, , PRE-CALCULO Operações, equ , ações, funções e trigonometria (')f ~ ~~ .. 11 ,. ., , · ~ \l p r.uMra Sr : J if,'; Ji iaç,j o bib ~" · i _ ~portante para nós. P~;~~ca de~ta obra é m:Jii o IJ yue na O S 00-1 1 1939. n orma~SObrecadastr o Cantamos om sua co l b ~g r ~a~ce n, os po r s! a a cra ~ 4o e s nf&CitJ8damen te :qw peC E NGAGE LEARNI NG Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) G633p Gomes , Francisco Magalhães Pré - cálculo : operações , equações , funções e sequências/ Francisco Magalhães Gomes. - São Paulo, SP : Cengage Learning, 2018. 560 p.: il.; 28 em . ISBN 978 - 85 - 221 - 2789 - 4 1. Cálculo 2 . Funções 3 . Trigon o metria. 4 . Equações. I . Título. Índice para cat á logo sistemático : 1 . Cálculo 517.2/ . 9 CDU 517.2/.9 CDD 515 (Bibliote c ária responsável: Sabrina Leal Araujo - CRB 8/10213) , , PRE-CALCULO Operações, equações, funções e trigonometria Francisco Magalhães Gomes IMECC- UNICAMP ~-'# CENGAGE ,.., Austrália • Br as il • Mé xi co • Cingapura • Reino Unido • Es tado s Unidos ~~~~~·~ CENGAGE ·- Pré-cálcul o- Operaçõ es , equações, funções e trigonometr ia 1• edição Francisco Magalhães Gomes Geren te ed it orial: Noe l ma Brocanelli Ed it ora de desenvolviment o: Salete Del Guerra Supervisara de produção g ráfi ca: Fab iana Alencar Albuquerque Produção gráfica: Soraia Scarpa Rev is õe s: Beatriz Alves T ei xeira, Joana Fig ueiredo e Isabel Ribe ir o Diagrama çã o: Triall Editorial Ltda Cap a: Renata Buono/Buono Disegno Impresso no Brasil Printed in Bra z il 1ª edição © 2019 Cengage Learning Edições Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma pa rt e deste livro poderá s er reproduzid a, sejam quais forem os meio s empregados, sem a permissão, por escrito, das editoras. Aos inf ratores aplicam- se as sançõ es previstas nos artigos 102, 10 4, 106 e 107 da L ei n° 9. 61 O , de 19 de fevereiro de 1998. Esta editora empenh ou-se em cont a tar os respon sá veis pelos direitos auto rais de t odas as imagens e de out ros materiais ut ilizados neste livro. Se porventura for constatada a omissão involu ntár ia na identificação de algum deles, dispomo-nos a efetuar, futuramente , os possíveis acertos. A editora não se responsabiliza pelo fu n ci onam ento dos l inks contidos n es te li vro que po s sa m es tar suspensos. Para informações sobre nossos produ to s, entre em contato pelo telefone 0800 1119 39 Para permissão de uso de material de sta obr a, envie seu p edido para direitosautorais@cengage.com © 2019 Cengage Learning. Todos os dire it os reservados. I SBN 13 : 978-85-221-2789-4 I SBN 1O : 85-221-2789-1 Cen gage Learni ng Condomínio E-Busin ess Park Rua Werner Siemens , 1 11 - Prédio 11 - Torre A - con junto 12 Lapa de Baixo - CEP 050 69-900- São Pa ulo - SP Te I. : (1 1) 3665- 9900- Fa x: (11) 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e ap rendi za do, visite www .cengage.com.br. Sumário Prefácio .. ..... ...... ..... ............... .. .. .......... ... ... .......... .. ... .......... ..... ... .............. ..... ............... ... ... ... .. ... .... .. .. vi i Capítulo 1 Números reais ... ... ..... ..... ...... ... ................. ... ..... ............... .. .. ..... .. .... .......... .... ....... .... .. .. .... .. 1 1.1 Conjuntos de números ..... ... ....... .. ....... ............... ............ ........ ... ..... ............ 1 1.2 Soma , subtração e multiplicação de números reais .... ............................... 4 1.3 Di visão e frações .... .. ... .... .. ... .... ... ............................ . .. ...... .. ..... ........ .... ... . 12 1.4 Simp li ficação de frações ...... ... .. ... ...... .. .. ..... ............ ... ..... . ... .. .. ...... .. ......... 25 1.5 A reta r ea l.......... .. ...... . ... ... ... ........ .... ..... .... .. .. .. .. .... .. ... ....... ... ...... ............... 41 1.6 Razões e taxas ....... . .. ... .. ... .. ....... ........ ........ .... ..... .... ...... ....... .. .. ... ........ . .. .. 43 l. 7 Porcentagem ..................... ... .... . ... ... ..... ... ........................ ................ . ... ..... 50 1.8 Potências .. ............... ........ ... ... .. .. ... ..... .. ... ... ..... ... .... .............. .. .... ......... ..... 58 1.9 Raízes 7 1 Capítulo 2 Equações e inequações ............ .............. ... .... ............................................... ............... 83 2 .1 Eq uações ................................... .......................... .. ..... .. ......... .. .... .. .. .. ....... 83 2.2 Proporções e a regra de três ........................................ ...... .. .... ................ . 90 2.3 Regra de três composta .......................................................................... 103 2.4 Equações lineares ........ .......................................... .......... .............. .... .... 108 2.5 Sistemas de equações lineares .......... .. .... ...... .... ................ ...... .... .. ...... .. . 