvement en r ́ ef ́ erentiel tournant est traditionnellement pr ́ esent ́ ee comme une reformulation g ́ en ́ erale de la dynamique newtonienne, obtenue par l’introduction de forces dites fictives, en particulier les forces de Coriolis et centrifuge. Cet article sugg` ere que cette ́ equation ne poss` ede un statut dynamique propre que lorsque le syst` eme consid ́ er ́ e est dot ́ e d’une connexion r ́ eelle, impos ́ ee par la physique du probl` eme. En l’absence d’une telle con- nexion, l’usage de d ́ eriv ́ ees temporelles ordinaires conduit ` a des interpr ́ etations dynamiques ambigu ̈ es, voire incoh ́ erentes, comme le montre l’analyse trajectorielle du cas d’un mobile li- bre observ ́ e au-dessus d’une table tournante. ` A l’inverse, la dynamique g ́ eophysique terrestre illustre un r ́ egime o` u l’ ́ equation standard, ainsi qu’une formulation am ́ elior ́ ee fond ́ ee sur la notion de connexion, sont toutes deux op ́ erationnelles. Le propos est pr ́ esent ́ e comme une suggestion th ́ eorique visant ` a clarifier les conditions d’usage et d’interpr ́ etation de l’ ́ equation en r ́ ef ́ erentiel tournant. 1 Introduction L’ ́ equation du mouvement en r ́ ef ́ erentiel tournant occupe une place centrale en m ́ ecanique clas- sique, en g ́ eophysique et en dynamique des fluides. Elle est g ́ en ́ eralement introduite par un changement de r ́ ef ́ erentiel appliqu ́ e aux lois de Newton et fait apparaˆ ıtre des forces dites fic- tives, notamment les forces de Coriolis et centrifuge. Cette d ́ emarche est expos ́ ee de mani` ere canonique dans les trait ́ es de m ́ ecanique analytique et continue de structurer l’enseignement et la pratique dans de nombreux domaines. Dans cette pr ́ esentation standard, l’ ́ equation est souvent per ̧ cue comme universelle : d` es lors que l’on accepte l’introduction de forces fictives, elle serait valable pour tout syst` eme observ ́ e depuis un r ́ ef ́ erentiel en rotation. Le pr ́ esent article ne vise pas ` a contester l’efficacit ́ e pratique de cette ́ equation dans les contextes o` u elle est largement valid ́ ee par l’observation. Il propose toutefois une lecture conditionnelle de son statut dynamique. L’id ́ ee explor ́ ee est que l’ ́ equation standard suppose implicitement l’existence d’une struc- ture de transport non triviale, que l’on peut interpr ́ eter comme une connexion r ́ eelle. Lorsque cette structure est effectivement impos ́ ee par la dynamique du syst` eme, l’ ́ equation conserve un statut dynamique coh ́ erent. En revanche, lorsque cette hypoth` ese n’est pas satisfaite, l’ ́ equation tend ` a ˆ etre utilis ́ ee comme une re-description cin ́ ematique abusivement interpr ́ et ́ ee en termes de causalit ́ e dynamique. 2 Signal d’alerte : une universalit ́ e rarement interrog ́ ee Dans la litt ́ erature classique, l’ ́ equation en r ́ ef ́ erentiel tournant est souvent introduite comme une cons ́ equence purement cin ́ ematique d’un changement de rep` ere. Cette pr ́ esentation tend ` a gom- mer les diff ́ erences entre des situations physiquement distinctes : syst` emes mat ́ eriellement con- traints ` a tourner, syst` emes libres observ ́ es depuis un rep` ere tournant, ou syst` emes g ́ eophysiques soumis ` a des forces globales et ` a des invariants plan ́ etaires. 