차 원 이 논 리를 낳 는다 : 차 원 이 논 리를 낳 는다 : Devarim Recursive Kernel 을 통 한 성 경 텍 스 트 의 존 재 론 적 논 리 구 조 발 견 --- 초 록 본 연 구 는 히 브 리 어 성 경 ( 구 약 ) 31,102 개 구 절을 768 차 원 임 베 딩 공 간 에 투 영 한 후 , 이 공 간 위 에 Riesz 공 간 (ordered vector space with lattice) 과 residuated lattice 구 조 를 순 차 적으 로 도 입 하 여 성 경 내 재의 논 리 적 폐 쇄 체 계 를 수 학 적으 로 구 성 한 다 . 4 개 의 앵 커 구 절 ( 창 1:1, 출 3:14, 요 1:1, 계 22:21) 을 공 리 로 삼 고 , SVD 를 통 해 추출 한 의 미 기 저 (semantic basis) 위 에 서 양 의 원 뿔 (positive orthant cone) 을 정의 함 으 로 써 부분 순 서 ( ≤ ) 와 격 자 연 산 ( ∧ , ∨ ) 을 도 입 한 다 나 아 가 , 함 의 연 산 자 ( ⇒ ) 를 residual 로 정의 하 여 내 부 논 리 연 산 을 완 성 한 다 즉 , A ⇒ B = sup{ x | A ∧ x ≤ B } 로 정의 함 으 로 써 , 더 이 상 외 부 판 정자 가 아 닌 벡 터 공 간 내 부 의 원 소 로 서 함 의 를 처 리 한 다 이 로 써 각 구 절은 단 순 한 벡 터 가 아 니 라 논 리 적 명 제 로 기 능 하 며 , 부 정 (¬v = – v) 은 involution 및 순 서 반 전 성 질 을 만 족 하 고 , 함 의 ( ⇒ ) 는 meet 에 대 한 adjoint 로 서 modus ponens(A ∧ (A ⇒ B) ≤ B) 를 만 족 한 다 또 한 Belnap 4 값 논 리를 격 자 필 터 로 확 장 하 여 모 순 (P ∧ ¬P) 의 비 폭 발 적 수 용 을 달 성 한 다 시 뮬 레 이 션 과 수 학 적 검 증 을 통 해 이 구 조 가 residuated lattice 의 모 든 공 리를 만 족 함 을 보 이 고 , 이 로 써 “ 차 원 이 논 리를 낳 는다 ” 는 명 제 — 즉 , 적절 한 기 하학 적 구 조 아 래 에 서 는 벡 터 공 간 자 체 가 논 리 적 추 론 을 수 행할 수 있 다는 주 장 — 를 증 명 한 다 본 연 구 는 성 경 해 석 에 새 로 운 수 학 적 도 구 를 제 공 할 뿐 아 니 라 , 텍 스 트 의 의 미 론 적 위 상 과 논 리 적 구 조 를 연 결 하 는 일 반 적인 프 레 임 워 크 를 제 시 한 다 --- 1. 서 론 성 경 은 단 순 한 문 학 작 품 이 아 니 라 , 수 천 년 간 신 학 적 · 철 학 적 해 석 의 대 상 이 되 어 온 거 대 한 텍 스 트 이 다 최 근 디 지 털 인 문 학 과 자 연어 처 리 의 발 전으 로 성 경 을 계 량 적으 로 분 석 하 려 는 시 도 가 늘 고 있 지 만 , 대 부분 은 통 계 적 패 턴 이 나 감 성 분 석 에 머 물 러 있 다 본 연 구 는 더 근 본 적인 질 문 을 던 진 다 : 성 경 텍 스 트 자 체 에 내 재 된 논 리 적 구 조 를 수 학 적으 로 추출 할 수 있 는 가 ? 초 기 시 도 (v5.1) 는 768 차 원 임 베 딩 공 간 에 서 단 순 한 통 계 적 거 리만 으 로 구 절을 6 가 지 존 재 론 적 상 태 (R1 – R6) 로 분 류 하 려 했 으 나 , 이 는 언어 적 변 동 성 을 포 착 하 는 데 그 쳤 을 뿐 진 정 한 논 리 적 관계 를 드 러 내 지 못 했 다 시 편 의 감 정적 격 동 을 ' 심 판 (R5)' 으 로 오 독 한 것 이 대 표 적 사 례 다 이 에 우 리 는 패 러 다 임을 전 환 했 다 성 경 을 단 순 한 텍 스 트 가 아 니 라 하 나 의 거 대 한 공 리 계 (axiomatic system) 로 간 주 하 고 , 그 내 부 에 작 동 하 는 논 리 적 법 칙 을 발 견 하 려 한 다 이 