Нечеткая модель сетевого планирования-3.pdf

72 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 УДК 519.816 НЕЧЕТКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЕКТА С ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЯМИ РАБОТ В ФОРМЕ ОБОБЩЕННЫХ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ Т. М. Леденева, Д. А. Черменев Воронежский государственный университет, ООО «DataArt-Воронеж» Поступила в редакцию 06.04.2015 г. Аннотация. В статье рассматривается подход к определению временных параметров проекта для случая, когда продолжительности работ задаются в форме обобщенных га- уссовых чисел. Ключевые слова: нечеткое гауссово число, сетевой график, критическое время выполне- ния проекта. Annotation. The article discusses the approach to determine the time parameters of the project for the case when the duration of works are specified in the form of a generalized Gaussian numbers. Keywords: Gaussian fuzzy number, network schedule, the critical time for the project. ВВЕДЕНИЕ Под проектом будем подразумевать ком- плекс работ (операций), имеющих опреде- ленную продолжительность – время, необ- ходимое для реализации, и выполняющихся в определенной последовательности [1]. Те- ория управления проектами основывается на различных подходах и содержит мощный инструментарий для решения практических задач [1, 3, 4, 11].В качестве модели проек- та выступает сетевой график – ориентиро- ванный взвешенный бесконтурный граф, на основе которого определяются временные параметры сетевого графика – та информа- ция, которая используется для составления календарного плана [11]. В данном случае учет фактора неопределенности приводит к необходимости приближенных оценок про- должительности операций, включенных в проект. Как известно, неопределенность име- ет различную интерпретацию, что обуслов- ливает выбор математического аппарата для ее формализации и адекватных методов, обе- спечивающих обработку информации. Наи- более проработанным в теоретическом плане является подход, основанный на теории ве- роятности, но для его применения необходим большой объем статистической информации, которая в задачах сетевого планирования не всегда является доступной. В этих условиях особую актуальность приобретает аппарат теории нечетких множеств, а наиболее из- вестное его приложение к задаче управления проектами – метод нечеткого критического пути [2]. Нечеткая информация относительно продолжительности операций, включенных в проект, может быть получена от экспертов. Данный подход целесообразен для случая, когда проект и каждая операция являются уникальными и отсутствуют как нормативы, так и статистические данные. В статье представлены результаты обоб- щения методов сетевого планирования для случая, когда продолжительности работ зада- ны в форме обобщенных гауссовых чисел. Их преимуществом является наличие ряда пара- метров, позволяющих обеспечить достовер- ную оценку продолжительности включенных в проект операций. © Леденева Т. М., Черменев Д. А., 2015 73 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Нечеткая модель проекта с продолжительностями работ в форме обобщенных гауссовых чисел 1. ОБОБЩЕННЫЕ ГАУССОВЫ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ И АРИФМЕТИЧЕ- СКИЕ ОПЕРАЦИИ Основная проблема разработки нечетких моделей сетевого планирования состоит в выборе функции принадлежности для нечет- кой продолжительности работ. Существует множество видов функций принадлежности нечетких чисел, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки [5]. Наи- больший интерес для исследовательских це- лей и обеспечения гибкости моделей имеет функция принадлежности в виде обобщен- ного гауссова числа, которое относится к не- четким