A PLICAÇÕES DE S EQUÊNCIAS R ECORRENTES EM T EMAS C OTIDIANOS E SEU U SO EM Q UESTÕES O LÍMPICAS A NNA C. N. DE S OUZA Universidade Federal Rural de Pernambuco As sequências numéricas são tópicos amplamente abordados na matemática, desde estruturas mais elementares como Pro- gressões Aritméticas e Geométricas, ambas estudadas no Ensino Básico, até os Teoremas de Convergência, vistos em Análise. Dentre elas há uma classe importante de sequências, aquelas em que podemos determinar os próximos termos por meio dos anteriores, chamadas sequências recorrentes. Sequências recorrentes são uma maneira de representação de um conjunto de números, cuja ordem depende de um tipo específico de regra ou função. Usualmente são descritas como ( x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .) ou, simplesmente, por ( x n ), quando sua lei de formação é conhecida. Uma das sequências recorrentes mais famosas do mundo é a sequência de Fibonacci, descoberta por Leonardo de Pisa a partir da reprodução hipotética de coelhos, onde os seus termos são de vital importância para estudos que envolvem a sua presença na arquitetura, na arte e até na natureza. Neste trabalho iremos mostrar alguns principais resultados envolvendo seus elementos, e as formas que seus elementos aparecem de forma aplicada. Além disso, alguns outros temas envolvendo sequências recorrentes, como a Torre de Hanói e aplicações geométricas, serão amplamente abordados no trabalho, tomando como base demonstrações sobre o tema e a construção de suas fórmulas recor- rentes e fechadas. Com o conhecimento de sequências apresentado neste trabalho, temos como objetivo principal a utilização das propriedades das sequências para desenvolver um estudo aplicado em aprofundar o uso de sequências e sua lei de recorrência e trazer algumas demonstrações de resultados relacionados ao tema, além de mostrar a sua importância em elementos da natureza, do dia-a-dia, entre outros, e mostrar o seu uso em questões olímpicas, tema de grande prestígio em escolas. Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com Thiago Yukio Tanaka e Edgar Corrêa de Amorim Filho (ambos professores da Universidade Federal Rural de Pernambuco). Referências [1] F A BARBOSA , Proposta de abordagem da Sequência de Fibonacci e razão áurea no ensino médio: teoria e aplicações - PROF- MAT , UnB, 2017. [2] W DE J P SÁ , O uso de Recorrência na Educação Básica , São Luís, 2020. S OBRE UM SEGUNDO VALOR CRÍTICO PARA A EXISTÊNCIA LOCAL DE SOLUÇÕES EM ESPAÇOS DE L EBESGUE B RANDON M ARCELINO C ARHUAS D E L A T ORRE Universidade Federal de Pernambuco Fornecemos novas condições para a existência local de soluções para a equação parabólica ponderada no tempo u t − ∆ u = h ( t ) f ( u ) in Ω × (0, T ), onde Ω é um domínio suave arbitrário, f ∈ C ( R ), h ∈ C ([0, ∞ )) e u 0 ∈ L r ( Ω ). Como consequência de nossos resultados, considerando um comportamento adequado dos dados iniciais não negativos, obtemos um segundo valor crítico ρ ⋆ = 2 r /( p − 1), quando f ( u ) = u p e p > 1 + 2 r / N , que determina a existência (ou não) de uma solução local u ∈ L ∞ ((0, T ), L r ( Ω )). Esse trabalho foi desenvolvido sob orientação dos professores: Dr. Miguel Loayza (Universidade Federal de Pernambuco- Brazil) e Dr. Ricardo Castillo (Universidad del Bío Bío-Chile). Referências [1] R LAISTER , J C ROBINSON , M SIER ̇ ZE ̧ GA AND A VIDAL -L ÓPEZ , A complete characterization of local existence of semilinear heat equations in Lebesgue spaces , Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 33, 2016. [2] R LAISTER , M SIER ̇ ZE ̧ GA , Well-posedness of semilinear heat equations in L 1 , Annales de l’Institut Henri Poincaré C, 37(3), 2020. [3] T Y LEE , W M NI , Global existence, large time behavior and life span of solutions of a semilinear parabolic Cauchy problem , Trans. Amer. Math. Soc. 333(1), 1992. [4] P QUITTNER , P SOUPLET , Superlinear parabolic problems: blow-up, global existence and steady states , Springer Science & Business Media, 2007. [5] X WANG , On the Cauchy problem for reaction-diffusion equations , Trans. Am. Math. Soc. 337, 1993. U M E STUDO C OMPARATIVO ENTRE AS S EQUÊNCIAS DE L UCAS E DE F IBONACCI C HRISTIANA G RANJA DO N ASCIMENTO Universidade Federal Rural de Pernambuco A sequência de Fibonacci vem sendo observada e analisada em diversos campos de estudos, sendo nesta pesquisa abordada algumas relações com uma de suas generalizações, a saber: a sequência de Lucas. Tal sequência tem sua origem atribuída ao matemático francês François Lucas, cujos números surgem ao tomarmos um par de números iniciais distintos dos utilizados por Fibonacci, sendo esta nova sequência intrinsecamente ligada à de Fibonacci, e possuidora de uma relação mais próxima com o número áureo. A presente pesquisa tem como foco principal o estudo da relação entre os números de Lucas e os de Fibonacci, visando a realização de discussões sobre a importância de tal relação, assim como a aplicabilidade de tais tópicos na educação básica. Além deste objetivo, também se faz necessário salientar o aprimoramento da escrita matemática dada a necessidade de uso frequente durante o desenvolvimento da pesquisa, e sendo este um conhecimento de alta valia ao longo da graduação. Por meio de encontros semanais a bolsista apresentava os conteúdos estudados, inicialmente sobre a Sequência de Fibonacci e sua extensão para os índices inteiros negativos, e depois sobre a sequência de Lucas, sendo posteriormente aprofundado nas propriedades dos Números de Lucas e algumas de suas relações com os Números de Fibonacci. Em seguida, foram abordadas algumas de suas aplicabilidades. Nesses encontros, também eram discutidas as dúvidas apresentadas pela discente. A partir disto, pudemos comprovar que ambas possuem somas generalizadas de modo análogo, assim como quaisquer números de ambas as sequências podem ser escritos em função dos termos da outra, isto é, estabeleceu-se uma relação entre os números de Lucas e Fibonacci. Além disso, é importante ressaltar o debruçamento realizado sobre os números de Lucas e as fórmulas de Cassini e de Binet, onde esta última gera interessantes resultados relacionados ao famigerado número de ouro, assim como a possibilidade de gerar novas identidades algébricas relacionando ambas as sequências. Este trabalho foi realizado sob orientação da Profa. Thamires Santos Cruz (Universidade Federal Rural de Pernambuco). S ÉRIES E TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER : UM ESTUDO INTRODUTÓRIO ATRAVÉS DA CONSTRUÇÃO DE CAMINHOS EM P YTHON C LEIANDERSON P AZ D OMINGOS Universidade Federal Rural de Pernambuco O estudo das Séries de Fourier foi iniciado em 1807 pelo matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) na tentativa de compreender a propagação do calor em uma barra. Tais séries são utilizadas para representar funções periódicas através de somas das funções trigonométricas seno e cosseno e tem aplicações em diversas áreas, em especial no processamento de imagens. Uma importante ferramenta da Análise de Fourier é a Transformada de Fourier, a sua formulação discreta, chamada de Transformada de Fourier Discreta(DFT) foi utilizada em nosso trabalho para determinar coeficientes complexos de Fourier a partir de pontos no plano cartesiano e, assim, conseguirmos esboçar caminhos e obter desenhos através da implementação de algoritmo desenvolvido em Python. Neste trabalho temos o objetivo de apresentar as definições e resultados importantes acerca dessa teoria, bem como mostrar como funciona o algoritmo desenvolvido para obtenção dos desenhos. Este trabalho foi desenvolvido com apoio financeiro da Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernam- buco (FACEPE) e orientação da Prof. Lorena Brizza Soares Freitas (DM-UFRPE). Referências [1] FIGUEIREDO, G. D JAIRO Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais . IMPA, 5ª Ed, 2018. [2] BOYCE,W.; DIPRIMA, R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno . 7 ed. Rio de Janeiro: LTC – Livro Técnico e Científico, 2002. [3] SOTOMAYOR, J. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias . Rio de Janeiro: Projeto Euclides/ IMPA, 1979. [4] PUPIN, J. R. Introdução às Séries e Transformadas de Fourier e Aplicações no Processamento de Sinais e Imagens . UFSCAR, 20 de dezembro de 2011. U M E STUDO Q UALITATIVO DOS S ISTEMAS DE E QUAÇÕES D IFERENCIAIS O RDINÁRIAS D ANIEL J OSÉ F ERREIRA DA S ILVA Universidade Federal de Pernambuco Apresentamos alguns resultados da teoria qualitativa das equações diferenciais. Esta teoria foi idealizada pelo matemático Henri Poincaré entre os anos de 1880 e 1890, com o objetivo de estudar a geometria das soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) sem a necessidade de resolver, explicitamente, tais equações. Como a maioria das EDOs não possuem méto- dos de resolução analíticos, o estudo da teoria qualitativa é fundamental em várias ciências como a Física, Química e Biologia para entender como se comportam as soluções, pelo menos localmente, em torno de alguns pontos específicos. Quando nos deparamos com uma EDO, as primeiras perguntas que vem à mente são: “Essa equação possui alguma solução? Se sim, ela é única?”. Com o intuito de responder essas questões, iniciamos o trabalho apresentando o importante Teorema de Existência e Unicidade de EDO’s. Dentre os vários resultados da teoria qualitativa das EDO’s, destacamos o Teorema de Poincaré-Bendixson e a estabilidade no sentido de Lyapunov. O primeiro investiga a existência de trajetórias fechadas em EDOs definidas em dimensão dois, e o segundo trata de verificar a estabilidade do sistema; mais precisamente, queremos saber se duas soluções que começam próximas, permanecem próximas à medida que o tempo cresce. Por fim, implementamos numericamente, com auxílio de soft- ware matemático, três EDOs clássicas: as equações de Lotka-Volterra, a equação do pêndulo simples e as equações de Lorenz. Trabalho sob orientação do Prof. Diego Araújo de Souza (Universidad de Sevilla) A CURVATURA G AUSSIANA H ELOISA C ARDOSO B ARBOSA G OMES Universidade Federal Rural de Pernambuco Com o surgimento da ideia de geometrias não-euclidianas através da negação do axioma das paralelas e consolidadas com as contribuições de Gauss, Bolyai e Lobachevsky, surgiu a necessidade do desenvolvimento de novos métodos e técnicas para explicar localmente como tais geometrias se comportam. Gauss, já conhecendo os estudos de Euler sobre curvaturas principais, publicou um importante trabalho em 1827 intitulado "General Investigations of Curved Surfaces" onde trazia além do formal- ismo necessário para a compreensão destas novas geometrias (posteriormente desenvolvido por Riemann e Weyl), uma ideia bem fundamentada sobre curvatura de uma superfície entre outros estudos. Mais tarde, os métodos de Gauss, Riemann e Weyl se mostraram adequados para explicar a teoria da relatividade especial. Neste trabalho, estudaremos a curvatura Gaussiana de uma superfície regular em R 3 . Para isto, estudaremos a aplicação normal de Gauss e como através dela, podemos obter infor- mações geométricas de uma superfície regular em R 3 . Mostraremos que a diferencial d N p da aplicação normal de Gauss é um operador linear auto-adjunto [2], definido em T p S , e que associado a este operador podemos definir uma forma quadrática dada por I I p ( v ) = −〈 d N p ( v ), v 〉 , em T p S , chamada a segunda forma fundamental de S em p ([1]). Esta forma quadrática contém as informações das curvaturas de curvas planas formadas pela interseção de S com um plano que contém o vetor normal a S num ponto p e um vetor v do disco unitário de T p S . Usaremos uma