116 2.6 Conjuntos ..... ............... .................. ............................. ... ................... .. .... 124 2. 7 Intervalos .......... . .. ........ .... .... ................ .. ......................... ................. ...... 136 2.8 Inequações ........................................ .................. ...... ...... ....................... 140 2.9 Polinômios e expressões algébricas ...................... .... .. .. .............. .......... . 150 2.1 O Equações quadráticas .................... .................. .................... .. ................ . 161 2.11 Inequações quadráticas .......................... .. .... .... ...................................... 1 71 2. 12 Eq uações racionais e irracionais .......... .. ................................................ 180 2. 13 Inequações racionais e irracionais ............................ .... ........ .... .. .... .. ..... 193 2.14 Valor absoluto ............ .... .... .. .... .... .............. .. .......................................... 204 Capítulo 3 Funções .. ...... .............................. .. ........... .... ..... .............. ... .............. ... ................... .. .... ...... 219 3.1 Coordenadas no plano .......... .... ............................................................. 219 3.2 Equações no plano ........................................................................ .... ..... 227 3.3 Solução gráfica de equações e inequações em uma variável.. ............... 232 3.4 Retas no plano ...... .... .. ................................... .. ........ .. ............................ 240 3.5 Fu nções253 3.6 Obtenção de informações a partir do gráfico ...... .......... .... .... .. .......... .... . 264 3.7 Fu nções usuais .. .... ......... ...................................... ........... ......... .. ........... . 277 3.8 Transformação de funções ......... .... .......................... .. .... .... ............ ... ... .. 290 3.9 Comb inação e composição de funções ....... ........ .................... ..... .. ........ 298 Capítulo 4 Funções polinomiais .... ....... ...... ......... ..................... .. ........................................... .... ... 313 4 .1 Funções quadráticas .... .... ........ .. .. ..... ..... .... .. .. .. .... .. .......... ..................... . 313 4.2 Divisão de polinômios .... ... ..... .................... .. .... ..................................... 328 4.3 Zeros reais de fun ções polinomiais ...... ..... ....... .. .. .. ........... .. .. ..... ........ .. 338 4.4 Gráficos de funções polinomiais ........ .. ................ .. ......... .. ....... ............. 355 4.5 Números complexos .. ..... ................. .. .......... ............ .. ... .......... .............. . 364 4.6 Zeros complexos de funções polinomiais ............. .......... ...... ... .. ............ 375 vi • PRÉ - CÁLCULO - Operações. equações. funções e trigonometr ia Capítulo 5 Funções exponenciais e logarítmicas ... ..... .. ............ ... ..... .. ......... .... ........... .... .... 381 5.1 Função inversa ......... ..................... ........ ....................... ....... .. .......... . .. .. .. 381 5.2 Função exponencial .. ..... .... ........... .... ............ ............... ............. ........... .. 392 5.3 Função logarítmica ............................................................ .. ........ .......... 403 5.4 Equações exponenciais e logarítmicas ............................................ ... ... 416 5.5 Inequações exponenciais e l oga rítmicas .. ........ .. .............................. .. .. 429 5.6 Problemas com funções exponenciais e logarítmicas .................. .. ....... 437 Capítulo 6 Trigonometria .......................... .... ....... ....... ... .. .. ...... ........ ............. ...... .... ...... .. ............... 449 6.1 Trigonometria do triângulo retângulo ................................................. .. 449 6.2 Medidas de ângulos e a circunferência unitária .. .. ................ .. ... .. ......... 460 6.3 Funções trigonométricas de qualquer ângu lo ............................... ......... 465 6.4 Gráficos do seno e do cosseno ......... .. ...... ........................... .. ..... .. .......... 478 6.5 Gráficos das demais funções trigonométricas ..................... .. .. ............. 488 6.6 Funções tr igonométricas inversas .................................... .. .................... 495 6. 7 A lei dos senos e a lei dos cossenos .. .... .... ............... .. .... ........................ 503 6.8 Identidades trigonométricas .................................... .. .......... .. ......... .... .... 518 6.9 Equações trigonométricas .................................................... .... .............. 525 6. 1O Transf ormações trigonométricas ................... .. ............. ......................... 