числам (L-R)-типа и имеет функцию принадлежности вида [8] ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , , ; exp , , exp , , l r l l r r l r g a b b x x a L x x a x a R x x a β β σ σ σ σ =     −     = − <           =      −    = − ≥            (1) где a – модальное значение, , l β r β – пара- метры формы для функций ( ) L x и ( ) R x со- ответственно, , l σ r σ – параметры «шири- ны» нечеткого числа соответственно слева и справа от модального значения. Обобщенное гауссово число с функций принадлежности (1) формализует высказы- вание x приблизительно равно a . Если l r β β β = = и l r σ σ σ = = , т. е. ( ) ( ) , L x R x = то гауссово число является сим- метричным, при этом для 1 β = получим обычное гауссово число, которое достаточно широко используется в приложениях. Функ- ция принадлежности обычного гауссова чис- ла имеет точку перегиба с абсциссой , a σ ± при этом под a подразумевается наиболее вероятная, достоверная оценка. Величина 2 1 σ есть коэффициент сжатия, который ха- рактеризует степень отклонения слева (спра- ва) от модального значения. Величина β ха- рактеризует степень достоверности. При ( ) 1 1 l r β β > > график функции принадлеж- ности является выпуклым вверх; при ( ) 1 1 l r β β < < – выпуклым вниз. Этот факт можно использовать для учета степени риска оценки в виде гауссова числа: если оценка оп- тимистическая, то ей соответствует выпуклая вверх функция принадлежности, если песси- мистическая – выпуклая вниз. Управляя па- раметрами обобщенного гауссова числа, можно составить наиболее подходящую не- четкую оценку продолжительности работ в заданных условиях, подразумевая под мо- дальным значением a наиболее достоверную оценку. α -срез обобщенного гауссова числа опре- деляется из уравнения ( ) , , , , ; l l r r g a x σ β σ β α = Так как функция принадлежности являет- ся выпуклой, то α -срез представляет собой интервал или отрезок в зависимости от того является он строгим или слабым. В дальней- ших рассуждениях будем использовать сла- бые α -срезы, границы которых определяют- ся следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 ln , ln l r l r x a x a β β α σ α α σ α  = − −    = + −  (2) Обозначив ( ) 12 ln , α α γ − = получим ( ) ( ) 1 1 , l r l r x a x a β α β α α σ γ α σ γ  = −    = +  (3) Таким образом, α -срез обобщенного га- уссова числа A с функцией принадлежности вида (1) представляет собой отрезок вида ( ) ( ) , A x x α α α     Для α -среза можно вычислить среднее значение ( ) 1 1 1 ˆ 2 r l r l A x a β β α α α σ γ σ γ   = + −     (4) и величину ( ) 1 1 1 2 l r l r A β β α α α σ γ σ γ   ∆ = +     , (5) тогда его границы запишутся в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ , ˆ A A A A A A x x x x α α α α α α = − ∆    = + ∆   (6) В этом случае α -срез обобщенного гаус- сова числа A при необходимости будем обо- 74 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Т. М. Леденева, Д. А. Черменев значать ( ) ( ) ˆ , A A A x α α α = ∆ Заметим, что для симметричного гауссова числа ( ) ˆ A x a α = и ( ) 1 , A β α α σγ ∆ = и тогда гра- ницы примут вид ( ) ( ) 1 1 , A A x a x a β α β α α σγ α σγ  = −    = +  (7) При 0 a = получим число ( ) 0 0 0 0 0 0, , , , ; , l l r r g x σ β σ β =  которое назовем обобщенным гауссовым нулем. Для его α -среза ( ) 0 0 1 1 0 0 0 1 ˆ 2 r l r l x β β α α α σ γ σ γ   = −      , ( ) 0 0 1 1 0 0 0 1 2 l r l r β β α α α σ γ σ γ   ∆ = +      , (8) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 0 0 , l r l r x x β β α α α σ γ α σ γ = − = −   (9) α -срез симметричного гауссова нуля имеет вид 0 1 0 0 0, β α σ γ =  На основе обобщенного гауссова нечеткого числа можно ввести понятие обобщенного га- уссова нечеткого интервала (L-R)-типа. Неболь- шая