versão do teorema espectral para concluir que existe uma base ortonormal de autovetores associados aos autovalores de d N p e explicaremos como os autovalores se manifestam geometrica- mente, com relação a forma da superfície na vizinhança de um ponto p . Exibiremos figuras e exemplos para explicar as ideias de curvatura Gaussiana positiva, negativa e nula na vizinhança de um ponto da superfície. Referências [1] Manfredo Perdigão Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-hall Englewood Cliffs, 1976. [2] Elon Lages Lima. Algebra linear, 2a. ediçao. IMPA, Rio de Janeiro, page 22, 1996. R OTAÇÕES COM EIXO TIPO - ESPAÇO , TIPO - TEMPO E TIPO - LUZ NO ESPAÇO DE M INKOWSKI L AÍS K ARINE DE S ANTANA G RANJA Universidade Federal Rural de Pernambuco O espaço de Minkowski quadridimensional, ou o espaço-tempo, é o ambiente geométrico da teoria da relatividade especial de Einstein, teoria esta que revolucionou a física na primeira metade do século XX, alterando os conceitos clássicos de espaço e tempo até então utilizados. Sua versão tridimensional é formada pelo conjunto R 3 munido de uma métrica L i j onde L 11 = − 1, L 22 = L 33 = 1 e L i j = 0 para i ̸ = j onde denotaremos o par ( R 3 , L i j ) por R 3 1 [1], [2]. Comparando com o espaço ( R 3 , δ i j ) onde δ i j é a métrica euclidiana, R 3 1 possui uma geometria muito mais rica e muitas propriedades geométricas mudam radicalmente, como por exemplo as rotações neste espaço que passam a depender do caráter causal do eixo de rotação, isto é, se o eixo é tipo-espaço, tipo-tempo ou tipo-luz. Neste trabalho, mostraremos como estes diferentes tipos de rotações se comportam exibindo a matriz da isometria associada a cada uma delas. Para isto, usaremos as ideias desenvolvidas na referência [3]. Mostraremos que no caso em que o eixo é tipo-tempo, as rotações se comportam como no caso euclidiano. Entretanto, se o eixo de rotação é tipo- espaço, ou tipo-luz, surgem novidades nas matrizes que executam tais movimentos. No caso tipo-espaço, em vez de funções trigonométricas, aparecem as funções hiperbólicas e no caso tipo-luz, surgem funções polinomiais. Exibiremos exemplos de superfícies com eixos tipo-espaço, tipo-tempo e tipo-luz. Referências [1] WOLFGANG KÜHNEL , Differential Geometry , volume 77, American Mathematical Society, 2015. [2] RAFAEL LÓPEZ , Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski Space , International Electronic Journal of Geometry, vol. 7, n°1, 2014. [3] WIJARN SODSIRI , Lorentzian Motions in Minkowski 3-space , KKU Science Journal, vol. 34, 2006. O N F RACTIONAL M USIELAK -S OBOLEV SPACES AND APPLICATIONS TO NONLOCAL PROBLEMS L ÁZARO R ANGEL S ILVA DE A SSIS Universidade Federal de Pernambuco In this work, we establish some abstract results on the perspective of the fractional Musielak-Sobolev spaces, such as: uniform convexity, Radon-Riesz property with respect to the modular function, ( S + )-property, Brezis-Lieb type Lemma to the modular function and monotonicity results. Moreover, we apply the theory developed to study the existence of solutions to the following class of nonlocal problems { ( − ∆ ) s Φ x , y u = f ( x , u ), in Ω , u = 0, on R N \ Ω , where N ≥ 2, Ω ⊂ R N is a bounded domain with Lipschitz boundary ∂ Ω and f : Ω × R → R is a Carathéodory function not neces- sarily satisfying the Ambrosetti-Rabinowitz condition. Such class of problems enables the presence of many particular operators, for instance, the fractional operator with variable exponent, double-phase and double-phase with variable exponent operators, anisotropic fractional p -Laplacian, among others. This work was carried out in collaboration with J.C. de Albuquerque (Universidade Federal de Pernambuco), M.L.M. Carvalho (Universidade Federal de Goiás), A. M. Salort (Universidade de Buenos Aires) and it was financially supported by CAPES and CNPq. E STABILIDADE