TUTORIA N°2 ÁLGEBRA 2 INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS El material presentado a continuación incluye una serie de ejercicios relacionados con el eje temático de Álgebra , que han sido diseñados según las pautas dadas por DEMRE para la prueba de selección universitaria, PSU. Para el desarrollo de este material tenga presente: 1. La siguiente tabla contiene una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. 2. Las figuras que aparecen son sólo indicativas 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. (f o g)(x) = f(g(x)) 5. Los números complejos i y – i, son las soluciones de la ecuación x 2 + 1 = 0. 6. Si z es un número complejo, entonces z es un conjugado y z es su módulo. es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x logaritmo base e factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos complemento del conjunto A vector u log ln u ln AB x x! A C 3 7. En las preguntas de suficiencia de datos no se pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Considerando lo anterior, usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola , si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola , si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2) , si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) , si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional , si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 4 1. 5 {a – 2[b – a]} + 4b = A) 15a – 3b B) 15a – 6b C) 5a – 6b D) a – b E) 10a + 3b 2. a(a + b) + b(a – b) = A) a 2 + 2ab + b 2 B) 2a 2 + 2ab – b 2 C) a 2 + 2ab – b 2 D) 2ab – b 2 E) ab – b 2 3. 6(x + y + z) – 3(x – y – z) = A) 3x + 9y + 9z B) 3x – 6y + 9z C) -3x + 9y + 6z D) 3x + 9y – 9z E) 3x – 9y – 9z 4. 3(x + y) – 4x + 5(x – y) + 6(y – x) = A) 2y – x B) y – x C) 2(2y + x) D) 2(2y – x) E) y – 2x 5. Si m = -3 y n = 6, entonces -[-m + n – (m – n)] = A) -18 B) -12 C) 0 D) 12 E) 18 5 6. ¿Qué valor toma la expresión m 2 – m -2 + m, cuando m = -2? A) 1 1 4 B) 1 1 + 4 C) 3 1 + 4 D) 3 1 4 E) 3 2 4 7. Si m = 0,1 y n = 0,01, entonces el valor de n + m : n – m es A) -1,200 B) -0,089 C) 0,010 D) 0,100 E) 9,910 8. Si a = 0,2; entonces a + a 2 + a 3 + a 4 = A) 0,0692 B) 0,2496 C) 0,2640 D) 0,6096 E) 0,6816 9. Si a y b son dos números enteros de modo que a + 8 = b 2 , entonces el antecesor de (-a) es A) -2b – 7 B) -2b – 9 C) 2b + 7 D) -2b + 7 E) -2b + 9 6 10. Si a y b son dos números reales mayores que 3, tal que a = b, ¿cuál de las siguientes igualdades es FALSA ? A) a b = 0 b B) a + b = 2a C) a b b a a b D) a + b b + a = a b E) ab = a b 11. Si a = 1 3 y b = 1 37 , entonces el valor de 5a + 2b es A) 1,715 B) 1,716 C) 1,720 D) 1,719 E) 1,718 12. Si a -1 = 3 y b -1 = 4, entonces ab 1 1 + a b = A) 7 12 B) 12 7 C) 1 12 D) 1 84 E) 25 84 13. Si 2 x 3 , entonces 1 2 x x x es igual a A) 39 8 B) 3 C) 26 27 D) 16 27 E) 10 27 7 14. Si 504 = a 2 bc 3 , con a, b, c números primos, entonces a + b – c = A) 6 B) -2 C) 8 D) 2 E) -6 15. Si x + y = 3 e x · y = -4, entonces x 2 + y 2 es igual a A) 17 B) 39 C) 63 D) -9 E) 3 16. Si a + b = 10 y ab = 16, entonces el valor de (a 2 – ab + b 2 ) es igual a A) 52 B) 48 C) 64 D) 84 E) 98 17. Si CB V D T , entonces la expresión para B es A) TV D C B) V TD CT C) T(V + D) C D) TV + D C E) T(V D) C 8 18. Si q es un número real mayor que 1, entonces 4 5q + q es igual a A) 2 5q + 4 q B) 5q + 4 q C) 5q + 4 D) 9q E) 5 + 4q 19. Si a b = b a – 4, entonces (3 2) 1 = A) -3 B) -2 C) -1 D) -4 E) Ninguna de las anteriores 20. En los números reales se define a b = 2a + ab – b. Si 5 m = m 3, entonces ¿cuál es el valor de m ? A) -7 B) 2 C) 7 D) 10 E) 13 21. Si se define a # b = a 3 – 5b y a b = a 2 – b 2 , entonces el valor de (3 # 2) (-2 0) es A) 273 B) -92 C) 40 D) 928 E) -88 9 22. Para r y s números racionales distintos de cero, con r s, se define la operación r s s r s r s s r . El valor de 1 1 2 3 es A) 1 6 B) 2 5 C) 3 5 D) 3 7 E) 1 23. Si a = 1 5 , entonces -1 -1 a a 1 a + a = A) 25 26 B) 5 6 C) 12 13 D) 25 13 E) 1 24. Si a = 0,1, entonces 2 3 4 a a a A) -0,99 B) -0,90 C) -0,09 D) 0,09 E) 0,99 25. Si t = 2 – 1, entonces t 2 + 2t + 2 es igual a A) 3 B) 2 C) 2 D) 2 – 1 E) 2 + 1 10 26. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe los términos de la secuencia 1 2 , 2 5 , 3 10 , 4 17 , 5 26 ,.... para los números enteros positivos n? A) 2 3n n + 1 B) n + 1 n + 3 C) 2 n + 1 n D) n n + 1 E) 2 n n + 1 27. Si a y b son números pares consecutivos, entonces 3 a – b – 4 b – a = A) 14 B) 4 C) 2 D) -1 E) -2 28. Se puede afirmar que a b = -1 b a , si se sabe que: (1) a > b (2) a = b + 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 11 29. Si s = 4 a b y t = 2 b a , entonces s t = A) -1 B) 1 C) 8 a b D) 6 a b E) 2 a b 30. En el último campeonato de futbol el equipo de Las Panteras perdió a partidos, empató b partidos y ganó el resto. Si T es la cantidad total de partidos que jugó el equipo, entonces la cantidad de partidos que ganó el equipo de Las Panteras es A) T + a + b B) a + b – T C) T – a – b D) T – a + b E) T + a – b 31. Si al término -W se le agrega p se obtiene (q – p). ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a W? A) -q – 2p B) q – 2p C) -q D) 2p – q E) q 32. Si m y n son dos números reales no nulos, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre mayor(es) que m 2 – 2mn? I) (m – n) 2 II) m(m – 2n) III) m – 2n A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 12 33. (a – 0,2b) 2 = A) a 2 – 0,2b 2 B) a 2 – 0,04b 2 C) a 2 + 0,004b 2 D) a 2 + 0,4ab + 0,04b 2 E) a 2 – 0,4ab + 0,04b 2 34. 2 1 x x 3 = A) 1 x – 2 3 + 2 x 9 B) 2 1 x + 2 3 x + 2 x 9 C) 2 1 x – 2 3 + 2 x 9 D) 2 x 9 – 3 2 – 2 1 x E) x 2 – 3 2 + 2 9 x 35. (4 – x) 3 = A) 64 – 48x - 12x 2 – x 3 B) 64 – x 3 C) 64 + 16x + 12x 2 – x 3 D) 64 – 48x + 12x 2 – x 3 E) 64 – 16x + 12x 2 – x 3 36. 3 1 ab ab A) 3 3 3 3 3 1 a b 3ab ab a b B) 3 3 3 3 3 1 a b 3ab ab a b C) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 a b 3a b a b a b D) 3 3 3 3 1 a b a b E) 3 3 3 3 1 a b 3ab a b 13 37. (x + 3) (x – 4) = A) x 2 – 12 B) x 2 – 3x + 12 C) x 2 – x + 12 D) x 2 – x – 12 E) x 2 + x + 12 38. (a + b) (b – a) = A) a 2 – b 2 B) b 2 + a 2 C) b 2 – a 2 D) b 2 + 2ab + a 2 E) 2b – 2a 39. La factorización de 2x 2 – 9x – 5 es A) (2x + 1)(x + 5) B) (2x + 1)(x – 5) C) (2x – 1)(x – 5) D) (x – 1)(2x – 5) E) (x + 1)(2x – 5) 40. Para x > 1, 3 2 x 1 x x 1 A) x + 1 B) x – 1 C) x D) 1 – x E) 1 x 1 41. Si a b, y ambos distintos de cero, entonces 2 2 2 a b a b A) a b a b B) a b a b C) a b b a D) 1 a b E) 1 14 42. Con x 2 y x 3, entonces 2 2 3x 4x 4 x x 6 A) x + 3 x 2 B) 3x + 2 x 3 C) x 2 x + 3 D) x + 2 x + 3 E) 3x + 2 x + 3 43. Si x > 0 y distinto de 3, entonces 3 2 3 2 x x 6x 2x 5x 3x A) x + 2 2x 1 B) x 2 x + 1 C) 2x 1 x + 1 D) x + 2 2x + 1 E) x + 2 3x + 1 44. En los números reales, ¿cuál es el conjunto de todos los números x, para los cuales la expresión 2 2 x + 4x 12 x + 4 se indetermina? A) {-2, 2} B) {-4} C) {-6, 2} D) E) {-6, -4, 2} 45. ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a la expresión 6x 2 + 15x – 9? A) 3x(2x + 5) – 9 B) 3(2x – 1)(x + 3) C) 3(2x 2 – 3) + 5x D) -3(1 – 2x)(x + 3) E) 3(1 – 2x)(-x – 3) 15 46. Se podría factorizar como un cuadrado de binomio si se suma a Q = ax 2 + axz – az 2 , con a > 0, la siguiente expresión A) 2axz + az 2 B) axz + 2az 2 C) axz – 2az 2 D) ax 2 + axz – az 2 E) 2axz – az 2 47. Si A = x 3 – x 2 a + a 3 , ¿cuál(es) de las siguientes expresiones se puede(n) factorizar como un cubo de binomio? I) A + 3xa 2 – 2x 2 a – 2a 3 II) A – 2a 3 III) A – 2(xa 2 + x 2 a + a 3 ) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 48. Con a, b y c distintos de cero, 1 1 1 + = a b c A) bc + ac + ab abc B) bc + ac ab abc C) a + b c abc D) bc ac + ab abc E) a b c abc 49. Con t 0, 2 4 1 1 1 t t t A) 3 2 6 t t 1 t B) 3 2 4 t t t t C) 3 4 2t 1 t D) 3 2 4 t t 1 t E) 3 2 4 t 2t 1 t 16 50. Con a, b y c 0, a b c bc ac ab A) ab bc ac abc B) a b c abc C) 2 2 2 a b ab bc abc D) 2 2 2 a b c abc E) 2 2 2 a b c abc 51. Si x {-4, -3, -2}, entonces 2 2 x x 2 x 2 : x 4 x 7x 12 A) x 1 x 3 B) x 1 x 3 C) x 1 x 3 D) x 2 x 2 E) x 1 x 4 52. Con x 5 1 , ,2 3 2 , entonces 2 2 3x x 10 9x 15 : 2x 2 x x 2 A) 2 3 B) 2(x + 1) 3 C) 3 2 D) 2 3x + 5 E) 2 3(x + 1) 17 53. (2x + 3y) 2 – (2x – 3y) 2 = A) 0 B) 24xy C) 24x 2 y 2 D) 4x 2 E) 6y 2 54. (p + q + r) 2 – (p – q – r) 2 = A) 0 B) (2q + 2n) 2 C) 4q 2 + 4r 2 D) 2p(q + r) E) 4p(q + r) 55. Factorizando la expresión (m + n) 2 + (m + n) se obtiene A) m 2 + n 2 + m + n B) 2(m + n) 2 C) (m + n) (m + n + 1) D) (m + n) 3 E) 3(m + n) 56. (a + b) 2 – (a + b)(a – b) = A) 2a + 2b 2 B) 2b(a + b) C) 2a(a – b) D) 2a – 2b E) 2b – b 2 57. 2 (2 3) = A) 1 B) 4 + 2 3 C) 5 D) 7 E) 7 4 3 18 58. 2 ( a b) ( b + a)( a b) = A) -2 ab B) 2 ab C) 2a – 2 ab D) 2b – 2 ab E) - ab 59. Si a 2 b 2 , entonces 1 1 + a b a + b 1 1 a + b a b = A) 2a b B) a b C) - a b D) b a E) - b a 60. Si los valores numéricos de (p – q) 2 y (p + q) 2 son iguales, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades NO necesariamente es (son) verdadera(s)? I) p – q = 0 II) p = q III) pq = 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 19 61. -1 x 1 y x y y x = A) 1 + y x B) x y C) 1 x + y D) x x + y E) x x y 62. 1 1 u + · u v u + v = A) 1 v B) u v C) v u D) 1 u E) 2 2u (u + v) 63. 2 2 s s t – 2 t s + st = A) s t t(s + t) B) s t s(s + t) C) 2 2 s st t s(s + t) D) 2 2 s st + t s(s + t)(s t) E) 2 2 s st t s(s + t)(s t) 20 64. Si y + x = 8 y x – y = 2, entonces x 2 – y 2 = A) 6 B) 16 C) 28 D) 36 E) Ninguna de las anteriores 65. Si n + 1 n = 4, entonces n 2 + 2 1 n = A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 66. ¿Cuál(es) de los siguientes binomios es un divisor de la expresión 6x 2 – xy – 15y 2 ? I) 2x – 5y II) 3x – 5y III) 2x + 3y A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 67. La superficie de un rectángulo es 2a 2 + 7a + 3. Entonces, si uno de los lados es (2a + 1) el otro es A) (a – 1) B) (a + 3) C) (2a – 1) D) (2a + 6) E) (3 – a) 68. Si x 1 2 , entonces 2 4x 1 1 2x = A) 2x + 1 B) -(2x + 1) C) -2x + 1 D) 2x – 1 E) -1 – 2x 2