1 CAPITOLUL 1 - SEMNALE 1.1. Introducere În multe cazuri procesarea semnalelor reprezint ă o etap ă premerg ă toare analizei ş i sintezei unor situa ţ ii legate de o anumit ă activitate. De regul ă procesarea semnalelor are o pondere mare în ceea ce prive ş te ob ţ inerea unor performan ţ e superioare. Având în vedere faptul c ă semnalul de natur ă : fizic ă , chimic ă , electric ă con ţ ine informa ţ ii necesare comunic ă rii între diferite structuri biologice, problema proces ă rii semnalelor este o problem ă interdisciplinar ă În func ţ ie de domeniul în care se folosesc semnalele procesate ş i de modalitatea de procesare, se disting urm ă toarele abord ă ri: • analiza Fourier , necesar ă aplica ţ iilor în care se folosesc componentele spectrale ale semnalului procesat; • filtrarea semnalelor, unde se urm ă re ş te re ţ inerea numai a anumitor componente armonice care apar ţ in unui interval de frecven ţă dat; • filtrarea semnalelor folosind filtrul Kalman, care se utilizeaz ă de regul ă la filtrarea m ă rimilor de stare ale unui sistem. Spre deosebire de filtrarea men ţ ionat ă mai sus, filtrul Kalman elimin ă zgomotul prin modelarea p ă r ţ ii deterministe a sistemului; • prelucrarea semnalelor 2D ş i 3D , în vederea extragerii informa ţ iilor utilizate la recunoa ş terea formelor. Printre procedurile folosite în acest domeniu se eviden ţ iaz ă : binarizarea imaginilor, filtrarea imaginilor, comprimarea imaginilor, extragerea conturului, calculul ariilor; • prelucrarea semnalelor folosind re ţ elele neuronale . Acest mod de abordare este din ce în ce mai mult utilizat, pentru c ă ofer ă noi interpret ă ri în ceea ce prive ş te aplica ţ iile în rezolvarea problemelor cu un spectru foarte larg. În unele situa ţ ii toate aspectele legate de filtrare ş i de extragerea caracteristicilor sunt l ă sate în seama re ţ elelor neuronale. În cele ce urmeaz ă se vor prezenta aspecte privind tipurile de semnale utilizate în cadrul procedurilor de procesare a datelor. 1.2. Semnale În domeniul proces ă rii semnalelor ş i al conducerii proceselor, se numesc semnale toate variabilele sau “sursele de informa ţ ii” care evolueaz ă în func ţ ie de timp. Dac ă amplitudinea semnalului este cunoscut ă sau poate fi determinat ă la orice moment de timp, atunci semnalul se nume ş te determinist. În cazul în care numai o singur ă informa ţ ie de natur ă statistic ă , cum ar fi probabilitatea ca amplitudinea s ă aib ă o anumit ă valoare la un anumit moment de timp sau valoarea medie etc. este cunoscut ă , atunci semnalul se nume ş te aleator. 2 Pentru clasificarea semnalelor se poate lua în considerare atât modul de evolu ţ ie în timp cât ş i evolu ţ ia în amplitudine. • În func ţ ie de evolu ţ ia în timp, semnalele se clasific ă în semnale continue ş i semnale discrete : - semnalul este continuu dac ă evolu ţ ia în timp este dat ă de o func ţ ie continu ă . În figura 1.1 este reprezentat un semnal continuu. - semnalul este discret dac ă valorile sale sunt cunoscute pentru momente discrete de timp. Evolu ţ ia unui semnal discret este dat ă în figura 1.3. • În func ţ ie de valorile amplitudinii distingem semnale cuantificate continue ş i semnale cuantificate discrete. Semnalele cuantificate continue au o evolu ţ ie continu ă în timp ş i sunt semnale continue pentru care valorile amplitudinii sunt predefinite. De