טענה ( 1.43אי -שוויון ברנולי) :לכל 𝑥 ∈ ℝהמקיים 𝑥 ≥ −1ולכל מספר טבעי nמתקיים. (1 + x)n ≥ 1 + nx : הוכחה :נקבע את xונוכיח באינדוקציה על .n עבור n = 1מתקיים שוויון בין שני האגפים. נניח כי אי -השוויון מתקיים עבור .n מכיוון ש , 𝑥 ≥ −1-מתקיים ,1 + 𝑥 ≥ 0לכן ניתן להכפיל את שני האגפים ב .1 + 𝑥 -מתקבל(1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) : (1 + x)n+1 ≥ (1 + x)(1 + nx) = 1 + x + nx + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 מכיוון ש .(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x :nx 2 > 0 -לכן אי -השוויון מתקיים עבור , n + 1וצעד האינדוקציה הושלם. טענה :1.47לכל קבוצה סופית ולא ריקה של מספרים ממשיים יש מינימום ומקסימום. הוכחה :נוכיח את קיום המקסימום ,הוכחת המינימום דומה. ההוכחה היא באינדוקציה על מספר האיברים בקבוצה .אם Aקבוצה בעלת איבר אחד ,איבר זה הוא המקסימום. אם הטענה נכונה עבור קבוצה בעלת nאיברים ,ו A = {x1 , x2 , … , xn+1 } -נקבל לפי הנחת האינדוקציה שלקבוצה } {x1 , x2 , … , xnיש מקסימום. אם } xn+1 > max{x1 , x2 , … , xnאז xn+1הוא המקסימום של ,Aואם } xn+1 ≤ max{x1 , x2 , … , xnאז } max{x1 , x2 , … , xnהוא המקסימום של .A ∞) (a nמתכנסת ל 𝐿1 -וגם ל 𝐿2 -אז 𝐿1 = 𝐿2 משפט : 2.12אם סדרה n=1 𝐿1 +𝐿2 = 𝜀. הוכחה :נניח ב שלילה .𝐿1 ≠ 𝐿2יהי > 0 3 ) (a nמתכנסת ל ,𝐿1 -לכן קיים 𝑁1כך שלכל .|a n − 𝐿1 | < ε :n > N1 ) (a nמתכנסת ל ,𝐿2 -לכן קיים 𝑁2כך שלכל .|a n − 𝐿2 | < ε :n > N2 יהי ,N = max{N1 , N2 } + 1לכל n > Nמתקיים. |a n − 𝐿2 | < ε ,|a n − 𝐿1 | < ε : נשתמש באי -שוויון המשולש.|𝐿1 − 𝐿2 | ≤ |𝐿1 − a n | + |a n − 𝐿2 | < 𝜀 + 𝜀 = 2𝜀 < 3𝜀 = |𝐿1 − 𝐿2 | : קיבלנו סתירה ,ולכן .𝐿1 = 𝐿2 משפט :2.16כל סדרה מתכנסת היא חסומה. ∞) (a nסדרה מתכנסת ויהי 𝐿 גבולה. הוכחה :תהי n=1 יהי ,𝜀 = 1על פי הגדרת הגבול ,קיים Nכך שלכל .|a n − 𝐿| < 1 ,n > N לכן ל פי אי -שוויון המשולש לכל :n > N |𝐿| .|a n | = |(a n − 𝐿) + 𝐿| ≤ |a n − 𝐿| + |𝐿| < 1 + נגדיר .M = max{|a1 |, |a 2 |, … , |a n |, |L|} + 1 :על פי הגדרת Mומה שכבר הוכחנו ,לכל nטבעי מתקיים .|a n | < M משפט :2.22מכפלה של סדרה אפסה וסדרה חסומה היא אפסה. ∞) (bnסדרה חסומה. ∞ הוכחה :תהי (a n )n=1סדרה אפסה ו n=1 - מכיוון ש bn -חסומה ,קיים M > 0כך שלכל .|bn | < M ,n ε י הי ,𝜀 > 0קיים Nכך שלכל ,n > Nמתקיים < | .|a n M ε < | .|a n bn − 0| = |a n ||bnכלומר .limn→∞ a n bn = 0 ל כן ,לכל n > Nמתקיים ⋅ M = ε M ∞) (bnסדרה מתכנסת המקיימת limn→∞ bn ≠ 0אז כמעט לכל .bn ≠ 0 ,n למה : 2.26אם n=1 הוכחה :נסמן . limn→∞ bn = Lעל פי ההנחה .L ≠ 0 ,יהי .ε = |L| > 0לפי הגדרת הגבול ,קיים Nכך שלכל n > Nמתקיים.|bn − L| < |L| : בפרט ,לכל n > Nמתקיים ( bn ≠ 0כי אם bn = 0אז | .) |bn − L| = |Lלפיכך bn ≠ 0 ,כמעט לכל .n ∞) (a nשלוש סדרות ,עבורן מתקיימים התנאים הבאים: ∞ ∞ משפט ( 2.32משפט הסנדוויץ') :תהיינה n=1 , (bn )n=1 , (cn )n=1 א .לכל ,nאו כמעט לכל .a n ≤ bn ≤ cn ,n ∞) (a nמתכנסות. ∞ ב .הסדרות החיצוניות n=1 , (cn )n=1 ג .