53 7 Prefácio Os cursos de engenharia e de ciências exatas das universidades bra- sileiras incluem, em seus primeiros semestres, disciplinas de cálculo, equações diferenciais, geometria analítica e álgebra linear. Além disso, os currículos de muitos cursos superiores de ciências humanas e biológicas têm alguma disciplina básica de matemática, com tópicos selecionados de cálculo e álgebra. Ao contrário do que acontece em outras áreas do conhecimento, para obter um bom desempenho nas disciplinas iniciais de matemática dos cur- sos universitários, os estudantes precisam ter uma base sólida em tópicos que vão das operações aritméticas básicas às funções, particularmente as polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Este li vro é fru- to de cinco anos de esforço para criar um texto adequado a essa preparação. Além dos jovens que ingressam em cursos universitários, o público- -alvo do livro inclui pessoas que queiram empregar a matemática para analisar os dados, tabelas e gráficos com os quais somos bombardeados todos os dias, ou que desejem criar seus próprios modelos matemáticos. A intenção foi criar um texto com um caráter prático, combinando apli- cações com um grande número de exemplos de fixação das técnicas de manipulação de expressões, equações e funções matemáticas. O livro é composto por seis capítulos, que tratam de operações, equa- ções, funções e trigonometria. Cada capítulo é composto de seções nu- meradas, as quais incluem um bom número de exercícios, quase todos com resposta. Os capítulos estão encadeados, de modo que o conteúdo do primeiro é essencial para a compreensão de todos os demais. Portanto, recomenda-se que o leitor só deixe de ler uma seção se tiver certeza de que domina seu conteúdo. O material de apoio on-line ' inclui um capítulo extra sobre sequên- cias, progressões e aplicações financeiras, além de apêndices que expli- cam como trabalhar com diferentes unidades de medida e como empregar planilhas eletrônicas para encontrar funções que aproximam dados obti- dos empiricamente. As respostas aos exercícios também estão disponíveis no material de apoio on-line e slides em PPT com aulas baseadas no livro eslão disponíveis para os professores. Em geral, os assuntos são abordados à medida que são necessários. Assim, por exemplo, as funções inversas são introduzidas no capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas, em vez de fazerem parte do capítulo sobre funções em geral. Além disso, embora as demonstrações formais tenham sido evitadas para que o livro fosse acessível a um público mais amplo, os principais resultados matemáticos apresentados são acom- panhados de breves explicações e exemplos, com o propósito de permitir que o leitor compreenda como foram obtidos. I O material de apoio on-line está disponível no site da Cengage (www.cengag e. com.br.) Procure o livro pelo mecanismo de busca do site e lá você encontrará o acesso para os materiais de apoio para alunos e professores. Acesse por meio do seu cadastro. VIII • PRÉ-CÁLCULO- Operaçõe s. equações. funçõe s e trigonometria Repare que. nesse problema, escrevemos a expressão como o produt o de três fatores Observe que. qu:111d o n • O. a equação tomo-se lin ea r. nll o s end o necessário re so lvê-la com o C<Junçi\o qu o dr:\t i ca D ica Vcx:é n ão pre cisa d t.-corn r a.s co ndi - ções ao lado. podendo dedu zi-las quando necessário. Para t: :mt o. basta lembrar que a ex pre ssão dentro de uma ra iz quadrada de ve se r ni\ o ne- &! lli v a. e que n ra iz qur~dmda s empre fo rn ece um v al or nã o m :ga ti vo. At e nção Rep are qu e há um si nal n ega ti vo den- tro da rai z. de modo que, dentre os coefic ientes a e c, um (c :~ pena s um) d eve se r n cg:: ui vo """" .... _ _..._.... ::.::..::::-- ......... ·· ................ _, , .. 1/l l .. • II • JI .. •· •I Para auxiliar a leitura, foram incluídos comentários. explicações. referências. curiosidades e figuras à margem do texto. Observações e explicações breves são apresentadas em vinho. Comentários e dicas mais relevantes aparecem em caixas cinza Já as advertências são mostradas em caixas na cor rosa. Os quadros que aparecem ao longo do texto dão destaque a definições. proprie- dades e roteiros de resolução de problemas. que servem de referência e podem sem consultados com frequência pelo leitor Como mensagem final ao leitor, lembro que o nosso progresso pes- soal e profissional se baseia no conhecimento, um ingrediente fundamen- tal para que nos tornemos independentes de verdade. Isso é particularmen- te relevante quando se trata de matemática, pois é nela que se fundamenta grande parte da ciência e das decisões que nos afetam no cotidiano. En- tretanto, "conhecer" não é sinônimo de "decorar" . Em vez de decorar a maneira de resolver um problema específico, deve-se tentar compreender completamente seu enunciado e a lógica envolvida em sua resolução. E não basta acompanhar a resolução impressa no livr o. Para dominar um tópico, é preciso pôr em prática o que se lê, pois é com a experiência que se aprende a lidar com as sutilezas dos problemas e que se adquire intuição matemática. E se um caminho não der frutos , deve-se tentar outros, uma vez que não há satisfação maior do que aquela decorrente da percepção de que se é capaz de superar as dificuldades, não importando se pequenas ou grandes . Boa leitura! FRA NC ISCO A. M. G OM ES • Números reais Antes de ler o capítulo Sugerimos que você revise: • as quatro operações aritméticas ele- mentares: soma, subtração, multipli- cação e divisão; • os números negativos; • a representação decimal dos números. 