Conception pr ́ eliminaire d’un lanceur moyen Litteri Walther Mauriello Tommaso Conception avant-projet 2A - 2021/2022 R ́ esum ́ e Le secteur commercial de l’espace, en pleine expansion, promet de r ́ evolutionner la vie sur Terre en fournissant des services commerciaux grˆ ace aux infrastructures spatiales. La disponibilit ́ e des lanceurs repr ́ esente un facteur majeur pour permettre la mise en œuvre de tels syst` emes, et derni` erement l’industrie spatiale a vu naˆ ıtre de nombreux nouveaux lanceurs de petite et moyenne taille (Electron de RocketLab, Astra, Virgin Orbit...). L’objectif de cette ́ etude est de r ́ ealiser un d ́ eveloppement pr ́ eliminaire d’un lanceur de taille moyenne ` a partir d’une sp ́ ecification de conception (masse de la charge utile et orbite cible) jusqu’` a une configuration finale compatible avec des crit` eres d’optimisation, la r ́ eduction du coˆ ut total du syst` eme et de sa masse au lancement. Table des mati` eres 1 Mission lanceur et ́ etagement pr ́ eliminaire 5 1.1 Inclinaison de l’orbite d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Orbite de Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 D ́ esorbitation de l’ ́ etage sup ́ erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Calculs d’ ́ etagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Strat ́ egie de Conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Trajectoire, performance et rebouclage sur l’ ́ etagement 9 2.1 Trajectoire initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Raffinement de l’ ́ etagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Propulsion liquide, dimensionnement du deuxi` eme ́ etage 12 3.1 Calculs thermodynamiques, tuy` ere et chambre de combustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Dimensionnement du deuxi` eme ́ etage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 A ́ erodynamique, Statique et Dynamique 16 4.1 A ́ erodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 ́ Equilibre global du lanceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Efforts g ́ en ́ eraux quasistatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.4 Flux de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.5 Mod ́ elisation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.6 R` esonance du mode pr ́ edominant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Dimensionnement structurel 20 5.1 G ́ eom ́ etrie du lanceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Architecture du syst` eme de Pilotage 23 6.1 Dynamique rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Stabilit ́ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3 Loi de pilotage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.4 Faisabilit ́ e du contrˆ ole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.5 Stabilit ́ e de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.6 ́ Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7 Conclusion 26 1 Nomenclature Autres symboles α Angle d’incidence du lanceur β Angle de braquage de la tuy` ere ∆ v 1 ∆ v propulsif du Px ∆ v 2 ∆ v propulsif du Hy ∆ v 3 ∆ v propulsif n ́ ecessaire pour aller de l’or- bite de transfert vers l’orbite d’injection h ́ eliosynchrone (Lz) ∆ v 4 ∆ v propulsif n ́ ecessaire pour d ́ esorbiter (Lz) η C ⋆ Rendement de C ⋆ , indice de la qualit ́ e de la combustion η C f Rendement de C f , indice de la qualit ́ e de la tuy` ere γ Acc ́ el ́ eration Φ Diam` etres de l’ ́ etages/coiffe θ Acc ́ el ́ eration angulaire ̃ P ( t ) Oscillation longitudinale de la pouss ́ ee (1er mode acoustique) ε Rapport d’expansion (aire tuy` ere/aire chambre) a Demi-grand axe a 1 Demi-grand axe orbite d ́ esorbitation a 1 Demi-grand axe orbite transfert a 2 Demi-grand axe orbite injection h ́ eliosynchrone C N Coefficient de Portance C Z Coefficient de Traˆ ın ́ ee e Excentricit ́ e F P Effort de Portance F T Effort de Traˆ ın ́ ee I lat Moment d’inertie lateral du lanceur k 12 Rigidit ́ e de l’inter- ́ etage k cu Rigidit ́ e d’ensemble de la plateforme sa- tellite M Masse du lanceur, ` a instant donn ́ e m 1 Masse 1er ́ etage m 2 Masse 2me ́ etage m 3 Masse 3e ́ etage M CO , m K Masse de la coiffe M CU , m cu Masse de la charge utile M V EB Masse de la case ` a ́ equipements P cc Pression dans la chambre de combustion Q Pression Dynamique R ∆ v R ́ epartition du ∆ V entre Px et Hy T /W Rapport Pouss ́ e/Poids x s c Centrace de la section S par rapport ` a sa base x F Position du foyer a ́ erodynamique x G Position du barycentre x P Position du point d’application de l’effort de portance FAC Facteur de charge du lanceur Hy II ́ etage ` a propulsion bi-liquide LOX-LH2 IC 1 / 2 / 3 Indices constructifs de chaque ́ etage Isp 1 / 2 / 3 Impulsions sp ́ ecifiques dans le vide des ́ etages 1 (Px), 2 (Hy) et 3 (Lz) Lz III ́ etage ` a propulsion bi-liquide N2O4- MMH ME 1 / 2 / 3 Masses d’ergols de chaque ́ etage ME 31 Masse d’ergols pour ∆ v 3 ME 32 Masse d’ergols pour ∆ v 4 MS 1 / 2 / 3 Masses inertes de chaque ́ etage P Pouss ́ ee P∆ v Pertes de ∆ v (pour gravit ́ e, incidence, traˆ ın ́ ee, etc.) Px I ́ etage ` a propergol solide de type PBHT Constantes physiques μ Constante Gravitationnelle de la Terre g 0 Acc ́ el ́ eration de gravit ́ e de la Terre J 2 Harmonique zonal d’ordre 2 du potentiel gravitationnelle terrestre R T Rayon moyen de la Terre T T P ́ eriode de rotation de la Terre autour du Soleil 2 Introduction Cahier des charges • Charge utile 4600 kg • Orbite h ́ eliosynchrone avec une altitude de 900 km • Lanceur tri- ́ etage avec : ◦ 1` er ́ etage ` a propergol solide - Px ◦ 2` eme ́ etage ` a propergol liquide cryog ́ enique - Hy ◦ 3` eme ́ etage ` a propergol liquide stockable - Lz D ́ emarche - Approche syst` eme La figure 1 montre un sch ́ ema g ́ en ́ eral de l’approche syst` eme utilis ́ e pour la conception du lanceur. Ce dernier est en effet un objet complexe caract ́ eris ́ e par une profonde interaction entre les diff ́ erents sous-syst` emes qui le composent : bien que le traitement du concept de lanceur pr ́ esent ́ e ici semble lin ́ eaire (chaque sous-syst` eme d ́ erivant des r ́ esultats obtenus dans la phase pr ́ ec ́ edente), la profonde interconnexion existant entre les diff ́ erents sous-syst` emes analys ́ es (propulsion, a ́ erodynamique, structures, etc.), tel que la modification d’un param` etre dans un sous-syst` eme a un effet sur les autres, a requis la r ́ ealisation d’it ́ erations pour obtenir des r ́ esultats coh ́ erents. La solution pr ́ esent ́ ee ici correspond aux r ́ esultats obtenus lors de la derni` ere it ́ eration. 3 Figure 1 – D ́ emarche - Approche syst` eme. 4 1 Mission lanceur et ́ etagement pr ́ eliminaire Dans ce premier module, la mission du lanceur est caract ́ eris ́ ee en termes d’ ́ energie, en utilisant les outils de la M ́ ecanique Orbitale et l’ ́ equation de Tsiolkovski. 1.1 Inclinaison de l’orbite d’injection Les sp ́ ecifications de conception pr ́ evoient l’injection d’une charge utile de 4600 kg sur une orbite h ́ eliosynchrone ` a 900 km d’altitude. A partir des ́ equations de Lagrange pour la perturbation gravitationnelle dˆ u au J2, on trouve que, pour une orbite circulaire ( e = 0) : ̇ Ω = − 3 2 ... μ a 3 Å R T a ã 2 J 2 cos ( i ) (1) Donc, en inversant, on obtient que : i = acos Ç − 4 π 3 a 7 / 2 J 2 √ μ 1 R 2 T 1 T T å (2) O` u, pour orbites circulaires, a = 900 km + R T = 7278 135 km 1.2 Orbite de Transfert Apr` es le lancement, l’ ́ etage Hy a amen ́ e le lanceur en orbite de transfert. La manœuvre effectu ́ ee par le troisi` eme ́ etage Lz consiste donc ` a se d ́ eplacer, avec la charge utile, vers l’orbite h ́ eliosynchrone finale. Cette manœuvre est effectu ́ ee ` a l’apog ́ ee de l’orbite de transfert, qui partage le mˆ eme plan orbital que l’orbite finale. L’altitude du p ́ erig ́ ee de l’orbite de transfert a ́ et ́ e impos ́ e ́ egal ` a 200km. En tenant compte de la g ́ eom ́ etrie du probl` eme, on obtient les caract ́ eristiques des orbites indiqu ́ ees dans le tableau 1. Orbite Altitude de p ́ erig ́ ee [ km ] Altitude d’apog ́ ee [ km ] Demi-grand axe [ km ] Transfert 200 900 a 1 = 6928 135 Injection h ́ eliosynchrone 900 900 a 2 = 7278 135 Table 1 – Orbite de transfert et orbite h ́ eliocentrique Grˆ ace aux param` etres orbitaux, nous trouvons alors le ∆ V qui doit ˆ etre fourni par Lz pour une insertion h ́ eliosynchrone : ∆ V 3 = μ Å 2 a 2 − 1 a 1 ã − ... μ a 1 = 189 m/s (3) 1.3 D ́ esorbitation de l’ ́ etage sup ́ erieur ` A la fin de la manœuvre d’insertion, l’ ́ etage Lz effectue une manœuvre de d ́ esorbitation telle que l’altitude du p ́ erig ́ ee atteint soit inf ́ erieure ` a 50 km. Le demi-grand axe de cette orbite de transfert est ́ egal ` a a 3 = R T + (900 + 50) / 2 = 6853 , 15 km . Comme pour l’ ́ equation 3 on trouve que : ∆ V 4 = ... μ a 3 − μ Å 2 a 2 − 1 a 3 ã = 233 m/s (4) En effet, le coˆ ut de cette manœuvre est plus ́ elev ́ e que celui de la pr ́ ec ́ edente, puisque la diff ́ erence du demi-axe est plus importante dans ce dernier cas. Par cons ́ equent, la masse de propergol n ́ ecessaire ` a la d ́ esorbitation est r ́ eellement significative dans le bilan de masse du v ́ ehicule. 