DE V ARIAÇÕES DOS M ODELOS E PIDEMIOLÓGICOS DO T IPO SI S E SI R VIA L YAPUNOV L ETÍCIA M ARIA M ENEZES DOS S ANTOS Universidade Federal Rural de Pernambuco Ao longo da história da humanidade, podemos perceber os diversos casos de doenças infecciosas que devastaram inúmeros povos. Através da Modelagem Matemática conseguimos entender o comportamento dessas doenças e auxiliar no combate das mesmas. Desse modo, este trabalho foi desenvolvido com o auxílio da Profª. Drª. Maria Ângela Caldas Didier que faz parde do Departamento de Matemática da UFRPE, e tem como foco a estabilidade de variações dos modelos epidemiológicos do tipo SI S e SI R , em que a população total é considerada não constante. Esses modelos são chamados de modelos compartimentais, devido ao fato da população ser dividida em compartimentos ou classes, que indicam em qual estado se encontra o indivíduo. Neste trabalho, utilizaremos o segundo método de Lyapunov ou também chamado método direto, esse objeto matemático nos permite analisar a estabilidade e instabilidade de um ponto crítico, sem conhecer a solução do sistema, apenas utilizando uma função auxiliar que chamamos de função de Lyapunov. Aqui trabalharemos com a função de Lyapunov logarítmica e composições adequadas de alguns tipos de funções de Lyapunov. O modelo SI S descreve as doenças em que os indivíduos suscetíveis que adquirirem a doença, tornam-se infectados e ao se recuperarem, ficam suscetíveis imediatamente. Já o modelo SI R descreve doenças tais que os indivíduos suscetíveis que a adquirirem, tornam-se infectados e os recuperados obtém imunidade. Em ambos os modelos, será considerado o número de nascimentos e imigrações, as mortes naturais e também as causadas pela doença. Referências [1] W BOYCE , R DIPRIMA , Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno , LTC Editora, Rio de Janeiro, 2010. [2] M H R LUIZ , Modelos matemáticos em epidemiologia , 2012. [3] M MARTCHEVA , An introduction to mathematical epidemiology , vol. 61. New York: Springer, 2015. T EORIA DE C ONTROLE Ó TIMO EM E PIDEMIOLOGIA : COMO OBTER A MELHOR ESTRATÉGIA DE VACINAÇÃO PARA UMA EPIDEMIA COM BASE NO MODELO SEIR M ARIA F ERNANDA DA R OCHA M ORAIS Universidade Federal de Pernambuco Ao considerarmos um sistema cuja dinâmica pode ser expressa por um modelo, como o sistema de EDOs do modelo SEIR visto acima, e supondo também que esse sistema tem uma ou mais variáveis que podem ser controladas de fora, o que, nesse contexto, seria o caso da implementação de um plano de vacinação da população contra essa epidemia, surge naturalmente uma questão que é como exatamente pode-se controlar esse elemento para que seja produzido o ‘melhor’ resultado, baseado em algum ou alguns objetivos predeterminados? Essa é a ideia principal da Teoria de Controle Ótimo (otimização). Neste sentido, baseando-se no modelo SEIR, este trabalho, orientado pelo professor João Antônio Miranda Gondim, utiliza essa teoria com o objetivo principal de minimizar o número de pessoas infecciosas e o custo geral da vacina durante um período de tempo fixo. Referências [1] S LENHART , J T WORKMAN , Optimal control applied to biological models , CRC press, 2007. O N ÚMERO DE E ULER : U MA RELEVANTE CONSTANTE MATEMÁTICA P EDRO A UGUSTO DE O LIVEIRA B ORGES Universidade Federal Rural de Pernambuco O número de Euler é considerado uma das constantes mais importantes da Matemática é um número irracional versátil que possui grande aplicabilidade em modelos matemáticos. Neste trabalho, apresentaremos alguns fatos históricos sobre o surgimento dessa constante, a definiremos como limite de uma sequência específica e mostraremos que podemos representá- la como uma série. Esta representação em série é um dos pontos fundamentais para o principal objetivo deste trabalho que é a demonstração da irracionalidade do número de Euler. Para finalizar, apresentaremos uma aplicação dessa constante na modelagem de processos epidêmicos. Referências [1] I R S ARAÚJO , O número de Euler: Uma breve abordagem histórica, construções e aplicações . Orientador: Prof. Dr. Nacib Gurgel Albuquerque. 