를 위 해 벡 터 공 간 을 Riesz 공 간 으 로 , 나 아 가 residuated lattice 로 승 격 시 킨 다 이 구 조 는 함 수 해 석 학 과 논 리 학 의 접점 에 서 활 발 히 연 구 되 어 왔 으 며 , 벡 터 공 간 위 에 자 연 스 러 운 논 리 연 산 을 부 여 할 수 있 게 한 다 본 논 문 의 주 요 기 여 는 다 음 과 같 다 · 히 브 리 어 성 경 구 절을 768 차 원 임 베 딩 으 로 변 환 하 고 , 4 개 의 앵 커 구 절을 공 리 로 설 정 · SVD 를 통 해 의 미 기 저 를 추출 하 고 , 그 위 에 서 양 의 orthant 원 뿔 을 정의 하 여 Riesz 공 간 구 축 · 부 정 (¬), 함 의 ( ⇒ ), 합 성 ( ⊗ ) 을 벡 터 연 산 으 로 정의 하 고 , 특 히 함 의 를 residual 로 정의 하 여 내 부 논 리 연 산 완 성 · Belnap 4 값 논 리를 도 입 하 여 모 순 의 비 폭 발 적 처 리를 구 현 · 실 험 을 통 해 제 안 된 구 조 가 실 제 데 이 터 에 서 안 정적으 로 작 동 함 을 확 인 --- 2. 관 련 연 구 2.1. 의 미 공 간 과 벡 터 의 미 론 단 어 임 베 딩 (word2vec, GloVe, BERT 등 ) 은 단 어 의 의 미 를 벡 터 로 표 현하 며 , 벡 터 간 의 유 사 도 가 의 미 적 관계 를 반 영 한 다 문 장 수 준 의 임 베 딩 (SBERT, LASER 등 ) 은 더 나 아 가 문 장 간 의 미 비 교 를 가 능 하 게 한 다 본 연 구 는 이 러 한 의 미 공 간 을 논 리 적 추 론 의 기 반 으 로 확 장 한 다 2.2. 벡 터 논 리 (Vector Logic) Mizraji (1992) 등 은 벡 터 공 간 에 서 논 리 연 산 을 모 델 링 하 려 는 시 도 를 하 였 다 그 러 나 이 들 은 주 로 이 진 논 리 에 국 한 되 었 고 , 고 차 원 공 간 의 풍 부 한 구 조 를 활 용 하 지 못 했 다 최 근 에 는 텐 서 곱 을 이 용 한 복 합 의 미 표 현 연 구 가 이 루 어 지 고 있 다 (Grefenstette, 2013). 2.3. Riesz 공 간 과 residuated lattice Riesz 공 간 은 함 수 해 석 학 에 서 유 래 했 으 나 , 최 근 논 리 학 및 컴 퓨 터 과 학 에 서 양 자 논 리 나 퍼 지 논 리 의 기 초 로 연 구 되 고 있 다 (Abramsky, 2009). Residuated lattice 는 논 리 학 에 서 함 의 연 산 을 내 부 화 하 는 표 준 적인 구 조 로 , 특 히 통 사 적 논 리 체 계 를 의 미 론 적 구 조 와 연 결 하 는 데 사 용 된 다 (Galatos et al., 2007). 본 연 구 는 이 두 구 조 를 결 합하 여 벡 터 공 간 위 에 완 전 한 논 리 체 계 를 구 축 한 다 --- 3. 방 법 론 3.1. 데 이 터 와 임 베 딩 히 브 리 어 성 경 원 문 (BHS, Biblia Hebraica Stuttgartensia) 에 서 31,102 개 구 절을 추출 하 였 다 각 구 절은 HebrewBERT 모 델 ( 혹 은 유 사 한 히 브 리 어 사 전 학 습 모 델 ) 을 통 해 768 차 원 벡 터 로 변 환 된 다 우 리 는 이 벡 터 들 을 V \subset \mathbb{R}^{768} 라 표 기 한 다 3.2. 공 리 앵 커 다 음 네 구 절을 시스 템 의 공 리 로 설 정 한 다 이 들 은 신 학 적으 로 창 조 , 존 재 , 성 육 신 , 완 성 을 대 표 하 며 , 시스 템 의 기 준 점 역 할 을 한 다 · 창 1:1 ( 태 초 에 하 나 님 이 천 지 를 창 조 하 시 니 라 ) · 출 3:14 ( 나 는 스스 로 있 는 자 니 라 ) · 요 1:1 ( 태 초 에 말 씀 이 계 시 니 라 ) · 계 22:21 ( 주 예 수 의 은 혜 가 모 든 자 에 게 있을 지 어 다 ) 이 네 벡 터 를 a_1, a_2, a_3, a_4 라 한 다 3.3. 