1 Plusieurs auteurs ont soulign ́ e que cette assimilation peut conduire ` a des confusions con- ceptuelles. Persson a notamment montr ́ e que la force de Coriolis est fr ́ equemment pr ́ esent ́ ee comme une cause dynamique directe, alors qu’elle est souvent inf ́ er ́ ee a posteriori ` a partir de la forme des trajectoires. Durran a soulign ́ e, dans le contexte des oscillations inertielles, que cer- taines interpr ́ etations p ́ edagogiques attribuent ` a une force ce qui rel` eve en r ́ ealit ́ e de la structure globale du syst` eme. Ces critiques ne portent pas sur la validit ́ e alg ́ ebrique de l’ ́ equation, mais sur son interpr ́ etation dynamique. Le fait qu’une ́ equation soit formellement coh ́ erente et pr ́ edictive ne garantit pas qu’elle d ́ ecrive partout une causalit ́ e physique autonome. 3 Connexion r ́ eelle et distinction entre d ́ eriv ́ ee temporelle et d ́ eriv ́ ee covariante Comparer des vecteurs ` a des instants diff ́ erents — vitesses, acc ́ el ́ erations, directions — n’est jamais intrins` eque. Une telle comparaison n ́ ecessite une r` egle de transport, c’est-` a-dire une connexion. Cette id ́ ee est centrale dans les formulations g ́ eom ́ etriques de la m ́ ecanique et des fluides. Soit v ( t ) un vecteur vitesse le long d’une trajectoire. La d ́ eriv ́ ee temporelle ordinaire d v dt (1) suppose implicitement que les espaces vectoriels aux instants t et t + dt sont identifi ́ es de mani` ere canonique. Une telle identification n’est physiquement justifi ́ ee que dans un r ́ ef ́ erentiel inertiel. Dans un contexte non inertiel, la formulation g ́ eom ́ etriquement correcte fait intervenir une d ́ eriv ́ ee covariante le long de la trajectoire : D v Dt = d v dt + Γ ( v ) , (2) o` u Γ repr ́ esente la connexion, c’est-` a-dire la r` egle de transport impos ́ ee par la dynamique du syst` eme. Dans le cas d’un r ́ ef ́ erentiel en rotation uniforme de vitesse angulaire Ω , cette d ́ eriv ́ ee covari- ante prend la forme D v Dt = d v dt + Ω × v (3) L’apparition explicite de ce terme montre que la d ́ eriv ́ ee temporelle ordinaire ne co ̈ ıncide avec la d ́ eriv ́ ee physiquement pertinente que si le terme de connexion est nul. Cette distinction a ́ et ́ e analys ́ ee de mani` ere approfondie par Grøn et Eriksen dans leurs travaux sur les r ́ ef ́ erentiels acc ́ el ́ er ́ es et en rotation. Ils montrent que les forces d’inertie ne doivent pas ˆ etre interpr ́ et ́ ees comme des forces newtoniennes, mais comme des manifestations du choix de transport des vecteurs dans l’espace-temps. En particulier, ils soulignent que les termes de Coriolis et centrifuge d ́ ependent du choix de connexion associ ́ e au r ́ ef ́ erentiel et que leur interpr ́ etation causale na ̈ ıve repose sur des identifications implicites entre espaces tangentiels qui ne sont pas physiquement justifi ́ ees. 4 Th` ese centrale : validit ́ e conditionnelle de l’ ́ equation standard La th` ese d ́ efendue ici est que l’ ́ equation standard du mouvement en r ́ ef ́ erentiel tournant est valide mais conditionnelle. Elle est coh ́ erente et pr ́ edictive lorsque le syst` eme est dot ́ e d’une connexion r ́ eelle, et uniquement dans ce cas. 2 Lorsque cette condition est satisfaite, la dynamique peut ˆ etre formul ́ ee de mani` ere intrins` eque sous la forme F autres + F connexion = m a rel (4) L’ ́ ecriture standard avec forces de Coriolis et centrifuge apparaˆ ıt alors comme une r ́ e ́ ecriture admissible de cette dynamique, obtenue lorsque l’on choisit d’exprimer les ́ equations ` a l’aide de d ́ eriv ́ ees temporelles ordinaires plutˆ ot que covariantes. Cette th` ese n’invalide donc pas l’ ́ equation standard dans les situations o` u elle est connue pour fonctionner. Elle sugg` ere plutˆ ot que son statut dynamique d ́ epend explicitement d’une hypoth` ese g ́ eom ́ etrique souvent laiss ́ ee implicite. 