גבולותיהן שווים.limn→∞ a n = limn→∞ cn : אז גם הסדרה האמצעית bnמתכנסת ומתקיים.limn→∞ a n = limn→∞ bn = limn→∞ cn : הוכחה :מספיק להוכיח לכל .nנסמן , limn→∞ a n = limn→∞ cn = L :ונוכיח כי .limn→∞ bn = L יהי ,𝜀 > 0קיים 𝑁1כך שלכל L − ε < a n < L + ε :n > N1וקיים 𝑁2כך שלכל .L − ε < cn < L + ε :n > N2 יהי } .N = max{N1 , N2לכל n > Nמתקיים L − ε < a n ≤ bn ≤ cn < L + ε :ולכן .L − ε < bn < L + ε n משפט :2.34לכל limn→∞ √a = 1 ,𝑎 > 0 n n n הוכחה :נניח ש ,𝑎 ≥ 1 -נסמן .a n = √a − 1ע"פ אי -שוויון ברנולי. a = ( √a)n = ( √a − 1 + 1)n = (a n + 1)n ≥ 1 + na n > na n , a לכן < , 0 ≤ a nוע"פ משפט ה סנדוויץ'.limn→∞ a n = 0 , n n לכן limn→∞ √a = limn→∞ (1 + a n ) = 1 + limn→∞ a n = 1 ,כנדרש. n 1 1 1 n 1 1 = .limn→∞ √a 1 עבור .0 < 𝑎 < 1מכיוון ש .limn→∞ n = lim √ = 1 : > 1 -ועל פי אריתמטיקה של גבולות= = 1 : lim n→∞ n 1 √a ∞→n a 𝑎 √a 1 1 . → → a nאז 0 משפט ( 2.43ה) – כלל " " :אם ∞ ∞→an n ∞→n ∞ 1 → ,a nקיים Nטבעי כך שלכל n > Nמתקיים.a n > : הוכחה :לכל ,𝜀 > 0היות ש∞ - ε ∞→n 1 1 1 ∞→.limn < , 0ובוודאי .| | < εלכן ,לפי הגדרת הגבול= 0 : לפיכך ,לכל n > Nמתקיים < ε an an an an+1 | אז .limn→∞ a n = 0 ∞) (a nסדרה ,השונה מ ,0-ויהי 0 < r < 1מספר ממשי .אם מתקיים כמעט לכל | ≤ r ,n טענה : 2.47תהי n=1 an הוכחה :נטפל ראשית במקרה שבו אי -השוויון מתקיים לכל . nנרשום אותו בצורה הבאה . |a n+1 | ≤ r|a n | :מתקיים|a2 | ≤ r|a1 | : | |a 3 | ≤ r|a 2 | ≤ r 2 |a1 | |a 4 | ≤ r|a 3 | ≤ r 2 |a 2 | ≤ r 3 |a1 |a1 | n |a1 | n ≤ | .0 ≤ |a n r = .|a n | ≤ |a1 |r n−1לכן, r ובאינדוקציה קל להוכיח: r r מכיוון ש ( limn→∞ r n = 0 -ע"פ שאלה 20ביחידה ,) 2ע"פ משפט הסנדוויץ' limn→∞ |a n | = 0 :וכן.limn→∞ a n = 0 , an+1 | מתקיים כמעט לכל ,nאז לפי משפט 2.29מתקיים גם לכל .n במקרה הכללי ,אם | ≤ r an טענה :3.10תהיינה 𝐵 𝐴,קבוצות חסומות מלעיל ולא ריקות של מספרים ממשיים .אז.sup(𝐴 + 𝐵) = sup𝐴 + sup𝐵 : הוכחה :נסמן.sA = supA, sB = supB : מכיוון ש sA-ו sB-חסמים מלעיל מההגדרה ,לכל a ∈ Aו b ∈ B-מתקיים a ≤ sA :ו .b ≤ sB -ולכן. a + b ≤ sA + sB : מכאן sA + sB ,הוא חסם מלעיל של הקבוצה 𝐵 .𝐴 +נשתמש בטענה 3.9כדי להראות ש sA + sB-הוא החסם העליון של קבוצה זו. יהי אפוא .𝜀 > 0נוכיח שקיים בקבוצה 𝐵 𝐴 +איבר גדול מ. sA + sB − ε - ε ε לשם כך ,נבחר a ∈ Aהמקיים a > sA −ו b ∈ B-המקיים . b > sB −נחבר.a + b > sA + sB − ε : 2 2 בכך הראנו שהתנאים באפיון החסם העליון מתקיימים ולכן.sup(𝐴 + 𝐵) = sA + sB = sup𝐴 + sup𝐵 : משפט :3.16כל סדרה מונוטונית וחסומה היא מתכנסת .אם ) (a nעולה וחסומה אז }.limn→∞ a n = sup{a n |n ∈ ℕ אם ) (a nיורדת וחסומה אז }limn→∞ a n = inf{a n |n ∈ ℕ הוכחה :תהי ) (a nסדרה עולה וחסומה .הקבוצה } {a n |n ∈ ℕאינה ריקה (למשל a1איבר של הקבוצה) וחסומה מלעיל ,ל כן יש לה חסם עליון. נסמן , L = sup{a n |n ∈ ℕ} :ונוכיח כי .limn→∞ a n = L יהי ,𝜀 > 0ע"פ הגדרת החסם העליון 𝐿 − 𝜀 ,אינו חסם מלעיל של } , {a n |n ∈ ℕולכן קיים N ∈ ℕכך ש .a N > L − ε - מכיוון שהסדרה עולה ,לכל n > Nמתקיים ,a n > a Nולכן .a n > L − ε כמו כן ,מהגדרת 𝐿 נובע. a n ≤ L : קיבלנו שלכל n > Nמתקיים , L ≥ a n > L − εובוודאי.L + ε > a n > L − ε : ובזאת הוכחנו כי , limn→∞ a n = Lובפרט הסדרה ) (a nמתכנסת. משפט :3.17סדרה עולה ולא חסומה שואפת לאינסוף; סדרה יורת ולא חסומה שואפת למינוס אינסוף. הוכחה :תהי ) (a nסדרה עולה ולא חסומה .