Dva strělci, pan Črny i pan Sivy, dělajut duel, strěleči pistoletom jedin do drugogo. Věrojetnost, že pan Črny udari protivnika, je 1/3. Věrojetnost, že pan Sivy udari protivnika, je 2/3. Pan Črny strěli prvym, a oba prodolžajut strěliti, dopoka ne udari jedin iz njih i drugy umre. Kakova je věrojetnost, že pan Črny izigraje i žive? Drěvo věrojetnosti izgledaje tako: Pan Črny izigraje i žive, jestli i toliko jestli on udari a pan Sivy nikogda ne udaril prědže. To nam davaje slědujuče puty: • Črny udari i izigraje. • Črny ne udari, Sivy ne udari, Črny udari i izigraje. • Črny ne udari, Sivy ne udari, Črny ne udari, Sivy ne udari, Črny udari i izigraje. • i t.d. Věrojetnost P ( Č ) , že pan Črny izigraje, je suma vseh ovyh putov. P ( Č ) = 1 3 + 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 + 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 + 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 1 3 ⋅ 1 3 + .. = 1 3 + 2 3 ( 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) 3 + ( 2 3 ) 3 ( 1 3 ) 4 + ( 2 3 ) 4 ( 1 3 ) 5 + .. Napisyvajemo vse slagajeme v vidu ( 2 3 ) m ( 1 3 ) n P ( Č ) = ( 2 3 ) 0 ( 1 3 ) 1 + ( 2 3 ) 1 ( 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) 3 + ( 2 3 ) 3 ( 1 3 ) 4 + ( 2 3 ) 4 ( 1 3 ) 5 + .. = ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n ( 1 3 ) n + 1 S pomočju distributivnogo zakona iztrgajemo 1 3 iz sumy. P ( Č ) = 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n ( 1 3 ) n = 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( 2 9 ) n O geometričnom redu znajemo slědujuče. ∀ a ∈ ℝ : | a | < 1 → ∑ n = 0 ∞ a n = 1 1 − a Ibo | 2 9 | < 1 , nyně možemo izkalkulovati iskanu věrojetnost. P ( Č ) = = 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( 2 9 ) n = 1 3 ⋅ 1 1 − 2 9 = 1 3 ⋅ 1 7 9 = 1 3 ⋅ 9 7 = 3 7 Věrojetnost, že pan Črny izigraje i žive, je 3 7