TERCERA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL MATEMÁTICA (ON LINE) 2020 Material J MA - OL - 0 3 - 2020 2 PRUEBA TRANSICIÓN MATEMÁTICA INSTRUCCIONES Esta prueba consta de 65 preguntas, de las cuales 60 serán consideradas para el cálculo de puntaje y 5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene cuatro (4) o cinco (5) opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA. INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas. 2. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 3. El intervalo [p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores o iguales a q; el intervalo ]p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores o iguales a q; el intervalo [p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores que q; y el intervalo ]p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores que q. 4. En esta prueba, se considerará que v (a, b) es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano cartesiano y su extremo en el punto (a, b), a menos que se indique lo contrario. 5. Se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras obtenidas son equiprobables de salir. 6. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 3 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola , si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola , si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2) , si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) , si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional , si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es men or o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x es aproximado a factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos complemento del conjunto A vector u log u ln // AB x x! A C 4 1. Si m y n son números enteros mayores que 1, tales que m es un divisor de 20 y n es un divisor de 35, entonces el menor valor posible para m n es A) 9 35 B) 4 7 C) 2 5 D) 5 7 E) 2 35 2. El decimal redondeado a la centésima equivalente a la fracción 3 1 4 + 2 3 + 5 es A) 0,67 B) 0,68 C) 0,69 D) 0,70 E) 0,71 3. 0,35 · 3 – 0,648 : 2 = A) -31,25 B) -2,19 C) 0,726 D) 2,01 E) 7,26 4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es 15 cm, ¿cuánto debe aumentar en forma equitativa cada lado del triángulo para que el perímetro se triplique? A) En 3 cm. B) En 5 cm. C) En 10 cm. D) En 15 cm. 5 5. Sean x e y dos números reales no nulos y distintos entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) x 2 y 2 II) x < x + y III) x 2 – 2xy + y 2 > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto del número racional k = 729 99 ? I) k aproximado por exceso a la centésima es igual a 7,36. II) k es igual al número mixto 7 4 11 III) k está más próximo de 8 que de 7. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 7. Sean a y b números reales positivos, tales que a · b 0 y a b, entonces la expresión 1 1 - - 2 2 -1 -1 a b a b es equivalente a A) 1 a + 1 b B) a + b C) a a + b b D) a + b ab 6 8. En este año en un encuentro de dirigentes deportivos fue aprobada la realización de un torneo A de futbol, que se llevará a cabo en 2 años más y después posteriormente cada 9 años. En el mismo encuentro, fue aprobada la realización de un torneo B que se llevará a cabo por primera vez en 9 años más y a continuación cada 7 años. La realización de estos 2 torneos, en forma simultánea, ¿en cuántos años más ocurrirá? A) En 50 años más. B) En 55 años más. C) En 58 años más. D) En 60 años más. E) En 65 años más. 9. El valor de la expresión 3 2 b c a , cuando a = 3, b = 10 y c = 1 es A) un número entero cuyo módulo es mayor que 4. B) un número que no pertenece al conjunto de los reales. C) un número natural cuyo módulo es mayor que 3. D) un número impar cuyo valor es mayor que 7. 