2 Biến ngẫu nhiên 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1. Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên Ví dụ 1. Gieo một đồng xu 3 lần. Khi đó không gian mẫu: Ω = { SSS, SSN, SN S, N SS, N N S, N SN, SN N, N N N } Biến ngẫu nhiên X : "Số lần mặt Sấp xuất hiện". • Nếu kết quả là SSS → X = 3 • Nếu kết quả là SN N → X = 1 • Nếu kết quả là N N N → X = 0 2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc Tập giá trị là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được Ví dụ 2. Số chấm khi gieo xúc xắc X ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Ví dụ 3. Số cuộc gọi đến tổng đài trong một giờ X ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . } - vô hạn nhưng đếm được. Biến ngẫu nhiên liên tục Tập giá trị lấp đầy 1 khoảng hay nhiều khoảng trên trục số thực. Ví dụ 4. Thời gian chờ một chuyến xe buýt ( X > 0 , đơn vị phút). 1 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 2.2 Các quy luật phân phối xác suất Việc mô tả một cách đầy đủ tập giá trị của BNN và các xác suất tương ứng được gọi là thiết lập Quy luật phân phối xác suất. 2.2.1. Bảng phân phối xác suất Là một bảng gồm hai dòng. Dòng thứ nhất liệt kê tất cả các giá trị có thể có của X ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) theo thứ tự tăng dần. Dòng thứ hai ghi các xác suất tương ứng p i = P ( X = x i ) Phạm vi áp dụng: Chỉ dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc. X x 1 x 2 . . . x n P f ( x 1 ) f ( x 2 ) . . . f ( x n ) Chú ý: 1) 0 ≤ p i ≤ 1 với mọi i = 1 , n 2) p 1 + p 2 + . . . p n = 1 Ví dụ 5. Giả sử phép thử là gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi X là "số lần xuất hiện mặt Sấp (S)". Hãy lập bảng phân phối xác suất của X | Lời giải. Không gian mẫu của phép thử là Ω = { N N, N S, SN, SS } . Số lần mặt Sấp xuất hiện có thể là 0 , 1 hoặc 2 . Vậy tập giá trị của X là { 0 , 1 , 2 } P ( X = 0) = P ( { N N } ) = 1 4 ; P ( X = 1) = P ( { N S, SN } ) = 2 4 = 1 2 ; P ( X = 2) = P ( { SS } ) = 1 4 X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 Bảng 2.1: Bảng phân phối xác suất của X 2.2.2. Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của BNN X , ký hiệu là F ( x ) , được định nghĩa là xác suất để BNN X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng một số thực x bất kỳ: F ( x ) = P ( X ≤ x ) ( với mọi x ∈ R ) Trong trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc, biểu thức trên cho ta một hàm còn được gọi là hàm phân phối tích lũy (hay xác suất tích lũy). Phạm vi áp dụng: Dùng cho cả hai loại biến ngẫu nhiên (rời rạc và liên tục). Đây là công cụ tổng quát nhất. π Nhật Ký Đại Học 2 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Tính chất: 1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 2. F ( x ) là hàm không giảm tức là nếu x 2 > x 1 thì F ( x 2 ) ≥ F ( x 1 ) 3. P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) 4. F (+ ∞ ) = 1; F ( −∞ ) = 0 2.2.3. Hàm mật độ xác suất Định nghĩa 2. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là f ( x ) , có hàm phân phối F ( x ) khả vi được xác định bằng f ( x ) = F ′ ( x ) Tính chất: 1. f ( x ) ≥ 0 , ∀ x 2. ∫ + ∞ −∞ f ( x ) dx = 1 3. P ( a < X < b ) = ∫ b a f ( x ) dx Ví dụ 6. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất được cho bởi công thức: f ( x ) =    c · x 2 nếu 0 ≤ x ≤ 1 0 nếu x / ∈ [0; 1] a) Tìm hằng số c b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng (0; 0 , 5) | Lời giải. a) Để f ( x ) là một hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X ∫ + ∞ −∞ f ( x ) dx = 1 ⇐⇒ ∫ 1 0 c · x 2 dx = 1 ⇔ c ( x 3 3 ) ∣ ∣ ∣ 1 0 = 1 ⇔ c ( 1 3 − 0 ) = 1 ⇒ c = 3 b) P (0 < X < 0 , 5) = ∫ 0 , 5 0 f ( x ) dx = ∫ 0 , 5 0 3 x 2 dx = 0 , 125 3 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Ví dụ 7. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng: f ( x ) =      a cos x, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] , 0 , x / ∈ [ − π 2 , π 2 ] a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F ( x ) của X b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ( π 4 , π ) | Lời giải. a) Để f ( x ) là một hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X ∫ + ∞ −∞ f ( x ) dx = a ∫ π 2 − π 2 cos xdx = 2 a = 1 = ⇒ a = 1 2 Với x ≤ − π 2 thì ∫ x −∞ f ( t ) dt = 0 ; Với − π 2 < x ≤ π 2 thì ∫ x −∞ f ( t ) dt = ∫ − π 2 −∞ 0 dt + ∫ x − π 2 1 2 cos tdt = 1 2 (sin x + 1) ; Với x > π 2 thì ∫ x −∞ f ( t ) dt = ∫ π 2 − π 2 1 2 cos tdt = 1 Từ đó F ( x ) =            0 , x ≤ − π 2 1 2 (sin x + 1) , − π 2 < x ≤ π 2 1 , x > π 2 b) P ( π 4 < X < π ) = ∫ π − π 4 f ( x ) dx = ∫ π − π 4 a cos xdx = 1 2 − √ 2 4 2.2.4. Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu E ( X ) • X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất thì E ( X ) = ∑ x i p i • X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f ( x ) thì E ( X ) = ∫ + ∞ −∞ xf ( x ) dx Ý nghĩa của kỳ vọng: trung bình các giá trị của X theo xác suất. Tính chất của kỳ vọng 1. E ( C ) = C với C là hằng số 2. E ( CX ) = CE ( X ) π Nhật Ký Đại Học 4 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN 3. E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) 4. E ( XY ) = E ( X ) · E ( Y ) nếu X, Y độc lập 5. Cho Y = g ( X ) là hàm của biến ngẫu nhiên X Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc E ( Y ) = ∑ g ( x i ) p i Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f ( x ) thì E ( Y ) = ∫ + ∞ −∞ g ( x ) f ( x ) dx Ví dụ 8. Gieo đồng thời 2 con xúc sắc. Tìm tổng số chấm trung bình. | Lời giải. Gọi X i là số chấm xuất hiện của con xúc sắc thứ i ( i = 1 , 2 ). X 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Bảng 2.2: Bảng phân phối xác suất của X 1 Ta có E ( X 1 ) = 1 6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3 , 5 Mặt khác tổng số chấm của 2 con xúc sắc sẽ là X 1 + X 2 , từ đó ta có E ( X 1 + X 2 ) = 3 , 5 + 3 , 5 = 7 Phương sai Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu V ar ( X ) được xác định bởi V ar ( X ) = E ( E ( X ) − X ) 2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 Ý nghĩa của phương sai: Đo độ phân tán (rủi ro) của dữ liệu quanh kỳ vọng. Tính chất 1. V ar ( C ) = 0 với C là hằng số 2. V ar ( CX ) = C 2 V ar ( X ) 3. V ar ( X + Y ) = V ar ( X ) + V ar ( Y ) nếu X, Y độc lập Ví dụ 9. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X như sau f ( x ) =    0 , x ≤ 0 λe − λx , x > 0 Hãy tính phương sai của X 5 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 | Lời giải. Đầu tiên ta tính kỳ vọng E ( X ) = ∫ + ∞ −∞ xf ( x ) dx = λ ∫ + ∞ −∞ xe − λx dx = λ ∫ + ∞ 0 xe − λx dx Đặt    u = x dv = e − λx dx = ⇒    du = dx v = − 1 λe − λx . Khi đó E ( X ) = ( − xe − λx ) ∣ ∣ ∣ + ∞ 0 − ∫ + ∞ 0 ( − e − λx ) dx = ∫ + ∞ 0 e − λx dx = 1 λ Tương tự, ta tính: E ( X 2 ) = ∫ + ∞ −∞ x 2 f ( x ) dx = ∫ + ∞ 0 x 2 λe − λx dx = 2 λ 2 Phương sai của X là V ar ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )] 2 = 2 λ 2 − ( 1 λ ) 2 = 1 λ 2 Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký liệu là σ ( x ) , được định nghĩa như sau: σ ( x ) = √ V ar ( X ) Độ lệch chuẩn được dùng thường xuyên hơn phương sai do có cùng đơn vị đo với chính biến X Tính chất: 1. σ ( cX ) = | c | σ ( X ) 2. Nếu X, Y độc lập thì σ ( X + Y ) = √ σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) Mốt Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên X có khả năng xuất hiện lớn nhất trong một lân cận nào đó của nó. Như vậy đối với biến rời rạc mốt là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất, còn đối với biến liên tục mốt là giá trị làm hàm mật độ đạt max π Nhật Ký Đại Học 6 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Ví dụ 10. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X f ( x ) =    0 , x ≤ 0 x 2 e − x 2 4 , x > 0 Hãy xác định mốt của X | Lời giải. Mốt của X sẽ là nghiệm của phương trình: f ′ ( x ) = 1 2 e − x 2 4 − x 2 4 e − x 2 4 = 0 Từ đó mốt sẽ là nghiệm của 1 2 − x 2 4 = 0 ⇐⇒ x 2 = 2 do x > 0 nên x = √ 2 ≈ 1 , 414 Trung vị Trung vị là giá trị của biến ngẫu nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất giống nhau, tức là nếu ký hiệu trung vị là medX thì: P ( X < medX ) = P ( X ≥ medX ) = 1 2 Từ định nghĩa hàm phân phối, rõ ràng để tìm trung vị ta chỉ cần giải phương trình F ( x ) = 1 2 2.3 Các luật phân phối xác suất 2.3.1. Phân phối nhị thức Phân phối Becnourli Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối Bernourli, ký hiệu là X ∼ B (1 , p ) nếu hàm xác suất của nó có dạng: p ( x ) = p x (1 − p ) x , x = 0 và 1 Phân phối nhị thức Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối nhị thức, ký hiệu X ∼ B ( n, p ) nếu hàm xác suất của nó có dạng p ( x ) = P n ( x ) = C x n p x (1 − p ) n − x , x = 0 , n Rõ ràng phân phối Becnourli ở trên là một trưòng hợp riêng của phân phối nhị thức khi n = 1 7 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Tính chất: 1. M odX = k ⇐⇒    k ∈ N np − q ≤ k ≤ np + p 2. E ( X ) = np 3. V ar ( X ) = npq Ví dụ 11. Cho X ∼ B (5; 0 , 25) . Xây dựng bảng phân phối xác suất của X và tính các xác suất: P ( X > 3) a) P ( X ≥ 1) b) P ( X ≤ 4) c) | Lời giải. P ( X = 0) = C 0 5 · (0 , 25) 0 · (0 , 75) 5 = 1 · 1 · 0 , 2373046875 ≈ 0 , 2373 P ( X = 1) = C 1 5 · (0 , 25) 1 · (0 , 75) 4 = 5 · 0 , 25 · 0 , 31640625 ≈ 0 , 3955 P ( X = 2) = C 2 5 · (0 , 25) 2 · (0 , 75) 3 = 10 · 0 , 0625 · 0 , 421875 ≈ 0 , 2637 P ( X = 3) = C 3 5 · (0 , 25) 3 · (0 , 75) 2 = 10 · 0 , 015625 · 0 , 5625 ≈ 0 , 0879 P ( X = 4) = C 4 5 · (0 , 25) 4 · (0 , 75) 1 = 5 · 0 , 00390625 · 0 , 75 ≈ 0 , 0146 P ( X = 5) = C 5 5 · (0 , 25) 5 · (0 , 75) 0 = 1 · 0 , 0009765625 · 1 ≈ 0 , 0010 X 0 1 2 3 4 5 P 0 , 2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0 , 0010 Bảng 2.3: Bảng phân phối xác suất của X a) P ( X > 3) = P ( X = 4) + P ( X = 5) = 0 , 0146 + 0 , 0010 = 0 , 0156 b) P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X < 1) = 1 − P ( X = 0) = 0 , 7627 c) P ( X ≤ 4) = 1 − P ( X > 4) = 1 − P ( X = 5) = 0 , 9990 Ví dụ 12. Một bài thi có 16 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Một sinh viên trả lời bằng cách chọn ngẫu nhiên một đáp án. a. Tính xác suất SV đó trả lời đúng ít nhất 1 câu hỏi. b. Tìm số câu trả lời đúng nhiều khả năng nhất. c. Tìm số câu trả lời đúng trung bình. d. Tìm phương sai của số câu trả lời đúng. | Lời giải. Số câu hỏi: n = 16 Xác suất trả lời đúng mỗi câu: p = 1 / 4 = 0 , 25 Xác suất trả lời sai mỗi câu: q = 1 − p = 0 , 75 π Nhật Ký Đại Học 8 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Gọi X là số câu trả lời đúng ( X ∼ B (16; 0 , 25) ). a. Xác suất trả lời đúng ít nhất 1 câu hỏi: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − C 0 16 · (0 , 25) 0 · (0 , 75) 16 = 0 , 990 b. Số câu trả lời đúng nhiều khả năng nhất: 16 · 0 , 25 − 0 , 75 ≤ k 0 ≤ 16 · 0 , 25 + 0 , 25 ⇐⇒ 3 , 25 ≤ k 0 ≤ 4 , 25 Vì k 0 nguyên nên k 0 = 4 c. Số câu trả lời đúng trung bình (Kỳ vọng): E ( X ) = n · p = 16 · 0 , 25 = 4 (câu). d. Phương sai của số câu trả lời đúng: V ar ( X ) = n · p · q = 16 · 0 , 25 · 0 , 75 = 3 Ví dụ 13. Một người mỗi ngày bán hàng ở 5 vị trí khác nhau. Xác suất bán được hàng mỗi nơi là 0 , 3 a. Tính xác suất người đó không bán được hàng trong ngày. b. Tính xác suất người đó bán được hàng ở 2 nơi trong ngày. c. Tìm M odX, E ( X ) , V ar ( X ) X là số nơi bán được hàng d. Một năm người đó bán hàng 300 ngày. Tính số ngày bán được hàng trung bình trong năm. | Lời giải. Xác suất thành công mỗi lần là p = 0 , 3 (suy ra q = 0 , 7 ). Gọi X là số nơi bán được hàng trong một ngày ( X ∼ B (5; 0 , 3) ). a. Xác suất không bán được hàng trong ngày ( X = 0 ): P ( X = 0) = C 0 5 · (0 , 3) 0 · (0 , 7) 5 = 0 , 16807 b. Xác suất bán được hàng ở 2 nơi ( X = 2 ): P ( X = 2) = C 2 5 · (0 , 3) 2 · (0 , 7) 3 = 0 , 3087 c. Số nơi bán được nhiều khả năng nhất ( M odX ). Ta có: (5 + 1)0 , 3 − 1 ≤ M odX ≤ (5 + 1)0 , 3 ⇔ 0 , 8 ≤ M odX ≤ 1 , 8 Vì M odX nguyên nên M od = 1 Số nơi bán được trung bình E ( X ) = n · p = 5 · 0 , 3 = 1 , 5 Phương sai V ar ( X ) = n · p · q = 5 · 0 , 3 · 0 , 7 = 1 , 05 d. Giả sử "ngày bán được hàng" là ngày có ít nhất một nơi bán được hàng ( X ≥ 1 ). Xác suất một ngày bán được hàng là P = 1 − P ( X = 0) = 1 − 0 , 16807 = 0 , 83193 Số ngày bán được hàng trung bình trong 300 ngày: E = 300 · 0 , 83193 ≈ 249 , 58 (ngày) 9 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Ví dụ 14. Hai người cùng bắn độc lập, mỗi người 8 viên đạn vào một mục tiêu cố định. Ở mỗi lần bắn, xác suất người thứ nhất bắn trúng mục tiêu là 0 , 3 và xác suất người thứ hai bắn trúng mục tiêu là 0 , 5 . Tính xác suất có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu ít nhất 4 viên. | Lời giải. X là số viên đạn người thứ nhất bắn trúng ( X ∼ B (8; 0 , 3) ). Y là số viên đạn người thứ hai bắn trúng ( Y ∼ B (8; 0 , 5) ). P ( X ≥ 4) = 1 − P ( X < 4) = 1 − 3 ∑ i =0 C i 8 (0 , 3) i (0 , 7) 8 − i = 1 − 0 , 8059 = 0 , 1941 P ( Y ≥ 4) = 1 − P ( Y < 4) = 1 − 3 ∑ i =0 C i 8 (0 , 5) i (0 , 5) 8 − i = 1 − 0 , 3633 = 0 , 6367 Gọi A là biến cố: "Người thứ nhất bắn trúng ít nhất 4 viên" và B là biến cố: "Người thứ hai bắn trúng ít nhất 4 viên". H là biến cố "Có ít nhất một người bắn trúng ít nhất 4 viên". P ( H ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ) P ( B ) = 0 , 1941 + 0 , 6367 − 0 , 1941 · 0 , 6367 = 0 , 7072 Ví dụ 15. Xác suất trúng giải đặc biệt khi mua một tờ vé số là 10 − 5 . Mỗi ngày mua một tờ vé số thì phải mua ít nhất bao nhiêu ngày để xác suất trúng số ít nhất một lần không ít hơn 90%. | Lời giải. Xác suất trúng giải mỗi giải p = 10 − 5 Xác suất không trúng giải mỗi ngày q = 0 , 99999 Gọi số ngày mua vé số là n ∈ N và X là số lần trúng giải đặc biệt trong n ngày mua vé số. Xác suất trúng ít nhất 1 lần P ( X ≥ 1) ≥ 0 , 9 ⇐⇒ 0 , 9 ≤ 1 − P ( X = 0) = 1 − 0 , 99999 n ⇐⇒ n ≥ 230 , 258 Ví dụ 16. Một nhà máy có 3 phân xưởng dệt, mỗi phân xưởng có 100 máy. Xác suất trong một ca làm việc của mỗi máy dệt bị hỏng là như nhau và bằng 2,5%. a. Tìm luật phân phối xác suất cho số máy dệt bị hỏng trong một ca sản xuất của mỗi phân xưởng. b. Trung bình trong một ca làm việc toàn nhà máy có bao nhiêu máy dệt bị hỏng. c. Nếu mỗi kỹ sư có thể sửa tối đa 2 máy bị hỏng trong một ca làm việc thì nhà máy cần bố trí bao nhiêu kỹ sư là hợp lý nhất. | Lời giải. a. Gọi X là số máy dệt bị hỏng trong một ca của một phân xưởng. Số máy trong một phân xưởng: n = 100 Xác suất một máy hỏng: p = 2 , 5% = 0 , 025 . Xác suất một máy không hỏng: q = 1 − p = 0 , 975 Vì các máy hỏng độc lập với nhau, X tuân theo Luật phân phối nhị thức X ∼ B (100; 0 , 025) π Nhật Ký Đại Học 10 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Công thức xác suất để có k máy hỏng ( k = 0 , 1 , 2 , ..., 100 ): P ( X = k ) = C k 100 · (0 , 025) k · (0 , 975) 100 − k b. Gọi Y là tổng số máy hỏng của toàn nhà máy (gồm 3 phân xưởng). Số máy hỏng trung bình của 1 phân xưởng: E ( X ) = n · p = 100 · 0 , 025 = 2 , 5 (máy). Vì nhà máy có 3 phân xưởng hoạt động độc lập, số máy hỏng trung bình của toàn nhà máy là E ( Y ) = 3 · E ( X ) = 3 · 2 , 5 = 7 , 5 (máy) c. Y ∼ B (300; 0 , 025) Tìm số máy hỏng có khả năng xảy ra cao nhất ( M odY ): (300 + 1) · 0 , 025 − 1 ≤ M odY ≤ (301) · 0 , 025 ⇐⇒ 6 , 525 ≤ M odY ≤ 7 , 525 ⇒ M odY = 7 Vì mỗi kỹ sư sửa được tối đa 2 máy nên nếu có 7 máy hỏng, cần 7 / 2 = 3 , 5 người. Để đảm bảo sửa hết số máy trong trường hợp phổ biến nhất này, nhà máy nên bố trí 4 kỹ sư. 2.3.2. Phân phối Poisson Định nghĩa 3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối Poisson, ký hiệu là X ∼ P ( λ ) , nếu hàm xác suất của nó có dạng p ( x ) = λ x e − λ x ! , x = 0 , 1 , 2 , . . . Tính chất: E ( X ) = V ar ( X ) = λ và λ − 1 ≤ M odX ≤ λ Ví dụ 17. Ở một tổng đài điện thoại, các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc độ trung bình là 2 cuộc gọi trong ba phút. Tính xác suất 1) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong vòng 6 phút; 2) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 90 giây. | Lời giải. 1) Số cuộc gọi trung bình trong 6 phút là 4 Gọi X là số cuộc gọi điện thoại đến tổng đài điện thoại trên trong vòng 6 phút = ⇒ X ∼ P (4) P ( X = 5) = 4 5 · e − 4 5! ≈ 0 , 156 2) 90 giây = 1 , 5 phút. Số cuộc gọi trung bình trong 90 giây là 1. 11 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Gọi X là số cuộc gọi điện thoại trong vòng 90 giây = ⇒ X ∼ P (1) P ( X = 0) = 1 0 · e − 1 0! = e − 1 ≈ 0 , 368 2.3.3. Phân phối mũ Định nghĩa 4. BNN X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ > 0 , được ký hiệu là X ∼ E ( λ ) , nếu BNN X có hàm mật độ xác suất có dạng f ( x ) =    λe − λx , nếu x ≥ 0 , 0 , nếu x < 0 Tính chất: E ( X ) = 1 λ và V ar ( X ) = 1 λ 2 Ví dụ 18. Tuổi thọ của một loại máy là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ trung bình 25000 giờ. Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một máy loại này có tuổi thọ ít nhất 20000 giờ, khoảng từ 20000 đến 30000 giờ. | Lời giải. Gọi X là tuổi thọ của máy (giờ). Theo đề bài ta có E ( X ) = 25000 = ⇒ λ = 1 25000 = 0 , 00004 Hàm mật độ xác suất f ( x ) = 0 , 00004 e − 0 , 00004 x P ( X ≥ 20000) = ∫ + ∞ 20000 0 , 00004 e − 0 , 00004 x dx = ( − e − 0 , 00004 x ) ∣ ∣ ∣ + ∞ 20000 = lim b → + ∞ ( − e − 0 , 00004 b ) − ( − e − 0 , 00004 · 20000 ) ≈ 0 , 4493 P (20000 < X < 30000) = ∫ 30000 20000 0 , 00004 e − 0 , 00004 x dx ≈ 0 , 1481 2.3.4. Phân phối chuẩn Định nghĩa 5. Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn, ký hiệu là X ∼ N ( μ, σ 2 ) , nếu hàm mật độ của nó có dạng f ( x ) = 1 σ √ 2 π e − ( x − μ )2 2 σ 2 , x ∈ R Phân phối N (0 , 1) gọi là phân phối chuẩn chuẩn tắc. Tính chất: E ( X ) = μ và V ar ( X ) = σ 2 Chú ý. Khi sử dụng hàm Laplace φ ( z ) , ta cần để ý π Nhật Ký Đại Học 12 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN 1) Nếu z > 4 , 42 thì φ ( z ) ≈ 0 , 5 ; 2) φ ( − z ) = − φ ( z ) , ∀ z ; 3) φ ( −∞ ) = − 0 , 5; φ (+ ∞ ) = 0 , 5 ; 4) Hàm φ là hàm đơn điệu tăng. Định lí 1. Cho X ∼ N ( μ ; σ 2 ) . Nếu X − μ σ ∼ N (0; 1) thì P ( a ≤ X ≤ b ) = φ ( b − μ σ ) − φ ( a − μ σ ) P ( a ≤ X ) = P ( a ≤ X < + ∞ ) = 0 , 5 − φ ( a − μ σ ) P ( X ≤ b ) = P ( −∞ < X ≤ b ) = 0 , 5 + φ ( b − μ σ ) Ví dụ 19. Cho BNN X có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ = 10 và P (10 < X < 20) = 0 , 4 Tính xác suất P ( X < 10) | Lời giải. Theo đề ta có X ∼ N (10; σ 2 ) . Từ đó ta được P (10 < X < 20) = 0 , 4 ⇔ φ ( 20 − 10 σ ) − φ ( 10 − 10 σ ) = 0 , 4 ⇔ φ ( 10 σ ) = 0 , 4 = φ (1 , 29) ⇔ σ ≈ 7 , 75 Từ đó ta tính được P ( X < 10) = 0 , 5 + φ ( 10 − 10 7 , 75 ) = 0 , 5 2.4 Bài tập cuối chương Câu 1. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm cùng loại từ một hộp có 8 sản phẩm loại A, 4 sản phẩm loại B. 1) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A mà khách mua được. 2) Một sản phẩm loại A giá 15 ngàn, một sản phẩm loại B giá 10 ngàn. a) Lập bảng phân phối xác suất số tiền khách phải trả X khi mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Từ đó tìm khả năng khách không mua được 2 sản phẩm khi chỉ còn lại 26 ngàn. b) Tìm số tiền khách phải trả nhiều nhất và số tiền trung bình khách phải trả khi mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. c) Lập hàm phân phối xác suất số tiền khách phải trả khi mua 2 sản phẩm. Từ đó tìm M ed ( X ) 13 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 | Lời giải. 1) Tổng số cách lấy 2 sản phẩm cùng loại: n (Ω 1 ) = C 2 8 + C 2 4 = 34 cách. Gọi Y là số sản phẩm loại A mà khách mua được. Khi đó Y ∈ { 0 , 2 } P ( Y = 0) = C 2 4 34 = 3 17 , P ( Y = 2) = C 2 8 34 = 14 17 Y 0 2 P 3 17 14 17 Bảng 2.4: Bảng phân phối xác suất của Y 2) Gọi Ω 2 là không gian mẫu của phép thử lấy 2 sản phẩm bất kỳ = ⇒ n (Ω 2 ) = C 2 12 = 66 a) Mua 2 loại B: Số tiền trả là X = 2 · 10 = 20 P ( X = 20) = C 2 4 66 = 1 11 Mua 1 loại A và 1 loại B: Số tiền trả là X = 15 + 10 = 25 P ( X = 25) = C 1 8 · C 1 4 66 = 16 33 Mua 2 loại A: Số tiền trả là X = 2 · 15 = 30 P ( X = 30) = C 2 8 66 = 14 33 X 20 25 30 P 1 11 16 33 14 33 Bảng 2.5: Bảng phân phối xác suất của X Khách hàng không đủ tiền khi hóa đơn X > 26 . Xác suất cần tìm P ( X > 26) = P ( X = 30) = 14 33 b) Dựa vào bảng phân phối, số tiền phải trả nhiều nhất là 30 ngàn đồng. Số tiền trung bình khách phải trả là E ( X ) = ∑ x i p i = 20 11 + 25 · 16 33 + 30 · 14 33 = 80 3 c) F ( x ) =                  0 khi x ≤ 20 1 11 khi 20 < x ≤ 25 1 11 + 16 33 = 19 33 khi 25 < x ≤ 30 1 khi x > 30 Dựa vào hàm F ( x ) ở trên: Tại x = 25 , xác suất tích lũy mới đạt 1 11 ≈ 0 , 09 Ngay khi vượt qua mốc 25 , xác suất tích lũy đã đạt 19 33 ≈ 0 , 575 > 0 , 5 Vậy Trung vị của số tiền phải trả là M ed ( X ) = 25 Câu 2. Cho 2 hộp sản phẩm: Hộp 1 có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm; Hộp 2 có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. a) Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm của hộp 1. Gọi X 1 là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của X 1 π Nhật Ký Đại Học 14 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN b) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm. Gọi X 2 là số phế phẩm có được. Lập bảng phân phối xác suất của X 2 c) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X 3 là số phế phẩm có được. Lập bảng phân phối xác suất của X 3 d) Từ hộp thứ nhất lấy 2 sản phẩm bỏ vào hộp thứ hai. Sau đó từ hộp thứ hai lấy ra 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối của số chính phẩm lấy ra. e) Lập hàm số phân phối của các biến ngẫu nhiên trong các trường hợp trên. | Lời giải. Hộp 1: 4 phế phẩm và 8 chính phẩm. Hộp 2: 3 phế phẩm và 7 chính phẩm. a) n (Ω 1 ) = C 3 12 = 220 . Vì hộp 1 có 4 phế phẩm và khi bốc 3 sản phẩm thì X 1 ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } P ( X 1 = 0) = C 3 8 220 = 14 55 , P ( X 1 = 1) = C 1 4 · C 2 8 220 = 28 55 , P ( X 1 = 2) = C 2 4 C 1 8 220 = 12 55 , P ( X 1 = 3) = C 3 4 220 = 1 55 X 1 0 1 2 3 P 14 55 28 55 12 55 1 55 Bảng 2.6: Bảng phân phối xác suất của X 1 b) n (Ω 2 ) = C 1 12 · C 1 10 = 120 X 2 ∈ { 0 , 1 , 2 } P ( X 2 = 0) = 8 · 7 120 = 7 15 , P ( X 2 = 1) = 4 · 7 + 3 · 8 120 = 13 30 , P ( X 2 = 2) = 4 · 3 120 = 1 10 X 0 1 2 P 7 15 13 30 1 10 Bảng 2.7: Bảng phân phối xác suất của X 2 c) Gọi A i = "Lấy được hộp i " với i = 1 , 2 Khi đó P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = 1 2 X 3 ∈ { 0 , 1 , 2 } P ( X 3 = 0) = P ( A 1 ) P ( X 3 = 0 | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( X 3 = 0 | A 2 ) = 1 2 C 2 8 C 2 12 + 1 2 C 2 7 C 2 10 = 49 110 P ( X 3 = 1) = P ( A 1 ) P ( X 3 = 1 | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( X 3 = 1 | A 2 ) = 1 2 4 · 8 C 2 12 + 1 2 3 · 7 C 2 10 = 157 330 P ( X 3 = 2) = P ( A 1 ) P ( X 3 = 2 | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( X 3 = 2 | A 2 ) = 1 2 C 2 4 C 2 12 + 1 2 C 2 3 C 2 10 = 13 165 X 0 1 2 P 49 110 157 330 13 165 Bảng 2.8: Bảng phân phối xác suất của X 3 d) Gọi Y là số chính phẩm lấy ra = ⇒ Y ∈ { 0 , 1 , 2 } H i = "lấy được i chính phẩm từ hộp 1" với i = 0 , 1 , 2 15 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 P ( H 0 ) = C 2 4 C 2 12 = 1 11 . Hộp 2 lúc này có 5 phế phẩm và 7 chính phẩm. P ( H 1 ) = 4 · 8 C 2 12 = 16 33 . Hộp 2 lúc này có 4 phế phẩm và 8 chính phẩm. P ( H 2 ) = C 2 8 C 2 12 = 14 33 . Hộp 2 lúc này có 3 phế phẩm và 9 chính phẩm. P ( Y = 0) = ∑ 2 i =0 P ( H i ) P ( Y = 0 | H i ) = 1 11 · C 2 5 C 2 12 + 16 33 · C 2 4 C 2 12 + 14 33 · C 2 3 C 2 12 = 28 363 P ( Y = 1) = ∑ 2 i =0 P ( H i ) P ( Y = 1 | H i ) = 1 11 · 5 · 7 C 2 12 + 16 33 · 4 · 8 C 2 12 + 14 33 · 3 · 9 C 2 12 = 995 2178 P ( Y = 2) = ∑ 2 i =0 P ( H i ) P ( Y = 0 | H i ) = 1 11 · C 2 7 C 2 12 + 16 33 · C 2 8 C 2 12 + 14 33 · C 2 9 C 2 12 = 1015 2178 e) F X 1 ( x ) =                        0 khi x ≤ 0 14 55 khi 0 < x ≤ 1 14 55 + 28 55 = 42 55 khi 1 < x ≤ 2 42 55 + 12 55 = 54 55 khi 2 < x ≤ 3 1 khi x > 3 ; F X 2 ( x ) =                  0 khi x ≤ 0 7 15 khi 0 < x ≤ 1 7 15 + 13 30 = 9 10 khi 1 < x ≤ 2 1 khi x > 2 ; F X 3 ( x ) =                  0 khi x ≤ 0 49 110 khi 0 < x ≤ 1 49 110 + 157 330 = 152 165 khi 1 < x ≤ 2 1 khi x > 2 ; F X 4 ( x ) =                  0 khi x ≤ 0 28 363 khi 0 < x ≤ 1 28 363 + 995 2178 = 1163 2178 khi 1 < x ≤ 2 1 khi x > 2 Câu 3 (2.3). Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng đích hoặc hết đạn thì thôi. Biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0 , 8 . Tìm phân phối xác suất của số viên đạn đã bắn. | Lời giải. Gọi X là số viên đạn mà xạ thủ đã bắn. Các giá trị có thể có của X là { 1 , 2 , 3 } Xác suất trúng của mỗi viên là p = 0 , 8 = ⇒ xác suất trượt là q = 1 − p = 0 , 2 P ( X = 1) = 0 , 8 P ( X = 2) = 0 , 2 · 0 , 8 = 0 , 16 P ( X = 3) = 0 , 2 · 0 , 2 = 0 , 04 X 1 2 3 P 0 , 8 0 , 16 0 , 04 Bảng 2.9: Bảng phân phối xác suất Câu 4 (3.21). Một công ti sản xuất một loại máy. Theo nghiên cứu của công ti có 95% máy sản xuất π Nhật Ký Đại Học 16 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN ra là đạt chuẩn. Một đại lí mua 100 máy của công ti. Tính xác suất trong 100 máy đại lí mua có: a) 2 máy không đạt chuẩn; b) ít nhất 10 máy không đạt chuẩn. | Lời giải. X là số máy không đạt chuẩn trong 100 máy mà đại lí mua = ⇒ X ∼ B (100; 0 , 05) a) P ( X = 2) = C 2 100 · 0 , 05 2 · 0 , 95 9 8 ≈ 0 , 08 b) P ( X ≥ 10) = 1 − P ( X ≤ 9) = 1 − ∑ 9 i =0 C i 100 · 0 , 05 i · 0 , 95 100 − i ≈ 0 , 028 Câu 5. Công ti bay A luôn bán vé cho khách vượt quá số ghế của mỗi chuyến bay vì luôn có khách đặt vé nhưng không bay. Giả sử tỉ lệ khách đặt vé nhưng không bay là 2%. Với chuyến bay có 194 ghế nhưng đã bán 200 vé thì xác suất chuyến bay thiếu chỗ là bao nhiêu? | Lời giải. Xác suất khách đặt vé và bay là 1 − 0 , 02 = 0 , 98 X là số khách thực tế đến làm thủ tục bay trong số 200 người đã mua vé = ⇒ X ∼ B (200; 0 , 98) Chuyến bay sẽ bị thiếu chỗ nếu số khách đến bay ( X ) lớn hơn số ghế ( 194 ): P ( X > 194) = 200 ∑ i =195 C i 200 · 0 , 98 i · 0 , 02 200 − i ≈ 0 , 7867 Câu 6. Tuổi thọ của một loại máy là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ trung bình 25000 giờ. Tính xác suất : a) Chọn ngẫu nhiên một máy loại này có tuổi thọ ít nhất 20000 giờ, khoảng từ 20000 đến 30000 giờ. b) Mua ngẫu nhiên 10 máy loại này có ít nhất 8 máy có tuổi thọ ít nhất trên 20000 giờ. c) Mua ngẫu nhiên 100 máy loại này có trên 50 máy có tuổi thọ ít nhất trên 20000 giờ. | Lời giải. Gọi X là tuổi thọ của máy (giờ). Theo đề bài ta có E ( X ) = 25000 = ⇒ λ = 1 25000 = 0 , 00004 Hàm mật độ xác suất f ( x ) = 0 , 00004 e − 0 , 00004 x a) P ( X ≥ 20000) = ∫ + ∞ 20000 0 , 00004 e − 0 , 00004 x dx = ( − e − 0 , 00004 x ) ∣ ∣ ∣ + ∞ 20000 = lim b → + ∞ ( − e − 0 , 00004 b ) − ( − e − 0 , 00004 · 20000 ) ≈ 0 , 4493 P (20000 < X < 30000) = ∫ 30000 20000 0 , 00004 e − 0 , 00004 x dx ≈ 0 , 1481 b) Gọi Y là số máy có tuổi thọ ít nhất 20 000 giờ trong 10 máy = ⇒ Y ∼ B (10; 0 , 4493) P ( Y ≥ 8) = 10 ∑ i =8 C i 10 · 0 , 4493 i · (1 − 0 , 4493) 10 − i ≈ 0 , 027 17 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 c) Gọi K là số máy có tuổi thọ ít nhất 20 000 giờ trong 100 máy. P ( K > 50) = 100 ∑ i =51 C i 100 · 0 , 4493 i · (1 − 0 , 4493) 100 − i ≈ 0 , 1315 Câu 7. Một nhà sản xuất cho biết khoảng 20% dụng cụ diễn mà họ sản xuất ra đòi hỏi phải sửa chữa trong vòng một năm sau khi bán. Mua ngẫu nhiên 20 dụng cụ loại này a) Tính xác suất trong đó có 16 dụng cụ không phải sửa chữa sau khi mua trong vòng 1 năm. b) Tìm số dụng cụ này không phải sửa chữa sau khi mua trong vòng 1 năm có thể hi vọng. Tìm trung bình, phương sai của số dụng cụ này không phải sửa chữa trong thời hạn trên. | Lời giải. Xác suất 1 dụng cụ phải sửa chữa là 0 , 2 . Xác suất một dụng cụ không phải sửa chữa là 1 − 0 , 2 = 0 , 8 Gọi X là số dụng cụ không phải sửa chữa trong vòng một năm sau khi mua trong số 20 dụng cụ = ⇒ X ∼ B (20; 0 , 8) a) P ( X = 16) = C 16 20 · 0 , 8 16 · 0 , 2 4 = 0 , 2182 b) E ( X ) = 20 · 0 , 8 = 16 V ar ( X ) = 20 · 0 , 8 · 0 , 2 = 3 , 2 Câu 8. Các sản phẩm cùng loại được một máy sản xuất ra lần lượt với xác suất mỗi sản phẩm sản xuất ra được chấp nhận là 0 , 9 . Cho máy sản xuất 150 sản phẩm. Tính xác suất trong các sản phẩm này có nhiều nhất 5 sản phẩm không được chấp nhận. Tìm số sản phẩm được chấp nhận có thể hi vọng trong các sản phẩm này. | Lời giải. Gọi X là số sản phẩm không được chấp nhận trong 150 sản phẩm = ⇒ X ∼ B (150; 0 , 1) P ( X ≤ 5) = 5 ∑ i =0 C i 150 · 0 , 1 i · 0 , 9 150 − i ≈ 1 , 92 · 10 − 3 Gọi Y là số sản phẩm được chấp nhận trong 150 sản phẩm = ⇒ Y ∼ B (150; 0 , 9) E ( Y ) = 150 · 0 , 9 = 135 Câu 9. Phí qua cầu đối với xe khách là 10 ngàn, xe tải là 15 ngàn. Theo thống kê trong 1 giá có 60% xe khách qua cầu, còn lại là xe tải. Nếu có 25 xe qua cầu trong 1 giờ thì doanh thu trung bình nhận được là bao nhiêu? | Lời giải. Gọi Y là