5 Phase de vol Masse initiale Masse finale Isp IC ∆ v 1 − → 2 M 1 M 2 Isp 1 IC 1 ∆ v 1 2 − → 3 M 2 M 3 Isp 2 IC 2 ∆ v 2 3 − → 4 M 3 M 4 4 − → 5 M 4 M 5 Isp 3 IC 3 5 − → 6 M 5 M 6 Isp 3 IC 3 ∆ v 3 6 − → 7 M 6 M 7 7 − → 8 M 7 M 8 8 − → 9 M 8 M 9 Isp 3 IC 3 ∆ v 4 Table 2 – Table indiquant les param` etres caract ́ erisant les phases de la mission. En utilisant l’ ́ equation de Tsiolkovski 1 , la relation entre le ∆ v et les masses d’ergols associ ́ ees sont trouv ́ ees comme : ∆ V 3 = Isp 3 g 0 log Å M V EB + M CU + M E 32 + M E 31 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) M V EB + M CU + M E 32 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) ã ∆ V 4 = Isp 3 g 0 log Å M V EB + M E 32 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) + M V EB ã Le calcul des masses d’ergols n ́ ecessaires est donc un syst` eme de deux ́ equations aux deux 2 inconnues M E 31 et M E 32 : { exp Ä ∆ V 3 Isp 3 g 0 ä ( M V EB + M CU + M E 32 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 )) = M V EB + M E 32 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) exp Ä ∆ V 4 Isp 3 g 0 ä ( IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) + M V EB ) = M V EB + M E 32 + IC 3 ( M E 32 + M E 31 ) (5) 1.4 Calculs d’ ́ etagement Par rapport au diagramme de mission pr ́ esent ́ e sur la figure 2, il est possible de distinguer 9 phases de vol qui, de mani` ere g ́ en ́ erale, impliquent des variations de masse associ ́ ees ` a des manœuvres ou au d ́ etachement d’ ́ el ́ ements : elles sont r ́ esum ́ ees dans le tableau 2. Une hypoth` ese simplificatrice est faite ` a l’ ́ etape 3 : la s ́ eparation de la coiffe est en effet r ́ ealis ́ ee lors du d ́ etachement de Px. M 1 = M E 1 (1 + IC 1 ) + M E 2 (1 + IC 2 ) + M E 3 (1 + IC 3) + M V EB + M CU + M CO M 2 = M 3 = M E 2 (1 + IC 2 ) + M E 3 (1 + IC 3) + M V EB + M CU + M CO M 4 = M 5 = M E 3 (1 + IC 3) + M V EB + M CU M 6 = M E 3 IC 3 + M E 32 + M CU + M V EB M 7 = M 8 = M E 3 IC 3 + M E 32 + M V EB M 9 = M E 3 IC 3 + M V EB 1. Pour rendre explicite la masse d’ergol, on ́ ecrit : ∆ v = Isp · g 0 log Ç M initiale M initiale − M ergol å 2. Les indices constructifs, ∆ V , Isp , M CU et M V EB sont connus 6 On obtient imm ́ ediatement les ∆ V : ∆ v 1 = Isp 1 · g 0 log ( M 1 /M 2 ) ∆ v 2 = Isp 2 · g 0 log ( M 2 /M 4 ) ∆ v 3 = Isp 3 · g 0 log ( M 5 /M 6 ) ∆ v 4 = Isp 3 · g 0 log ( M 8 /M 9 ) En consid ́ erant que la masse du propulseur M E 3 a d ́ ej` a ́ et ́ e calcul ́ ee avec le syst` eme ` a l’Eq. 5, les masses de M E 1 et M E 2 peuvent ˆ etre obtenues en r ́ esolvant le syst` eme form ́ e 3 par les ́ equations pour ∆ v 1 et ∆ v 2 , en seulement deux inconnues M E 1 et M E 2 3. L’ ́ ecriture explicite du syst` eme est similaire ` a celle de l’Eq.5 et a ́ et ́ e omise par souci de bri` evet ́ e. 7 Figure 2 – Sch ́ ema des phases de la mission. Propri ́ et ́ e de CNES/DLA. 8 1.5 Strat ́ egie de Conception Les calculs sur l’ ́ etagement du lanceur sont effectu ́ es ` a l’aide d’un outil de simulation et d’opti- misation con ̧ cu dans Microsoft Office Excel En particulier, la conception a ́ et ́ e r ́ ealis ́ ee conform ́ ement aux objectifs impos ́ es par le Cahier de Charges et aux exigences list ́ ees ci dessous : • Donn ́ ees et Hypoth` eses ◦ Isp 1 = 275 s, Isp 2 = 430 s , Isp 3 = 320 s ◦ IC 1 = − 0 0174 log( M E 1 ) + 0 2549 ◦ IC 2 = − 0 0102 log( M E 2 ) + 0 1899 ◦ IC 3 = 40% ◦ M CO = 0 3 · M CU ◦ M V EB = 0 15 · M CU • Contraintes ◦ P ́ erig ́ ee orbite de d ́ esorbitation ≤ 50 km ◦ Pente de rentre ́ e ≤ − 1 , 5 ◦ ◦ 3000 m/s ≤ ∆ V associ ́ e ` a Px ≤ 6000 m/s ◦ M E 2 ≥ 15000 kg ◦ rapport Pouss ́ e/Poids de Px ≥ 1 3 ◦ pouss ́ ee du Px ≤ 10000 kN ◦ pouss ́ ee du Lx ≤ 450 kN ◦ facteur de charge ≤ 10 g ◦ vitesse de combustion entre 6 mm/s et 8 mm/s ◦ diam` etre du Px ≤ 5 m ◦ ́ elongement du Px entre 2.5 et 8 ◦ diam` etre du Hy entre 3.5 m et 4.5 m Le crit` ere de conception adopt ́ e a ́ et ́ e la r ́ eduction de la taille du deuxi` eme ́ etage : le premier, ` a pro- pergol solide, est stockable et implique une fabrication/maintenance plus ́ economique, contrairement au deuxi` eme, car les moteurs ` a propergol liquide n ́ ecessitent une technologie plus complexe et dont l’ergol cryog ́ enique n ́ ecessite des ́ etapes de pr ́ elancement