10. ¿Cuál es el valor de 1 3 log 81 + log 10 0,0001 – log 0,1 (10 10 )? A) 13 B) 13 2 C) 2 13 D) - 13 2 E) -13 7 11. Sea N un número real igual a la expresión k 1 k . Se puede determinar que N es un número negativo, si se sabe que: (1) k 2 < 1 (2) k < 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 12. La expresión 3 3 2 2 a b a + ab + b , cuando a = 93 y b = 92, es igual a A) 0 B) 1 C) 185 2 D) 185 E) 93 2 – 92 2 13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 25u 4 – 49? I) (5u 2 + 7)(5u 2 – 7) II) 5(5u 2 + 7)(u 2 – 7) III) (5u + 7)(5u – 7)u A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 8 14. Sergio compró (5n + 3) mascarillas, con n > 1, a $1.000 cada una. Luego vendió (3n + 2) unidades a $1.500 y (2n + 1) unidades a $800, ¿cuánto dinero ganó? A) $ 1.600n + 800 B) $ 1.100n + 800 C) $ 100n + 800 D) $ 5.000n + 3.000 15. Se tienen (a 2 – 2ab – 15b 2 ) libros que deben ser guardados en (a + 3b) cajas. Si en cada caja se pone la misma cantidad de libros, ¿cuántos libros habrá por cada caja? A) a + 5b B) a – 6b C) a – 5b D) a – 2b E) a + 6b 16. El valor de x en la ecuación 4 5 5x 2 x x 3 3 6 es A) 34 31 B) 2 13 C) 2 23 D) 17 13 E) 34 13 17. El sistema x + (c + 1)y = 0 cx + y = -1 en el cual c 0, admite una solución (x, y), con x = 1. ¿Cuál es el valor de c? A) 2 B) 1 C) -1 D) -2 E) -3 9 18. (x – 3) 2 + y 2 – x 2 + 6x – 9 = A) y 2 B) y 2 + 6x C) y 2 + 12x D) y 2 – 2x 2 + 6x E) y 2 – 2(3 – x) 2 19. La diferencia entre c(k + c) 2c y t 3 , respectivamente, es igual a 2. Si c 0 y t = 2, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) k = c – 20 B) k = 20 – c C) k = 20 – 2c 2 D) k = 40 – 2c 20. Si x es un número real positivo, tal que 0,5 + 2 x > 2,5, entonces x no puede tomar el valor A) 0,125 B) 0,333 C) 0,758 D) 0,901 E) 1,001 21. El intervalo solución del sistema de inecuaciones en x, 2x + 3 > 5x - 2 x 1 < 2x + 3 2 es A) B) ]- , + [ C) 7 , 3 D) 7 5 , 3 3 E) 5 , 3 10 22. Sea x 1 > 2 x 1 , entonces el conjunto que representa la solución de la inecuación es A) x / x 1 B) x / 1 x 3 C) x / 1 x 3 D) x / x 3 E) x / 1 x 3 23. Si m + n = 5 y mn = 2, entonces n m + m n = A) 2 3 B) 1 3 C) 1 2 D) 1 E) 3 24. Sean x y w dos números reales tales que x = -x, -w = w y x > w . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S) ? I) x – w > 0 II) x + w > 0 III) xw < 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 11 25. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s), respecto a la ecuación x 4 + x + 1 x 3 = 0? I) Las soluciones son reales. II) La suma de las soluciones es -1. III) El producto menos la suma de las soluciones es 5. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 26. Sea f una función con dominio el conjunto de los números reales, tal que f(x) = 6 – 5x y f(t) = 8, entonces t es igual A) 2 5 B) 2 5 C) 6 D) 6 5 E) 3 27. En una fábrica, el número total de piezas producidas en las primeras t horas diarias de trabajo está dado por: f(t) = El número de piezas producidas durante la quinta hora de trabajo es A) 40 B) 200 C) 1000 D) 1200 E) 2200 50(t 2 + t); 0 t 4 200(t + 1); 4 < t 8 12 28. Las funciones f(x) = 3 – 4x y g(x) = 3x + m, son tales que f(g(x)) = g(f(x)) para cualquier valor real de x. ¿Cuál es el valor de m? A) - 6 5 B) - 2 3 C) 5 4 D) 9 5 E) 9 4 29. Sea f una función con dominio el conjunto de los números enteros, tal que f(x + 1) = (f(x)) 2 y f(0) = 10. Entonces, f(4) es igual a A) 10 16 B) 100 C) 10 256 D) 101 E) 121 30. En la ecuación en x, tx 2 + (t – 6)x + 6 = 0, ¿qué valor debe tener t para que una de las soluciones sea 2? A) 1 B) -2 C) 3 D) 4 E) 5 13 31. Dada la función f(x) = x 2 + 1, con dominio el conjunto de los números reales, el gráfico de su inversa f -1 (x) es A) B) C) D) E) 2 1 x y 0 1 2 x y 1 - 2 x y - 2 1 x y - 1 - 2 x y 1 14 32. Sea f una función definida por f(x) = En esas condiciones f(-1) + f( 2 + 1) es igual a A) - 2 + 1 B) 2 + 1 C) - 2 D) f( 2 ) E) -2 2 + 1 33. En la figura adjunta se muestran las gráficas de las funciones f(x) = -x 3 + 8 y g(x) = x 2 + x + m. ¿Cuál es el valor de g(1)? A) -6 B) -5 C) -4 D) -3 E) -2 34. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales, talque f(x) = 2x 3 + 4, entonces su función inversa es A) 3 1 x 4 f x 2 B) 1 3 x 4 f x 2 C) 3 1 x 4 f x 2 D) 1 3 x 4 f x 2 x; si x es un número racional - 1 x ; si x es un número irracional x y 15 35. Sea f(x) una función con dominio el conjunto de los números reales, se puede determinar el valor de x, si se sabe que: (1) 5f(x) = f(x) (2) f(x) = 3x + 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 36. El punto simétrico de (0, -10) respecto del eje de las ordenadas se traslada según el vector v(-10, 10) siendo ahora sus coordenadas (a, b). ¿Cuál es el valor de b – a? A) -20 B) -10 C) 0 D) 10 E) 20 37. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto del punto del plano cartesiano (m, -n) cuando se rota en torno al origen? I) Si se rota en 180° sus nuevas coordenadas son (-m, n). II) Si se rota en 90° en sentido antihorario sus nuevas coordenadas son (-n, m). III) Si se rota en 90° en sentido horario sus nuevas coordenadas son (n, m). A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 16 38. El cuadrilátero de vértices A(0, 0); B(1, 3); C(1, 7) y D(0, 4) es un A) rombo. B) cuadrado. C) romboide. D) rectángulo. 39. En el triángulo ABC de la figura adjunta ABED es trapecio y DE es bisectriz del CDB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) CD CE = AD EB II) AB · CD = DE · CA III) ABD es isósceles A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 40. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si dos triángulos equiláteros tienen igual perímetro son congruentes. II) Si dos triángulos rectángulos tienen igual área son congruentes. III) Si dos triángulos tienen sus ángulos homólogos congruentes son congruentes. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas C D E A B 17 41. El triángulo PQR de la figura adjunta es rectángulo en R. Si QR = 2 y RS = 1, ¿cuál es el área del triángulo PSR? A) 3 2 B) 3 3 C) 3 4 D) 3 6 E) Ninguna de las anteriores 42. En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB y CD se intersectan en el punto P. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) DP AD = BP CB II) ADC CBA III) 2 área PCB PC = área PAD PA A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III P Q S R C A B D P 18 43. En la figura adjunta, L 1 // L 2 // L 3 y L 4 , L 5 transversales a las rectas paralelas, a + b = 8 y c + d = 12. Si d – b = 1, entonces c = A) 2 B) 3 C) 8 D) 9 E) 10 44. De todas las rectas que pasan por el origen; NO tiene ecuación de la forma y = mx con m número real no nulo A) la bisectriz de los cuadrantes I y III. B) la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, -1). C) la bisectriz de los cuadrantes II y IV. D) la recta de ecuación x = 2y. E) el eje de las ordenadas. 45. El gráfico de la ecuación y – 1 = 2(x – 4) es A) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (-1, -4). B) La recta de pendiente 1 2 que pasa por el punto (-1, -4). C) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (4, 1). D) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (-4, -1). L 1 L 2 L 3 a b c d L 5 L 4 19 46. Las rectas L 1 y L 2 de la figura adjunta son perpendiculares y L 2 pasa por el origen. Si L 1 corta al eje y en el punto (0, 4), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a L 2 ? A) (5, 7) B) (4, 5) C) (1, 2) D) (6, 9) E) (3, 4) 47. ¿Cuál de los siguientes valores debe tener m para que se cumpla que P(m, 2m) equidiste de los puntos Q(3, 0) y R(-7, 0)? A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 2 48. Una de las diagonales de un cuadrado tiene puntos extremos A = (1, 1) y C = (3, 3). Las coordenadas de los otros dos vértices del cuadrado son A) (2, 3) y (3, 2) B) (3, 1) y (1, 3) C) (3, 0) y (1, 4) D) (5, 2) y (4, 1) E) (4, 2) y (2, 4) y x L 1 L 2 6 20 49. Dada la recta de ecuación y = 1 - x + b m , con m y b no nulos, la ecuación de la recta perpendicular a ésta que pasa por el origen es A) y = mx B) y = bx C) y = my D) y = - 1 m x 50. La recta L de la figura adjunta corta el eje x en el punto de abscisa A) 8 – 3a B) 3a – 8 C) 5a D) -3a – 8 E) -5a 51. En el segmento AD de la figura adjunta se puede saber en qué razón están las longitudes de CD y AD respectivamente, si: (1) AB = 4 cm y BD = 16 cm (2) BC : CD = 1 : 3 y AB : AD = 1 : 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional A B C D 2 3 y x 4 a L