1.1 Conjuntos de números Deixamos para o próximo capítulo a apre- sentação dos principais conceitos associa- dos a conjuntos. Por hora, é suficiente co - nhecer os pr incipais conjuntos numéricos. Você sabi a? Em algumas culturas antigas, só os números 1, 2 e 3 possuíam nomes específicos. Qualquer quantidade aci- ma de três era tratada genericamen- te como "muitos". Por outro lad o, os egípcios, há milhares de anos, já possuíam hieroglifos particulares para representar números entre 1 e 9.999.999 na forma decimal. Neste capítulo, revisamos alguns conceitos fundamentais de aritmética e álgebra, com o propósito de preparar o leitor para os capítulos que virão na sequência. Os tópicos aqui abordados são aqueles indispensáveis para se compreender a Mate- mática cotidiana, ou seja, aquela que usamos quando vamos ao supermercado ou ao banco, ou quando lemos um jornal, por exemplo. Aritmética elementar é o ramo da Matemática que trata dos números e de suas operações. Por ser a base sobre a qual são erguidos os demais ramos, seu conhecimento é imprescindível para a compreensão da maioria dos tópicos da Matemática. Já na álgebra elementar, uma parte dos números é representada por outros símbolos, geralmente letras do alfabeto romano ou grego. É provável que você já domine grande parte dos conceitos aritméticos e algé- bricos aqui apresentados. Ainda que seja esse o caso, não deixe de fazer uma lei- tura rápida das seções para refrescar sua memória. Ao final da revisão, você deve estar preparado para trabalhar com números reais, frações, potências e ra ízes. Os números usados rotineiramente em nossas vidas são chamados números reais Esses números são divididos em diversos conjuntos, cada qual com uma origem e um emprego específicos. Ao homo sapiens de épocas remotas, por exemplo, os números serviam ape- nas para contar aquilo que era caçado ou coletado como alimento. Assim, para esse homem rudimentar bastavam os números naturais : 1; 2; 3; 4 ; 5; ... Os números naturais também estão associados ao conceito de número ordinal, que é aquele que denota ordem ou posição (primeiro, segundo, terceiro, quarto, ... ). I O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N. Um membro de um conjunto de números é chamado el emento do conjunto. Dizemos, portanto, que o número 27 é um elemento do conjunto de números naturais, ou simplesmente 27 E N. A Tabela 1.1 fornece a notação usada para indicar a relação de pertinência entre um número a qualquer e um conjunto numérico S. Alguns autores consideram o zero um número natural , enquanto outros prefe- rem não incluí-lo nesse conjunto. Este livro segue a segunda vertente, consideran- do que o zero não é natural, ou seja, que O ~ N. Quando aplicadas a números naturais, algumas operações geram outros núme- ros naturais. Assim, por exemplo, quando somamos ou multiplicamos dois núme- ros naturais, sempre obtemos um número natural. Entretanto, o mesmo não ocorre 2 • PRÉ-CÁLCULO- Operaçõe s. equações. funções e trigonometria Observe que todo número inteiro é também racional, pois pode ser escrito como uma fração na qual o denominador é igual a I . Se você não está familiarizado com a ma- nipulação de frações, não se preocupe , pois retornaremos ao assunto ainda neste capítulo. Atenção Lembre-se de que a divisão de um número por zero não está definida, de modo que não podemos escrever ~. o por exemplo. TABELA 1.1 Notação de pertinência a conjunto. Notação Significado Exemplos aES a é um elemento de S. 132 E N a pertence a S. 9756431210874 E N a"S a não é um elemento de S. 12 ,5 ~ N a não pertence a S. - 1 " N quando calculamos 50- 100. Ou seja, para que a subtração sempre possa se r feita, precisamos dos números negativos e do zero. Na prática, o zero costuma ser usado como um valor de referência e os núme- ros negativos representam valores inferiores a ela. Quando usamos, por exe mplo, a escala Celsius para indicar a temperatura, o zero representa a temperatura de congelamento da água, e os números negativos correspondem a temperaturas ain- da mais frias. Considerando todos os números que podem ser gerados pela subtração de números naturais, obtemos o conjunto dos números inteiros: ... ; -5; - 4; -3; -2; -1; O; 1; 2; 3; 4; 5; I O conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo Z. Note que todo número natural é também um número inteiro, mas o co ntrário não é verdade. Apesar de serem suficientes para que efetuemos a subtração de núme ros na- turais, os números inteiros ainda não permitem que d efi namos outras operações, como a divisão. Para que essa operação seja feita com quaisquer números intei- ros, definimos outro conjunto, composto de números racionais. O termo "racional" deriva da palavra " razã o" que, em Matemática, denota o quociente entre dois números. Assim, todo número racional pode ser representado pela divisão de dois números inteiros, ou seja, por uma fração na qual o numera- dor e o denominador são inteiros. Alguns números racionais são dados a seg uir: .!. = 02 5 , 4 3=1 , 333 ... _2_=-0 3 10 , - ~=-0 375 8 , ~ =6 I I - = O , 142857 142857... 