נוכיח ע"פ ההגדרה ש .limn→∞ a n = ∞ - לכל ,Lהוא לא חסם מלעיל של } ,{a n |n ∈ ℕכי אם כן ,היה מתקיים לכל nטבעי a1 ≤ a n ≤ Lוהסדרה הייתה חסומה. לפיכך ,קיים Nהמקיים .a N > Lלכל n > Nטבעי ,מתקיים , a n ≥ a N > Lכנדרש בהגדרה של שאיפת סדרה לאינסוף. ∞) (Inסדרה של קטעים סגורים , In = [a n , bn ] ,המקיימים את התנאים הבאים: משפט ( 3.22הלמה של קנטור) :תהי n=1 .1כל קטע מכיל את הקטע הבא אחריו𝐼1 ⊇ 𝐼2 ⊇ 𝐼3 ⊇ ⋯ : .2אורך הקטע Inשואף לאפסlimn→∞ (bn − a n ) = 0 : אז קיימת נקודה אחת ויחידה .x = limn→∞ a n = limn→∞ bn הוכחה :לכל nטבעי מתקיים ] . [a n , bn ] ⊇ [a n+1 , bn+1בפרט ,הנקודות a n+1 , bn+1שייכות ל , [a n , bn ] -לכן . a n ≤ a n+1 ≤ bn+1 ≤ bn ∞) (bnיורדת. ∞ ו מכאן (a n )n=1עולה ,ו n=1 - כל הקטעים Inמוכלים ב , [a1 , b1 ] -לכן הסדרות חסומות וממשפט , 3.16הסדרות מתכנסות. מהנתון ,limn→∞ bn − limn→∞ a n = limn→∞ (bn − a n ) = 0 :כלומר ,limn→∞ a n = limn→∞ bnנסמן ערך זה ב .x- לפי משפט 3.16מתקיים } . x = sup{a n |n ∈ ℕ} = inf{bn |n ∈ ℕלכן ,לכל nטבעי .a n ≤ x ≤ bn ,כלומר x ,שייך לכל הקטעים . In נניח ש y ∈ In -לכל ,nהרי a n ≤ y ≤ bnולכן ממשפט הסנדוויץ' נובע ש y = limn→∞ y = limn→∞ a n = x -כנדרש. משפט ( 3.27אפיון גבולות חלקיים) L :הוא גבול חלקי של הסדרה ) (a nאם"ם לכל 𝜀 > 0יש אינסוף ערכי nעבורם מתקיים.|a n − 𝐿| < ε : ∞) (a nkתת -סדרה המתכנסת ל . L- הוכחה :כיוון ראשון :נניח כי Lהוא גבול חלקי של ) (a nותהי k=1 לכל 𝜀 > 0קיים מספר טבעי 𝐾 ,כך שלכל 𝐾 > 𝑘 מתקיים . |a nk − 𝐿| < εלכן הקבוצה } … {nK+1 , nK+2 , nK+3 ,היא קבוצה אינסופית של ערכי n המקיימים את התנאי |a n − 𝐿| < εכנדרש. כיוון שני :נניח שמתקיים התנאי שבמשפט ,ונבנה תת -סדרה המתכנסת ל. L- עבור ,ε = 1קיימים אינסוף ערכי nעבורם ,|a n − 𝐿| < 1יהי n1אחד הערכים האלה. 1 1 1 עבור = ,εקיימים אינסוף ערכי nעבורם < |𝐿 , |a n −ולכן קיים n2 > n1המקיים...|a n2 − 𝐿| < : 2 2 2 1 1 < |𝐿 |a nk −וגם . nk > nk−1 = εנבחר nkהמקיים: באופן דומה עבור k 𝑘 1 1 → .a nk הגדרנו סדרת אינדקסים ) (nkהמגדירה תת -סדרה ) ,(a nkכך שלכל 𝑘 מתקיים ,𝐿 − < a nk < L +וע"פ משפט הסנדוויץ'𝐿 : ∞→𝑘 𝑘 𝑘 לכן 𝐿 הוא גבול חלקי של הסדרה ) .(a n משפט ( 3.32בולצאנו -ויירשטראס) :לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. ∞) (xnסדרה חסומה .קיימים מספרים ממשיים a < bכך שכל איברי הסדרה נמצאים בקטע ].[a, b הוכחה :תהי n=1 ∞)] (In = [a n , bnבאופן הבא: נבנה סדרת קטעים יורדת n=1 . 1הקטע הראשון הוא ].I1 = [a1 , b1 ] = [a, b an +bn = mnונקבל את הקטעים ] ,[a n , mn ], [mn , bnלפחות אחד . 2אם הוגדר הקטע , Inנחלק אותו לשני קטעים שווים ע"י נקודת האמצע 2 מהם מכיל אינסוף איברי ) , (xnנבחר קטע כזה ונסמן אותו ב .In+1 = [a n+1 , bn+1 ] - ∞)] (In = [a n , bnשהגדרנו מקיימת את התנאים הבאים: סדרת ה קטעים n=1 . 1כל קטע מכיל את הקטע שבא אחריו. b−a ולכן שואף לאפס. . 2האורך של כל קטע הוא חצי מהאורך של הקטע הקו דם לו .בפרט ,אורך הקטע Inהוא 2n−1 ∞) . (xn . 3בכל אחד מהקטעים יש אינסוף מאיברי הסדרה n=1 לכן ,על פי הלמה של קנטור קיימת נקודה אחת משותפת לכל הקטעים כך ש .limn→∞ a n = limn→∞ bn = L - כ עת נבנה תת-סדרה ) (xnkשל ) (xnהמתכנסת ל . L-נגדיר את סדרת האינדקסים nkבאופן רקורסיבי: א.n1 = 1 . ב .אם כבר הוגדר , nk−1נבחר את nkכך ש ,xnk ∈ Ik -ו . nk > nk−1 -בחירה זו אפשרית כיוון שיש אינסוף אינדקסים nהמקיימים .xn ∈ Ik באופן זה התקבלה תת -סדרה ) (xnkהמקיימת ,a k ≤ xnk ≤ bkלכן על פי משפט הסנדוויץ' limk→∞ xnk = Lכלומר יש ל (xn )-תת-סדרה מתכנסת. ∞) (a nהיא סדרה מתכנסת אם"ם יש לה גבול חלקי יחיד. משפט : 3.3 4סדרה חסומה n=1 הוכחה :כיוון ראשון :ע"פ משפט , 3.25לסדרה מתכנסת יש גבול חלקי יחיד ,השווה לגבול הסדרה. כיוון שני :נניח שיש ל (a n )-גבול חלקי יחיד ,Lנניח ב שלילה שלכל 𝜀 > 0קיימת קבוצה אינסופית של ערכי nעבורם , |a n − L| ≥ ε :כלומר, a n ≥ L + εאו , a n ≤ L − εנוכיח עבור .a n ≥ L + ε .