TUTORIA N°2 ÁLGEBRA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS El material presentado a continuación incluye una serie de ejercicios relacionados con el eje temático de Álgebra, que han sido diseñados según las pautas dadas por DEMRE para la prueba de selección universitaria, PSU. Para el desarrollo de este material tenga presente: 1. La siguiente tabla contiene una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo AB trazo AB log logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío x valor absoluto de x ln logaritmo base e x! factorial de x ln unión de conjuntos intersección de conjuntos AC complemento del conjunto A u vector u 2. Las figuras que aparecen son sólo indicativas 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. (f o g)(x) = f(g(x)) 5. Los números complejos i y –i, son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0. 6. Si z es un número complejo, entonces z es un conjugado y z es su módulo. 2 7. En las preguntas de suficiencia de datos no se pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Considerando lo anterior, usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 3 1. 5 {a – 2[b – a]} + 4b = A) 15a – 3b B) 15a – 6b C) 5a – 6b D) a–b E) 10a + 3b 2. a(a + b) + b(a – b) = A) a2 + 2ab + b2 B) 2a2 + 2ab – b2 C) a2 + 2ab – b2 D) 2ab – b2 E) ab – b2 3. 6(x + y + z) – 3(x – y – z) = A) 3x + 9y + 9z B) 3x – 6y + 9z C) -3x + 9y + 6z D) 3x + 9y – 9z E) 3x – 9y – 9z 4. 3(x + y) – 4x + 5(x – y) + 6(y – x) = A) 2y – x B) y–x C) 2(2y + x) D) 2(2y – x) E) y – 2x 5. Si m = -3 y n = 6, entonces -[-m + n – (m – n)] = A) -18 B) -12 C) 0 D) 12 E) 18 4 6. ¿Qué valor toma la expresión m2 – m-2 + m, cuando m = -2? 1 A) 1 4 1 B) 1 + 4 3 C) 1 + 4 3 D) 1 4 3 E) 2 4 7. Si m = 0,1 y n = 0,01, entonces el valor de n + m : n – m es A) -1,200 B) -0,089 C) 0,010 D) 0,100 E) 9,910 8. Si a = 0,2; entonces a + a2 + a3 + a4 = A) 0,0692 B) 0,2496 C) 0,2640 D) 0,6096 E) 0,6816 a+8 9. Si a y b son dos números enteros de modo que = b , entonces el antecesor de 2 (-a) es A) -2b – 7 B) -2b – 9 C) 2b + 7 D) -2b + 7 E) -2b + 9 5 10. Si a y b son dos números reales mayores que 3, tal que a = b, ¿cuál de las siguientes igualdades es FALSA? a b A) =0 b B) a + b = 2a ab ba C) a b a+b b+a D) = a b E) ab = ab 1 1 11. Si a = y b= , entonces el valor de 5a + 2b es 3 37 A) 1,715 B) 1,716 C) 1,720 D) 1,719 E) 1,718 ab 12. Si a-1 = 3 y b-1 = 4, entonces = 1 1 + a b 7 A) 12 12 B) 7 1 C) 12 1 D) 84 25 E) 84 2 x 1 x 13. Si x , entonces es igual a 3 x 2 39 A) 8 B) 3 26 C) 27 16 D) 27 10 E) 27 6 14. Si 504 = a2bc3, con a, b, c números primos, entonces a + b – c = A) 6 B) -2 C) 8 D) 2 E) -6 15. Si x + y = 3 e x · y = -4, entonces x2 + y2 es igual a A) 17 B) 39 C) 63 D) -9 E) 3 16. Si a + b = 10 y ab = 16, entonces el valor de (a2 – ab + b2) es igual a A) 52 B) 48 C) 64 D) 84 E) 98 CB 17. Si V D , entonces la expresión para B