7 Os exemplos dados ilustram outra característica dos números racionais: a pos- sibi lidade de representá-los na forma decimal, que pode ser finita- como obser- vamos para }, - 1 3 0 , f e-~ - ou periódica - como exibido para te+· O termo "periódico" indica que, apesar de haver um número infinito de algarismos depois da vírgula, estes aparecem em grupos que se repetem, como o 3 em l ,333 ... , ou 142857 em 0,142857142857 .. I O conjunto dos número s racionais é representado pelo símbolo Q! Infelizmente, os números racionais ainda não são suficientes para representar alguns números com os quais trabalhamos com frequência, como .J2 ou 7C. Nú- meros como esses são chamados irracionais, pois não podem ser escritos co mo a razão de dois números inteiros. A forma decimal dos irracionais é infinita e não é periódica, ou seja, ela inclui um número infinito de algarismos, mas estes não formam g rupo s que se repetem. Assim , não é possível r ep resentar exatamente um número irracional na forma decimal , embora seja possível apresentar valores aproximados, que são indicados neste livro pelo símbol o"""". Dessa forma, são válidas as expressões: e 7r ""'3, 1415926536. Trataremos com mais detalhe as raízes - como .fi e J3 - na Seção 1.9. No computador O Wolfram A lpha (www.wolframal- pha.com) é um mecanismo gratuito que facilita a resolu ção de problemas matemáticos. Usando oA ipha, podemos determinar uma aproxi m ação para 7C com qual- quer precisão (fin ita). Por exemp l o, a a proxima ção com 100 algarismos é 3,1415926535897932384626433 83279502884197 1 693993751058 209749445923078164062862089 98628034825342117068 Reais Naturais Frações não inteiras Negativos e zero FIGURA 1.3 O conjunto dos números reais e seus subconjuntos. CAPÍTULO 1- Números rea is • 3 A seguir são apresentados os números irracionais populares, acompanhados de algumas de suas aproximações decimais: J2 ::::: 1,4142136 log 2 (3) ::::: 1,5849625 Exemplo 1. O número n .j3 ::::: 1,7320508 e ::::: 2,7182818 Quando dividimos o comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro, obtemos um número constante (ou seja, um valor que não depende da circ unf erência em questão), representado pela letra grega 7C (lê-se "pi"). comprimento da circunferência 1[ = -----'.---------- diâmetro da circunferência FIGURA 1 .1 Uma circ unf er ência e seu diâmetro. Exemplo 2. Diagonal de um quadrado de lado inteiro Suponha que um g_uadrado tenha lados com I m de comprimento. Nesse caso, sua diagonal mede ..J2 m, um número irracional. Todo quadrado com lado inteiro tem diagonal de medida irracional (a medida da dia gonal será sempre o produto do lado por .fi). lm lm FIGURA 1.2 Um quadrado cujos lados medem l m. Unindo o conjunto dos núJ!1eros racionais ao conjunto dos números irracio- nais, obtemos o conjunto dos números reais. I O conjunto dos números reais é representado pelo símbolo R A Figura 1.3 mostra os números reais e os conjuntos que o formam (que são chamados subconjuntos de IR ). É possível realizar qualquer operação de adjção, subtração e multiplicação entre números reais. Também é possível realizar a divisão de qualqu er número real por outro número diferente de zero. A seguir, revisaremos as propriedades dessas operações. 4 • PRÉ-CÁLCULO- Operaçõe s, equações, funçõe s e trigonometria Exercícios 1.1 1. Indique quais frases a seg uir são verdadeiras. 3. Dentre os números reai s a seguir: a) Todo número real é racional. b) Todo número natural é real. c) Todo número inteiro é natural. 5, 3 - 2 10000000 J5 632 J2 75 d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são na- turais. o 3 indique quais são -8,75 J4 125, 666 ... e) Todo número irracional é real. f) Todo número natural é racional. a) naturais ; b) inteiros; c) racionais d) irracionais. 