Số lượng xe khách trong tập 25 chiếc xe = ⇒ Y ∼ B (25; 0 , 6) π Nhật Ký Đại Học 18 CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN Số lượng xe khách trung bình dự kiến xuất hiện trong 1 giờ là E ( Y ) = 25 · 0 , 6 = 15 (xe). Số lượng xe tải trung bình xuất hiện sẽ là 25 − 15 = 10 (xe). Doanh thu trung bình 15 · 10 + 10 · 15 = 300 ngàn. Câu 10. Số yêu cầu phục vụ tại một tổng đài có phân phối Poisson với trung bình 4 yêu cầu trong 1 giờ. a) Tính xác suất tổng đài có 10 yêu cầu trong 2 giờ. b) Nếu người trực tổng đài phải nghĩ ăn trưa mất 30 phút thì xác suất người đó không bị mất yêu cầu nào là bao nhiêu? Theo bạn nhiều khả năng nhất có bao nhiêu yêu cầu tổng đài phục vụ trong khoảng thời gian này? | Lời giải. Gọi X là số yêu cầu gửi đến tổng đài trong khoảng thời gian t (giờ). Theo đề bài ta có λ = 4 t a) t = 2 = ⇒ λ a = 8 P ( X = 10) = 8 10 · e − 8 10! = 0 , 0993 b) t = 0 , 5 = ⇒ λ b = 2 Người trực không bị mất yêu cầu nào nghĩa là trong 30 phút đó không có yêu cầu nào gọi đến P ( X = 0) = 2 0 · e − 2 0! = 0 , 1353 Số yêu cầu có khả năng xảy ra nhiều nhất λ b − 1 ≤ M odX ≤ λ b ⇐⇒ 1 ≤ M odX ≤ 2 = ⇒ M odX ∈ { 1; 2 } Câu 11. Giả sử rằng số cây trong một khu rừng có phân phối Poisson trung bình 80 cây trên diện tích 1000 m 2 a) Tính xác suất có 25 cây trên diện tích rừng 250 m 2 b) Nếu khu rừng có diện tích 10 km 2 thì số cây trung bình trong rừng là bao nhiêu? | Lời giải. a) Trung bình 80 cây trên 1000 m 2 suy ra sẽ có trung bình 250 · 80 1000 = 20 cây trên 250 m 2 Gọi X là số cây có trên 250 m 2 = ⇒ X ∼ P (20) P ( X = 25) = 20 25 · e − 20 25! = 0 , 45 b) 10 km 2 = 10 000 000 m 2 . Số cây trung bình trong rừng 10 000 000 · 80 1000 = 800 000 Câu 12. Số phương tiện giao thông đi qua một trạm kiểm soát là biển ngẫu nhiên có phân phối Poisson, trung bình 1 phút có 2 phương tiện đi qua trạm này. Tính xác suất a) Có 6 phương tiện giao thông đi qua trạm trong 3 phút; có từ 3 đến 4 phương tiện giao thông qua trạm trong 2 phút. b) Xác định khoảng thời gian t (tính bằng phút) để trong khoảng thời gian này, xác suất có ít nhất 1 phương tiện giao thông đi qua trạm trên là 0 , 95 | Lời giải. 19 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 X là số phương tiện giao thông đi qua trạm trong t phút. Theo đề bài λ t = 2 t a) λ 3 = 6; P ( X = 6) = 6 6 e − 6 6! = 0 , 16 λ 2 = 4; P (3 ≤ X ≤ 4) = P ( X = 3) + P ( X = 4) = 4 3 e − 4 3! + 4 4 e − 3 4! = 0 , 39 b) 0 , 95 = P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − λ 0 e − λ 0! = 1 − e − 2 t = ⇒ e − 2 t = 0 , 05 = ⇒ t ≈ 1 , 5 Câu 13 (3.8). Thời gian ông A đi làm hàng ngày từ nhà đến cơ quan có phân phối chuẩn trung bình 24 phút, độ lệch tiêu chuẩn 3 , 8 phút. a) Tính xác suất ông A đi làm tối thiểu mất nửa giờ. b) Nếu buổi sáng cơ quan làm việc lúc 7 giờ 30 nhưng ông ta rời nhà lúc 7 giờ 15 thì khả năng ông ta bị trễ giờ là bao nhiêu. c) Nếu buổi sáng ông ta rời nhà lúc 7 giờ và dự định ăn sáng tại căng tin cơ quan từ 7 giờ 20 mất 10 phút để bắt đầu làm việc lúc 7 giờ 30 thì khả năng ông ta không kịp ăn sáng là bao nhiêu? d) Tính xác suất trong một tuần ông ta đi làm 5 lần, có ít nhất một lần thời gian đi mất hơn nửa giờ. | Lời giải. Gọi X là thời gian ông A đi làm hàng ngày (phút) = ⇒ X ∼ N (24; 3 , 8 2 ) a) P ( X ≥ 30) = 0 , 5 − φ ( 30 − 24 3 , 8 ) = 0 , 5 − φ (1 , 58) = 0 , 5 − 0 , 44295 = 0 , 0571 b) P ( X > 15) = 0 , 5 − φ ( 15 − 24 3 , 8 ) = 0 , 5 − φ ( − 2 , 37) = 0 , 5 + φ (2 , 37) = 0 , 9911 c) P ( X > 20) = 0 , 5 − φ ( 20 − 24 3 , 8 ) = 0 , 5 − φ ( − 1 , 05) = 0 , 5 + φ (1 , 05) = 0 , 8531 d) Y là số lần ông ta đi quá nửa giờ = ⇒ Y ∼ B (5; 0 , 0571) P ( Y ≥ 1) = 1 − P ( Y = 0) = 1 − (1 − 0 , 0571) 5 = 0 , 2547 Câu 14. Một nhà đầu tư dự định đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng A hay ngân hàng B thường phải đảm bảo lợi nhuận tối thiểu là 10%. Giá sử lợi nhuận đầu tư (đơn vị %) vào cổ phiếu của A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 14 độ lệch tiêu chuẩn 2, của B là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 13, độ lệch tiêu chuẩn 1. Theo bạn nhà đầu tư nên đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng nào? | Lời giải. Gọi X A , X B là lợi nhuận đầu tư vào cổ phiểu của ngân hàng A, B. = ⇒ X A ∼ N (14 , 2 2 ) , X B ∼ N (13 , 1 2 ) P ( X A ≥ 10) = 0 , 5 − φ ( 10 − 14 2 ) = 0 , 5 − φ ( − 2) = 0 , 5 + φ (2) = 0 , 9772 P ( X B ≥ 10) = 0 , 5 − φ ( 10 − 13 1 ) = 0 , 5 − φ ( − 3) = 0 , 5 + φ (3) = 0 , 9987 Nhà đầu tư nên chọn đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng B. Câu 15. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là X (đơn vị: năm) với X ∼ N (42; 2 , 25) . Khi bán một bóng đèn được lãi 100 ngàn đồng, song nếu bóng đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền π Nhật Ký Đại Học 20