es T TV D A) C V TD B) CT T(V + D) C) C TV + D D) C T(V D) E) C 7 4 18. Si q es un número real mayor que 1, entonces 5q + es igual a q 5q2 + 4 A) q 5q + 4 B) q C) 5q + 4 D) 9q E) 5 + 4q 19. Si ab = ba – 4, entonces (32)1 = A) -3 B) -2 C) -1 D) -4 E) Ninguna de las anteriores 20. En los números reales se define ab = 2a + ab – b. Si 5 m = m3, entonces ¿cuál es el valor de m? A) -7 B) 2 C) 7 D) 10 E) 13 21. Si se define a # b = a3 – 5b y a b = a2 – b2, entonces el valor de (3 # 2) (-2 0) es A) 273 B) -92 C) 40 D) 928 E) -88 8 22. Para r y s números racionales distintos de cero, con r s, se define la operación rs 1 1 r s s . El valor de es r s 2 3 s r 1 A) 6 2 B) 5 3 C) 5 3 D) 7 E) 1 1 a a-1 23. Si a = , entonces 1 = 5 a + a-1 25 A) 26 5 B) 6 12 C) 13 25 D) 13 E) 1 a2 a3 24. Si a = 0,1, entonces a4 A) -0,99 B) -0,90 C) -0,09 D) 0,09 E) 0,99 25. Si t = 2 – 1, entonces t2 + 2t + 2 es igual a A) 3 B) 2 C) 2 D) 2 –1 E) 2 +1 9 1 2 3 26. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe los términos de la secuencia , , , 2 5 10 4 5 , ,…. para los números enteros positivos n? 17 26 3n A) 2 n +1 n +1 B) n +3 n +1 C) n2 n D) n+1 n E) 2 n +1 27. Si a y b son números pares consecutivos, entonces 3a – b – 4b – a = A) 14 B) 4 C) 2 D) -1 E) -2 a b 28. Se puede afirmar que = -1 , si se sabe que: b a (1) a > b (2) a = b + 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 10 4 2 a b s 29. Si s = y t= , entonces = b a t A) -1 B) 1 8 a C) b 6 a D) b 2 a E) b 30. En el último campeonato de futbol el equipo de Las Panteras perdió a partidos, empató b partidos y ganó el resto. Si T es la cantidad total de partidos que jugó el equipo, entonces la cantidad de partidos que ganó el equipo de Las Panteras es A) T +a+b B) a +b–T C) T –a–b D) T –a+b E) T +a–b 31. Si al término -W se le agrega p se obtiene (q – p). ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a W? A) -q – 2p B) q – 2p C) -q D) 2p – q E) q 32. Si m y n son dos números reales no nulos, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre mayor(es) que m2 – 2mn? I) (m – n)2 II) m(m – 2n) III) m – 2n A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 11 33. (a – 0,2b)2 = A) a2 – 0,2b2 B) a2 – 0,04b2 C) a2 + 0,004b2 D) a2 + 0,4ab + 0,04b2 E) a2 – 0,4ab + 0,04b2 2 1 x 34. x 3 = 1 2 x2 A) – + x 3 9 1 2 x2 B) + x+ x2 3 9 1 2 x2 C) – + x 2 3 9 x2 3 1 D) – – 9 2 x2 3 9 E) x2 – + 2 x2 35. (4 – x)3 = A) 64 – 48x - 12x2 – x3 B) 64 – x3 C) 64 + 16x + 12x2 – x3 D) 64 – 48x + 12x2 – x3 E) 64 – 16x + 12x2 – x3 3 1 36. ab ab 3 1 A) a3b3 3ab ab a3b3 3 1 B) a3b3 3ab ab a3b3 3 1 C) a3b3 3a2b2 2 2 3 3 ab ab 1 D) a3b3 3 3 ab 1 E) a3b3 3ab 3 3 ab 12 37. (x + 3) (x – 4) = A) x2 – 12 B) x2 – 3x + 12 C) x2 – x + 12 D) x2 – x – 12 E) x2 + x + 12 38. (a + b) (b – a) = A) a2 – b 2 B) b2 + a 2 C) b 2 – a2 D) b2 + 2ab + a2 E) 2b – 2a 39. La factorización de 2x2 – 9x – 5 es A) (2x + 1)(x + 5) B) (2x + 1)(x – 5) C) (2x – 1)(x – 5) D) (x – 1)(2x – 5) E) (x + 1)(2x – 5) x3 1 40. Para x > 1, x2 x 1 A) x+1 B) x–1 C) x D) 1–x 1 E) x 1 a2 b2 41. Si a b, y ambos distintos de cero, entonces a b 2 ab A) ab ab B) ab ab C) ba 1 D) ab E) 1 13 3x2 4x 4 42. Con x 2 y x 3, entonces x2 x 6 x+3 A) x 2 3x + 2 B) x 3 x 2 C) x+3 x+2 D) x+3 3x + 2 E) x+3 x3 x2 6x 43. Si x > 0 y distinto de 3, entonces 2x3 5x2 3x x+2 A) 2x 1 x 2 B) x+1 2x 1 C) x+1 x+2 D) 2x + 1 x+2 E) 3x + 1 44. En los números reales, ¿cuál es el conjunto de todos los números x, para los cuales la x2 + 4x 12 expresión se indetermina? x2 + 4 A) {-2, 2} B) {-4} C) {-6, 2} D) E) {-6, -4, 2} 45. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a la expresión 6x2 + 15x – 9? A) 3x(2x + 5) – 9 B) 3(2x – 1)(x + 3) C) 3(2x2 – 3) + 5x D) -3(1 – 2x)(x + 3) E) 3(1 – 2x)(-x – 3) 14 46. Se podría factorizar como un cuadrado de binomio si se suma a Q = ax2 + axz – az2, con a > 0, la siguiente expresión A) 2axz + az2 B) axz + 2az2 C) axz – 2az2 D) ax2 + axz – az2 E) 2axz – az2 47. Si A = x3 – x2a + a3, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones se puede(n) factorizar como un cubo de binomio? I) A + 3xa2 – 2x2a – 2a3 II) A – 2a3 III) A – 2(xa2 + x2a + a3) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 1 1 1 48. Con a, b y c distintos de cero, + = a b c bc + ac + ab A) abc bc + ac ab B) abc a+b c C) abc bc ac + ab D) abc a b c E) abc 1 1 1 49. Con t 0, t t2 t 4 t3 t 2 1 A) t6 t3 t 2 t B) t4 2t3 1 C) t4 t t2 1 3 D) t4 t3 2t2 1 E) t4 15 a b c 50. Con a, b y c 0, bc ac ab ab bc ac A) abc abc B) abc a2b ab2 bc2 C) abc a2 b2 c2 D) abc a2 b2 c2 E) abc x2 x 2 x2 51. Si x {-4, -3, -2}, entonces : x2 7x 12 x 4 x 1 A) x3 x 1 B) x 3 x 1 C) x3 x2 D) x2 x 1 E) x4 5 1 3x2 x 10 9x 15 52. Con x , ,2 , entonces : 3 2 x2 x 2 2x 2 2 A) 3 2(x + 1) B) 3 3 C) 2 2 D) 3x + 5 2 E) 3(x + 1) 16 53. (2x + 3y)2 – (2x – 3y)2 = A) 0 B) 24xy C) 24x2y2 D) 4x2 E) 6y2 54. (p + q + r)2 – (p – q – r)2 = A) 0 B) (2q + 2n)2 C) 4q2 + 4r2 D) 2p(q + r) E) 4p(q + r) 55. Factorizando la expresión (m + n)2 + (m + n) se obtiene A) m2 + n 2 + m + n B) 2(m + n)2 C) (m + n) (m + n + 1) D) (m + n)3 E) 3(m + n) 56. (a + b)2 – (a + b)(a – b) = A) 2a + 2b2 B) 2b(a + b) C) 2a(a – b) D) 2a – 2b E) 2b – b2 57. (2 3)2 = A) 1 B) 4+2 3 C) 5 D) 7 E) 74 3 17 2 58. ( a b) ( b + a)( a b) = A) -2 ab B) 2 ab C) 2a – 2 ab D) 2b – 2 ab E) - ab 1 1 + 2 2 59. Si a b , entonces a b a+b = 1 1 a+b a b 2a A) b a B) b a C) - b b D) a b E) - a 60. Si los valores numéricos de (p – q)2 y (p + q)2 son iguales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades NO necesariamente es (son) verdadera(s)? I) p–q=0 II) p=q III) pq = 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 18 -1 x y 1 61. = x y y x y A) 1 + x x B) y 1 C) x+y x D) x+y x E) x y 1 1 u 62. u + v · u + v = 1 A) v u B) v v C) u 1 D) u 2u E) (u + v)2 s t 63. – = 2 2 2 s t