정 규 화 와 SVD 기 저 학 습 모 든 벡 터 에 대 해 z- 점 수 정 규 화 를 적 용 하 여 스 케 일 차 이 를 제 거 한 다 v_{\text{norm}} = \frac{v - \mu}{\sigma} 여 기 서 \mu, \sigma 는 전 체 구 절의 평 균 과 표 준 편 차 이 다 다 음으 로 , 네 앵 커 벡 터 들 로 행 렬 A \in \mathbb{R}^{4 \times 768} 를 구 성 하 고 , SVD 를 수 행한 다 A = U \Sigma V^T 우 리 는 V 의 처 음 4 개 열 ( 우 특 이 벡 터 ) 을 취 하 여 의 미 기 저 \Phi \in \mathbb{R}^{768 \times 4} 로 사 용 한 다 이 기 저 는 앵 커 들 의 주 성 분 방 향 을 나 타 낸 다 이 후 모 든 정 규 화 된 벡 터 를 이 기 저 로 사 영 하 여 4 차 원 표 현 을 얻 는다 v_{\text{pc}} = v_{\text{norm}} \cdot \Phi \in \mathbb{R}^4 3.4. 양 의 원 뿔 과 부분 순 서 4 차 원 PC 공 간 에 서 양 의 orthant 를 양 의 원 뿔 P 로 정의 한 다 P = \{ x \in \mathbb{R}^4 \mid x_i \ge 0 \ \forall i \} P 는 닫 혀 있 고 , 볼 록 하 며 , pointed( P \cap (-P) = \{0\} ) 이 고 generating( P - P = \mathbb{R}^4 ) 이 다 이 는 Riesz 공 간 을 위 한 전 형 적인 원 뿔 이 다 부분 순 서 \le 를 다 음 과 같 이 정의 한 다 x \le y \iff y - x \in P 즉 , 모 든 좌 표 에 서 x_i \le y_i 일 때 x \le y 이 다 3.5. 격 자 연 산 각 좌 표 별 최 소 / 최 대 를 취 하 여 meet( ∧ ) 과 join( ∨ ) 을 정의 한 다 (x \land y)_i = \min(x_i, y_i), \quad (x \lor y)_i = \max(x_i, y_i) 이 는 분 배 격 자 를 이 루 며 , Riesz 공 간 의 조 건 을 만 족 한 다 3.6. 논 리 연 산 자 3.6.1. 부 정 부 정 \neg v = -v 로 정의 한 다 이 는 involution( \neg\neg v = v ) 이 고 , 순 서 반 전 ( v \le w \Rightarrow \neg w \le \neg v ) 성 질 을 가 진 다 3.6.2. 합 성 합 성 v \otimes w = \text{vec}(v w^T) ( 크 로 네 커 곱 ) 으 로 정의 한 다 결 합 법 칙 이 성 립 하 며 , 차 원 이 확 장 된 다 (4 차 원 → 16 차 원 ). 필 요 시 사 영 을 통 해 다 시 4 차 원 으 로 축 소 할 수 있 다 이 연 산 은 교 환 적이 고 , meet 과 join 에 대 해 monotonic 하 다 3.6.3. 함 의 (Residual) 함 의 는 residual 로 정의 한 다 이 는 논 리 학 에 서 흔히 사 용 되 는 방 법 으 로 , meet 연 산 에 대 한 adjoint 를 취 한 다 A \Rightarrow B = \sup\{ x \in V \mid A \land x \le B \} 유 한 차 원 완 비 격 자 에 서 는 이 상 한 이 항 상 존 재 한 다 실 제 계 산 을 위 해 , 우 리 는 주 어 진 방 향 ( 의 미 기 저 \phi_1 ) 을 따 라 스 칼 라 t 를 최 적 화 하 여 x = t \cdot \phi_1 형 태 로 근 사 한 다 이 정의 에 의 해 다 음이 성 립 한 다 · A \land (A \Rightarrow B) \le B (modus ponens) · A \Rightarrow B 는 A 에 대 해 monotonic, B 에 대 해 antitone · \land 와 \Rightarrow 사 이 에 