5 Incoh ́ erence trajectorielle en l’absence de connexion : le cas de la table tournante Consid ́ erons un mobile libre se d ́ epla ̧ cant au-dessus d’une table tournante id ́ eale, sans aucun contact ni interaction m ́ ecanique avec celle-ci. Le mouvement absolu du mobile est inertiel : trajectoire rectiligne et vitesse constante. La rotation de la table n’impose aucune contrainte dynamique au mobile et ne d ́ efinit aucune connexion r ́ eelle. Dans ce contexte, l’ ́ equation standard attribue au mouvement relatif des acc ́ el ́ erations de Coriolis et centrifuge. Or, l’analyse directe des trajectoires montre que ces acc ́ el ́ erations ne correspondent ` a aucune propri ́ et ́ e dynamique du mouvement r ́ eel. La force centrifuge, en parti- culier, introduit une acc ́ el ́ eration radiale proportionnelle ` a la position, qui n’est ni observ ́ ee ni requise pour d ́ ecrire la trajectoire relative. Le cas d’un passage par le centre de rotation est particuli` erement r ́ ev ́ elateur. ` A cet instant, la force centrifuge est nulle par construction, tandis que la trajectoire relative pr ́ esente n ́ eanmoins une courbure instantan ́ ee. Cette courbure ne peut provenir d’aucune force radiale ; elle r ́ esulte exclusivement du transport cin ́ ematique associ ́ e au rep` ere tournant. Ces observations sugg` erent que, dans le cas de la table tournante, l’ ́ equation standard ne doit pas ˆ etre interpr ́ et ́ ee comme une loi dynamique autonome, mais comme une re-description cin ́ ematique efficace, dont l’interpr ́ etation causale devient probl ́ ematique en l’absence de con- nexion r ́ eelle. 6 Performance en pr ́ esence d’une connexion : le cas de la Terre La situation est profond ́ ement diff ́ erente en g ́ eophysique. La Terre en rotation constitue un syst` eme dot ́ e d’une connexion r ́ eelle, impos ́ ee par la dynamique globale, la gravitation et les contraintes mat ́ erielles. Dans ce contexte, l’ ́ equation standard du mouvement en r ́ ef ́ erentiel terrestre fonctionne correctement et conduit ` a des pr ́ edictions en excellent accord avec les ob- servations. Parall` element, la formulation am ́ elior ́ ee fond ́ ee sur l’existence explicite d’une connexion r ́ eelle est ́ egalement valide et conduit aux mˆ emes trajectoires. En pratique g ́ eophysique, ces deux ́ ecritures coexistent : l’ ́ equation standard est utilis ́ ee pour le calcul op ́ erationnel, tandis que des formulations plus g ́ eom ́ etriques ́ eclairent la structure des ́ equilibres, des invariants et des modes dynamiques. La diff ́ erence porte sur l’interpr ́ etation physique et sur la hi ́ erarchie des m ́ ecanismes mis en ́ evidence, non sur la capacit ́ e pr ́ edictive. 7 Conclusion Cet article propose une suggestion th ́ eorique, plutˆ ot qu’une r ́ efutation. Il sugg` ere que l’ ́ equation du mouvement en r ́ ef ́ erentiel tournant n’a de statut dynamique propre que lorsque le syst` eme consid ́ er ́ e est dot ́ e d’une connexion r ́ eelle. L’analyse du cas de la table tournante met en ́ evidence 3 des tensions conceptuelles lorsque cette condition n’est pas remplie, tandis que le cas de la Terre illustre la performance de l’ ́ equation dans un contexte o` u elle est physiquement fond ́ ee. Cette distinction invite ` a expliciter les hypoth` eses g ́ eom ́ etriques sous-jacentes ` a l’usage des r ́ ef ́ erentiels tournants et ` a distinguer soigneusement re-description cin ́ ematique et loi dynamique. La port ́ ee de cette proposition reste ouverte et appelle des analyses compl ́ ementaires, tant th ́ eoriques qu’exp ́ erimentales. 4