s + st s t A) t(s + t) s t B) s(s + t) s2 st t2 C) s(s + t) s2 st + t2 D) s(s + t)(s t) s2 st t2 E) s(s + t)(s t) 19 2 2 64. Si y + x =8 y x – y = 2, entonces x – y = A) 6 B) 16 C) 28 D) 36 E) Ninguna de las anteriores 1 1 65. Si n + = 4, entonces n2 + = n n2 A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 66. ¿Cuál(es) de los siguientes binomios es un divisor de la expresión 6x2 – xy – 15y2? I) 2x – 5y II) 3x – 5y III) 2x + 3y A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 67. La superficie de un rectángulo es 2a2 + 7a + 3. Entonces, si uno de los lados es (2a + 1) el otro es A) (a – 1) B) (a + 3) C) (2a – 1) D) (2a + 6) E) (3 – a) 1 4x2 1 68. Si x , entonces = 2 1 2x A) 2x + 1 B) -(2x + 1) C) -2x + 1 D) 2x – 1 E) -1 – 2x2 20 69. La factorización de x2 – z2 + y2 – 2xy es A) (x + y – z)(x + y – z) B) (x – y + z)(x – y – z) C) (x – y – z)(x – y – z) D) (x + y – z)(x – y + z) E) (x + y – z)(x – y – z) 70. La expresión a3 – 2a + 2b – b3, NO es equivalente a A) a3 – 2(a – b) – b3 B) (a – b)[a2 + ab + b2 – 2] C) a(a2 – 2) – b(b2 – 2) D) (a – b)[a2 – ab – b2 + 2] E) a3 – b3 – 2a + 2b 71. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a xy3 – xy4 + x2y2? A) xy(y2 – y3 + xy) B) xy(xy2 – xy3 + xy) C) xy(y2 – y3 + 1) D) xy(y3 – y4 + 1) E) xy(y3 – y4) a4 ab3 N 72. Si N = , con a2 b2 y P = a2 + ab + b2, entonces el valor de cuando a = 2 2 a b 2 P y b = -1 es 1 A) 2 B) 2 2 C) 3 7 D) 3 14 E) 3 21 2a2 + ab b2 + a + b 73. Si 2a – b -1, entonces = 3a + 2b (a + 3b 1) A) a – b B) 2a – b C) 2a + b D) a + b E) Ninguna de las anteriores ab ab 74. Con a2 b2, entonces a2 b2 a2 b2 2a A) a2 b2 a B) a2 b2 2b C) a2 b2 1 D) a2 b2 a E) b 75. Si el área de una figura plana se representa por alguna de las siguientes expresiones algebraicas, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Si A = x2 + 8x + 16, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x + 4). II) Si A = x2 – 25, entonces la figura puede ser un cuadrado de lado (x – 5). III) Si A = x2 + 9x + 18, entonces la figura puede ser un rectángulo donde uno de sus lados es (x + 3). A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores 22 x2 6x + 9 76. Si x 3, w z, w z -(z + w)-1 = 2 (3 x) z2 w2 A) –z – w B) 1 C) 0 D) -1 E) z + w x+1 5x 15 2x2 18 77. Si M = ; P = ; Q = , con x > 3, entonces x2 2x 3 9 6x + x2 2x2 12x + 18 ¿cuál de las siguientes opciones es siempre FALSA? A) P = 5M B) Q>M C) Q>P D) P<M E) (x + 3)M = Q (x + y)2 (xy + 1)2 78. Si x 1 e y 1, entonces al simplificar se obtiene (x2 1)(1 y) A) 1 –y B) 1 +x C) 1 –x D) x +y E) 1 +y m2 + n2 + 5 79. Si m + n = mn = 5, entonces = m3 + n3 + 10 1 A) 5 1 B) 3 2 C) 3 4 D) 7 2 E) 11 23 1 1 80. Si y 0, z 0, x + =1 e y+ = 1, entonces el valor de xyz es y z A) -2 B) -1 C) 1 1 D) 2 E) 2 x+2 81. Si x es un número entero positivo diferente de -3, entonces es igual a x+3 2 A) 3 2 B) x + 3 1 2 C) + 3 x+3 1 D) 1 – x+3 