exemplu valorile ob ţ inute de la un convertor analog-numeric ş i memorate pe durata perioadei de e ş antionare reprezint ă un semnal cuantificat continuu (figura 1.2). Semnalul pentru care valorile amplitudinii sunt cuantificate ş i cunoscute la momente discrete de timp se numesc semnale discrete cuantificate. În figura 1.4 este ilustrat un semnal cuantificat discret. Figura 1.1 Semnal continuu Figura 1.2 Semnal continuu cuantificat Figura 1.3 Semnal discret Figura 1.4 Semnal discret cuantificat 1.3. Semnale continue Un semnal continuu x(t) presupune cunoa ş terea valorilor lui x(t) la orice moment de timp t , pentru t apar ţ inînd unui interval de timp bine definit. În multe cazuri, semnalul x(t) poate fi explicitat printr-o formul ă analitic ă sau expresie matematic ă , ca de exemplu ) t sin( a ) t ( x φ ω + ⋅ = , (1.1) sau 3 ) x ( sat ) t ( x M x = , (1.2) unde > ⋅ ≤ = M M M x x | x | daca ) x ( sign x x | x | daca x ) x ( sat M (1.3) Dac ă semnalul x(t) nu este definit printr-o expresie analitic ă , fiind dat printr-o curb ă sau tabel, se spune c ă semnalul este generat printr-o reprezentare neparametric ă Semnal treapt ă unitar ă la t 0 Se nume ş te semnal treapt ă unitar ă la momentul t 0 semnalul Γ (t-t 0 ) definit prin ≥ − < − = − 0 t t si 1 0 t t si 0 ) t t ( 0 0 0 Γ (1.4) Acest semnal are urm ă toarea reprezentare (fig. 1.5) Figura 1.5 Semnal treapt ă unitar ă Semnal treapt ă unitar ă - Γ (t-t 0 ) O aproximare a semnalului men ţ ionat mai sus, pentru α tinde la 0, este ş i semnalul Γ α (t-t 0 ) reprezentat în figura 1.6. 4 Figura 1.6 Semnal treapt ă unitar ă - Γ (t-t 0 ) Semnalul impuls Un semnal se nume ş te semnal impuls dac ă durata de ac ţ iune a lui este mult mai mic ă comparativ cu viteza de evolu ţ ie, iar integrala pe intervalul (- ∞ + ∞ ) admite o valoare finit ă nenul ă . Un exemplu de semnal impuls este descris în figura 1.7. Figura 1.7 Semnalul impuls Integrala semnalului din figura de mai sus este ∫ +∞ ∞ − = − 1 dt ) t t ( 0 α γ (1.5) Impulsul Dirac la t 0 Impulsul Dirac la momentul t 0 poate fi definit ca limit ă pentru α tinzând la 0 a semnalului γ α (t-t 0 ) definit în figura 1.7 5 ). ( ( lim ) ( 0 0 0 t t t t − = − → α α γ δ (1.6) Semnalul impuls Dirac verific ă rela ţ ia ∫ +∞ ∞ − = − 1 dt ) t t ( 0 δ , (1.7) unde 0 0 t t , 0 ) t t ( ≠ = − δ ş i ) t ( 0 ∞ = δ Impulsul Dirac (figura 1.8) se mai poate defini ş i ca derivata semnalului treapt ă unitar ă dt ) t t ( d ) t t ( 0 0 − = − Γ δ (1.8) Figura 1.8 Impulsul Dirac la t 0 Observa ţ ie : Semnalele discrete treapt ă unitar ă ş i impuls pot fi descrise prin analogie cu semnalele continue prezentate mai sus 1.4. Semnale ş i procese aleatoare Semnale aleatoare Un semnal aleator este un semnal a c ă rei evolu ţ ie în func ţ ie de timp este o sum ă de hazarduri ş i corespunde manifest ă rii unei variabile aleatoare. În cele ce urmeaz ă se enun ţă câteva exemple: a) extragerea unei c ă r ţ i într-un joc; b) num ă rul de accidente într-o anumit ă perioad ă de timp; 6 c) abaterea în raport cu temperatura impus ă unei piese cu multe orificii ş i care se dore ş te s ă fie men ţ inut ă la temperatur ă constant ă ; d) valorile temperaturii la fiecare minut înregistrat în ziua de 31 decembrie a fiecarui an calendaristic; e) num ă rul de persoane aflate într-o sta ţ ie de metrou între orele 15 00 ş i 17 00 în decursul unui an; f) pozi