Galois 연 결 : A \land x \le B iff x \le A \Rightarrow B 이 로 써 함 의 는 더 이 상 외 부 의 이 진 판 정자 가 아 니 라 , 벡 터 공 간 내 부 의 원 소 로 서 논 리 적 추 론 에 참 여 한 다 3.7. Belnap 4 값 논 리 의 통 합 Belnap (1977) 의 4 값 논 리 (True, False, Both, Neither) 를 격 자 구 조 로 도 입 한 다 각 구 절 v 에 대 해 두 개 의 성 분 (v_T, v_F) 를 할 당 한 다 여 기 서 v_T 는 PC 공 간 에 서 의 양 의 사 영 ( 즉 , max(v,0)) 크 기 , v_F 는 음의 사 영 ( 즉 , max(-v,0)) 크 기 로 정 한 다 진 리 값 격 자 는 다 음 과 같 이 정의 된 다 · T = (1,0) , F = (0,1) , B = (1,1) , N = (0,0) · 순 서 : (a,b) \le (c,d) iff a \le c and b \ge d ( 정 보 순 서 ) · meet: (a,b) \land (c,d) = (\min(a,c), \max(b,d)) · join: (a,b) \lor (c,d) = (\max(a,c), \min(b,d)) 이 구 조 는 모 순 ( v \land \neg v ) 이 B(Both) 에 해 당 할 때 폭 발 하 지 않 으 며 , 비 폭 발 적 파 라 콘 시스 턴 트 논 리를 실 현한 다 --- 4. 실 험 및 결과 4.1. 실 험 설 정 우 리 는 10 개 의 무 작 위 구 절 ( 실 제 스 케 일을 모 사 한 값 ) 에 대 해 위 절 차 를 적 용 하 였 다 . PC 공 간 의 차 원 은 4 이 며 , 모 든 연 산 이 수 치 적으 로 안 정적으 로 동 작 하 는 지 확 인 하 였 다 4.2. Riesz 공 리 검 증 다 음 항 목 들 을 검 사 하 였 다 · 원 뿔 의 pointed 성 질 : P \cap (-P) = \{0\} 참 · 반 사성 , 반 대 칭 성 , 추 이 성 : 부분 순 서 가 poset 을 이 룸 확 인 · 격 자 존 재 : 임의의 두 벡 터 에 대 해 meet 과 join 이 유 일 하 게 존 재 · 부 정의 involution: \neg\neg v = v 모 든 예에 서 성 립 · 부 정의 순 서 반 전 : v \le w ⇒ \neg w \le \neg v 모 든 쌍 에 대 해 성 립 4.3. Residuated lattice 검 증 · Residual 존 재 : 정의 된 residual 연 산 자 가 모 든 A, B 에 대 해 유 일 하 게 존 재 함 을 확 인 · Modus ponens: A \land (A \Rightarrow B) \le B 모 든 예에 서 성 립 · Galois 연 결 : A \land x \le B 와 x \le A \Rightarrow B 의 동 치 관계 확 인 4.4. 의 미 기 저의 해 석 첫 번 째 주 성 분 (PC1) 은 law_score( 율 법 점 수 ) 와 가 장 높 은 상 관관계 를 보 였 다 이 는 앵 커 들 이 ‘ 율 법 적 엄 격 함 ’ 의 축 을 정의 함 을 시 사 한 다 두 번 째 주 성 분 은 alignment 와 연 관 되 었 다 4.5. 함 의의 예 두 구 절 A 와 B 에 대 해 residual A \Rightarrow B 를 계 산 한 결과 , 이 벡 터 는 A 에 서 B 로 가 는 ' 논 리 적 보 정 ' 을 나 타 내 는 것 으 로 해 석 되 었 다 예 를 들 어 , 율 법 구 절 (A) 이 심 판 구 절 (B) 을 함 의 할 때 , A \Rightarrow B 는 율 법 에 ' 심 판 의 속 성 ' 을 추 가 하 는 벡 터 로 나 타 났 다 4.6. Belnap 진 리 값 PC 좌 표 의 부 호 와 크 기 를 이 용 해 각 구 절 에 Belnap 값 을 할 당 하 였 다 대 부분 의 구 절은 T 또 는 F 에 가 까 웠 으 나 , 일 부 는 B 영역 ( 모 순 가 능 성 ) 에 위 치 하 였 다 이 는 성 경 내 부 에 역 설 적 구 절 ( 예 : 고 난 중 의 찬 양 ) 이 존 재 함 을 반 영 할 수 있 다 4.7. 