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Material JMA-OL-03-2020 TERCERA JORNADA DE EVALUACIÓN GENERAL MATEMÁTICA (ON LINE) 2020 PRUEBA TRANSICIÓN MATEMÁTICA INSTRUCCIONES Esta prueba consta de 65 preguntas, de las cuales 60 serán consideradas para el cálculo de puntaje y 5 serán usadas para experimentación y por lo tanto, no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene cuatro (4) o cinco (5) opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA. INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas. 2. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 3. El intervalo [p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores o iguales a q; el intervalo ]p, q] es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores o iguales a q; el intervalo [p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a p y menores que q; y el intervalo ]p, q[ es el conjunto de todos los números reales mayores que p y menores que q. 4. En esta prueba, se considerará que v (a, b) es un vector que tiene su punto de inicio en el origen del plano cartesiano y su extremo en el punto (a, b), a menos que se indique lo contrario. 5. Se entenderá por dado común a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras obtenidas son equiprobables de salir. 6. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 2 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS  es menor que  es congruente con  es mayor que  es semejante con  es menor o igual a  es perpendicular a  es mayor o igual a  es distinto de ángulo recto // es paralelo a ángulo AB trazo AB log logaritmo en base 10  pertenece a  conjunto vacío x valor absoluto de x  es aproximado a x! factorial de x ln  unión de conjuntos  intersección de conjuntos AC complemento del conjunto A u vector u 3 1. Si m y n son números enteros mayores que 1, tales que m es un divisor de 20 y n es m un divisor de 35, entonces el menor valor posible para es n 9 A) 35 4 B) 7 2 C) 5 5 D) 7 2 E) 35 3 2. El decimal redondeado a la centésima equivalente a la fracción es 1 4+ 2 3+ 5 A) 0,67 B) 0,68 C) 0,69 D) 0,70 E) 0,71 3. 0,35 · 3 – 0,648 : 2 = A) -31,25 B) -2,19 C) 0,726 D) 2,01 E) 7,26 4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es 15 cm, ¿cuánto debe aumentar en forma equitativa cada lado del triángulo para que el perímetro se triplique? A) En 3 cm. B) En 5 cm. C) En 10 cm. D) En 15 cm. 4 5. Sean x e y dos números reales no nulos y distintos entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) x2  y2 II) x<x+y III) x2 – 2xy + y2 > 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto del número 729 racional k = ? 99 I) k aproximado por exceso a la centésima es igual a 7,36. 4 II) k es igual al número mixto 7 . 11 III) k está más próximo de 8 que de 7. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 7. Sean a y b números reales positivos, tales que a · b  0 y a  b, entonces la expresión a-1  b-1 1 1 es equivalente a - - 2 2 a  b 1 1 A) + a b B) a + b a b C) + a b a + b D) ab 5 8. En este año en un encuentro de dirigentes deportivos fue aprobada la realización de un torneo A de futbol, que se llevará a cabo en 2 años más y después posteriormente cada 9 años. En el mismo encuentro, fue aprobada la realización de un torneo B que se llevará a cabo por primera vez en 9 años más y a continuación cada 7 años. La realización de estos 2 torneos, en forma simultánea, ¿en cuántos años más ocurrirá? A) En 50 años más. B) En 55 años más. C) En 58 años más. D) En 60 años más. E) En 65 años más. b 9. El valor de la expresión , cuando a = 3, b = 10 y c = 1 es 3 c  a2 A) un número entero cuyo módulo es mayor que 4. B) un número que no pertenece al conjunto de los reales. C) un número natural cuyo módulo es mayor que 3. D) un número impar cuyo valor es mayor que 7. 10. ¿Cuál es el valor de log 1 81 + log10 0,0001 – log0,1 (10 10 )? 3 A) 13 13 B) 2 2 C) 13 13 D) - 2 E) -13 6 k  1 11. Sea N un número real igual a la expresión . Se puede determinar que N es un k número negativo, si se sabe que: (1) k2 < 1 (2) k < 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional a3  b3 12. La expresión , cuando a = 93 y b = 92, es igual a a2 + ab + b2 A) 0 B) 1 185 C) 2 D) 185 E) 932 – 922 13. