万物皆数 —— 《不可思议的数》读书笔记 万物皆数 万物皆数是古希腊的大哲学家毕达哥拉斯（ Pythagoras ）提出的。他通过研究月历和星座，发现自然界 都和数字有关。所以想要研究好自然科学，研究哲学，先要把数字研究清楚。虽然时至今日，数的概念 已经比两千多年前有着更广泛的含义，但这个观点却依旧有着深刻的道理。数是数学的基础，数学是众 多其他学科的基础，这些学科的应用又影响着我们每个人的日常生活。反过来，现实生活中遇到的问 题，对新的数学知识、数学工具的需求，进一步推动了数学学科的发展，促使我们更深入地探寻数的秘 密。数和生活构成了一个奇妙的循环，向我们诉说着万物皆数的道理。 今天，我就向大家推荐一本关于数的书 —— 《不可思议的数》，作者是一位英国数学科普作家伊恩 · 斯 图尔特（ Ian Stewart ）。作者在书中为我们讲述了众多不可思议的数，并把这些数作为切入点，回顾数 在人类历史中扮演的重要角色，展现各种有趣的数学思想和方法，介绍众多数学经典和最新研究领域的 成果。 下面，让我为你简单列举一些书中的有趣内容。 数字 4 - 完全平方数 数字 4 是 0 、 1 之后的第一个完全平方数。我们在研究完全平方数的时候会发现一个有趣的规律，两个相 邻的完全平方数的差都是奇数： 换个方式来看看 更有意思的是 为什么会这样呢？其实可以试着用几何的想法来理解，比如一个点就代表 1 ，我们把 25 个点排成的正方 形简单分割一下，就能找出里面的联系了。 顺便提一下，如果我们把完全平方数的倒数都加到一起，他们的和会是多少呢？ 1735 年，一位伟大的数学家欧拉（ Euler ） 给出了最终的结果，那就是 神奇的数字 π 出现了，看起来好像这次跟圆没什么关系呢？其实是有的，如果对这个结果感兴趣的话， 还可以看看下面这个视频。 【官方双语】巴塞尔问题：著名公式背后的惊人几何学 负数 - 负负得正 我们可以把乘法当作重复的加法，例如 同样当一个正数和负数相乘，也可以表示成： 可是当两个负数相乘的时候，就不太好想象了， -6 个 -5 相加到底是什么？其实，可以从下面三个方面的 原因来理解为什么 “ 负负得正 ” ： 第一，如果我们假设 那么 两边都除以 -6 后 这显然与我们对负数的规定相矛盾了，假设是不对的。 第二，我们已知 任何数乘以 0 都还是得 0 所以 第三个原因，从数轴来解释，如果一个数乘以 -1 ，就可以看做这个数在数轴上被旋转了 180° ，那么连续 两次乘以负数就可以看成连续旋转了两个 180° ， 180°+180°=360° 就等于符号方向没有变化了。 无理数 Φ - 植物里的黄金分割数 斐波那契数列是在开始的两个数之后的每个数，都是通过前两项相加得到的，就像下面这样： 两千多年来，人们早已注意到斐波那契数列在植物王国很常见。很多花卉，特别是雏菊科的花瓣数是斐 波那契数。万寿菊通常有 13 片花瓣，还有许多累雏菊科有 34 片，甚至 55 片、 89 片花瓣。向日葵一般有 55 、 89 或 144 片花瓣。不只是花瓣，植物的其他特征也会有这些数。比如，菠萝的表面大致是由六边形 组成的，每个六边形都是果实，它们随着生长而合并在了一起。果实最终形成两类螺旋，仔细看他们也 和斐波那契数有关系。右面松果的表皮也有类似的排列，正好形成斐波那契数条螺旋。 两个相邻斐波那契数之间的比例会越来越接近黄金分割数 将一个完整的圆按照黄金比例分割成两段圆弧，长的弧与短的弧之比是黄金分割数，那么较短的弧所对 应的圆心角就称为 黄金角度 ，约等于 137.5° 。向日葵的种子就是按照黄金角度从内到外生长的。可以看 到漂亮神秘的双螺旋。 科学研究还发现，只有种子按照黄金角度生长才能使种子挤得更紧密，使他们之间既没有空隙也没有重 叠。哪怕角度偏差只有 0.5 度，也会影响最终的结果。下面就是按照 137 度， 137.5 度， 138 度来排列相 连的种子模拟图。 数字 23 - 生日悖论 生日悖论可能很多人都听说过，比如下面这样：假设每个人在一年中任何一天出生的概率完全相等（都 是 1/365 ），想要至少有两个人生日在同一天的概率（可能性）大于 50% ，只需要 23 个人就够了。为什 么会这样呢？好像跟我们直观感觉完全不一样。让我们来计算一下吧。根据计算概率的规则 所以我们只要算出来生日都不同的概率，用 1 减去它就是至少有两人生日相同的概率了。让我们开始， 先从 1 个人算起： 当只有 1 个人时，因为没有其他人，所以 “ 他们 “ 生日不同的概率毫无疑问是 1; 当有 2 个人时，如果要第 2 个人与第 1 个人生日不同，那么他只能从 365 天中剩下的 364 个日子中选 1 个，所以他们生日不同的概率是 所有的数都是吗？心。）。等。吗？重。个完全独立事件同时发生的概率，需要把两个概率相乘。 目前为止，没有重复生日的概率是 当有 4 个人时，第 4 个人还要与前三人生日不同，需要从剩下的 362 个日子中选 1 个，于是，没有重 复的概率是 某件事不发生的概率 = 1 - 这件事发生的概率 依次类推，找找规律，就能得到当有 k 个人时，所有人生日都不同的概率是： 当 k=23 时，所有人生日不同的概率约等于 0.492703 ，那么至少有两个人生日相同的概率就是 1- 0.492703 ，约等于 0.507297 ，已经大于 50% 了。 为什么这个结果会经常让人感到惊讶呢，可能由于我们把它和另外一个问题搞混了。那个问题是：需要 多少人，才能使这些人当中有跟你生日同一天的概率大于 50% 。这个计算起来更简单，因为每个人与你 生日不同的概率都是 所以 k 个人都与你生日都不同的概率是： 这个底数非常接近于 1 ，所以 k 不断增加时这个概率减小的特别慢，当 k=253 时，它才能小于 0.5 。也就 是说，除了你自己之外 253 个人当中，才会有稍微大于 50% 一点的可能性有一个人跟你同一天生日。 素十 (A) 班，利用上面的公式，我们就能算出来当一个班有 30 个人的时候，至少有两个人生日在同一天 的概率已经达到了 70.6% ，但很遗憾恰好跟你同一天的概率却只有 7.6% 。你是不是那个被 7.6% 眷顾的幸 运儿呢？ 结语 作为一个现代人，除了习得数学知识、使用数学工具，还得具有数学的思维，才能在工作和生活中做到 游刃有余。学习数的有趣之处，就是一个练习数学思维很好的起点。阅读这本书不需要具备复杂的数学 知识，也不需要任何计算，它会把每个数的不可思议之处都慢慢讲给你听。 如果感兴趣的话，就不妨找一本，从 1 开始重新认识数吧。