корректировка параметров позволяет по- строить α -срез для гауссова интервала. При построении нечеткого сетевого графика можно использовать как обобщенные гауссовы числа, так и обобщенные гауссовы интервалы, α -сре- зы которых будем называть интервалами , учи- тывая определения интервального анализа [6]. Для определения арифметических опера- ций над нечеткими числами интервалами об- щепринятым является подход, основанный на использовании принципа обобщения [5]. Но при его реализации возникают значитель- ные трудности, связанные с определением функции принадлежности соответствующей бинарной арифметической операции. Данная проблема может быть частично решена с при- менением численных методов максмина [7], но для решения практических задач эти мето- ды представляются достаточно трудоемкими. В [5] рассматривается концептуально иной подход, который предполагает разложение нечеткого числа (интервала) на α -уровни с последующей реализацией арифметических операций над полученными интервалами, ко- торые соответствуют этим α -уровням. Та- ким образом, нечеткое число (интервал) W , являющееся результатом бинарной арифме- тической операции { } , , , / + − × ∗∈ над нечет- кими числами и/или интервалами A и , B можно представить в виде: W A B W A B α α α α α = ∗ = = ∗    , где ∗ – операция над нечеткими числами и/ или интервалами; ∗  – соответствующая опе- рация над интервалами; , , A B W α α α – α -сре- зы соответствующих нечетких множеств. Таким образом, проблемы нечеткой ариф- метики сводятся к проблемам интервального анализа. Очевидно, что представление нечет- кого числа и/или интервала в виде совокупно- сти α -срезов является дискретным и соответ- ственно вносит погрешности в вычисления. Однако, как показали вычислительные экспе- рименты, описанные в [5], эти погрешности не столь существенны. В дальнейшем будем считать, что резуль- татом арифметических операций над обоб- щенными гауссовыми числами (интерва- лами) является нечеткое число (интервал), также относящееся к данному типу, параме- тры которого определяются через параметры операндов. Пусть A и B – обобщенные гауссовы чис- ла с функциями принадлежности вида (1), их α -срезы обозначим ( ) ( ) ˆ , A A A x α α α = ∆ и ( ) ( ) ˆ , B B B x α α α = ∆ , ( ] 0,1 α ∈ Учитывая определения интервальных операций [8], по- лучим, что ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A B A B A B x x α α α α α α + = + ∆ + ∆ ,(10) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A B A B A B x x α α α α α α − = − ∆ + ∆ .(11) Если A и B – симметричные обобщен- ные гауссовы числа и ( ] 0,1 α ∈ , то учитывая (7), получим следующую формулу: 1 1 , A B A B A B a b β β α α α α σ γ σ γ ± = ± + (12) Обобщая формулу (10) для n гауссовых чисел, получим формулу ( ) ( ) 1 1 1 ˆ , i i n n n i A A i i i A x α α α = = = = ∆ ∑ ∑ ∑ (13) 75 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Нечеткая модель проекта с продолжительностями работ в форме обобщенных гауссовых чисел Сравнение нечетких чисел и интервалов по отношению «больше – меньше» является нетривиальной задачей, решению которой посвящены многочисленные исследования (например, [9–11]). Согласно [6], два интервала считаются равными, если их границы попарно совпада- ют. Поэтому два α -среза ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A A A A A x x α α α α α = − ∆ + ∆     и ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , B B B B B x x α α α α α = − ∆ + ∆     обобщенных гауссовых чисел A и B будем считать четко равными (обозначение A B α α = ), если для каждого α из ( ] 0,1 выполняются ус- ловия ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , A A B B A A B B A B B A x x x x x x α α α α α α α α α α α α − ∆ = − ∆   ⇔  + ∆ = + ∆   =   ⇔ ∆ = ∆   (14) Заметим, что данное определение являет- ся достаточно жестким. Если допустить, что нарушение границ на некоторую малую вели- чину δ является допустимым, то можно го- ворить о приближенном равенстве α -срезов. Таким образом, два α -среза ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A A A A A x x α α α α α = − ∆ + ∆     и ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , B B B B B x x α α α α α = − ∆ + ∆     обобщенных гауссовых чисел A и B будем считать приблизительно равными (обозначе- ние A B α α δ ≈ ), если для каждого α из ( ] 0,1 выполняются условия ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A B B A x x α α α α δ =    ∆ − ∆ =   (15) Два α -среза ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , A A A A A x x α α α α α = − ∆ + ∆     и ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , B B B B B x x α α α α α = − ∆ + ∆     обобщенных гауссовых чисел A и B будем считать нечетко равными (обозначение A B α α  ), если их разность равна обобщен- ному гауссовому нулю, т. е. ( ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0, 0, ˆ ˆ , 0, , 0,1 , ˆ ˆ , 0, , A B A B B A A B A B B A x x x x α α α α α α α α α α α  − = ⇔  − =     −      ∆ + ∆ =       = ∆     ⇔ ∀ ∈  −      ∆ + ∆ =         = ∆         откуда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ , , A B A B x x α α α α α =   ∆ + ∆ = ∆    (16) или с учетом параметрического представления ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0, 1 2 r l A A r l B B r l A A r l B B r l A A r l B B r l A A r l B B a b β β β β β β β β σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ σ γ α     − + − −              − − =              − −             − − = ∆           Иначе данную систему можно переписать в следующем виде ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 0 , 1 2 , l r A B r l A A r l B B l r A B r l A A r l B B a b β β β β β β σ γ σ γ α σ γ σ γ σ γ σ γ α   + − − = ∆           − −              − − = ∆           (17) откуда получаем условия для параметров обобщенных гауссовых чисел, обусловливаю- щие их нечеткое равенство ( ) 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 l r A B l r l r A B l r a b β β β β α α σ γ σ γ σ γ σ γ   + − − =       = +     (18) Перспективным является развитие веро- ятностного подхода [9] к формализации от- 76 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Т. М. Леденева, Д. А. Черменев ношений в классах четких и нечетких интер- валов. Пусть 1 2 [ , ], A a a = 1 2 [ , ] B b b = –заданные интервалы. В случае, когда интервалы не пе- ресекаются, можно однозначно определить процедуру их сравнения. Наибольший инте- рес представляет случай пересечения интер- валов. Пусть , a A ∈ b B ∈ – случайные вели- чины, которые равномерно распределены на соответствующих интервалах. Если интерва- лы A и B пересекаются, то на основе образу- ющихся в результате появления возможных значений случайных величин подинтервалов можно определить вероятности ( ), P A B < ( ), P A B = ( ). P A B > Вероятность ( ) P A B < означает, что случайная точка a A ∈ лежит левее случайной точки b B ∈ . Соответствую- щую интерпретацию имеют и другие вероят- ности ( ), P A B = ( ). P A B > В табл. 1 представ- лены формулы для расчета соответствующих вероятностей с учетом взаимного расположе- ния пары интервалов. Описанный выше подход можно использо- вать для сравнения нечетких чисел (интерва- лов), применяя его для каждого α -среза. Пусть ( ) ( ) ˆ , A A A x α α α = ∆ и ( ) ( ) ˆ , B B B x α α α = ∆ – α -срезы обобщенных гауссовых чисел A и B соответственно. Формулы для вычисления вероятностей ( ) ( ) ( ) , , P A B P A B P A B α α α α α α > < = приведены в табл. 2. Вычислив вероятности для каждого