2. Forneça doi s exemplos de números: 4. Usando uma calculadora, reescreva os números racio- a) naturais; nai s a seg uir na forma decimal : b) inteiros; c) racionais negativos; a) 7 c) 13 e) 42 g) 19 i) 32 2 6 5 8 99 d) irracionais; e) reais que não são naturais. b) I d) 4 f) 5 h) 2 j) 432 16 3 11 9 999 1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais Uma da 3 características mais import antes dos seres humanos é a capacidade de abstração Exercitamos essa capacidade o tempo inteiro, sem nos darmos conta di sso. Quando alguém diz "flor ", imediatamente reconhecemos do que se trata. Compreendemos o significado desse termo porque já vimos muitas flores , e somos capazes de associar palavras aos objetos que co nhecemos , sem dar importância , por exemplo , à espécie da flor. Se não empregássemos essa generalização , escolhendo uma única palavra para representar a estrutura repro- dutora de várias plantas , seríamos incapazes de dizer frases como " Darei flores no dia das mães ". Na Matemática , e, consequenteinente , na linguagem matemática, a abstração ocorre em vários níveis e em várias situações. O uso de números naturais para contar objetos diferentes é a forma mais simples e antiga de abstração. Outra abstração corriqueira consiste no uso de letras, como a, b, x e y, para representar números. Nesse caso , a letra serve apenas para indicar que aquilo a que ela se refere pode ser qualquer número . Assim, ao escrevermos a+b para representar uma soma , indicamos que essa operação é válida para dois nú- meros a e b quaisquer , que suporemos reais . Além disso, a própria escolha da s letras a e b é arbitrária, de modo que a mesma soma poderia ter sido escrita na forma w+ v. O leitor deve ter sempre em mente que , ao trabalhar com letras, está traba- lhando com os números que elas representam , mesmo que, no momento, esses números não tenham sido especificados. Vejamos, a seguir , um exemp lo no qual definimos a área e o perímetro de um retângulo, mesmo se m conhecer seus lado s. Exemplo 1. Perímetro e área de um retângulo Suponha que um retângulo tenha arestas (lados) de comprimento b e h. Nesse caso, definimos o perím etro (P) do retângulo como a soma dos comprimentos das arestas, ou seja: p = b+b+h+ h = 2b+ 2h. 1\ oiS d h D D D D D D cerca b FIGURA 1.4 Um terreno retangular. Atenção Não se esqueça de incluir um par de parênteses (podem ser colchetes ou chaves, também) quando quiser indi- car que uma operação deve ser efe- tuada antes de outra que , normalmen- te, a precederia CAPÍT ULO 1- Números reais • 5 Observe que usamos o sina l = para definir o termo P que aparece à sua es- querda. Definimos também a área (A) do retângulo como o produto A=b · h. Dadas essas fórmulas para o perímetro e a área, podemos usá-las para qualquer retângulo, quer ele represente um terreno cercado, como o da Figura 1.4 , quer um quadro pendurado na parede. No caso do terreno, o perímetro corresponde ao compri- mento da cerca, enquanto o perímetro do quadro fornece o comprimento da moldura. Embora não tenhamos dito explicitamente, fica subentendido que as medidas b e h devem ser números reais maiores que zero. • A precedência das operações e o uso de parênteses Para calcular uma expressão aritmética envolvendo as quatro operações elemen- tares, é preciso seguir algumas regras básicas. Em primeiro lugar, deve-se efetuar as multiplicações e divisões da esquerda para a direita. Em seguida, são efetuadas as somas e subtrações, também da esquerda para a direita. Como exemplo, vamos calcular a expressão 25-8 x 2 + 15 7 3: 25 8 X 2 + 15 3 '-.r----' 25 16 + 15 3 '-v---' 25 16 + 5 '-v--' 9 + 5 14 Quando desejamos efetuar as operações em outra ordem, somos obrigados a usar parênteses. Nesse caso, a expressão que está entre parênteses é calcu lada em primeiro lugar, como mostra o exemplo a seguir: 5 X ( 10 - 3) = 5 X 7 = 35. '------.-----' 7 Se não tivéssemos usado os parênteses nesse exemplo, teríamos que efetuar a multiplicação antes da soma, de modo que o resu ltado seria bastante diferente: 5 X )Q - 3 = 50 - J = 47 '--v---' 50 Um exemplo mais capcioso é dado a seguir. Como se vê, na expressão da esquerda, os parênteses indicam que a multiplicação deve ser efetuada antes da divisão. Já na expressão da direita, que não contém parênteses, a divisão é calcu- lada em primeiro lugar. lQQ 7 (2 X 5) '---...---"' 100 7 10 '--..---' 10 100 7 2 x 5 '---v----' 50 X 5 '--v---' 250 Por outro lado, é permitido usar parênteses em situações nas quais eles não seriam necessários. Como exemplo, a expressão 100-(75 75)+ (12x 6) 6 • PRÉ-CÁLCULO- Operações, equações, Funções e trigonometria Na calculadora As calculadoras científicas modernas permitem o uso de parênteses. Efetue a conta ao lado em sua calcu ladora, substituindo as chaves e os colchetes por parênteses, e verifique se você obtém o mesmo resultado. FlGURA 1.5 28 carteiras organizadas em 4 fileiras de 7 carteiras. FIGURA 1.6 28 carteiras organizadas em 7 fileiras de 4 carteiras. é equivalente a 100 - 75 + 5+12 x 6. Podemos escrever expressões mais comp licadas colocando os parênteses den- tro de colchetes, e estes dentro de chaves, como no exemplo a seguir: 5 x {3 x [(20 - 4) +(9 - 7) + 2] + 6} = 5 x {3 x [l6 +2 + 2]+ 6} = 5 x {3 x l0+6} = 5 x 36 = 180. • Propriedades da soma e da multiplicação Foge ao objetivo deste livro definir as operações aritméticas elementares que su- pomos conhecidas pelo leitor. Entretanto, nos deteremos nas propriedades dessas operações , nem sempre bem exploradas no Ensino Fundamental. Comecemos , então, analisando as propriedades mais importantes da soma e da multiplicação. Propriedades da soma e da multiplicação Suponha que a, b e c sejam