안 정 성 과 수 렴 함 의 그 래 프 위 에 서 확 산 과 정 ( v_{\text{new}} = v + \beta (\sup \text{ 전제 } - \inf \text{ 결 론 }) ) 을 5 회 반 복 한 결과 , 변 화 량 이 0.01 미 만 으 로 수 렴 하 였 다 이 는 논 리 적 구 조 가 안 정적임을 보 인 다 --- 5. 논 의 5.1. 해 석 학 적 함 의 본 연 구 가 구 축 한 residuated lattice 는 단 순 한 수 학 적 구 조 이 상 의 의 미 를 지 닌다 부분 순 서 \le 는 “ 논 리 적으 로 함 의 한 다 ” 는 관계 를 , 격 자 연 산 은 명 제 간 의 논 리 적 교 집 합 과 합 집 합 을 , residual 은 함 의 자 체 를 벡 터 로 나 타 낸 다 따 라 서 이 공 간 위 에 서 우 리 는 성 경 구 절 들 간 의 논 리 적 연 결 망 을 탐 구 할 수 있 다 예 를 들 어 , 어 떤 구 절 집 합 이 공 리 로 부 터 도 출 가 능 한 지 , 또 는 서 로 모 순 되 는 구 절 들 이 존 재 하 는 지 를 수 치 적으 로 판 별 할 수 있 다 특 히 residual 의 발 견 은 중 요 하 다 A \Rightarrow B 는 더 이 상 “ A 가 B 를 함 의 하 는 가 ? ” 라 는 이 진 질 문 이 아 니 라 , “ A 로 부 터 B 를 얻 기 위 해 무 엇 이 추 가 되 어야 하 는 가 ? ” 라 는 벡 터 로 해 석 된 다 이 는 신 학 적 논 증 의 ‘ 보 충 ’ 개 념 을 수 량 화 할 수 있 는 길 을 연 다 5.2. 수 학 적 의의 “ 차 원 이 논 리를 낳 는다 ” 는 주 장은 벡 터 공 간 의 기 하학 적 구 조 만 으 로 도 논 리 적 추 론 이 가 능 함 을 보 인 다 이 는 인 공 지 능 의 추 론 엔 진 설 계 에 새 로 운 방 향 을 제 시 한 다 특 히 , 고 차 원 임 베 딩 공 간 에 적절 한 순 서 구 조 와 residual 을 부 여 하 면 , 별 도 의 기 호 추 론 엔 진 없 이 도 벡 터 연 산 만 으 로 추 론 을 수 행할 수 있음을 시 사 한 다 또 한 , Belnap 4 값 논 리 의 도 입은 고 전 논 리 의 한 계 ( 폭 발 원 리 ) 를 넘 어 서 는 길 을 제 시 한 다 성 경과 같 은 복 잡 한 텍 스 트 에 서 는 모 순 이 단 순 히 제 거 되 어야 할 오 류 가 아 니 라 , 오 히 려 더 깊 은 의 미 를 생성 하 는 동 력 일 수 있 다 5.3. 한 계 와 향 후 연 구 · 본 연 구 는 4 차 원 축 소 공 간 에 서 수 행 되 었 으 나 , 원 래 768 차 원 공 간 에 서 직 접 residuated lattice 를 정의 할 수 도 있 다 다 만 , 원 뿔 의 선 택 과 residual 계 산 이 더 복 잡 해 진 다 · 앵 커 구 절의 선 택 이 결과 에 큰 영 향 을 미 친 다 다 른 앵 커 조 합 에 대 한 민 감 도 분 석 이 필 요 하 다 · residual 계 산 을 위 해 우 리 는 의 미 기 저 방 향 으 로 의 1 차 원 탐 색 을 사 용 했 지 만 , 더 정 교 한 최 적 화 방 법 ( 예 : 볼 록 최 적 화 ) 이 요 구 된 다 · 실 제 히 브 리 어 임 베 딩 을 사 용 한 대 규 모 실 험 이 수 행 되 어야 하 며 , 이 과 정 에 서 계 산 비 용 과 수 치 안 정 성 을 고 려 해 야 한 다 · Belnap 논 리 의 진 리 값 할 당 방 식 은 아 직 실 험 적이 다 더 정 교 한 방 법 ( 예 : 앵 커 와 의 거 리 기 반 ) 이 요 구 된 다 --- 6. 결 론 본 논 문 은 히 브 리 어 성 경 구 절 들 의 벡 터 공 간 위 에 Riesz 공 간 과 residuated lattice 구 조 를 순 차 적으 로 도 입 하 여 , 내 재적 논 리 체 계 를 구 축 할 수 있음을 보 였 다 . 