2020. Trabalho de Conclusão de Curso - Matemática, Centro de Ciências Exatas e da Natureza, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa - PB, 2020. [2] G ÁVILA , Análise Matemática para Licenciatura , 3ª Edição Revista e Ampliada, Edgar Blücher, 2006. [3] B C BOYER , História da Matemática . Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 1974. [4] R F FIGUEIRA , O número de Euler Orientador: Prof. Dr. Eduardo Gonçalves dos Santos. 2017. Dissertação (Mestrado profissional) - Matemática, Centro de Ciências Exatas e da Natureza, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa - PB, 2017. [5] S L G SPOLAOR , Número irracionais: π e e . Orientador: Prof. Dr. Paulo Leandro Dattori da Silva. 2013. Dissertação (Mestrado profissional) - Matemática, Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos - SP , 2013. [6] UEM , Modelos Epidêmicos . 2020. Disponível em: http://complex.pfi.uem.br/covid/ project/modelos/. Acesso em: 02 dez. 2022. U M ESTUDO INTRODUTÓRIO AOS ESPAÇOS DE B ANACH P EDRO H ENRIQUE DOS S ANTOS S ILVA Federal Rural de Pernambuco Os espaços vetoriais normados tratam-se de conjuntos vetoriais nos quais as operações vetoriais como a soma vetorial e a multiplicação de um vetor por um escalar estão bem definidas, e estes quando munido de uma norma possibilita determinar uma distância entre seus elementos, garantindo assim uma série de propriedades. Deste modo caracteriza-se como espaço de Banach todo espaço vetorial normado que seja completo com a métrica proveniente da norma, ou seja, sendo E um espaço vetorial normado, toda sequência de Cauchy em E é convergente no próprio espaço. Sendo assim, orientado pelo Professor Doutor Eudes Mendes Barboza, iremos apresentar as primeiras considerações no estudo aos "Fundamentos de Análise Funcional" descrevendo espaços de Banach de dimensão finita e infinita. Apresentaremos também o Teorema que garante que todo espaço de normado de dimensão finita é de Banach. Para isso, usaremos definições presentes na topologia dos espaços métricos, definindo norma e limites de sequências. Por fim, veremos ainda exemplos de espaços de Banach de dimensões finitas e infinitas e suas respectivas normas que garantem sua completude. Referências [1] E L LIMA , Espaços Métricos , IMPA, 1977. [2] G BOTELHO , D PELLEGRINO , E TEIXEIRA , Fundamentos de Análise Funcional , SBM, 2012. O T ESTE DA S EGUNDA D ERIVADA EM DIMENSÃO 1 ≤ n ≤ 3 V ALDÊNIS M ARTINS DA S ILVA J ÚNIOR Universidade Federal Rural de Pernambuco Nosso objetivo nesse trabalho é apresentar o Teste da Segunda Derivada em três diferentes dimensões. Os resultados aqui trabalhados foram vistos durante o projeto de iniciação científica com o título Derivadas e Pontos críticos: conceitos e inter- pretações geométricas em Espaços Vetoriais Normados com orientação do Professor Doutor Eudes Mendes Barboza e contou com o financiamento da Fundação de Amparo a Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco. Este trabalho também conta com a orientação do Professor Doutor Thiago Yukio Tanaka. Buscamos num primeiro momento compreender o conceito de derivadas e pontos críticos em espaços vetoriais normados, desde a reta até espaços de dimensão finita, mais especificamente em espaços euclidianos n -dimensionais Falando especificamente na dimensão 1, iremos apresentar sobre o Teste da Segunda Derivada e extremos locais. Ao realizar o Teste da Segunda Derivada também podemos perceber sua relação com a concavidade, de modo que o gráfico possue concavidade voltada para cima ou para baixo dependendo se f ′′ > 0 ou f ′′ < 0. Posteriormente revisitamos grande parte dos conceitos apresentados anteriormente. No