E) Ninguna de las anteriores x+6 A B 82. Si x {-3, -2}, y = + , entonces A + B = x2 x 6 x 3 x+2 A) -1 B) 0 C) 1 9 D) 5 4 E) 5 x3 x 83. Si es una fracción no indeterminada, su simplificación corresponde a x3 + 2x2 + x x+1 A) x 1 x 1 B) x+1 -1 C) 2x -1 D) 2x2 E) 1 24 84. Se puede determinar que el desarrollo del producto (x + b)(x + c) es un trinomio cuadrado perfecto, si se sabe que: (1) b + c = 1 (2) 4bc = 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional p2 + 2pq + q2 85. Si p q, se puede determinar el valor numérico , si se sabe que: q p (1) p – q = 4 (2) p + q = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional x2 - y2 86. Se puede determinar el valor numérico de la expresión , con x -y, si se sabe x+y que: (1) x + y = 10 (2) x – y = 2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional k(k2 9) 87. Se puede determinar que la expresión está definida, si se sabe que: k2 + 3 k (1) k 0 (2) k -3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 25 88. “La semisuma de q y p es igual al exceso del cubo de p sobre el triple de q” es equivalente a q+p A) = p3 3q 2 q B) + p = p3 3q 2 C) q + p = p3 – 3q p D) q+ = p3 3q 2 q+p E) = 3p q3 2 89. “El triple del antecesor de un número entero x es igual al doble del número, más 2 unidades” es equivalente a A) 3x – 1 = 2x + 2 B) 3x – 1 = 2(x + 2) C) 3x + 1 = 2x + 2 D) 3(x – 1) = 2x + 2 E) 3x = 2x + 2 90. Si a un número x se le agregan 100 unidades se obtiene el doble del mismo número más 10 unidades. La ecuación que expresa este enunciado es A) x + 100 = 10 B) x – 100 = 2x + 10 C) x + 100 = 2x + 10 D) x – 100 = 2x + 10 E) x + 100 = 2x – 10 91. Por x helados que se compran, se deben pagar $g. Si todos los helados tienen el mismo precio, ¿cuál de las siguientes expresiones representa cuánto se debe pagar, en pesos, por tres helados adicionales? 3 A) g+ x g(x + 3) B) x C) g+3 x(x + 3) D) g g E) +3 x 26 92. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una ecuación de primer grado? A) (x – 1) (x + 2) = -x(x + 3) B) x2 + 2x = x(5 – x) C) 2x(x + 4) = (2x + 1)(x – 3) D) x2 + 2x – 3 = x(x + 1)(x – 1) E) x-1 + 2 = x + 3 93. Sea la ecuación en x, (a + 5)x2 + (b – 2)x + (c + 4) = 0, ¿qué condición debe cumplirse para que sea una ecuación de primer grado? A) c -4 B) b 2 C) a -5 y b 2 D) a = -5 y b 2 E) a = -5 y b = 2 94. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a x, en la ecuación de primer grado 2(a + 1) = bx – 3a? 5a 2 A) , con b 0. b 5a 2 B) , con b 0 b 5a 2 C) , con b lR b a 2 D) , con b 0 b a 2 E) , con b lR b 95. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el valor de x en la ecuación de primer grado 2x – 3p = px + 1? A) 1 B) 4p – 1 3p + 1 C) ;p2 2 p 3p + 1 D) ;p2 p 2 4p E) -3 27 96. Si wq 1 w3 w q , entonces q es siempre igual a 6 8 4 25 A) w 14 10 B) w 11 22 C) w 17 17 D) w 22 E) Ninguna de las opciones w 97. Si 4,2 x = 42 y 6,4 ∙ 100 = w, entonces = x A) 6,4 B) 64 C) 64000 D) 32000 E) 3,2 98. El valor opuesto de x en la ecuación 6x + 4 = 2(x – 2) es A) -4 B) -2 C) 2 D) 1 E) 4 99. El recíproco de x en la ecuación 5(x + 2) – 3 = x + 4 es 4 A) - 3 11 B) 4 4 C) 11 4 D) 3 3 E) - 4 28 100. Si a + 6 = 4, entonces la diferencia entre a2 y 42, en ese orden, es igual a A) -8 B) -10 C) -12 D) -14 E) -16 5 1 1 101. El valor de p en la proporción : p = 3 : 2 es 3 2 4 1 A) 1 14 1 B) 14 1 C) 1 4 1 D) 2 14 3 E) 1 14 2 1 5 102. Con x 0, entonces + = tiene como raíz o solución x 3 4x 9 A) 4 4 B) 9 3 C) 4 9 D) 4 1 E) 2 103. La ecuación x(x + 1) = x2 + 5 es equivalente a la ecuación 2x + k = 8. Entonces, el valor de k es A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2 29 x 3(x 5) 3 104. El valor de x en la ecuación = es 4 2 4 33 A) - 5 27 B) 5 56 C) 11 27 D) 2 E) 9 105. El valor de x en la ecuación literal 4a – b(x – 1) = 2(a + x) es 2a b A) , con b 2 2b ab B) , con b - 2 2b 2a b C) , con b - 2 2b 2a b D) , con b -a ab 2a b E) , con b 2 2b 2+n 106. ¿Cuál es el valor de n en la expresión , si se sabe que el doble de esta expresión n 3 es igual a 1,3 ? A) -12 B) -6 C) -3 D) 12 E) 18 30 107. En la ecuación 4m – 2 = 3u + 2, el valor de u es 4m A) 3 4 4m B) 3 4 + 4m C) 3 4m 1 D) 3 4(m 1) E) 3 m 6 m 108. Si = , entonces la mitad de m es 3 2 A) -12 B) -24 C) -6 D) 2 E) 4 x+5 3 2x x 109. La solución de la ecuación = es 4 2 6 3 A) - 11 3 B) 17 C) -13 3 D) 13 3 E) - 4 3 1 110. Si – 12 es igual a , entonces ¿cuál es el valor de x? x x 1 A) 4 1 B) 6 1 C) 2 D) 3 E) 6 31 1 2 1 111. El conjunto solución de la ecuación = es x 3 8 x 2 2x2 + 4x + 8 A) lR B) lR – {0} C) lR – {2} D) lR – {-2, 2} E) 2 x x x 112. En la ecuación + 1 1 = + 2 , x es igual a 2 2 2 A) 5 5 B) 2 C) -2 5 D) - 2 E) -5 113. En la ecuación literal a3x – b3x – ab = a2 + b2, x es igual a 1 A) ; para todo a lR y b lR a b 1 B) ; para a = b a+b 1 C) ; para a b a b 1 D) ; para a b a+b 1 E) ; para a = b a b 114. Si m y n son diferentes de cero en la ecuación x2 + n2 = (m – x)2, entonces x = m n A) 2 m2 n2 B) 2 m2 n2 C) 2m2 m2 n2 D) 2m n2 m2 E) 2m 32 m 2n 2n m 115. Si m + 2n = 30, ¿cuál es el valor de ? 5 3 5 3 A) 8 B) 16 C) 18 D) 20 E) 30 3 116. ¿Cuál es el valor de 5P – 6, si 2Q(5P – 6) = 15P – 18 y Q ? 2 A) 2,5 B) 1,5 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,0 117. En la ecuación 3(x + k) – 2(x + 5) = 8k, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución sea x = 5? A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2 118. Si la solución de la ecuación en x, 3a + x(3 – a) = a (x + 5) es -4, ¿cuál es el valor de a? A) 2 B) 1 C) 0,5 D) -1 E) -6 2 6 119. En la ecuación + 8 = , el recíproco de x es x x 1 A) 2 1 B) - 2 C) 4 D) -2 E) 2 33 120. La solución de la ecuación en x, 4(x + k) – (x + 3) = 6x + k, pertenece a los reales positivos, si el valor de k es A) igual a 1. B) todo número real. C) mayor o igual a 1. D) mayor que 1. E) menor que 1. 