ţ ia în raport cu centrul ţ intei a bilei tr ă g ă torului în diferite condi ţ ii de tragere. În cazurile a) ş i b), avem câte o variabil ă aleatoare discret ă cu valori discrete. Cazul c) corespunde unei variabile aleatoare continue cu valori continue. Cazul e) pune în eviden ţă o variabil ă aleatoare continu ă cu valori discrete ş i în final, cazul f) eviden ţ iaz ă o variabil ă aleatoare discret ă , de dimensiune 2, cu valori continue. Un semnal aleator este deci o realizare a unei variabile aleatoare a c ă rei evolu ţ ie reprezint ă o sum ă a hazardurilor . Pentru descrierea variabilelor aleatoare se utilizeaz ă urm ă toarele no ţ iuni: func ţ ia de reparti ţ ie, densitatea de probabilitate, media, momentul de ordin q, momentul centrat de ordin q Procese aleatoare Se consider ă realiz ă rile ob ţ inute de la un termometru ce indic ă temperatura într-o incint ă ş i care se dore ş te a fi constant ă . Se re ţ in înregistr ă rile: X 1 (t), X 2 (t), ... , X n (t) pentru intervalele: (0 T), (T 2T), (2T 3T), ... ,((n-1)T nT) (figura 1.9 unde n = 4). Procesul aleator este reprezentat prin simbolul X(t, ξ ) ( X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t), X 4 (t)). Pentru un rezultat dat, înregistr ă rile reprezint ă o simpl ă func ţ ie de timp (X k (t)) iar pentru un moment de timp t i t i ∆ ⋅ = , X(t i , ξ ) ≡ X( ξ ) reprezint ă o variabil ă aleatoare. Deci, procesul aleator reprezint ă o succesiune de variabile aleatoare: X(t, ξ )=( ξ (t 1 ), ... , ξ (t n )). Un proces aleator se nume ş te proces sta ţ ionar dac ă : • media este n , 1 i ct )] t ( [ M i = ∀ = ξ • func ţ ia de autocorela ţ ie ∑ ⋅ = ⋅ = = ∞ → N 1 k j k i k N j i j i ) t ( X ) t ( X N 1 lim )] t ( ) t ( [ M ) t , t ( R ξ ξ ∆ ξ (1.9) nu depinde de momentele t i , t j ci depinde numai de (t j -t i ). În concluzie se poate scrie ) ( R ) t , t ( R j i τ ξ ξ = unde τ = − j i t t 7 Figura 1.9 Înregistr ă ri ale temperaturii în incint ă Un proces aleator se nume ş te proces ergodic dac ă media realiz ă rilor variabilei aleatoare ξ (t i ) este egal ă cu media în timp a înregistr ă rilor ∑ = ∞ → = ∀ = N 1 k i k N i N , 1 k ) t ( X N 1 lim )] t ( [ M ξ (1.10) În practic ă condi ţ iile de ergodicitate sunt greu de verificat fiind considerate doar ipoteze de lucru în demonstrarea unor teoreme. 1.5 E ş antionarea ş i refacerea semnalelor continue Conversia analog-digital ă a semnalelor În multe situa ţ ii semnalele de interes practic, cum ar fi: semnalele vocale, semnalele biologice, semnalele seismice, semnalele radar sunt semnale analogice (continue). Pentru procesarea semnalelor analogice prin intermediul procedurilor numerice este necesar sa se converteasc ă semnalele continue în semnale digitale. Aceast ă procedur ă este denumit ă conversie analog-digital ă ş i se realizeaz ă prin intermediul convertoarelor Analog-Digitale. 8 Etapele necesare conversiei unui semnal analogic într-un semnal digital sunt urm ă toarele: - e ş antionarea semnalului analogic; - cuantizarea semnalului e ş antionat; - codarea semnalului cuantificat. Modul de conversie a unui semnal analogic este ilustrat în figura urm ă toare. Figura 1.10 Modul de conversie al unui semnal analogic În urma acestor opera ţ ii la un moment de timp bine determinat, semnalului analogic îi corespunde un cod numeric care resprezint ă o aproxima ţ ie a valorii semnalului