soign ́ ees. Cependant, l’augmentation de la taille du premier ́ etage implique un rapport pouss ́ ee/poids ́ elev ́ e, une masse et un diam` etre particuli` erement importants du premier ́ etage, ce qui soumet le lanceur ` a un facteur de charge ́ elev ́ e, bien qu’inf ́ erieur ` a 10g. Dans un nouveau cycle d’optimisation, un crit` ere de r ́ eduction du facteur de charge et du diam` etre du lanceur a ́ et ́ e appliqu ́ e ` a cette strat ́ egie : la taille r ́ eduite du lanceur ainsi optimis ́ ee a permis d’ ́ economiser pr` es de 200t d’ergol solide, contre une augmentation de seulement 5t pour le liquide, avec une r ́ eduction du facteur de charge, cette fois de moins de 8g. L’` etagement r ́ esultant de cette conception est ensuite rapport ́ e dans le tableaux 3. 2 Trajectoire, performance et rebouclage sur l’ ́ etagement Apr` es le premier calcul d’ ́ etagement, la trajectoire est ́ etudi ́ ee et optimis ́ ee ` a l’aide du logiciel LOTUS. 2.1 Trajectoire initiale La masse de la charge utile est de 5863 kg (deuxi` eme ́ etage + charge utile). En entrant les donn ́ ees d’entr ́ ee de l’outil Excel et en d ́ emarrant l’optimisation sur LOTUS, on constate que la 9 RDV=DV ́ etage 1 / DV ́ etage 2 (%) 48 PX Masse propergol (kg) 383565 Indice constructif % 15.14 Rapport pouss ́ ee/poids (-) 1.3 Diam` etre (m) 4.28 Ratio hauteur / diam` etre (m) 3.94 Temps de combustion (s) 154 Pouss ́ ee vide (kN) 6707 D ́ ebit (kg/s) 2487 Section de sortie tuy` ere (m ² ) 6.84 HY Masse ergols (kg) 19793 Indice constructif (%) 15.94 Diam` etre (m) 4 Ratio hauteur / diam` etre (m) 1.59 Pouss ́ ee vide (kN) 310.8 Rapport pouss ́ ee/poids (-) 1.1 LZ Masse ergols (kg) 409.4 Diam` etre (m) 1.83 Ratio hauteur / diam` etre (m) 0.5 Masse totale d ́ ecollage (kg) 471820 Table 3 – ́ Etagement lanceur de r ́ ef ́ erence. masse de la charge utile optimis ́ ee est plus importante : la valeur de perte de vitesse suppos ́ ee de P ∆ V = 1800 m/s est en effet trop conservatrice. 2.2 Raffinement de l’ ́ etagement Pour assurer la coh ́ erence entre les deux m ́ ethodologies de dimensionnement, un rebouclage est effectu ́ e en v ́ erifiant la convergence de la masse de la charge utile entre les deux approches. Diff ́ erence d’approche La diff ́ erence entre les deux m ́ ethodes est principalement li ́ ee ` a les pertes de vitesse : le calcul des pertes de vitesse ` a partir de LOTUS produit des pertes de vitesse syst ́ emati- quement inf ́ erieures ` a celles de l’outil Excel, puisque dans ce logiciel est impl ́ ement ́ ee la phase de vol ` a incidence z ́ ero, avec minimisation des charges a ́ erodynamiques, ainsi que la phase de vol subs ́ equente hors de l’atmosph` ere, avec la loi de contrˆ ole optimale pour minimiser les pertes. Pour assurer la validit ́ e des r ́ esultats, il est n ́ ecessaire de v ́ erifier qu’` a l’instant vis ́ ee de la sortie de l’atmosph` ere, la pression atmosph ́ erique est bien inf ́ erieure ` a 1kPa. M ́ ethodologie Le processus it ́ eratif ` a ce niveau est donc bas ́ e sur la correction des pertes de ∆ V , en essayant d’obtenir une coh ́ erence par rapport ` a la masse de la charge utile entre le premier et le deuxi` eme module. Il est ́ evident que cette ́ etape modifie les param` etres et les performances du lanceur lui-mˆ eme, qui doivent ˆ etre compar ́ es aux contraintes impos ́ ees ` a la section 1.5. Partant d’une surestimation initiale des pertes de vitesse pour les raisons discut ́ ees ci-dessus, avec une diminution de ces derni` eres la masse d’ergol n ́ ecessaire diminue jusqu’` a ce qu’une correspondance 4 soit obtenue entre les deux ́ etagements, pour une valeur de P ∆ V = 1440 m/s Trajectoire La trajectoire obtenue ` a la suite de la derni` ere it ́ eration est constitu ́ ee de 8 ́ etapes fondamentales enumer ́ es dans le tableau 4. Deux ́ ev ́ enements sont particuli` erement significatifs pour le lanceur, celui de la pression dyna- mique maximale (Max Q) et celui de l’acc ́ el ́ eration maximale (Max γ ), qui impliquent respectivement 4. Les autres param` etres sont R = 48%, T /W 1 = 1 3, T /W 2 = 1 1, V c = 6 5 mm/s , Φ H y = 4 m 10 Temps initial − → Allumage ́ etage 1 0s Temps pour atteindre l’incidence nulle 15s Pression dynamique max 78s Extinction ́ etage 1 154.2s Largage ́ etage 1 154.7s Allumage ́ etage 2 155.2s Extinction ́ etage 2 423.8s Temps final − → Largage ́ etage 2 424.3s Table 4 – S ́ equentiel de vol. Masse de charge utile (kg) 5863 Pression dynamique ` a Mach 