зна- чения ( ] 0,1 α ∈ , можно составить дискрет- ные нечеткие множества ( ) ( ) ( ) { } / , P A B P A B α α α α α < = <  ( ) ( ) ( ) { } / , P A B P A B α α α α α = = =  ( ) ( ) ( ) { } / P A B P A B α α α α α > = >  На практике удобнее использовать вели- чины, которые характеризовали бы в вероят- ностном смысле отношения между нечетки- ми интервалами. Например, применяя метод центра тяжести [8] к нечеткому множеству ( ) ( ) ( ) { } / , P A C P A C α α α α α < = <  получим число ( ) ( ) , , P A B p A B α α α α α α < ⋅ < = ∑ ∑ (19) которое количественно характеризует отно- шение < между обобщенными гауссовыми числами. Аналогично вычисляются оценки для ( ) P A B α α =  и ( ) P A B α α >  Заметим, что события ( ) , A B α α < ( ) , A B α α = ( ) A B α α > образуют полную группу событий, поэтому ( ) ( ) ( ) , , , 1. p A B p A B p A B < = > + + = Следовательно, только одно из чисел мо- жет быть больше, чем 0.5. Будем считать, что для обобщенных гауссовых чисел A и B име- ет место отношение ( ) , A B A B < > если ( ) ( ) ( ) , 0.5 , 0.5 . p A B p A B < > > > Кроме того, с точки зрения вероятностного подхода обоб- щенные гауссовы числа A и B равны, если ( ) , 0.5. p A B = > Если все величины меньше, чем 0.5, то имеет место неопределенность. Таблица 1 Вычисление вероятностей для различных случаев No Ситуация ( ) P A B < ( ) P A B = ( ) P A B > 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 ( )( ) a b a a b b − − − − 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )( ) a b a a b b − − − 0 2 2 2 2 1 b a b b − − 2 1 2 1 a a b b − − 1 1 2 1 a b b b − − 3 2 2 1 b a b b − − 0 1 2 1 a b b b − − 77 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Нечеткая модель проекта с продолжительностями работ в форме обобщенных гауссовых чисел Таблица 2 Вероятности отношений α -срезов обобщенных гауссовых симметричных чисел и чисел (L-R)-типа ( ) , , P < = > Обобщенные гауссовы числа Несимметричные Симметричные Ситуация 1 ( ) P A B α α < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ ˆ 1 4 A B A B A B x x α α α α α α   − + ∆ + ∆   − ∆ ∆ ( ) 2 1 1 1 1 1 4 A B A B A B A B a b β β α α β β α α σ γ σ γ σ γ σ γ     − + +         − ( ) P A B α α = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ ˆ 4 A B A B A B x x α α α α α α   − + ∆ + ∆   ∆ ∆ ( ) 2 1 1 1 1 4 A B A B A B A B a b β β α α β β α α σ γ σ γ σ γ σ γ     − + +         ( ) P A B α α > 0 0 Ситуация 2 ( ) P A B α α < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 B A B A B x x α α α α α − + ∆ − ∆ ∆ ( ) 1 1 1 2 B A B B A B b a β β α α β α σ γ σ γ σ γ   − + −     ( ) P A B α α = ( ) ( ) A B α α ∆ ∆ 1 1 A B A B β α β α σ γ σ γ ( ) P A B α α > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 B A B A B x x α α α α α ∆ − ∆ − − ∆ ( ) 1 1 1 2 B A B B A B b a β β α α β α σ γ σ γ σ γ   − − −     Ситуация 3 ( ) P A B α α < ( ) ( ) ( ) ˆ 2 B B B x a α α α + ∆ − ∆ 1 1 2 B B B B b a β α β α σ γ σ γ − + ( ) P A B α α = 0 0 ( ) P A B α α > ( ) ( ) ( ) ˆ 2 B B B a x α α α − + ∆ ∆ 1 1 2 B B B B a b β α β α σ γ σ γ − + 78 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Т. М. Леденева, Д. А. Черменев 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВОГО ГРАФИКА Для нахождения временных параметров сетевого графика будем использовать класси- ческий алгоритм [12, 13].