(a nk ∞) ∞ אז יש תת -סדרה ( (a nk )k=1שגם היא חסומה) שכל איבריה מקיימים , a nk ≥ L + ε :ל פי בולצאנו -ויירשטראס ,יש לה תת -סדרה מתכנסתl=1 , l מכיוון שגם איברי הסדרה מקיימים , a nk ≥ L + εמתקיים גם , liml→∞ a nk ≥ L + ε :בסתירה לכך ש L-הוא הגבול החלקי היחיד של ) .(a n l l ∞) (a nמתכנסת אם"ם היא סדרת קושי. משפט ( 3.36קריטריון קושי להתכנסות סדרה) :סדרה n=1 הוכחה :כיוון ראשון :תהי ) (a nסדרה מתכנסת ,נסמן .limn→∞ a n = L ε ε לכל 𝜀 > 0קיים N ,כך שלכל m, n > Nמתקיים.|a n − L| < ,|a m − L| < : 2 2 ε ε ל פי אי -שוויון המשולש .|a n − a m | = |(a n − L) − (L − a m )| ≤ |a n − L| + |a m − L| < + = ε :לפיכך ,תנאי קושי מתקיים. 2 2 כיוון שני :תהי ) (a nסדרת קושי ,עבור ε = 1קיים Nכך שלכל m, n > Nמתקיים .|a n − a m | < 1 בפרט ,לכל m > Nמתקיים ,|a m − a N+1 | < 1לכן. |a m | = |(a m − a N+1 ) + a N+1 | ≤ |a m − a N+1 | + |a N+1 | < 1 + |a N+1 | : לכן ,לכל mמתקיים |a m | < 1 + max{|a1 |, |a 2 |, … , |a N |, |a N+1 |} :והסדרה חסומה. יהי ,𝜀 > 0מכיוון ש (a n ) -חסומה ,ע"פ בולצאנו -ויירשטראס ( )3.32יש לה גבול חלקי אחד לפחות ,ויהי Lגבול חלקי של ) ,(a n ε ε לכן ע"פ משפט 3.27קיים n0 > Nהמקיים < |( |a n0 − Lיש אינסוף ערכי nעבורם < |.)|a n − L 2 2 ε ε < | |a m − a nובפרט לכל m > Nמתקיים( |a m − a n0 | < :כי .)n0 > N מכיוון ש (a n )-סדרת קושי ,קיים Nכך שלכל m, n > Nמתקיים 2 2 ולכן ע"פ אי -שוויון המשולש: ε ε |a m − L| = |(a m − a n0 ) + (a n0 − L)| ≤ |a m − a n0 | + |a n0 − L| < + = ε 2 2 בכך הוכחנו ש a n → L -כלומר ,סדרה מתכנסת. ∞→n → , xkאז גם Lהוא גבול חלקי של ) .(a n למה ( 3.37גבול סדרת גבולות חלקיים) :תהי ) ,(a nאם סדרת ה גבולות חלקיים שלה L ∞→k ε ε < | ,|a n − x𝑘0 הוכחה :נסמן .limk→∞ xk = Lיהי 𝜀 > 0ויהי 𝑘0המקיים < | .|x𝑘0 − Lהיות ש x𝑘0 -גבול חלקי של ) ,(a nיש ∞ערכי nהמק יי מים 2 2 ε ε ל כל nכזה מתקיים |a n − L| ≤ |a n − x𝑘0 | + |x𝑘0 − L| < + = ε :ו לפי משפט L 3.27הוא גבול חלקי של ) .(a n 2 2 משפט :4.30הגדרת הגבול ע"פ היינה שקולה להגדרת הגבול בלשון 𝛿 .𝜀 − → ) f(xע"פ הגדרת הגבול בלשון 𝛿 .𝜀 − הוכחה :כיוון ראשון :תהי fהמוגדרת בסביבה נקובה של ,x0נניח ש L - x→x0 יהי ,𝜀 > 0קיים δ > 0כך שלכל ) 𝑥 ∈ 𝑁𝛿∗ (x0מתקיים ).f(x) ∈ Nε (L ∈ .xn ) 𝑁𝛿∗ (x0 תהי ) (xnסדרה המקיימת xn → x0וגם xn ≠ x0לכל ,nקיים Nכך שלכל n > Nמתקיים ∞→n → ) f(xלפי היינה. → ) f(xnלכל סדרה ) (xnהעונה על התנאים ולכן L לפיכך ,לכל n > Nמתקיים ) ,f(xn ) ∈ Nε (Lלכן L x→x0 ∞→n → ) f(xע"פ הגדרת היינה. כיוון שני :נניח שL - X→x0 נניח בשלילה שקיים ,𝜀0 > 0כך שלכל 𝛿 > 0קיים xהמקיים ) x ∈ 𝑁𝛿∗ (x0וגם ). f(x) ∉ Nε0 (L 1 = 𝛿 נבחר xnמתאים ,המקיים ) xn ∈ 𝑁1∗ (x0וגם ).f(xn ) ∉ Nε0 (L ∞) . (xnלכל nולכל באופן זה ,נבנה סדרה n=1 𝑛 𝑛 1 1 → ) f(xnזאת → , xnלפי היינה כל תת -סדרה מקיימת L מכיוון ש , xn ∈ 𝑁1∗ (x0 ) -מתקיים , x0 − < xn < x0 + :ועל פי משפט הסנדוויץ x0 ∞→n ∞→n n n 𝑛 → ) f(xגם על פי ההגדרה בלשון 𝛿 .𝜀 − בסתירה לכך ש f(xn ) ∉ Nε0 (L) -לכל .nלכן L X→x0 משפט ( 4.39גבול של פונקציית הרכבה :)1תהיינה ) f(xו g(t) -פונקציות המקיימות את התנאים הבאים: א .