1 (Pa) 27.3 Premier Pic de flux (kW/m ² ) 32.7E+03 Evenements dimensionnants Ev ́ enement “Pression dynamique maximale” Instant/d ́ ecollage (s) 78 Altitude (m) 1.43E+04 Masse lanceur (kg) 2.78E+05 Pression dynamique (Pa) 3.61E+04 Facteur de charge (m/s ² ) 23.2445 Pouss ́ ee (N) 6.61E+06 Mach (-) 1.91249 Vitesse relative (m/s) 6.50E+02 Ev ́ enement “Acc ́ el ́ eration longitudinale maximale” Instant/d ́ ecollage (s) 155 Altitude (m) 5.90E+04 Masse lanceur (kg) 8.62E+04 Pression dynamique (Pa) 0 Facteur de charge (m/s ² ) 77.82 Pouss ́ ee (N) 6.71E+06 Mach (-) 1.024E+01 Vitesse relative (m/s) 3.48E+03 Ev ́ enement “M = 1” Instant/d ́ ecollage (s) 56.5 Altitude (m) 7.04E+03 Masse lanceur (kg) 3.31E+05 Pression dynamique (Pa) 2.73E+04 Facteur de charge (m/s ² ) 19.1014 Pouss ́ ee (N) 6.45E+06 Mach (-) 1 Vitesse relative (m/s) 3.45E+02 Table 5 – Optimisation de la trajectoire, r ́ esultats/param` etres dimensionnants. 11 les plus fortes contraintes a ́ erodynamiques et structurelles. L’ ́ evolution de ces deux grandeurs pen- dant la dur ́ ee du vol est pr ́ esent ́ ee dans les figures 3. Pour ces deux ́ ev ́ enements et pour la condition ` a Mach 1, un r ́ esum ́ e des principales quantit ́ es est donn ́ e dans le tableau 5. (a) Pression dynamique (b) Acc ́ el ́ eration longitudinale Figure 3 – Param` etres de performance du lanceur en temps 3 Propulsion liquide, dimensionnement du deuxi` eme ́ etage Cette section est consacr ́ ee ` a l’ ́ etude d ́ etaill ́ e du deuxi` eme ́ etage en faisant le dimensionnement de la tuy` ere, de la chambre de combustion et des r ́ eservoirs de propergol et de du gaz de pressu- risation. L’ ́ etude de combustion a ́ et ́ e r ́ ealis ́ ee ` a l’aide du logiciel CEA - Chemical Equilibrium and Applications 3.1 Calculs thermodynamiques, tuy` ere et chambre de combustion La pression en chambre de combustion a ́ et ́ e calcul ́ e en fonction de la pouss ́ ee F du moteur (310.8 kN) avec la formule simplifi ́ ee suivante : P cc = 4 315 · F 0 48284 = 69 bar (6) A l’aide de l’outil de simulation, le rapport d’expansion ε qui en conditions r ́ eelles produit la mˆ eme impulsion sp ́ ecifique que celle suppos ́ ee, 430 s, a ́ et ́ e d ́ etermin ́ e pour la paire d’ergols fournie apr` es d ́ eduction des rendements de la vitesse caract ́ eristique ( η C ⋆ = 0.99) et du coefficient de pouss ́ ee ( η C f = 0.975). ε = 18 85 A partir du CEA, l’ ́ etoile C associ ́ ee ` a ce moteur a ́ egalement ́ et ́ e calcul ́ ee et il vaut C ⋆ = 2400 3 · η C star = 2376 3 m/s. (7) Les caract ́ eristiques du moteur ont ensuite ́ et ́ e calcul ́ ees comme suit : Q = F Isp · g 0 S c = Q · C P cc S s = ε · S c (8) L div = 0 8 · R s − R c tan (15 ◦ ) (9) o` u la longueur de la tuy` ere a ́ et ́ e calcul ́ ee comme ́ etant ́ egale ` a 80% de la longueur d’un tronc de cˆ one ` a 15 ° ́ equivalent comme montr ́ e dans la fig. 4. La chambre de combustion a ensuite ́ et ́ e con ̧ cue en tenant compte de la longueur caract ́ eristique L ⋆ du couple de combustibles ́ etudi ́ e : 0.635 pour LO2/H2 (l’hydrog` ene est consid ́ er ́ e ` a l’ ́ etat gazeux car il se r ́ echauffe dans le circuit de r ́ eg ́ en ́ eration et donc il est suppos ́ e entrer dans la chambre de combustion ` a 161 K). 12 15 ◦ 80% Figure 4 – Sch ́ ema pour le calcul de la longueur de la tuy` ere Pouss ́ ee vide F V [kN] 310.80 Isp vide [s] 430.00 D ́ ebit total moteur Q [kg/s] 73.71 Rapport de m ́ elange RM 5.00 Diam` etre [m] 4.00 Masse LH2 [kg] 57.33 Masse LOX [kg] 17.51 Table 6 – Donn ́ ees deuxi` eme ́ etage. V cc = L ⋆ · S c (10) En supposant un mach dans la chambre de combustion de M c c = 0.2, on peut calculer la section de la chambre de combustion par la relation d’ ́ ecoulement isentropique suivante : A cc = S c M cc [( 2 k + 1 )( 1 + k − 1 2 M 2 c )] k +1 2( k − 1) (11) ce qui correspondrait ́ egalment ` a avoir consid ́ er ́ e un rapport de sections S cc /S c = 3, ce qui est tout aussi raisonnable comme autre m ́ ethode de dimensionnement de la chambre de combustion. On obtient finalement : L cc = V cc A cc (12) Les donn ́ ees utilis ́ ees pour le dimensionnement du deuxieme ́ etage sont montr ́ ees dans le tableau 6, tandis que le r ́ esultats du dimensionnement du moteur sont montr ́ es dans le tableau 7. Pression chambre Pc [bar] 68.94 Vitesse caract ́ eristique C ⋆ [m/s] 2376.30 Temp ́ erature de combustion T c [K] 3341.21 k (au niveau du col) 1.16 Section col S c [m 2 ] 0.03 Diam` etre col [m] 0.18 Rapport de section ε 18.85 Section de sortie S s [m 2 ] 0.48 Diam` etre sortie D s [m] 0.78 Longueur divergent L div [m] 0.90 Longueur chambre de combustion L cc [m] 0.21 Table 7 – R ́ esultats dimensionnement moteur. 