Под сетью подразу- мевается ориентированный бесконтурный граф ( ) , , G X U = имеющий одну начальную и одну конечную вершины. Каждой дуге ( ) , i j ставится в соответствие работа с продолжи- тельностью ij t Каждая вершина – это собы- тие, которое заключается в окончании и/или начале работы или нескольких работ. Рабо- ты-дуги, выходящие из некоторой вершины, начинаются только, если завершились рабо- ты-дуги, входящие в данную вершину. Будем считать, что все события сети имеют пра- вильную нумерацию, которая может быть по- лучена на основе топологической сортировки бесконтурного графа [13]. Будем считать, что начальная вершина сети имеет номер 1, а ко- нечная – номер N При правильной нумера- ции вершин для каждой дуги ( ) , i j имеет ме- сто неравенство , i j < а временные параметры находятся при однократном просмотре вер- шин, иначе алгоритм носит итерационный характер. Будем считать, что продолжительность работы ( ) , i j задана в виде обобщенного га- уссова числа ij t  с функцией принадлежности вида (1). Обозначим через ( ) , p i T  ( ) n i T  нечеткие ран- нее и позднее времена наступления i -го собы- тия соответственно, полагая, что они также задаются также в форме обобщенных гауссо- вых чисел с функцией принадлежности (1). Для каждого значения ( ] 0,1 α ∈ продолжи- тельности работ, ранние и поздние времена событий имеют интервальное представление. Для заданного значения ( ] 0,1 α ∈ можно определить α -срезы перечисленных нечет- ких параметров по формуле (6) в виде ( ) ( ) ˆ , , ij ij t α α ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ , , p i p i T α α ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ , n i n i T α α ∆ Алгоритм состоит из следующих шагов: 1. Начальному событию 1 присвоить ран- нее время ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 ˆ , 0, p p T α α α ∆ = ∆ 2. Двигаясь по сети в порядке возраста- ния номеров вершин-событий, определить ранее время наступления i -го события по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 ˆ , ˆ ˆ max , , p i p i ij ij p j p j j i T T t α α α α α − ∈Γ ∆ = = + ∆ + ∆ (20) при этом для нахождения max используется процедура, основанная на выбранном спосо- бе сравнения нечетких чисел. 3. Для конечного события сети N поло- жить ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , , , n N n N p N p N T T α α α α ∆ = ∆ (21) при этом величина критического пути для данного α -среза определяется интервалом ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , n N n N n N n N L T T α α α α α =   = − ∆ + ∆   кр (22) 4. Двигаясь по сети в порядке убывания номеров вершин от конечного события к на- чальному, определить поздние времена собы- тий по формуле ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ˆ , ˆ ˆ min , , n i n i ik ik n k n k k i T T t α α α α α ∈Γ ∆ = = − ∆ + ∆ (23) при этом для нахождения min используется процедура, основанная на выбранном спосо- бе сравнения нечетких чисел. Заметим, что для начального события должно выполняться условие ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 ˆ , ˆ , 0, p p n n T T α α α α α ∆ = = ∆ = ∆ (24) Рассмотрим условия принадлежности со- бытия и работы критическому пути [12]. В классическом случае имеет место следующее Утверждение 1 (условие критичности со- бытия). Для того, чтобы событие i принадле- жало критическому пути, необходимо и до- статочно, чтобы раннее и позднее времена этого события были равны. Зафиксируем ( ] 0,1 α ∈ и рассмотрим i -ое событие. Поскольку времена имеют интер- вальное представление, то для соответствую- 79 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Нечеткая модель проекта с продолжительностями работ в форме обобщенных гауссовых чисел щих интервалов можно рассматривать вари- анты определения отношения равенства. В случае четкого равенства, получим, что должно выполняться ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ , , , p i p i n i n i T T α α α α ∆ = ∆ (25) откуда получим условие для параметров обобщенных гауссовых чисел ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 1 2 r l ð i ð i r l ð i ð i r l ð i ð i r l ð i ð i b b r l n i p i n i n i b b r l