6 2 8 121. ¿Qué valor debe tener x para que la suma entre y sea igual a 2 , x2 x3 x 5x 6 si x {-3, -2}? 3 A) - 2 1 B) - 2 5 C) 2 D) -2 E) 2 122. Dada la ecuación en x, ax = bx + c, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas? I) La solución de la ecuación es positiva. II) La ecuación siempre tiene solución. III) La solución de la ecuación es menor que 1. A) Solo I y II B) Solo II y III C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de las opciones anteriores 123. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para la ecuación 2x + 6 = 4(x + 5)? I) Tiene solución única. 1 II) El recíproco de x es . 7 III) La solución pertenece al conjunto de los números enteros. A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de las opciones anteriores 34 x 5 1 124. El conjunto solución de la ecuación es 6x x6 x6 A) {6} B) {-6} C) D) {0} E) {-6, 6} 1 x+1 125. Si 1 + = , entonces x = x x A) 1 solamente B) -1 ó 1 solamente C) ningún valor real D) cualquier valor real E) cualquier valor real, excepto el cero 126. En la ecuación 8x + 2(x + 1) = 7(x – 2) + 3(x + 1) + 13 se puede afirmar que A) su solución es -2. B) su solución es 4. C) su solución es 3. D) su solución es -1. E) admite infinitas soluciones. 127. ¿Qué condición debe cumplir el parámetro p, para que la ecuación 5px – 3 = 4x + p, no tenga solución? 4 A) p 5 4 B) p 5 4 C) p 5 D) p = -3 4 E) p , p -3 5 35 128. Dada la ecuación en x, 6x + t + 3 = tx + 4t, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si t = 6 la ecuación tiene infinitas soluciones. II) Si t = 1, la ecuación tiene única solución. III) Si t 1, la ecuación no tiene solución. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III 129. Sea la ecuación en x, 2t + x(4 – t) = 5(x + 2), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si t -1, la ecuación tiene solución única. II) Si t = -1, la ecuación no tiene solución. III) Si t = 5, la ecuación tiene infinitas soluciones. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III x 3 130. En la ecuación en x, 6 , el conjunto solución es 2 A) {-5, 11} B) {-9, 15} C) {-15, 9} D) {-9, 6} E) {-15, 6} 6x 3 5 131. Si 0 , entonces el conjunto solución de la ecuación es 2 4 13 7 A) , 6 6 11 1 B) , 12 2 1 1 C) , 2 2 5 1 D) , 3 2 E) 36 5 1 132. El conjunto solución de la ecuación es x 1 2 A) x lR - {-1} B) {-11, 9} C) D) {-10, 9} E) {-11, -10} x 4 2 133. ¿Cuáles son las raíces o soluciones de la ecuación 6? A) x = 10; x = -2 B) x= 8; x = 2 C) D) x= -5; x = 6 E) Ninguna de las opciones anteriores 134. Sea la ecuación x 3 x 4 10 , entonces el conjunto solución es 11 11 A) , 2 2 9 9 B) , 2 2 C) 11, 11 11 9 D) , 2 2 E) {-9, 9} 135. La expresión (7t – 3u) es igual a 0, si se sabe que: u (1) = 2,3 t 7 (2) u = y t=1 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 37 136. En la igualdad p = 2q – 2 el valor de p es 