13 3.2 Dimensionnement du deuxi` eme ́ etage Apr` es les calculs thermodynamiques, il est possible de proc ́ eder au dimensionnement de la deuxi` eme ́ etape, en d ́ eterminant ses caract ́ eristiques g ́ eom ́ etriques et la taille des r ́ eservoirs. Jupe inter- ́ etage La hauteur de la jupe inter- ́ etage peut ˆ etre calcul ́ ee comme la longueur de la tuy` ere plus celle de la chambre de combustion ( L div + L cc ) plus une marge qui a ́ et ́ e choisie comme ́ etant de 20 cm. Volumes des r ́ eservoirs Pour calculer le volume des r ́ eservoirs nous sommes partis du volume de LH2 et LO2 que nous avons obtenu des calculs de l’ ́ etagement et on les a augment ́ e avec les marges suivantes : • 5% pour l’espace mort ( ullage ) • 5% pour le reste de propergol qui ne sera pas utilis ́ e pour la combustion • 10% de marge global Le volume de LH2 a ́ egalement ́ et ́ e augment ́ e avec le LH2 suppl ́ ementaire qui sera n ́ ecessaire pour la pressurisation du r ́ eservoir de H2, qui est calcul ́ e ci-apr` es. Syst` eme de pressurisation La masse d’H2 gazeux n ́ ecessaire pour pressuriser le r ́ eservoir LH2 peut ˆ etre calcul ́ ee en consid ́ erant le volume qu’il devra remplir ` a la fin de la phase propulsive. En supposant qu’une partie de l’hydrog` ene gazeux obtenu apr` es la r ́ eg ́ en ́ eration est d ́ evers ́ ee afin de pressuriser le r ́ eservoir, en faisant l’hypoth` ese simple que sa temp ́ erature est maintenue constante ` a 161 K et en consid ́ erant une pression finale P f in = 3 bars, nous pouvons utiliser la loi des gaz id ́ eaux pour obtenir : m He press = ( V H 2 − V ullage ) P f in r H 2 T (13) Par contre, la relation suivante a ́ et ́ e utilis ́ ee pour dimensionner la pressurisation du r ́ eservoir LO2 avec l’Helium : m He = P f in ( V O 2 − V ullage ) rT 0 · k 1 − P g P 0 (14) o` u P f in est la pression de pressurisation (3 bars), k le rapport des chaleurs sp ́ ecifiques, T 0 la temp ́ erature initiale de stockage, P g la pression finale de stockage (30 bars) et P 0 la pression initiale de stockage. Deux solutions ont ́ et ́ e analys ́ ees : la premi` ere avec un stockage d’h ́ elium ` a T 0 = 300 K et P 0 = 400 bar, et la seconde avec T 0 = 100 K et P 0 = 200 bar. La premi` ere solution est plus avantageuse car elle n ́ ecessite une plus petite masse d’h ́ elium pour la pressurisation. Cela s’explique simplement par la loi des gaz id ́ eaux : pour qu’un mˆ eme volume soit mis sous pression et que la pression finale soit la mˆ eme, il faut une plus petite masse de gaz ` a une temp ́ erature plus ́ elev ́ ee (la densit ́ e ́ etant plus ́ elev ́ ee, une plus petite masse suffit pour occuper le mˆ eme volume). ` A partir de la densit ́ e du LH2, du LO2 et de l’He, il est alors possible de calculer les volumes requis pour leurs r ́ eservoirs respectifs. Dimensions du Hy Pour les reservoirs de LO2 et LH2 il a ́ et ́ e choisi d’utiliser une configuration “FC-concave”, avec le r ́ eservoir le plus massif (oxyg` ene) sur le fond afin d’abaisser le centre de gravit ́ e et de r ́ eduire l’inertie du lanceur pour faciliter le contrˆ ole avec le braquage de la tuy` ere du premi` ere ́ etage. Il a ́ et ́ e d ́ ecid ́ e de mettre le petit volume d’h ́ elium pressurisant n ́ ecessaire dans un r ́ eservoir sph ́ erique plac ́ e ` a cˆ ot ́ e du moteur, comme c’est la pratique courante dans la conception des ́ etages de fus ́ ee. Le sch ́ ema de la configuration du deuxi` eme ́ etage est illustr ́ e dans la fig. 5. Notez que le diam` etre nominal du deuxi` eme ́ etage de 4 m a ́ et ́ e r ́ eduit de 6 cm pour tenir compte de l’ ́ epaisseur des r ́ eservoirs et des structures externes. Le tableau 8 montre les r ́ esultats du dimensionnement du deuxi` eme ́ etage. 