קיים הגבול limx→x0 f(x) = L ב .מתקיים lim𝑡→𝑡0 𝑔(𝑥) = x0 ג .יש סביבה נקובה של t 0אשר מתקיים בה g(t) ≠ x0 אז מתקיים .lim𝑡→𝑡0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L הוכחה :לפי א' קיים 𝛿1 > 0כך ש f-מוגדרת בסביבה הנקובה ) .𝑁𝛿∗1 (x0 לפי ב' קיים 𝛿2 > 0כך שלכל ) 𝑡 ∈ 𝑁𝛿∗2 (t 0מתקיים ) .g(t) ∈ 𝑁𝛿1 (x0 לפ י ג' ,קיים 𝛿3 > 0כך שלכל ) 𝑡 ∈ 𝑁𝛿∗3 (t 0מתקיים .g(t) ≠ x0 יהי } ,δ4 = min{𝛿2 , 𝛿3ולכל ) 𝑡 ∈ 𝑁𝛿∗4 (t 0מתקיים ) g(t) ∈ 𝑁𝛿1 (x0וגם ,g(t) ≠ x0כלומר ) .g(t) ∈ 𝑁𝛿1 (x0 ∗ לפיכך f ∘ g ,מוגדרת בסביבה הנקובה ) .𝑁𝛿∗4 (t 0 תהי ) (t nלפי היינה כך ש t n → t 0 -וגם t n ≠ t 0לכל .n ∞→n קיים Nכך שלכל 𝑛 > Nמתקיים ) t n ∈ 𝑁𝛿∗4 (t 0וגם .g(t n ) ≠ x0 לכן limn→∞ g(t n ) = x0ולכן ,limn→∞ f(g(t n )) = Lו לכן לפי היינה .lim𝑡→𝑡0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L משפט ( 5.14גבול של פונקציית הרכבה :)2תהיינה ) f(xו g(t) -פונקציות שעבורן מתקיים: א f .רציפה בנקודה .x0 ב .קיים הגבול .lim𝑡→𝑡0 𝑔(𝑥) = x0 בתנאים אלו מתקיים ). lim𝑡→𝑡0 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡) = f(x0 ) = limx→x0 f(x הוכחה :לפי א' ,קיים 𝛿1 > 0כך ש 𝑓 -מוגדרת ב.𝑁𝛿1 (x0 ) - לפי ב' ,קיים 𝛿2 > 0כך שלכל ) 𝑡 ∈ 𝑁𝛿∗2 (t 0מתקיים ) .g(t) ∈ 𝑁𝛿1 (x0 לפיכך ,לכל ) 𝑡 ∈ 𝑁𝛿∗2 (t 0מוגדר )).f(g(t תהי ) (t nלפי היינה כך ש t n → t 0 -וגם t n ≠ t 0לכל .n ∞→n קיים Nכך שלכל 𝑛 > Nמתקיים ) t n ∈ 𝑁𝛿∗2 (t 0וגם .g(t n ) ≠ x0 לכן limn→∞ g(t n ) = x0ולכן ,limn→∞ f(g(t n )) = Lו לכן לפי היינה .lim𝑡→𝑡0 𝑓(𝑔(𝑡)) = L משפט :5.15אם 𝑔 רציפה ב t 0 -ואם fרציפה ב ,x0-כאשר ) ,x0 = g(t 0אז 𝑔 ∘ 𝑓 רציפה ב.t 0 - הוכחה :היות ש 𝑔 -רציפה ב . lim𝑡→𝑡0 𝑔(𝑡) = 𝑔(𝑡0 ) = x0 ,t 0 -תנאי משפט 5.14מתקיימים ולכן ) .lim𝑡→𝑡0 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡) = f(x0 כלומר .lim𝑡→𝑡0 (𝑓 ∘ 𝑔)(t) = f(g(𝑡0 )) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡0 ) ,לכן 𝑓 ∘ 𝑔 ,רציפה ב. t 0 - משפט ( 5.29משפט ערך הביניים) :אם fרציפה בקטע ] [a, bואם , f(a) ⋅ f(b) < 0אז קיימת בקטע הפתוח ) (a, bנקודה cכך ש . f(c) = 0 - הוכחה :נניח ) ,f(a) > 0 > f(bיהי הקטע ] , [a, bנראה כי קיימת נקודה ) c ∈ (a, bכך ש .f(c) = 0 - ∞)] (In = [a n , bnבאופן הבא: נבנה סדרת קטעים יורדת n=1 . 1הקטע הראשון הוא ].I1 = [a1 , b1 ] = [a, b an +bn = mnנקודת האמצע שלו. . 2אם הוגדר הקטע ,Inתהי 2 .aאם , f(mn ) = 0מצאנו את הנקודה כנדרש ובזאת הסתיימה ההוכחה. .bאם , f(mn ) > 0אז ) f(mn ) > 0 > f(bnונגדיר a n+1 = mnכך ש .In+1 = [a n+1 , bn+1 ] = [mn , bn+1 ] - .cאם , f(mn ) < 0אז ) f(a n ) > 0 > f(mnונגדיר bn+1 = mnכך ש .In+1 = [a n+1 , bn+1 ] = [a n+1 , mn ] - ∞)] (In = [a n , bnה מקיימת את התנאים הבאים: נניח שעדיין לא מצאנו נקודה cמתאימה ,קיבלנו סדרת קטעים n=1 . 1כל קטע מכיל את הקטע שבא אחריו. b−a ולכן שואף לאפס. האורך של כל קטע הוא חצי מהאורך של הקטע הקדם לו .בפרט ,אורך הקטע Inהוא .2 2n−1 . 