números reais . Propriedades 1. Comutatividade da soma a+b=b+a 2. Associatividade da soma (a+b)+c=a+(b+c) 3. Comutatividade da multiplicação axb=bxa 4. Associatividade da multiplicação (a X b) X C =a X (b X c) 5. Distributividade a x (b + c) =a x b +a x c Exemplos 2+3=3+2 (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 15 X 9 = 9 X 15 (4 X 3) X 6 = 4 X (3 X 6) 5(12 + 8) = 5 X 12 + 5 X 8 A Propriedade comutativa da multiplicação pode ser facilmente compreendi - da se considerarmos , por exemplo , duas possibilidades de dispor as carteiras de uma sala de aula. Como ilustrado nas figuras 1.5 e 1.6, não importa se formamos 4 fileiras com 7 carteiras ou 7 fileiras de 4 carteiras, pois o número total de carteiras será sempre 28 , ou seja, 4 X 7 = 7 X 4 = 28. A Propriedade 5, formalmente conhecida como proprie dad e di stributiva , é populannente chamada de "regra do chuveirinho ", pois costuma ser apresentada da seguinte forma: h\ a x (b + c) = a x b + a x c. O problema a seguir, que também envo lve assentos, mostra uma aplicação dessa propriedade. Problema 1. Contagem das poltronas de um auditório Um pequeno auditório é formado por dois conjuntos de poltronas separados por um corredor, como mostra a Figura 1. 7. Determine o número de poltronas da sala. CAPÍTULO 1- Números rea is • 7 uuuuuu Fileir a I uuuu uuuuuu Fil ei ra 2 uuuu uuuuuu Fileira 3 uuuu uuuuoo Fileir a 4 uuuu UULAJUU Fil eira 5 ULJUU uuuuuu Fileira 6 uuu u LDUOUO Fileira 7 uuuu 000000 Fileira 8 0000 FIGURA 1.7 Poltronas de um aud itório. Solução Podemos contar as poltronas de duas fonnas diferentes. A primeira consiste em contar as poltronas de cada grupo e depois somá-las. Nesse caso, temos: ~ + ~ = 48 + 32 =8 0. esquerda direita A segunda maneira consiste em multiplicar o número de fileiras pelo número de poltronas de cada fileira, ou seja, 8 x (6+4)=8 x 10= 80. Como o número de poltronas é o mesmo , não importando o método usado para contá-las, concluímos que 8 x (6+4) = 8 x 6 + 8 x 4, que é exatamente aquilo que diz a propriedade distributiva. Apesar de simples, a propriedade distributiva costuma gerar algumas dúvidas, particularmente pela má interpretação do significado dos parênteses. Alguns erros comuns são apresentados na Tabela 1.2. TABELA 12 Aplicações incorretas da propriedade distributiva. Expressão Errado Correto 2·(5· x) 2·5+ 2·x = 10 +2x 2 ·5 · x = 10 x 4+ (15 +5) 4 + 15 + 4 + 5 = 28 4+ 15+5 = 24 9 +( 10 ·8) 9 · 10 +9 ·8 = 162 9 +80 = 89 5 · (3 + 2 · x ) 5 ·3+5·2· 5 ·x = 15 + 50x 5 · 3 + 5 · 2x = 15 + 1 Ox 3 · 4 + 6 3·4+3·6= 30 12+6=18 Observe que, no primeiro exemplo da Tabela 1. 2, bá um sinal de multiplica- ção dentro dos parênteses, de modo que a propriedade distributiva não pode ser aplicada. De forma análoga, não podemos aplicar a propriedade distributiva no segundo e no terceiro exemplos, pois há um sinal de soma fora dos parênteses. No quarto, deve-se perceber que o produto de 5 por 2 · x fornece, simplesmente, 5 · 2 · x = 1 O x. Finalmente, a expressão do último exemplo não contém parênteses, de modo que a multiplicação deve ser efetuada antes da soma, como vimos na página 5, não cabendo o uso da propriedade distribu ti va. 8 • PRÉ-CÁLCULO - Operações. equações. funções e trigonometria Note qu e o pr oduto de a por b pode ser ex- presso de três manei ras di fere ntes: a x b, a · b e simp lesmente ab. No problema (d) há um a soma de três te r- Voltaremos a essas dificuldades quando tratarmos das expressões algébricas. Vejamos, agora, alguns problemas um pouco mais complicados sobre aProprie- dade 5. Problema 2. Propriedade distributiva Quando possível, aplique a propriedade distributi va às expressões a seguir: a) 2(x+8) b) 4(9 · x) Solução a) c) 7+(ll+ x) d) 6(3+5x - 8y ) 2(x + 8) = 2 · x + 2 · 8 =2 x +l6. e) 5[4+2(x+3)] b) Nesse caso, não é possível aplicar a propriedade distributiva, já que há apenas um produto dentro dos parênteses. De fato, os parênteses podem ser suprimi- dos, de modo que : 4(9 ·X) = 4 · 9 ·X = 36x. c) Nesse problema , também não é possível aplicar a propriedade distributiva, já que há uma so ma fora do s parênteses. Mais uma vez, os parênteses podem ser suprimidos, ou seja, 7 + (11 +X) = 7 + lJ +X = 18 +X. mos dentro dos parênteses. Nesse caso, o d) va lor 6 é multiplicado por todos os termos. 6(3+ 5x + 8y) = 6 · 3 + 6 ·5 x +6 · 8y = 1 8+30x+ 48y . Já no problema (e), a pr o pri edade di stri- butiva é apli ca da duas vezes : uma consi- e) derando os termos entre co lchetes, e outr a incluindo os termos entre parênteses. 