14 LO 2 LH 2 He 3940 1970 1970 1970 1106 514 2082 1436 Figure 5 – Sch ́ ema des r ́ eservoirs pour le deuxi` eme ́ etage. Mesures en mm. R ́ esultats dimensionnement ́ etage Hauteur jupe inter- ́ etage (m) 1.3 Hauteur r ́ eservoir LOX (m) 3.41 Hauteur r ́ eservoir LH2 (m) 6.02 Hauteur ́ etage HY (m) 7.46 Cot ́ e pressurisation LOX Volume r` eservoir LOX (mˆ3) 17.51 Pression r` eservoir LOX (bar) 3 Temp ́ erature gaz pressurisant pour r ́ eservoir LOX (K) 300 r gaz pressurizant pour r ́ eservoir LOX (J/kg/K) 2077 Pression initiale gaz pressurisant (bar) 400 Pression finale gaz pressurizant (bar) 30 Masse gaz pressurizant pour reservoir LOX (kg) 14.35 Volume gaz pressurizant pour r ́ eservoir LOX (m3) 0.28 Cot ́ e pressurisation LH2 Volume r` eservoir LH2 (mˆ3) 57.41 Pression r` eservoir LH2 (bar) 3 Temp ́ erature gaz pressurisant pour r ́ eservoir LH2 (K) 161 r gaz pressurizant pour r ́ eservoir LH2 (J/kg/K) 4124 Pression initiale gaz pressurisant (bar) 68.93 Pression finale gaz pressurisant (bar) 3 Masse ergol pressurisant pour reservoir LH2 (kg) 24.77 Volume ergol pressurisant pour r ́ eservoir LH2 (m3) 0.35 Table 8 – R ́ esultats dimensionnement ́ etage. 15 4 A ́ erodynamique, Statique et Dynamique Afin de proc ́ eder ` a la conception structurelle, il est n ́ ecessaire de d ́ eterminer les contraintes auxquelles le lanceur est soumis pendant la mission : cette section est consacr ́ ee ` a l’ ́ etude de l’a ́ erodynamique, de la statique et de la dynamique du lanceur. 4.1 A ́ erodynamique L’a ́ erodynamique du lanceur est ́ etudi ́ ee dans les conditions de Max Q, 78 s apr` es l’allumage du premier ́ etage et ` a une altitude de 14300 m : la vitesse maximale du vent ` a cette altitude est suppos ́ ee ˆ etre de 39 m/s. D’autres hypoth` eses ont ́ et ́ e appliqu ́ ees ` a l’ ́ etude : • C Z coiffe @ Qmax - 0.3 ; • C Z culot @ Qmax - 0.3 ; • lanceur vertical et infiniment rigide ; • le vecteur vitesse du lanceur est orient ́ e selon la verticale ; • le vecteur vitesse du vent est orient ́ e selon l’horizontale ; • le point d’application de l’effort de portance est confondu avec le foyer ; • le centrage de chaque ́ etage est confondu avec le centre g ́ eom ́ etrique ; • l’acc ́ el ́ eration de rotation est nulle ` a chaque instant. Incidence Compte tenu des hypoth` eses, l’incidence du lanceur s’ ́ ecrit simplement comme suit : α = arctan Å V vent V lanceur ã = 3 43 ◦ (15) Par cons ́ equence, les coefficients a ́ erodynamiques sont, apr` es l’interpolation, C N = 0 489 et C N = 0 394. Foyer La position du foyer, x F ́ egale ` a celle du point d’application de l’effort de portance, x P est trouv ́ ee en imposant l’ ́ equilibre des moments par rapport au centre de gravit ́ e, en tenant compte des coefficients C M et C Z jusqu’` a une certaine position du nez de la coiffe. En definant Z la portance et M le moment on ́ ecrit simplement : Z · ( − x p ) + M = 0 Q S ref C Z · ( − x P ) = − Q S ref C M · Coif f e x P = C M · Coif f e C Z = x F (16) Apr` es l’interpolation pour les points de coiffe, x F = 38 31 m d` es la base. Efforts a ́ erodynamiques Compte tenu des coefficients a ́ erodynamiques et de la pression dyna- mique, on peut d ́ eterminer la portance, F P et la traˆ ın ́ ee, F T : F P = Q S ref C N = 221 4 kN (17) F T = Q S ref C T = 271 9 kN (18) S ref = 12 57 m 2 4.2 ́ Equilibre global du lanceur A partir des ́ equations d’ ́ equilibre du lanceur, il est possible de les projeter selon les directions x et z du lanceur. En ajoutant l’ ́ equation des moments de l’ ́ equilibre, les ́ equations r ́ esultantes sont 16 ˆ z ˆ x G F ≡ P F P γ F T M aero ⃗ T ⃗ N ⃗ M Figure 6 – Sch ́ ema des efforts alors : M γ x = P cos( β ) − F T − M · g (19) M γ z = F P + P sin( β ) (20) I lat ̈ θ y = 0 = F P ( x P − x G ) − P sin( β ) x G (21) En r ́ esolvant l’ ́ equation 21 on trouve un angle de braquage de la tuy` ere de β = 5 4 ◦ , pour assurer l’ ́ equilibre. Facteurs de charge A partir des ́ equations 19 et 20, l’expression des facteurs de charge en fonction de x et z est imm ́ ediatement d ́ eriv ́ ee et calcul ́ e en Max Q : F AC x = P cos( β ) − F T M = 22 7 m/s 2 (22) F AC z = P sin( β ) + F P M = 3 0 m/s 2 (23) Il est ́ evident que le lanceur est principalement soumis ` a des contraintes longitudinales, qui sont d’un ordre de grandeur sup ́ erieur aux contraintes lat ́ erales. Dans le mˆ eme temps, le facteur de charge r ́ esultant du calcul de la trajectoire (voir tableau 5) est de 23 2 m/s 2 , ce qui est coh ́ erent avec le r ́ esultat juste trouv ́ e. 4.3 Efforts g ́ en ́ eraux quasistatiques En ́ ecrivant l’ ́ equilibre ` a une section g ́ en ́ erique du lanceur, l’expression des efforts quasi-statiques g ́ en ́ eraux peut ˆ etre d ́ eriv ́ ee. On notera que, par rapport ` a la convention adopt ́ ee, les flux axiaux positifs sont en compression et les n ́ egatifs en traction. N = F X + F T = M F AC x + Q S ref C T T = − F Z + F P = − M F AC z + Q S ref C Z M = M Aero − M F AC z x s c Par rapport ` a la condition de Max Q, on obtient les r ́ esultats pr ́ esent ́ es dans le tableau 9. 