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 25u 4 – 49? I) (5u2 + 7)(5u2 – 7) II) 5(5u2 + 7)(u2 – 7) III) (5u + 7)(5u – 7)u A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 7 14. Sergio compró (5n + 3) mascarillas, con n > 1, a $1.000 cada una. Luego vendió (3n + 2) unidades a $1.500 y (2n + 1) unidades a $800, ¿cuánto dinero ganó? A) $ 1.600n + 800 B) $ 1.100n + 800 C) $ 100n + 800 D) $ 5.000n + 3.000 15. Se tienen (a2 – 2ab – 15b2) libros que deben ser guardados en (a + 3b) cajas. Si en cada caja se pone la misma cantidad de libros, ¿cuántos libros habrá por cada caja? A) a + 5b B) a – 6b C) a – 5b D) a – 2b E) a + 6b 4  5 16. El valor de x en la ecuación 5x  2   x   x  3 es 3  6 34 A) 31 2 B) 13 2 C) 23 17 D) 13 34 E) 13 x + (c + 1)y = 0 17. El sistema en el cual c  0, admite una solución (x, y), con x = 1. cx + y = -1 ¿Cuál es el valor de c? A) 2 B) 1 C) -1 D) -2 E) -3 8 18. (x – 3)2 + y2 – x2 + 6x – 9 = A) y2 B) y2 + 6x C) y2 + 12x D) y2 – 2x2 + 6x E) y2 – 2(3 – x)2 c(k + c) 19. La diferencia entre y t3, respectivamente, es igual a 2. Si c  0 y t = 2, 2c entonces ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) k = c – 20 B) k = 20 – c C) k = 20 – 2c2 D) k = 40 – 2c 2 20. Si x es un número real positivo, tal que 0,5 + > 2,5, entonces x no puede tomar el x valor A) 0,125 B) 0,333 C) 0,758 D) 0,901 E) 1,001 2x + 3 > 5x - 2 21. El intervalo solución del sistema de inecuaciones en x, x 1 es < 2x + 3 2 A)  B) ]-, +[  7 C)  ,    3  7 5 D)  3 , 3     5 E)  , 3    9 x 1 22. Sea > 2 , entonces el conjunto que representa la solución de la inecuación es x 1 A) x  / x  1 B) x  / 1  x  3 C) x  / 1  x  3 D) x  / x  3 E) x  / 1  x  3 n m 23. Si m + n = 5 y mn = 2, entonces + = m n 2 A) 3 1 B) 3 1 C) 2 D) 1 E) 3 24. Sean x y w dos números reales tales que x = -x, -w = w y x > w. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) x–w>0 II) x+w>0 III) xw < 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III 10 25. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s), respecto a la ecuación x 4 + = 0? x+1 x  3 I) Las soluciones son reales. II) La suma de las soluciones es -1. III) El producto menos la suma de las soluciones es 5. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 26. Sea f una función con dominio el conjunto de los números reales, tal que f(x) = 6 – 5x y f(t) = 8, entonces t es igual 2 A)  5 2 B) 5 C) 6 6 D) 5 E) 3 27. En una fábrica, el número total de piezas producidas en las primeras t horas diarias de trabajo está dado por: 50(t2 + t); 0t4 f(t) = 200(t + 1); 4<t8 El número de piezas producidas durante la quinta hora de trabajo es A) 40 B) 200 C) 1000 D) 1200 E) 2200 11 28. Las funciones f(x) = 3 – 4x y g(x) = 3x + m, son tales que f(g(x)) = g(f(x)) para cualquier valor real de x. ¿Cuál es el valor de m? 6 A) - 5 2 B) - 3 5 C) 4 9 D) 5 9 E) 4 29. Sea f una función con dominio el conjunto de los números enteros, tal que f(x + 1) = (f(x))2 y f(0) = 10. Entonces, f(4) es igual a A) 1016 B) 100 C) 10256 D) 101 E) 121 30. En la ecuación en x, tx2 + (t – 6)x + 6 = 0, ¿qué valor debe tener t para que una de las soluciones sea 2? A) 1 B) -2 C) 3 D) 4 E) 5 12 x 31. Dada la función f(x) = + 1, con dominio el conjunto de los números reales, el gráfico 2 -1 de su inversa f (x) es A) y B) y 2 1 0 x x 2 1 y y C) D) 1 x -1 1 x -2 -2 E) y 1 -2 x 13 32. Sea f una función definida por x; si x es un número racional f(x) = 1 - ; si x es un número irracional x En esas condiciones f(-1) + f( 2 + 1) es igual a A) - 2 + 1 B) 2 +1 C) - 2 D) f( 2 ) E) -2 2 + 1 33. En la figura adjunta se muestran las gráficas de las funciones f(x) = -x3 + 8 y g(x) = x2 + x + m. ¿Cuál es el valor de g(1)? y x A) -6 B) -5 C) -4 D) -3 E) -2 34. Si f es una función definida en el conjunto de los números reales, talque f(x) = 2x 3 + 4, entonces su función inversa es 3 x4 A) f 1  x   2 x4 B) f 1  x   3 2 3 x4 C) f 1  x   2 x4 D) f 1  x   3 2 14 35. Sea f(x) una función con dominio el conjunto de los números reales, se puede determinar el valor de x, si se sabe que: (1) 5f(x) = f(x) (2) f(x) = 3x + 1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 36. El punto simétrico de (0, -10) respecto del eje de las ordenadas se traslada según el vector v(-10, 10) siendo ahora sus coordenadas (a, b). ¿Cuál es el valor de b – a? A) -20 B) -10 C) 0 D) 10 E) 20 37. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto del punto del plano cartesiano (m, -n) cuando se rota en torno al origen? I) Si se rota en 180° sus nuevas coordenadas son (-m, n). II) Si se rota en 90° en sentido antihorario sus nuevas coordenadas son (-n, m). III) Si se rota en 90° en sentido horario sus nuevas coordenadas son (n, m). A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 15 38. El cuadrilátero de vértices A(0, 0); B(1, 3); C(1, 7) y D(0, 4) es un A) rombo. B) cuadrado. C) romboide. D) rectángulo. 39. En el triángulo ABC de la figura adjunta ABED es trapecio y DE es bisectriz del CDB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? C D E A B CD CE I) = AD EB II) AB · CD = DE · CA III) ABD es isósceles A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 40. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si dos triángulos equiláteros tienen igual perímetro son congruentes. II) Si dos triángulos rectángulos tienen igual área son congruentes. III) Si dos triángulos tienen sus ángulos homólogos congruentes son congruentes. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas 16 41. El triángulo PQR de la figura adjunta es rectángulo en R. Si QR = 2 y RS = 1, ¿cuál es el área del triángulo PSR? R P S Q 3 A) 2 3 B) 3 3 C) 4 3 D) 6 E) Ninguna de las anteriores 42. En la circunferencia de la figura adjunta, las cuerdas AB y CD se intersectan en el punto P. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? D B P A C DP AD I) = BP CB II) ADC  CBA 2 área PCB  PC  III) =   área PAD  PA  A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 17 43. En la figura adjunta, L1 // L2 // L3 y L4, L5 transversales a las rectas paralelas, a + b = 8 y c + d = 12. Si d – b = 1, entonces c = L4 L5 L1 a c L2 b d L3 A) 2 B) 3 C) 8 D) 9 E) 10 44. De todas las rectas que pasan por el origen; NO tiene ecuación de la forma y = mx con m número real no nulo A) la bisectriz de los cuadrantes I y III. B) la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, -1). C) la bisectriz de los cuadrantes II y IV. D) la recta de ecuación x = 2y. E) el eje de las ordenadas. 45. El gráfico de la ecuación y – 1 = 2(x – 4) es A) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (-1, -4). 1 B) La recta de pendiente que pasa por el punto (-1, -4). 2 C) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (4, 1). D) La recta de pendiente 2 que pasa por el punto (-4, -1). 18 46. Las rectas L1 y L2 de la figura adjunta son perpendiculares y L 2 pasa por el origen. Si L1 corta al eje y en el punto (0, 4), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a L2? y L2 6 x L1 A) (5, 7) B) (4, 5) C) (1, 2) D) (6, 9) E) (3, 4) 47. ¿Cuál de los siguientes valores debe tener m para que se cumpla que P(m, 2m) equidiste de los puntos Q(3, 0) y R(-7, 0)? A) -4 B) -2 C) 0 D) 2 E) 2 48. Una de las diagonales de un cuadrado tiene puntos extremos A = (1, 1) y C = (3, 3). Las coordenadas de los otros dos vértices del cuadrado son A) (2, 3) y (3, 2) B) (3, 1) y (1, 3) C) (3, 0) y (1, 4) D) (5, 2) y (4, 1) E) (4, 2) y (2, 4) 19  1 49. Dada la recta de ecuación y =  -  x + b , con m y b no nulos, la ecuación de la recta  m perpendicular a ésta que pasa por el origen es A) y = mx B) y = bx C) y = my 1 D) y = - x m 50. La recta L de la figura adjunta corta el eje x en el punto de abscisa y L 3 2 a 4 x A) 8 – 3a B) 3a – 8 C) 5a D) -3a – 8 E) -5a 51. En el segmento AD de la figura adjunta se puede saber en qué razón están las longitudes de CD y AD respectivamente, si: A B C D (1) AB = 4 cm y BD = 16 cm (2) BC : CD = 1 : 3 y AB : AD = 1 : 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 20 52. En el gráfico adjunto se muestra el porcentaje del tiempo que un estudiante gasta en sus actividades durante el día. La cantidad de horas que el estudiante emplea “en otras actividades” en un día es 