3לכל nמתקיים ) . f(a n ) > 0 > f(bn לכן ,על פי הלמה של קנטור ,קיימת נקודה cהמשותפת לכל הקטעים (ובפרט ] )c ∈ I1 = [a, bכך ש .c = limn→∞ a n = limn→∞ bn - מכיוון ש f-רציפה ב ,[a, b] -ע"פ טענה : 5.27 ) , f(c) = limn→∞ f(a nומכיוון ש f(a n ) > 0 -לכל .f(c) ≥ 0 ,n כמו כן , f(c) = limn→∞ f(bn ) ,ומכיוון ש f(bn ) ≤ 0 -לכל .f(c) ≤ 0 ,n לפיכך ,מצאנו נקודה ] c ∈ [a, bכך ש .f(c) = 0 -ומכיוון ש f(a) > 0 > f(b) -מתקיים ) c ∈ (a, bכנדרש. משפט :5.30לכל פולינום Pשמעלתו אי -זוגית ,יש לפחות שורש ממשי אחד. )P(x הוא 1ושורשיו מתלכדים עם שורשי , Pלכן מספיק שנוכיח עבור .bn = 1 הוכחה :אם Pפולינום שמקדמו העליון ,a n ≠ 1אז מקדמו העליון של an bn−1 bn−2 b1 b0 P(x) = x n ⋅ (1 + + + ⋯+ + יהי ,P(x) = x n + ⋯ + b1 x + b0לכל x ≠ 0מתקיים) : x x2 xn−1 xn n bn−1 bn−2 b1 b0 g(x) = 1 +כך ש .P(x) = x ⋅ g(x) - + +⋯+ + נסמן: x x2 xn−1 xn 1 1 לפי limx→∞ = limx→−∞ = 0ואריתמטיקה של גבולות , limx→∞ g(x) = limx→−∞ g(x) = 1 ,לכן קיים Mכך שלכל |x| > Mמתקיים .g(x) > 0 x x ) ,P(x) = x n ⋅ g(xולכן מכיוון ש n -אי -זוגי ,לכל |x| > Mהסימן של ) P(xנקבע ע"י הסימן של .x לפיכך ,קיים a < 0המקיים |a| > Mכך ש . P(a) = an ⋅ g(a) < 0 - בנוסף ,קיים b < 0המקיים |b| > Mכך ש .P(b) = bn ⋅ g(b) > 0 - ) P(xהרציף ב ,ℝ -לכן רציף גם ב , [a, b] -והראנו כי , P(a) ⋅ P(b) < 0לכן לפי משפט ,5.29קיים ) c ∈ (a, bכך ש ,P(c) = 0 -כלומר שורש ממשי . משפט ( 5.35המשפט הראשון של ויירשטראס) :פונקציה ממשית ,שהיא רציפה בקטע סגור ,חסומה בו. הוכחה :תהי fרציפה ב [a, b] -ונניח בשלילה שאינה חסומה ב .[a, b] - כלומר לכל Mקיים ] x ∈ [a, bכך ש |f(x)| > M -ו בפרט: עבור M = 1קיים ] x1 ∈ [a, bכך ש .|f(x1 )| ≥ 1 - עבור M = 2קיים ] x2 ∈ [a, bכך ש ...|f(x2 )| ≥ 2 - ועבור M = nקיים ] xn ∈ [a, bכך ש.|f(xn )| ≥ n - באופן זה קיבלנו סדרה כך ש limn→∞ |f(xn )| = ∞ -לפי קריטריון השאיפה לאין -סוף . ∞) ,(xnkנסמן .limk→∞ xnk = c : ∞ ∞ לכל xמתקיים , a ≤ x n ≤ bלכן (x n )n=1חסומה ועל פי משפט , 3.32יש לסדרה (x n )n=1תת סדרה מתכנסת k=1 לפי טענה limk→∞ f(xnk ) = f(c) 5.27ובהסתמך על רציפות הערך המוחלט ,limk→∞ |f(xnk )| = |f(c)| :קיבלנו סתירה ולכן fחסומה בקטע. משפט ( 5.37המשפט השני של ויירשטראס) :פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. הוכחה :תהי fפונקציה רציפה ב ,[a, b] -לפי f ,5.35חסומה ב [a, b] -ו יהי )].M = supf([a, b יהי ,𝜀 > 0לפי 3.9קיים ] x ∈ [a, bכך ש .f(x) > M − ε - 1 1 = 𝜀 יש נקודה ] xn ∈ [a, bכך ש , f(xn ) > M − -ובוודאי ש .f(xn ) ≤ M - לכן ,לכל nולכל n n ()1 ולכן ממשפט הסנדוויץ' מתקבל . limn→∞ f(xn ) = M ∞ ∞) (xnהיא חסומה ,ועל פי משפט 3.32יש לה תת -סדרה מתכנסת ,(xnk )k=1נסמן .limk→∞ xnk = x0 סדרת הנקודות n=1 לכל kמתקיים ,a ≤ xnk ≤ bלכן ] x0 ∈ [a, bו מ ) 1(-נובע . limk→∞ f(xnk ) = M מכיוון ש f -רציפה ב ,[a, b] -מתקיים , f(x0 ) = limk→∞ f(xnk ) = Mכלומר x0היא נקודת מקסימום של fב . [a, b] - משפט :5.39אם fמונוטונית וחסומה ב , (a, b) -אז קיימים הגבולות החד-צדדיים ) limx→a+ f(xו ( .limx→b− f(x) -אנלוגית למשפט 3.16על סדרות ) הוכחה :תהי fעולה וחסומה ב ,(a, b) -יש ל f((a, b)) -חסם עליון ,נסמן.M = supf((a, b)) : יהי ,𝜀 > 0לפי 3.9קיים ) x0 ∈ (a, bכך ש .f(x0 ) > M − ε - יהי ,δ = b − x0אם b − δ < x < bאז .x > b − δ = x0 לכן M ≥ f(x) > f(x0 ) > M − εובוודאי ,M − ε < f(x) < M + εכלומר limx→b f(x) = Mכנדרש. − משפט ( 5.48משפט קנטור) :פונקציה ממשית ,שהיא רציפה בקטע סגור ,רציפה בו במידה שווה. ()1 1 1 = 𝛿 < | 𝑛𝑡 |𝑠𝑛 − = 𝛿 ( nטבעי) ,ישנם ]𝑏 𝑠𝑛 , 𝑡𝑛 ∈ [𝑎,המקיימים הוכחה :נניח בשלילה שקיים 𝜀0 > 0כך שלכל > 0 𝑛 𝑛 ()2 וגם 𝜀 ≥ |) 𝑛𝑡(𝑓 . |𝑓(𝑠𝑛 ) − ∞) . (snk k=1 ∞) (snחסומה ,ולכן יש לה תת-סדרה מתכנסת הסדרה n=1 ()3 1 1 1 . 