17 Sections Masse [ kg ] Centrage [ kg ] N [ N ] T [ N ] M [ N m ] SCU (Base CU) 4600 1220 104657 -11838 -14442 SK (Base Coiffe) 1380 5000 167338 217859 1482549 S3 (Haut ́ etage 2) 7053 3273 296410 203260 1662310 S2 (Base ́ etage 2) 30001 4703 818511 144206 2768987 S1 (Base ́ etage 1) 277820 10005 6456752 -493526 0 Table 9 – Efforts g ́ en ́ eraux quasistatiques 4.4 Flux de dimensionnement Apr` es avoir d ́ etermin ́ e les flux de contraintes quasi-statiques, ceux-ci sont traduits en flux longi- tudinaux, exprim ́ es en quantit ́ es homog` enes ( N/m ) pour faciliter la comparaison. En gardant la mˆ eme convention, les r ́ esultats pour les flux normal 5 (Φ N ), le flux de moment fl ́ echissant 6 (Φ M ), le flux de compression (Φ comp ) et de traction (Φ trac ) sont pr ́ esent ́ es dans le tableau 10. Sections Φ N , min Φ N , max Φ M Φ trac Φ comp SCU (Base CU) 16384 20024 8236 8147 28260 SK (Base Coiffe) 11985 14648 176966 -164982 191614 S3 (Haut ́ etage 2) 21229 25946 198424 -177195 224370 S2 (Base ́ etage 2) 58622 71649 330523 -271902 402172 S1 (Base ́ etage 1) 432178 528218 0 432178 528218 Table 10 – Flux d’effort g ́ en ́ eraux, en N · m Enfin, le tableau 11 montre les flux globaux totaux, ou dimensionnement, suite ` a l’application d’une marge de 30% sur le surflux et de 30% sur les marges suppl ́ ementaires d’avant-projet. Sections Φ trac , total Φ comp , total SCU (Base CU) 3992 47760 SK (Base Coiffe) -278819 323828 S3 (Haut ́ etage 2) -299459 379185 S2 (Base ́ etage 2) -459514 679671 S1 (Base ́ etage 1) 211767 892688 Table 11 – Flux total, en N · m 4.5 Mod ́ elisation dynamique Le lanceur est mod ́ elis ́ e par un syst` eme ` a 3 degr ́ es de libert ́ e ( x 1 , x 2 , x 3 ), les ́ el ́ ements ́ elastiques ́ etant fournis par la jupe inter- ́ etage et la charge utile. L’ ́ energie cin ́ etique ( E c ) et l’ ́ energie potentielle ( E p ) du syst` eme, par rapport aux degr ́ es de libert ́ e choisis, sont : E c = 1 2 m 1 ̇ x 12 + 1 2 ( m 2 + m 3 + m k ) ̇ x 22 + 1 2 m cu ̇ x 32 E p = 1 2 k 12 ( x 2 − x 1 ) 2 + 1 2 k cu ( x 3 − x 2 ) 2 5. Le flux de effort normale est obtenu ` a partir de l’effort quasi-statique g ́ en ́ eralis ́ e avec l’application d’une marge de 10% ` a les efforts longitudinales pour la dynamique. 6. Pour le calcul du flux de moment, deux marges ont ́ et ́ e appliqu ́ ees ` a l’effort lat ́ eral, respectivement 20% pour l’a ́ ero ́ elasticit ́ e et 25% pour la dynamique. 18 En prenant X = [ x 1 , x 2 , x 3 ] T , l’ ́ equation de la dynamique sans amortissement est obtenu par les ́ equations de Lagrange 7 : m 1 0 0 0 m 2 + m 3 + m k 0 0 0 m cu ̈ X + k 12 − k 12 0 − k 12 k 12 + k cu − k cu 0 − k cu k cu X = ̃ P ( t ) 0 0 (24) En introduisant l’amortissement et en ́ ecrivant les ́ equations du syst` eme dans la base modale 8 , pour le i-` eme composant ( i = 1 , 2 , 3) on a : ̈ q i + c i ̇ q i + k i μ i q i = ̃ P ( t ) μ i φ i,i − 1 ̈ q i + c i ̇ q i + ω 2 i q i = ̃ P e − iωt μ i φ i,i − 1 O` u c i est l’amortissement modal, μ i est la masse modale et k i est la rigidit ́ e modale. La solution de cette ́ equation diff ́ erentielle est : q i = ̃ P /μ i ( ω 2 0 − ω 2 ) − iωC i e − iωt φ i,i − 1 = q 0 e − iωt En d ́ erivant deux fois, on obtient l’expression de l’acc ́ el ́ eration pour la i-` eme coordonn ́ ee modale : ̈ q i = ω 2 q 0 e − iωt On s’int ́ eresse au module : | ̈ q i | = ω 2 ̃ P μ i ∣ ∣ ∣ ∣ 1 ( ω 2 0 − ω 2 ) − iC i ∣ ∣ ∣ ∣ φ i,i − 1 En condition de r ́ esonance, not ́ e res (fr ́ equence naturelle ́ egale ` a quelle de l’excitation externe, ω i = ω ) : | ̈ q i | = ω i ̃ P c i μ i φ i,i − 1 (25) En s’int ́ eressant ` a l’acc ́ el ́ eration de x 3 , en utilisant la transformation modale X = [Φ] Q , on obtient finallement que : ̈ x 3 = φ c 0 ̈ q 1 + φ c 1 ̈ q 2 + φ c 2 ̈ q 3 , donc : (26) | ̈ x 3 | ≤ | φ c 0 || ̈ q 1 || ∣ ∣ ∣ res. + | φ c 1 || ̈ q 2 || ∣ ∣ ∣ res. + | φ c 2 || ̈ q 3 || ∣ ∣ ∣ res. (27) Chacun des trois termes au dessus apparaˆ ıt effectivement dans le r ́ esultat de la simulation. Le tableau 12 montre la caract ́ erisation dynamique du lanceur, pour des valeurs de k 12 = 1 · 10 8 kg/s 2 et k cu = 3 70 · 10 8 kg/s 2 7. En prenant x i , i = 1 , 2 , 3 et ρ xi , le chargement appliqu ́ e suivant x i , l’Equation de Lagrange est : d dt Å ∂E c ∂ ̇ x i ã − ∂E c ∂x i + ∂E p ∂x i = ρ xi 8. On utilise pour ce qui suite la matrice de passage [Φ] de la forme : [Φ] = φ 10 φ 11 φ 12 φ 20 φ 21 φ 22 φ c 0 φ c 1 φ c 2 19