5[4 + 2(x + 3)] = 5 ·4 + 5 · 2(x + 3) =2 0+10( x+3) = 20+10x+30 = 50+ LO x . Vo ltaremos a pôr te m1 os em ev id ênc ia ao tratarm os da f at oração de ex pressões a lgé- bricas, na Seção 2.9 . Não se esqueça de que, nesse exe mplo, as l et ras x, y , z, s e t representam números rea i s. O bserve que 15 = 5 x 3 e 25 = 5 x 5 . A propriedade distributiva também é muito usada na direção contrária àquela apresentada nos Prob l emas 1 e 2, ou seja, I Se a , b, e c forem números reais, podemo s substituir ab + ac por a(b +c). Quando essa substituição é feita, dizemos que o termo a é posto em evidência . Es quematicamente, temos: ~ a· c+ a· b =a· (b +c) Exemplo 2. Pondo números em evidência a) 10x + 10 y= IO (x+y) b) 3x+3=3(x+l) c) Sx+ xy=x( S+ y ) d) 15 x + 25 = 5(3x + 5) Observe que 8 = 2 x 4. CAPÍTULO 1 - Números rea is • 9 e) 8s-2t=2(4s-t) t) 7xy-7 y z=7y(x-z) Agora, tente o Exercício 4. O núm ero O (zero) é ch ama do elemento neutro da soma , pois, se a é um número real, então: E m uma so ma, podemos e limin ar as par- 1 a + 0 =a celas i gua is a O. Exemplo: 37 + O= 37. Em um produto, podemos eliminar os fa- tores iguais a I, mas não aqueles iguais a O. De forma análo ga , o número 1 (um) é ch amado elemento neutro da multipli- cação , pois, se a é um númer o real, então: I a· 1 = a. Exemplo: 128 · I = 128. Pode parecer inútil definir esses elementos neutros, mas, como veremos ao longo deste e do s pró ximos capítulos, eles são muito e mpr ega dos na simplifi ca - ção de expressões e equações. • Números negativos Todo número real a possui um número oposto ou simétrico (- a), tal que a + (- a) = O. Assim, p or exemplo, o número - 3 é o simétrico de 3, pois 3 + ( - 3) =O ; o número 3 é o simétrico de - 3, pois (- 3)+3 = O. Ob serve que a operação de subtração equivale à soma de um número pelo simétrico do outro, ou seja, I a-b = a+( - b). Usando essa equivalência, pode-se mostr ar que a propriedade distributiva se aplica à subtração: a(b - c)=ab-ac. As principais propriedades dos núm eros negativos estão resumidas no qu adro a seguir. Propriedades que envolvem o sinal negativo Suponha que a e b sejam números reais. Propriedades 1. ( -1)a = -a 2. -(-a)= a 3. (-a)b =a( -b) = -( ab) 4. (- a)( - b) = ab 5. - (a + b) = -a- b 6. -(a - b) = -a + b = b -a Exemplos ( -1 )32 = -32 - (- 27) = 27 (-3)4 = 3(- 4) = - (3 X 4) =- 12 (- 5)(- 14) =5 X 14 = 70 -(7 + 9) = - 7 - 9 = - 16 - ( 1o - 3) = -1 o+ 3 = 3 -1 o = -7 10 • PRÉ-CÁ L CU L O- Operações. equações . Funçõe s e trigonometria TABELA 1.3 Expressões incorretas com números negativos. Er r ado Cor r et o 3 +- 2 3+ (-2) 10 - -4 10 - (- 4) 6 . - 5 6 . (-5) A primeira propriedade nos diz que, para obter o simétrico de um número , basta trocar o seu sinal, o que corresponde a multiplicá-lo por -l. A segunda pro- priedade indica que o simétrico do simétrico de um número a é o próprio a. Usan- do essas duas propriedades, bem como as propriedades da soma e da multipli- cação apresentadas na subseção anterior, podemos provar facilmente as demais Para provar a primeira parte da Propriedade 3, escrevemos: (-a)b =[(-1) ·a ] ·b Propriedade I. = [a · ( -1)] · b Propri edade comutati va da multiplicação. =a · [( -1) · b] Propr ie dade associa ti va da multiplicação. =a · ( -b) Propriedade I. Já a Propriedade 6 pode ser deduzida por meio do seguinte raciocínio: -(a- b) = ( -1) · (a - b) Propri edade I. = ( -1) a - ( - 1) b Propriedade di stributi va da multipli cação. = ( - a) - ( -b) Propriedade I. = -a + b Propri edade 2. = b + (-a) Propri edade comutati va da som a. = b- a Subtração como a soma do s imétrico. Exemplo 3. Trabalhando com números negativos a) ( - 1)12 + 30 =- 12 +30=30- 12 = 18 h) 56-( - 3)y = 56 + 3y b) 52 - (- 10 ,5) = 52 + 10,5 = 62,5 i) 144,2 -(-4 ,2)(-w) = 144,2 - 4,2w c) 70 + ( - 5)6=70 - 30 = 40 j) (-x)(-8)(- 11) =- 88x d) 70 - (- 5)6 = 70-( - 30) =7 0 + 30 = 100 k) (-3)( - 2y)(7) = 42y e) 70+( - 5)(-6) = 70 + 30 = 100 I) (- 5 z)( 3x)( 4y ) =- 60 xyz f) 70 - ( - 5)( - 6) = 70- 30 = 40 m) - (18 +x ) =- 18 -x g) 25 + ( - 2,75)x = 25 - 2,75x n) x-( 18 - 3x) =x-18 + 3x = 4x -18 Agor a, tente o Exercício 2. Observe que, frequentemente, é necessário usar parênteses e colchetes em expressões que envolvem números negativos. A Tabela 1.3 mostra expressões nas quais, por preguiça de incl uir os parênteses, um operador( +,- ou x) foi erronea- mente sucedido pelo sinal negati vo, o que não é adequado na notação matemática Problema 3. A escola de Atenas Sócrates, que morreu em 399 a.C ., foi retratado por Rafael Sanzio em seu famoso afresco A escola de Ate na s, concluído em 1 51 O d.C. Quanto tempo após a morte de Sócrates a pintura foi concluída? Solução O ano 399 a.C. , quando ocorreu a morte de Sócrates, é equivalente ao ano - 398 da era comum (pois o ano 1 a C ~_fo.Ls ucS!dido _ p _ C..,..sem_q.ue.-te nh Exercícios 1.2 CAPÍTULO 1- Números reais • 11 FIGURA 1.8 A escola de Atenas, afresco do Museu do Vaticano, pintado por Raf ael Sanzio , 151 O d.C. havido o ano O d.C.). Como o afresco foi concluído em 1510, os visitantes do Vaticano puderam ver essa magnífica obra decorridos 1510 -(-398) = 1510 +398 = 1.908 anos da morte do famoso filósofo ateniense. Agora, tente o Exercício 8. Problema 4. Propriedade distributiva com números negativos Aplique a propriedade distributiva às expressões a seguir: a) 7(6 - 5w- 2t) Solução a) b) b) -3[(4-2x)-2(3x-l)] 7(6 - 5w-2t) = 7 · 6 - 7 ·5w -7 · 2t = 42- 35w-l4t. -3 [(4 - 2x)- 2(3x-1)] = -3 · (4-2x) + ( -3)