contexto de dimensão 2 definimos derivadas parciais, funções diferenciáveis e pontos críticos, que serão calculados através da matriz hessiana. Isto nos permitiu comparar técnicas e resultados usados para estudar pontos críticos de funções na reta e no plano. E ainda como complementação do nosso estudo, percebemos que o teste da segunda derivada em dimensão 3 é dificilmente abordado durante a graduação nas aulas de cálculo e esta é parte da motivação deste trabalho. Por fim, apresentaremos o Teste da Segunda Derivada em dimensão 3, seus teoremas e resultados. Além disso, temos como finalidade apresentar um comparativo entre as dimensões citadas anteriormente e sobre o que a dimensão m Referências [1] E L LIMA Análise Real Volume 1 , Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 1989. [2] E L LIMA Análise Real Volume 2 , Editora Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004. [3] H L GUIDORIZZI , Um Curso de Cálculo Volume 2 , 5° ed. Rio de Janeiro. LTC, 2014. F UNÇÕES Q UASE P ERIÓDICAS V IVIAN M ARIA DOS S ANTOS Universidade Federal Rural de Pernambuco A definição clássica de Funções Quase Periódicas, foi dada por Harald Bohr em 1925, que é feita através do conceito de conjuntos relativamente densos e está ligada a vários ramos da moderna teoria das funções. A quase periodicidade é uma gen- eralização de periodicidade pura e abre um caminho para o estudo de uma ampla classe de séries trigonométricas gerais e série de Dirichlet. Esse conceito de quase periodicidade, repercutiu entre os grandes estudiosos famosos da época, não só do ponto de vista matemática, como também no sentido de aplicações à física, biologia e economia. Alguns matemáticos dedicaram sua atenção a nova teoria, dentre os quais: A. S. Besicovitch, S. Bochner, J. von Neumann, V. V. Stepanov, H. Weyl, N. Wiener e M. Fréchét. Esse pôster visa apresentar brevemente um estudo sobre as funções quase periódicas, para isso, inicialmente, vamos con- siderar a definição clássica, dada por Bhor da seguinte forma: Dado X um espaço vetorial normado e f : R → X uma função contínua; dizemos que f é quase periódica, se, para todo ε > 0 existe um l ( ε ) > 0, tal que todo intervalo de comprimento l ( ε ) contém um número τ com a propriedade || f ( t + τ ) − f ( t ) || ≤ ε Em outras palavras, dado um ε > 0 existem vários números τ = τ ( ε ) distribuídos por toda a reta, de modo que um intervalo de comprimento suficientemente grande sempre contém um desses números, isto é, o conjunto dos ε -quase períodos é relativa- mente denso em R . Uma afirmação a ser feita, é que as funções quase periódicas são generalização das periódicas,ou seja, toda função periódica é quase periódica, entretanto, mostraremos que a reciproca não é verdadeira. Por fim, analisaremos as princi- pais propriedades, entre elas que os espaços formado por todas as funções quase periódicas com contra domínio X é um espaço de Banach, que é importante para resolver sistemas de Equações Diferenciais Funcionais. Referências [1] BESICOVITCH, A. S. Almost Periodic Functions. 1 a edition republished, Cambridge - Dover Publication, Inc., (1954) [2] DOURADO, Rebeca Gurgel. Um estudos sobre as funções quase periódicas; 2016; Trabalho de Conclusão de Curso; (Gradu- ação em Matemática) Orientador: Clessius Silva; - Universidade Federal Rural de Pernambuco, 2016. [3] Lucena, Antonio Sena. Funções periódicas e quase-periódicas. Orientador: Prof. Dr. Denilson da Silva Pereira.Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Campina Grande, Centro de Ciências e Tecnologia, 2020. [4] Rampasso, Giane Casari. Soluções quase periódicas para equações diferenciais funcionais. Orientadora: Andréa Cristina Prokopczyk Arita Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto, 2015. [5] SILVA, C.;SILVA, CLESSIUS.Comportamento Assintótico Quase Periódico de Soluções de Equações de Evolução Semilineares