analogic. Cu cât diferen ţ a între dou ă cuante este mai mic ă , cu atât aproximarea valorii analogice este mai bun ă În prezent convertoarele analog- numerice furnizeaz ă cod numerice pân ă la 16 bi ţ i pentru un semnal analogic cuprins între 0V ş i 1V. Diferen ţ a minim ă între dou ă cuante în acest caz este de − 216 0 1 V V , ceea ce reprezint ă o valoare foarte mic ă E ş antionarea semnalelor analogice În cele ce urmeaz ă limit ă m expunerea la e ş antionarea uniform ă (intervale de timp egale) a semnalelor analogice. 9 Modul de e ş antionare a semnalelor este ilustrat in figura urm ă toare. Figura 1.11 Modul de e ş antionare a unui semnal Semnalul achizi ţ ionat se noteaz ă cu x(n) ş i reprezint ă valoarea semnalului x a (t) la momentul t = nT, deci x(n) = x a (nT). Timpul dintre dou ă e ş antioane succesive notat cu T este numit perioad ă de e ş antionare sau interval de e ş antionare. Inversul lui T, notat cu T F e 1 = , reprezint ă frecven ţ a de e ş antionare. Cu aceste nota ţ ii momentul t se poate exprima sub forma: S F n T n t = ⋅ = Ca o consecin ţă a rela ţ iei anterioare exist ă o rela ţ ie între variabila de frecven ţă F (sau Ω ) a semnalului analogic ş i variabila de frecven ţă f (sau ω ) a semnalului discret. Pentru a stabili aceast ă rela ţ ie se consider ă un semnal sinusoidal analog, de forma: ) 2 cos( ) ( θ π + = Ft A t x a + ⋅ = + ⋅ = θ π θ π S a F nF A nT F A nt x 2 cos ) 2 cos( ) ( (1.11) Având în vedere c ă : ) 2 cos( ) ( θ π + ⋅ = nf A n x (1.12) rezult ă din (1.11) + (1.12) c ă S F F f = , dar π ω 2 = f ; π 2 Ω = F ; T F S 1 = , deci: Ω ⋅ = T ω 10 Teorema e ş antion ă rii Fiind dat un semnal analogic se pune problema stabilirii perioadei de e ş antionare astfel încât s ă se poat ă reface semnalul continuu pornind de la semnalul e ş antionat. Pentru a rezolva aceast ă problem ă sunt necesare anumite informa ţ ii privind frecven ţ ele continue ale semnalului analogic. De exmplu semnalul audio (voce uman ă ) con ţ ine frecven ţ e de pân ă la maxim 3000Hz, iar semnalul video de pân ă la 5MHz. Dac ă se cunoa ş te frecven ţ a maxim ă con ţ inut ă în semnalul analogic, atunci se poate specifica perioada de e ş antionare necesar ă conversiei semnalului analogic în semnal digital f ă r ă a pierde informa ţ ii con ţ inute în semnalul analogic. În multe situa ţ ii un semnal analogic poate fi reprezentat printr-o sum ă de semnale sinusoidale de amplitudine diferit ă ∑ = + = N i i i i a t F A t x 1 ) 2 cos( ) ( θ π , unde N reprezint ă num ă rul componentelor frecven ţ iale. Teorema e ş antion ă rii: Dac ă frecven ţ a maxim ă con ţ inut ă într-un semnal analogic x a (t) este F max = B ş i semnalul este e ş antionat cu o rat ă de e ş antionare (frecven ţă de e ş antionare) F S > 2F max ≡ 2B, atunci x a (t) poate fi ref ă cut exact din valorile e ş antionate utilizând urm ă toarea func ţ ie de interpolare: t F t F t g max max 2 2 sin ) ( π π = Astfel x a (t) poate fi calculat cu rela ţ ia: ∑ ∞ −∞ = − ⋅ = n S S a a F n t g F n x t x ) ( , unde ( ) ( ) n x T n x F n x a S a = ⋅ = , sunt e ş antioane ale semnalului x a (t). Exemplu: Fie x a (t) = 3cos50 π t + 10sin300 π t – cos100 π t, un semnal analogic. Frecven ţ ele con ţ inute în semnalul dat sunt: F 1 = 25Hz, F 2 = 150Hz, F 3 = 50Hz. Pentru a putea reface semnalul, frecven ţ a de e ş antionare trebuie s ă fie: F S > 2F max = 300Hz.