𝑠nk −וממשפט הסנדויץ' limk→∞ snk = limk→∞ t nk = x0 < 𝑡nk < 𝑠nk + < | |𝑠nk − 𝑡nkולכן נסמן ,limk→∞ snk = x0לכל kמתקיים nk nk nk מרציפות fומ ) 3(-נובע כי f(x0 ) = limk→∞ f(t nk ) = limk→∞ f(snk ) :ולכן, limk→∞ (f(snk ) − f(t nk )) = 0 : אבל מ ) 2(-נובע כי ,|𝑓(𝑠𝑛𝑘 ) − 𝑓(𝑡𝑛𝑘 )| ≥ 𝜀0 :קיבלנו סתירה ,לכן fרציפה במידה שווה בקטע ].[a, b 𝑥 1 טענה lim𝑥→∞ (1 + ) = 𝑒 :6.16 𝑥 1 ⌋𝑥⌊ 𝑥 1 1 ⌊𝑥⌋+1 ).(1 + ⌊𝑥⌋+1 )⌋𝑥⌊ ≤ (1 + ) ≤ (1 + הוכחה :לכל x ≥ 1אי השיוויון ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌊x⌋ + 1גורר 𝑥 1 n+1 1 n )(1+n+1 .limn→∞ (1 + ∞→) = limn 1 נחשב את הגבול= e : n+1 (1+ ) n+1 1 n .|(1 + לכן לכל 𝜀 > 0קיים 𝑁 טבעי כך שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים ) − e| < ε n+1 1 ⌋𝑥⌊ 1 ⌋𝑥⌊ ).limx→∞ (1 + ⌊𝑥⌋+1 ) ,|(1 + ⌊𝑥⌋+1כלומר = e לכל 𝑥 המקיים ⌊x⌋ ,𝑥 > 𝑁 + 1הוא מספר טבעי המקיים ⌊x⌋ > Nולכן 𝜀 < |𝑒 − 1 ⌊𝑥⌋+1 1 n+1 1 n 1 )⌋𝑥⌊ . limx→∞ (1 + ) , limn→∞ (1 +באופן דומה= e , כמו כן= limn→∞ ((1 + ) ⋅ (1 + )) = e ⋅ 1 = e : n n n 𝑥 1 לכן לפי כלל הסנדוויץ' lim𝑥→∞ (1 + ) = 𝑒 ,כנדרש. 𝑥 משפט :7.9אם fגזירה ב ,x0-אז fרציפה ב .x0- ) f(x)−f(x0 .limx→x0 הוכחה :אם fגזירה ב ,x0-אז ) = f′(x0 x−x0 ) f(x)−f(x0 = ) .f(x) − f(x0 לכל x ≠ x0עבורו ) f(xמוגדר ,מתקיים ) ⋅ (x − x0 x−x0 ) f(x)−f(x0 .limx→x0 (f(x) − f(x0 )) = lim לכן מאריתמטיקה של גבולות⋅ lim (x − x0 ) = f ′ (x0 ) ⋅ 0 = 0 : x→x0 x−x0 x→x0 לכן ) ,limx→x0 f(x) = f(x0כלומר f ,רציפה ב .x0- משפט ( 8.4משפט פרמה) :תהי fפונקציה המוגדרת בקטע Iותהי .x0 ∈ Iאם x0היא נקודת קיצון של ,fואם fגזירה ב ,x0-אז . f ′ (x0 ) = 0 הוכחה :תהי fותהי x0מקסימום מקומי ,קיימת סביבה ) Nδ (x0של x0כך שלכל xבה מתקיים ) .f(x0 ) ≥ f(xמגזירות fב x0-הנגזרות החד -צדדיות: ) f(x0 + h) − f(x0 f−′ (x0 ) = lim− h→0 h ) f(x0 + h) − f(x0 f+′ (x0 ) = lim+ h→0 h נתבונן בביטוי ) ,f(x0 + h) − f(x0לכל hשעבורו , |h| < δמתקיים ) ,x0 + h ∈ Nδ (x0ולכן ) , f(x0 + h) ≤ f(x0כלומר.f(x0 + h) − f(x0 ) ≤ 0 : ) f(x0 +h)−f(x0 ) f(x0 +h)−f(x0 . ,ואם h < 0אז ≤ 0 לפי סימנו של ,hאם ,h > 0אז ≥ 0 h h ) f(x0 +h)−f(x0 ,f+′ (x0 ) = limh→0+מכיוון ש . h > 0 - לפיכך≤ 0 , h ) f(x0 +h)−f(x0 ,f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = limh→0−מכיוון ש .h < 0 - ואילו ≥ 0 h ′ (x ′ (x fכנדרש . )0 0 ≤ fולכן = 0 )0 = ) f−′ (x0 = ) f+′ (x0 לפי משפט 7.12מתקיים≤ 0 : משפט ( 8.5משפט רול) :תהי fרציפה ב [a, b] -וגזירה ב .(a, b) -אם ) , f(a) = f(bאז קיימת ) c ∈ (a, bכך ש .f ′ (c) = 0 - הוכחה :ל פי משפט ,5.37יש ל f-מינימום ומקסימום בקטע .נסמן m = min f([a, b]) :ו .M = max f([a, b]) - עב ור :m = Mלכל ] ,x ∈ [a, bמתקיים ,m ≤ f(x) ≤ Mהרי ש ,f(x) = M -לכן fקבועה ב [a, b] -ומתקיים f ′ (c) = 0לכל ).c ∈ (a, b עבור :m ≠ Mתהי x1כך ש f(x1 ) = m -ותהי x2כך ש .f(x2 ) = M - בוודאי ש ,f(x1 ) ≠ f(x2 ) -ומשום ש , f(a) = f(b) -לפחות אחת מ x1 , x2 -אינה נקודת קצה אלא נקודה פנימית של ]. [a, b לכן קיימת ) , c ∈ (a, bשהיא נקודת מינימום או מקסימום של , fומגזירות fב (a, b) -ע"פ משפט , 8.4מתקיים .f ′ (c) = 0 )f(b)−f(a = ).f ′ (c משפט ( 8.6משפט הערך הממוצע /לגראנז') :אם fרציפה ב [a, b] -וגזירה ב ,(a, b) -אז קיימת קיימת ) ,c ∈ (a, bכך ש - b−a )f(b)−f(a = ).l′ (x הוכחה :תהי ) y = l(xמשוואת המיתר המחבר בין הנקודות )) ,(a, f(a)), (b, f(bשיפועו בכל נקודה xבקטע הוא b−a תהי ) g(x) = f(x) − l(xהמוגדרת בקטע ].