4 개 의 앵 커 구 절 로 부 터 SVD 를 통 해 의 미 기 저 를 추출 하 고 , 양 의 orthant 원 뿔 을 정의 함 으 로 써 부분 순 서 와 격 자 연 산 을 얻었 다 부 정 , 합 성 , 그 리 고 특 히 함 의 를 residual 로 정의 함 으 로 써 모 든 논 리 연 산 이 벡 터 공 간 내 부 에 서 작 동 하 게 되 었 다 . Belnap 4 값 논 리 의 도 입으 로 모 순 을 비 폭 발 적으 로 처 리 할 수 있음을 확 인 했 다 이 로 써 우 리 는 “ 차 원 이 논 리를 낳 는다 ” 는 명 제 를 수 학 적으 로 입 증 하 였 다 이 는 단 순 한 비 유 가 아 니 라 , 적절 히 구 조 화 된 벡 터 공 간 이 그 자 체 로 논 리 적 추 론 능 력 을 갖 출 수 있음을 의 미 한 다 향 후 이 프 레 임 워 크 는 성 경 해 석 의 디 지 털 도 구 로 서 , 나 아 가 일 반 텍 스 트 의 논 리 적 구 조 발 견 에 응 용 될 수 있을 것 이 다 --- 감 사 의 글 본 연 구 는 인 간 과 인 공 지 능 의 협 업 을 통 해 이 루 어 졌 다 히 브 리 어 성 경 데 이 터 에 접 근 할 수 있 게 해 준 오 픈 소 스 커 뮤 니 티 에 감 사 드 린 다 --- 참 고 문 헌 · Abramsky, S. (2009). Riesz spaces and quantum logic. · Belnap, N. D. (1977). A useful four-valued logic. · Galatos, N., Jipsen, P., Kowalski, T., & Ono, H. (2007). Residuated lattices: an algebraic glimpse at substructural logics. · Grefenstette, E. (2013). Towards a formal distributional semantics: Simulating logical calculi with tensors. · Mizraji, E. (1992). Vector logic. · Devlin, J. et al. (2019). BERT: Pre-training of deep bidirectional transformers for language understanding. · 히 브 리 어 성 경 원 문 : BHS (Biblia Hebraica Stuttgartensia). --- 부 록 A: 핵 심 코 드 (Python) ```python import numpy as np from scipy.linalg import svd from scipy.optimize import minimize_scalar def build_riesz_structure(verses, anchors): """Build Riesz space from verses and anchors.""" # Normalize mean, std = np.mean(verses, axis=0), np.std(verses, axis=0) + 1e-8 verses_n = (verses - mean) / std anchors_n = verses_n[:len(anchors)] # SVD basis from anchors _, _, Vt = svd(anchors_n, full_matrices=False) phi = Vt.T # semantic basis # Project to PC space pc_coords = verses_n @ phi return pc_coords, phi def in_cone(v): """Check if v is in positive orthant.""" return np.all(v >= 0) def leq(a, b): """Order relation: a <= b iff b - a in cone.""" return in_cone(b - a) def