Search results (318,406)

Is prozone cc a Safe Choice or a Hidden Online Risk_

Bitrix24_Chatbot_Brochure

SANTOSH BHATT

PROFESSIONAL Austin Car detailing

Asian Funeral Service

To Him That Hath: A Tale of the West of Today

Ralph Connor

PD-US

A Book of Exposition

Homer Heath Nugent

PD-US

Discover Luxury Stays by the Shore Your Guide to the Best Beach Hotels in Puri

California Psychology Corporation -www.miragelaw.com

Solar Particle Radiation Storms Forecasting and Analysis: The HESPERIA HORIZON 2020 Project and Beyond

CC BY

8.Fractionated Shea Butter in Cosmetics and Personal Care Market

Jeetendra Tarate

UK Mobility Stairlifts - PDF

UK Mobility Stairlifts

The Feather (4).pdf

Spartacus

Best Barber Shop in Pudsey

Best Removals service in Uxbridge

Best Builder in Westerhope

Best Aesthetic Clinic in Weymouth

Best Carpet Cleaning in Maidstone

Clear 200-301 Exam With Great 200-301 Dumps Questions V21.02 [2022].pdf

DumpsBase

Real Exam Dumps

Abrasive Wool Market .pdf

Lenovo

Transform Your Home with Wood Stair Tread Replacement

Stair Warehouse Review

B0GCLG9GKSnew

B0FM7VKKZ5new

Grenzgänge zwischen den Künsten

CC BY-NC-ND

Real Results. Real Growth. Real Performance

BTI25120403404 501525 MSDS

QS 602040 400mAh-MSDS

Europe to Lead Marine Powerboat Battery Market

BIẾN NGẪU NHIÊN

Actual SY0-601 Exam Questions - SY0-601 Questions For Learning Well.pdf

ITExamShop

Education

Ace the HCIE-Security (Written) V2.0 2023 Exam with our Expert Preparation Tips for H12-731_V2.0.

https://www.testsexpert.com/

Inside the Politics of Technology

CC BY-NC

Monastery 9. # sentence.pdf

B0FTM8C5N3new