p i p i n i p i b b r l n i n i b b r l p i p i T T α α α α α α α α σ γ σ γ σ γ σ γ α α σ γ σ γ σ γ σ γ    − = − −               − −           ∆ − ∆ =      = + −               − +           (26) В случае нечеткого равенства допускается, что разность между соответствующими ком- понентами должна быть равна гауссовому нулю, а, следовательно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ 0 , n i p i n i p i T T α α α α α α  − =  ∆ + ∆ = ∆    (27) Кроме того, можно использовать и веро- ятностный подход, изложенный выше. В этом случае предполагается, что вероятность ра- венства этих интервалов должна быть боль- ше 0.5. В классическом случае имеет место Утверждение 2 (условие критичности ра- боты). Работа ( ) , i j является критической тогда и только тогда, когда ее полный резерв равен нулю. В нашем случае интервальное представле- ние полного резерва для фиксированного ( ] 0,1 α ∈ имеет следующий вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ˆ ˆ ˆ , i j n j p i ij ij n j p i R T T t α α α α α α α = − − − ∆ + ∆ + ∆ плн (28) Тогда работа ( ) , i j является критической, если для каждого ( ] 0,1 α ∈ имеет место ра- венство интервалов ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ , ˆ 0 , ij n j p i n j ij p i T T t α α α α α α α α − − ∆ + +∆ + ∆ = ∆  (29) Для обобщенных симметричных гауссо- вых чисел с учетом определений (7) и (9) вы- ражение (29) принимает вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 , 0, , ï j ð i ij ij n j p i n j ij p i T T t β α β β β α α α δ γ δ γ δ γ δ γ − − + + + = откуда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 0, ï j ð i ij ij n j p i ij n j p i T T t β β β β α α α α δ γ δ γ δ γ δ γ − − =     + + =  (30) Можно рассмотреть другие варианты определения отношения равенства. 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Рассмотрим простейший сетевой график, представленный на рис. 1. Продолжительности работ заданы в виде обобщенных гауссовых чисел, параметры ко- торых представлены в табл. 3. Таблица 3 Параметры нечетких чисел a l σ r σ l b r b 0–1 5 2 3 3 0,3 0–2 7 4 3 0,5 0,9 1–3 4 1 2 1 4 2–3 3 1 1 2 0,5 2–4 9 3 5 2,5 0.7 3–4 6 2 4 5 2 Рассчитывая значения временных пара- метров сетевого графика для различных α -срезов, получим результаты, представлен- ные в табл. 4–5. Рис. 1. Сетевой график 80 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Т. М. Леденева, Д. А. Черменев Таким образом, получили следующие кри- тические пути: для 0,3 α = – 0.3 0 1 3 4 L = − − − , для 0,9 α = – 0.3 0 2 3 4 L = − − − ЗАКЛЮЧЕНИЕ При использовании нечетких чисел одно- значно определить критический путь сетево- го графика не всегда возможно, что отражает реальную расстановку при реализации про- екта, когда имеет место неопределенность. Важную роль играет выбор α -уровня, по ко- торому будут производиться вычисления. При 1 α → более значимую роль играет ядро нечеткого числа, при 0 α → – носитель. Использование нечеткого обобщенного гауссова числа дает преимущество настрой- ки параметров для более полного отражения ситуации при определении времени выполне- ния работ. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Балашов В. Г. Механизмы управления организационными проектами // В. Г. Бала- шов, А. Ю. Заложнев, Д. А. Новиков. – М. : ИПУ РАН, 2003. – 84 с. 2. Акимов В. А. Метод нечеткого крити- ческого пути / В. А. Акимов, Балашов В. Г., А. Ю. Заложнев // Управление большими си- стемами. М. : ИПУ РАН, 2003. – Т. 3. – С. 5–10. 3. Шашкин А. И. Календарное планиро- вание работ по проекту на основе нечетких исходных данных / А.И. Шашкин, М. М. Ши- ряев // Вест. Самарского гос. ун-та, 2008. – No 3(62). – С. 208–216. 