8, si se sabe que: (1) q = 5 (2) q = p – 3 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 137. Sea la ecuación ax + b = cx, en x, donde a, b y c son números enteros positivos y diferentes entre sí. Se puede determinar que la solución de la ecuación es un entero, si se sabe que: (1) c > a (2) b es múltiplo de c A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 138. Dada la ecuación ax + b = c, con a, b y c números reales, se puede determinar que tiene dos soluciones reales y distintas, si se sabe que: (1) a 0 (2) c es un número natural. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 139. Un padre decide repartir su herencia entre sus hijos, por lo cual a cada uno le corresponden $(5A + 6B). Si tres de sus hijos renuncian a la herencia, a cada uno de los restantes le corresponde $(8A + 3B), entonces ¿cuántos hijos tiene el padre? A+B A) A B 8A + 3B B) A+B 24A + 9B C) 3A 6B 8A + 3B D) A B 24A 9B E) 3A + 3B 38 140. El contenido de agua de un estanque de acopio es dos tercios de su capacidad. Si se agregan p litros más de agua, su contenido aumenta hasta los cuatro quintos de su capacidad. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la capacidad total del estanque? -1 4 2 A) p 5 3 -1 2 4 B) p 3 5 4 2 C) p 5 3 5 2 D) + p 4 3 -1 4 2 E) p + 5 3 141. En un concurso, por cada respuesta correcta se gana $ p y por cada respuesta incorrecta se pierde $ q, (p > q). Si una persona responde en total p preguntas y de ellas q son correctas, ¿cuánto dinero ganó? A) $ q2 B) $ p2 C) $ q2 – pq D) $ q(p – q) E) $ p–q 142. Los lados de un rectángulo son (x + 2) y (x – 1). ¿Qué valores puede tomar x para que el perímetro del rectángulo sea igual a 18 unidades? 17 A) 2 19 B) 2 C) 3 D) 4 E) Otro valor 143. Para elaborar un postre de frutas se requieren 2 kg de chirimoya y 1 kg de naranjas. Si 5 kg de chirimoya tienen un costo de $ (5m – n) y 2 kg de naranjas cuestan $ (n – 2m), entonces ¿cuál es el costo de este postre? n A) $ m + 10 B) $ 3m C) $ 3n D) $ (7m – 2m) 9n E) $ m + 10 39 1 1 1 144. Si A B , en la fórmula , se puede determinar el valor de C, si se conoce: A B C 1 (1) el valor de . BA (2) el valor de A y B. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 145. Se puede determinar el valor de k, si se sabe que: (1) k es positivo. (2) la tercera parte del cubo de k es 9. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 146. Un niño compra 20 cuadernos, unos de 60 hojas y los otros de 80 hojas. Si en total hay 1.440 hojas. ¿Cuántos cuadernos de 80 hojas compró? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 147. Se vende una bandeja de 100 pasteles en $ 130p. Si se gasta la mitad de los $ 130p en cacao para fabricar chocolates y éstos se venden al doble de los pasteles, ¿cuánto dinero queda al final? A) $ 65p B) $ 130p C) $ 260p D) $ 300p E) $ 325p 40
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