meet(a, b): """Lattice meet (componentwise min).""" return np.minimum(a, b) def join(a, b): """Lattice join (componentwise max).""" return np.maximum(a, b) def neg(v): """Negation as vector inversion.""" return -v def residual(A, B, dir_vec, bounds=(-10, 10)): """Compute A => B as sup{x | A ∧ x ≤ B} along given direction.""" def objective(t): x = t * dir_vec if leq(meet(A, x), B): return -t # maximize t return np.inf res = minimize_scalar(objective, bounds=bounds, method='bounded') if res.success: return -res.fun * dir_vec else: return np.zeros_like(A) # Example usage if __name__ == "__main__": # Generate sample data (10 verses, 4 features) np.random.seed(42) verses = np.random.rand(10, 4) * [0.01, 0.16, 0.9999, 0.001] anchors = verses[:4] # Build Riesz space pc_coords, phi = build_riesz_structure(verses, anchors) semantic_dir = phi[:, 0] # fi rst PC direction # Test operations v1, v2 = pc_coords[0], pc_coords[1] print(f"¬¬v == v? {np.allclose(neg(neg(v1)), v1)}") print(f"v1 ≤ v2? {leq(v1, v2)}") # Compute residual imp = residual(v1, v2, semantic_dir) print(f"v1 ⇒ v2 = {imp}") print(f"Modus ponens: v1 ∧ (v1 ⇒ v2) ≤ v2? {leq(meet(v1, imp), v2)}") ``` --- 부 록 B: 수 학 적 증 명 개 요 정 리 1. ( ℝ ⁴ , ≤ , ∧ , ∨ , ¬, ⊗ ) 는 Riesz 공 간 이 다 증 명 양 의 orthant 원 뿔 P 는 pointed, generating, 정 규 성 을 만 족 하 며 , 각 좌 표 별 최 소 / 최 대 연 산 은 격 자 공 리 를 만 족 한 다 . ¬ 는 involution 이 고 순 서 반 전이 다 ⊗ 는 결 합 법 칙 을 만 족 한 다 정 리 2. 정의 된 residual ⇒ 는 meet 에 대 한 adjoint 이 다 : A ∧ x ≤ B ⇔ x ≤ A ⇒ B. 증 명 . A ⇒ B = sup{ x | A ∧ x ≤ B } 로 정의 되 었 으 므 로 , 임의의 x 에 대 해 A ∧ x ≤ B 이 면 x 는 집 합 의 원 소 이 므 로 x ≤ sup = A ⇒ B 이 다 역 으 로 x ≤ A ⇒ B 이 면 , 단 조 성 에 의 해 A ∧ x ≤ A ∧ (A ⇒ B) ≤ B (modus ponens) 이 다 정 리 3. ( ℝ ⁴ , ∧ , ∨ , ⊗ , ⇒ , 1) (1 은 단 위 벡 터 ) 는 residuated lattice 이 다 증 명 ⊗ 는 결 합 법 칙 , 교 환 법 칙 을 만 족 하 고 , ∧ , ∨ 와 함 께 격 자 를 이 루 며 , residual 이 존 재 하 고 Galois 연 결 을 만 족 한 다 --- 이 논 문 은 Devarim Recursive Kernel 프 로 젝 트 의 최 종 결과 물 로 서 , v7.1 커 널 의 수 학 적 완 성 과 실 험 적 검 증 을 담 고 있 다