30% 25% 14% 10% Ir al Comer Dormir Hacer Otras colegio tareas actividades A) 2,25 B) 3,02 C) 3,57 D) 5,04 E) 6,70 53. El número de goles que marcó un equipo de fútbol y el número de goles que le marcaron en 10 partidos de un campeonato se muestra en el gráfico adjunto. Si la “diferencia de goles” se calcula restando a la cantidad de goles a favor la cantidad en contra, entonces la media de la diferencia de goles en estos 10 partidos es igual a Goles a favor Goles Goles en contra 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Partidos A) -0,3 B) -0,4 C) 0 D) 0,3 E) 0,4 21 54. En la tabla adjunta se muestra la distribución de las masas corporales, en kg, de un grupo de obreros de la construcción. Según esta tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? Masa (kg) Frecuencia Frecuencia acumulada [66, 72[ 20 [72, 78[ 52 [78, 84[ 38 [84, 90] 100 I) La mediana se encuentra en el intervalo modal. II) El 90% de los obreros tiene una masa corporal inferior a 84 kg. III) El 10% de los obreros tiene una masa corporal sobre 84 kg. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III 55. Dado el conjunto de símbolos {, , , #, , , , £, , }, ¿cuántos conjuntos de tamaño 3 se pueden obtener del conjunto inicial de 10 elementos, sabiendo que no se puede repetir ningún elemento, sin importar el orden? A) 4! B) 10! C) 120 D) 40 56. En la tabla adjunta se muestra la distribución de los diámetros de un conjunto de 48 bolitas de vidrio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Masa (kg) Frecuencia [1,60; 1,65[ 10 [1,65; 1,70[ [1,70; 1,75[ 14 [1,75; 1,80[ 4 [1,80; 1,85] 8 I) La frecuencia relativa del intervalo [1,65 ; 1,70[ es 0,25. II) La marca de clase del intervalo [1,80 ; 1,85[ es 1,825 cm III) La frecuencia acumulada del intervalo [1,75 ; 1,80[ es 40. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 22 57. Un conjunto está formado por diez enteros pares consecutivos. Si el mayor de los números de este conjunto es el 26, ¿cuál de las siguientes afirmaciones respecto de este conjunto es FALSA? A) La moda es un número par. B) La mediana es un número impar. C) El rango del conjunto es 18. D) La media es igual a la mediana. 58. De la siguiente lista de datos: 33, 34, 35, 36, 37 y 38, ¿cuál es el segundo cuartil? A) 2 ∙ 35 B) 2 ∙ 36 C) 2 ∙ 35,5 35 D) 2 36 E) 2 59. Cristián y Mario han elaborado un código de señales utilizando 5 banderas de igual tamaño y forma, cada una de diferente color. Si para las diferentes señales se izan en un mástil en forma vertical, ¿cuántas señales diferentes pueden formar? A) 5 B) 75 C) 120 D) 110 E) 150 60. En una caja se tienen 9 fichas numeradas del 1 al 9. Si de la caja se extraen 3 fichas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea la ficha número 7? 1 A) 6 1 B) 3 2 C) 9 1 D) 4 2 E) 3 23 61. En determinada población humana la probabilidad de ser ciego es 0,0085 y la probabilidad de ser mudo es 0,005. Si la probabilidad de ser ciego y mudo es 0,0006, ¿cuál es la probabilidad de escoger al azar en esta población un individuo que sea ciego o mudo? A) 0,0129 B) 0,0141 C) 0,0135 D) 0,0091 19 11 12 62. Sean A y B dos eventos dependientes tales que P(A) = , P(B) = y P(AB) = . 50 50 25 ¿Cuál es la probabilidad aproximada que ocurra el evento B, dado que el evento A ya ocurrió? A) 0,32 B) 0,22 C) 0,16 D) 0,12 E) 0,10 63. Un ginecólogo detecto que una de sus pacientes está embarazada y se encuentra esperando trillizos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las guaguas sea de sexo masculino? A) 25 % B) 33,3 % C) 43,7 % D) 64,6 % E) 87,5 % 24 64. Un curso universitario está formado por 10 mujeres de las cuales 3 son extranjeras y por 15 hombres de los cuales 5 son extranjeros. Si se selecciona a un estudiante de este curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante escogido NO sea extranjero? 1 A) 5 8 B) 25 17 C) 25 7 D) 12 7 E) 10 65. Dada una población de números con desviación estándar  y varianza 2, se puede determinar que  = 2, si se sabe que: (1) al menos hay un cero en la población. (2) el rango de la población es cero. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 25