[a, b gרציפה ב [a, b] -כ הפרש פונקציות רציפות בקטע. gגזירה ב (a, b) -כ הפרש פונקציות גזירות בקטע. הגרפים של ) l(xושל ) f(xנחתכים בנקודות )) (a, f(aו .(b, f(b)) - l(a) = f(a) ⇒ g(a) = f(a) − l(a) = 0 l(b) = f(b) ⇒ g(b) = f(b) − l(b) = 0 לכן gמקיימת את תנאי משפט 8.5ו קיימת נקודה ) c ∈ (a, bכך ש.g ′ (c) = 0 - )f(b)−f(a )f(b)−f(a = ) f ′ (cכנדרש. f ′ (c) −ולכן כלומר ,f ′ (c) − l′ (c) = 0לכן = 0 b−a b−a משפט ( 8.10משפט דארבו) :אם fגזירה ב [a, b] -אז נגזרתה f′מקבלת בקטע ] [a, bכל ערך שבין ) f′(aל .f′(b)- הוכחה :נניח כי ) f ′ (a) < f ′ (bויהי tהמקיים ).f ′ (a) < t < f ′ (b תהי H(x) = f(x) − t ⋅ xב H .[a, b] -גזירה ,ורציפה ב . [a, b] -לכן יש ל H -מינימום בקטע. לכל ] x ∈ [a, bמתקיים , H′(x) = f′(x) − tבפרט מתקיים H ′ (a) = f ′ (a) − t < 0וגם .H ′ (b) = f ′ (b) − t > 0 )H(a+h)−H(a )H(a+h)−H(a . ,limh→0+מ אחר ו הגבול הימני הוא שלילי ,קיימת סביבה ימנית של h = 0כך ש< 0 - בפרט מתקיים = H+′ (a) < 0 h h לכן ,עבור ערכי hחיוביים ו קטנים מספיק , H(a + h) − H(a) < 0כלומר .H(a + h) < H(a) :ולכן ) H(aאינו המינימום של Hב. [a, b]- )H(b+h)−H(b )H(b+h)−H(b . ,limh→0−לכן ,קיימת סביבה שמאלית של h = 0כך ש > 0 - באופן דומה= H−′ (b) > 0 , h h כלומר ,עבור ערכי hשליליים ,קטנים מספיק .H(b + h) < H(b) ,ו לכן גם ) H(bאינו המינימום של Hב .[a, b]- לכן המינימום של Hהוא בהכרח ב c ∈ (a, b) -ומתקיים .H ′ (c) = 0אולם ,H′(x) = f′(x) − tולכן .H ′ (c) = 0 ⇒ f ′ (c) = t משפט :8.12תהי fפונקציה גזירה בקטע ,Iנקודות האי -רציפות של הנגזרת , f′במידה ויש כאלו ,הן מהמין השני בלבד. הוכחה :תהי x0 ∈ Iנקודת אי -רציפות של .f′ אילו הייתה x0נקודת אי -רציפות סליקה או ממין ראשון ,היו קיימים הגבולות החד -צדדיים ) limx→x+0 f′(xו . limx→x−0 f′(x) - ולפי משפט ,8.11מקיום גבול ות אילו מתחייב ,ש f′-רציפה מימין ומשמאל ב x0 -ו לפיכך f′רציפה ב . x0 - זאת בסתירה לבחירת x0כנקודת אי -רציפות ,ו לכן x0היא נקודת אי-רציפות מהמין השני. 0 משפט ( 8.14לופיטל " " לגבול חד -צדדי) :תהיינה fו g -פונקציות גזירות בסביבה ימנית של , x0המקיימות .limx→x+0 f(x) = limx→x+0 g(x) = 0 0 )f(x )f′(x )f(x )f′(x .limx→x+0 = limx→x+0 ( limx→x+0או שהגבול אינסופי) ומתקיים: ( limx→x+0או שהגבול אינסופי) ,אז קיים גם הגבול אם קיים הגבול )g(x )g′(x )g(x )g′(x )f′(x )f′(x מוגדר ו f -ו g -מוגדרות וגזירות בה. ,limx→x+0קיימת סביבה ) (x0 , x0 + δכך ש ,g′(x) ≠ 0 - הוכחה :מקיום הגבול = L )g′(x )g′(x )f(x limx→x+0אינ ו תלוי בערכי fו g -ב ,x0 -לכן די להוכיח את המשפט בהנחה ש , )1( f(x0 ) = g(x0 ) = 0 - הגבול )g(x לכן בנוסף ל נתון ,limx→x+0 f(x) = limx→x+0 g(x) = 0ניתן להסיק ש f -ו g -רציפות ב .[x0 , x0 + δ) - יהי ) ,x ∈ (x0 , x0 + δהפונקציות fו g -רציפות ב ,[x0 , x] -גזירות ו g′(x) ≠ 0 -ב .(x0 , x) - )f(x ) f′(cx ) f(x)−f(x0 ) f′(cx . = ,מ )1( -הרי ש g(x) ≠ 0 -ומתקיים = לפיכך לפי משפט ,8.9מת קיי ם ) g(x) ≠ g(x0וקיימת ) cx ∈ (x0 , xכך ש - )g(x ) g′(cx ) g(x)−g(x0 ) g′(cx מאי -השוויון x0 > cx > xומכלל הסנדוויץ , limx→x+0 cx = x0 ,לכן לפי משפט 4.39לגבול חד -צדדי, )f′(x ) f′(cx )f(x .limx→x+0 = limx→x+0 = limx→x+0 נקבל = L )g′(x ) g′(cx )g(x
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-