4. Аснина А. Я. Календарное планирова- ние на предприятии на основе дубльтранс- портной задачи / А. Я. Аснина, Н. Г. Аснина, Т. Н. Чупахина // Вестник Воронежского ун- та. Серия: Системный анализ и информаци- онные технологии. – 2013. – No 2. – С. 87–92. 5. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. – М. : Бином. Лабора- тория знаний, 2009. – 798 с. Таблица 4 Временные характеристики сетевого графика при 0,3 α = i j − ( ) ij t α  ( ) ( ) , i j T α  рн ( ) ( ) , i j T α  рo ( ) ( ) , i j T α  пн ( ) ( ) , i j T α  пo ( ) ( ) , i j R α плн 0–1 [2,93;9,08] [0; 0] [2,93;9,08] [–15,52;15,52] [–6,44;18,45] [–15,52;15,52] 0–2 [2,18;10,32] [0; 0] [2,18;10,32] [–14,92;17,22] [–4,6;19,4] [–14,92;17,22] 1–3 [2,9;6,04] [2,93;9,08] [5,83;15,12] [–6,44;18,45] [–0,4;21,35] [–15,52;15,52] 2–3 [1,95;4,2] [2,18;10,32] [4,13;14,52] [–4,6;19,4] [–0,4;21,35] [–14,92;17,22] 2–4 [5,88;14,7] [2,18;10,32] [8,06;25,02] [–4,91;19,43] [9,79;25,31] [–15,23;17,25] 3–4 [3,96;10,19] [5,83;15,12] [9,79;25,31] [–0,4;21,35] [9,79;25,31] [0; 0] Таблица 5 Временные характеристики сетевого графика при 0,9 α = i j − ( ) ij t α  ( ) ( ) , i j T α  рн ( ) ( ) , i j T α  рo ( ) ( ) , i j T α  пн ( ) ( ) , i j T α  пo ( ) ( ) , i j R α плн 0–1 [3,62;5,07] 0 [3,62;5,07] [–5,44;7,53] [–0,37;11,15] [–5,44;7,53] 0–2 [6,57;7,85] 0 [6,57;7,85] [–5,82;5,82] [2,03;12,39] [–5,82;5,82] 1–3 [3,67;5,5] [3,62;5,07] [7,29;10,57] [–0,37;11,15] [5,13;14,82] [–5,44;7,53] 2–3 [2,43;3,1] [6,57;7,85] [9;10,95] [2,03;12,39] [5,13;14,82] [–5,82;5,82] 2–4 [7,08;10] [6,57;7,85] [13,65;17,85] [3,4;12,14] [13,4;19,22] [–4,45;5,57] 3–4 [4,4;8,27] [9;10,95] [13,4;19,22] [5,13;14,82] [13,4;19,22] [–5,82;5,82] 81 ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, No 2 Нечеткая модель проекта с продолжительностями работ в форме обобщенных гауссовых чисел 6. Шарый С. П. Конечномерный интер- вальный анализ / С. П. Шарый. – Новоси- бирск : Изд-во«XYZ», 2010. – 605 с. 7. Федоров В. В. Численные методы макс- мина / В. В. Федоров. – М. : Наука, Главная ре- дакция физико-математической литературы, 1979. – 280 с. 8. Леденева Т. М. Обработка нечеткой ин- формации / Т. М. Леденева. – Воронеж : Изд- во Воронежского государственного универ- ситета, 2006. – 232 с. 9. Sevastjanov P. V. A probabilistic approach to fuzzy and crisp interval ordering / P. V. Sevastjanov, P. Rog // Task quarterly. – 7. – No 1. – 2003. – P. 147–156. 10. Леденева Т. М. Параметрический ме- тод сравнения нечетких чисел / Т. М. Ледене- ва, Д. А. Черменев, С. С. Жданова // Вестник Воронежского государственного техническо- го университета, 2010. – Т. 6, No 6. – С. 62–66. 11. Черменев Д. А. О сравнении нечетких чисел / Д. А. Черменев, Т. М. Леденева // Ак- туальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. труд. Между- нар. конф. – Воронеж, 2009. – С. 21–25. 12. Зуховицкий С. И. Математические ме- тоды сетевого планирования / С. И. Зуховиц- кий, И. А. Радчик. – М. : Наука, 1965. – 296 с. 13. Леденева Т. М. Прикладные дискрет- ные модели / Т. М. Леденева. – Воронеж : Изд- во Воронежского государственного техниче- ского университета, 2000. – 98 с. Леденева Татьяна Михайловна – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и прикладных информационных технологий, Воронежский государственный университет. E-mail: ledeneva-tm@yandex.ru Черменев Дмитрий Александрович – кан- дидат технических наук, программист ООО «DataArt-Воронеж». E-mail: maiden.06@mail.ru Ledeneva Tatiana M. – Doctor of Technic Science, Professor, Head of the Department of Computational Mathematics and Applied Information Technologies, Voronezh State University. E-mail: ledeneva-tm@yandex.ru Dermanew Dmitry Aleksandrovich – Сandidate of Technic Science, programmer «DataArt- Voronezh. E-mail: maiden.06@mail.ru