14761763943131 | PDF Host

高等数学公式 1 高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 2 1 1 cos 1 2 sin u du dx x tg u u u x u u x         ，，， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 ) (log ln ) ( csc ) (csc sec ) (sec csc ) ( sec ) ( 2 2                 2 2 2 2 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) (arccos 1 1 ) (arcsin x arcctgx x arctgx x x x x                                                  C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x ) ln( ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx                                    arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 2 2 2 2 2                              C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ) ln( 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0   高等数学公式 2 一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：三角函数：正弦函数 sin x ；余弦函数 cos x ；正切函数 sin tan cos x x x  ；余切函数 cos cot sin x x x  ；正割函数 1 sec cos x x  ；余割函数 1 csc sin x x  ·诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg - α - sinα cosα - tgα - ctgα 90° - α cosα sinα ctgα tgα 90° + α cosα - sinα - ctgα - tgα 180° - α sinα - cosα - tgα - ctgα 180° + α - sinα - cosα tgα ctgα 270° - α - cosα - sinα ctgα tgα 270° + α - cosα sinα - ctgα - tgα 360° - α - sinα cosα - tgα - ctgα 360° + α sinα cosα tgα ctgα 常用三角函数公式： 2 2 cos sin 1 x x   2 2 cos sin cos 2 x x x   2 s i n c o s s i n 2 x x x  2 1 cos 2 2sin x x   2 1 c o s 2 2 c o s x x   2 2 2 1 1 tan sec cos x x x    2 2 2 1 1 cot csc sin x x x    x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x                       1 1 ln 2 1 ) 1 ln( 1 ln( : 2 : 2 : 2 2 ）双曲正切双曲余弦双曲正弦 ... 59045 7182818284 2 ) 1 1 ( lim 1 sin lim 0        e x x x x x x 高等数学公式 3 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 x y x y x y      1 c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ] 2 x y x y x y     1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 x y x y x y     ·和差角公式： ·和差化积公式：反三角函数： a r c s i n a r c c o s 2 x x    arctan arccot 2 x x    arcsin x ：定义域 [ 1,1]  ，值域 [ , ] 2 2    ； arccos x ：定义域 [ 1,1]  ，值域 [0, ]  ； arctan x ：定义域 ( , )   ，值域 ( , ) 2 2    ； arc cot x ：定义域 ( , )   ，值域 (0, )  ·反三角函数性质： arcctgx arctgx x x     2 arccos 2 arcsin   ·倍角公式： ·半角公式：                   cos 1 sin sin cos 1 cos 1 cos 1 2 cos 1 sin sin cos 1 cos 1 cos 1 2 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 2 sin                       ctg tg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin    ·余弦定理： C ab b a c cos 2 2 2 2    2 sin 2 sin 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 cos 2 sin 2 sin sin                                                                 ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg              1 ) ( 1 ) ( sin sin cos cos ) cos( sin cos cos sin ) sin(              2 3 3 3 3 1 3 3 cos 3 cos 4 3 cos sin 4 sin 3 3 sin tg tg tg tg                      2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 sin cos sin 2 1 1 cos 2 2 cos cos sin 2 2 sin tg tg tg ctg ctg ctg            高等数学公式 4 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 a b a a b ab b      3 3 2 2 ( ) ( ) a b a b a a b b     1 2 3 2 2 1 ( )( ) n n n n n n n a b a b a a b a b ab b              1 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 2! ! n n n n n k k n n n n n n k a b a na b a b a b b k                高阶导数公式 —— 莱布尼兹（ Leibniz ）公式： ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! 2 ) 1 ( ) ( n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv                         中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理： x x F f a F b F a f b f a b f a f b f           ) ( F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) (    曲率： 1 ; 0 ) 1 ( lim M s M M : , 1 3 2 0 2 a K a K y y ds d s K M M s K tg y dx y ds s                          的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：      定积分的近似计算：                              b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n a b x f y y y y n a b x f y y y n a b x f )] ( 4 ) ( 2 ) [( 3 ) ( ] ) ( 2 1 [ ) ( ) ( ) ( 1 3 1 2 4 2 0 1 1 0 1 1 0     抛物线法：梯形法：矩形法：高等数学公式 5 定积分应用相关公式：           b a b a dt t f a b dx x f a b y k r m m k F A p F s F W ) ( 1 ) ( 1 , 2 2 2 1 均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间        , cos ) ( ] [ sin , cos , , cos Pr Pr ) ( Pr , cos Pr ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u                                                                   高等数学公式 6 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 }; , , { , 1 3 0 2 ) , , ( }, , , { 0 ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                                  c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A   多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz                                                                                    ，，隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分： 0 ) , , ( ) ( ) ( 0 ) , ( ) , ( ) , ( )] , ( ), , ( [ )] ( ), ( [ ) , ( ) , ( 2 2 高等数学公式 7 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) , ( 0 ) , , , ( 0 ) , , , ( y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v G u G v F u F v u G F J v u y x G v u y x F v u v u                                               隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ) , , ( ) , , ( ) , , ( 3 0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , ( 2 )} , , ( ), , , ( ), , , ( { 1 ) , , ( 0 ) , , ( } , , { , 0 ) , , ( 0 ) , , ( 0 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y x y x x z x z z y z y                                               、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线            多元函数的极值及其求法：                          不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设 , 0 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 0 ) , ( , ) , ( , ) , ( 0 ) , ( ) , ( 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x 重积分及其应用：高等数学公式 8                                                       D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( } , , { ) 0 ( ), , 0 , 0 ( ) , ( , ) , ( ) , ( ) , ( , ) , ( ) , ( 1 ) , ( ) sin , cos ( ) , (                      ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：                                                              dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r                                        ) ( ) ( ) ( 1 , 1 , 1 sin ) , , ( sin ) , , ( ) , , ( sin sin cos sin sin cos sin ) , sin , cos ( ) , , ( , ) , , ( ) , , ( , sin cos 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ) , ( 0 2 2 2 ，，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：                    ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ), ( [ ) , ( ), ( , ) ( ) ( ) , ( 2 2 t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L              特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧高等数学公式 9 。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( · ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 1 · 2 1 2 , ) ( ) ( ) cos cos ( )} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 0 ) , ( ) , ( 0 0                                                                y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D L D L L L L               曲面积分：                                   ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yz xy xy D D D D y x ) cos cos cos ( ] ), , ( , [ ) , , ( ] , ), , ( [ ) , , ( )] , ( , , [ ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( 1 )] , ( , , [ ) , , ( 2 2    系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高等数学公式 10 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程： u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y                     ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) , ( ) , ( ) , (    一阶线性微分方程： ) 1 , 0 ( ) ( ) ( 2 ) ) ( ( 0 ) ( , 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) (                 n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果 C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P              ) , ( ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( ) , ( 0 ) , ( ) , ( 二阶微分方程：时为非齐次时为齐次， 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2      x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2 1 2 2 , ) ( 2 , , (*) 0 ) ( 1 , 0 (*) r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中               高等数学公式 11 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*) , 3 2 1 r r 的形式， 2 1 r r (*) 式的通解两个不相等实根 ) 0 4 ( 2   q p x r x r e c e c y 2 1 2 1   两个相等实根 ) 0 4 ( 2   q p x r e x c c y 1 ) ( 2 1   一对共轭复根 ) 0 4 ( 2   q p 2 4 2 2 2 1 p q p i r i r               ，， ) sin cos ( 2 1 x c x c e y x      二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数， ] sin ) ( cos ) ( [ ) ( ) ( ) ( , ) ( x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x               高等数学公式 12 五类基本初等函数及图形 ----------------------------------- (1) 幂函数 ----------------------------------  x y  ，  是常数； ----------------------------------- (2) 指数函数 ---------------------------------- x a y  ( a 是常数且 0 1 a a   ， ) ， ) , (    x ； ----------------------------------- (3) 对数函数 ---------------------------------- x y a log  ( a 是常数且 0 1 a a   ， ) ， (0, ) x   ； 1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间 ) , (    x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数时，图形关于原点对称； u 为偶数时图形关于 Y 轴对称； 2. 当 u 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。 3. 当 u 为正有理数 m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为（ 0, +  ）， n 为奇数时函数的定义域为（ -  +  ）。函数的图形均经过原点和（ 1 ,1 ）如果 m>n 图形于 x 轴相切 , 如果 m<n, 图形于 y 轴相切 , 且 m 为偶数时 , 还跟 y 轴对称 ;m,n 均为奇数时 , 跟原点对称 4. 当 u 为负有理数时 ,n 为偶数时 , 函数的定义域为大于零的一切实数 ;n 为奇数时 , 定义域为去除 x=0 以外的一切实数 1. 当 a>1 时函数为单调增 , 当 a<1 时函数为单调减 2. 不论 x 为何值 ,y 总是正的 , 图形在 x 轴上方 3. 当 x=0 时 ,y=1, 所以他的图形通过 (0,1) 点高等数学公式 13 ----------------------------------- (4) 三角函数 ---------------------------------- 正弦 x y sin  , ) , (    x , ] 1 , 1 [   y 余弦 x y cos  , ) , (    x , ] 1 , 1 [   y 正切 x y tan  , 2     k x , k Z  , ) , (    y 余切 x y cot  ，  k x  ， k Z  ， ) , (    y ----------------------------------- (5) 反三角函数 ---------------------------------- 反正弦 x y arcsin  , ] 1 , 1 [   x , ] 2 , 2 [     y 1. 他的图形为于 y 轴的右方并通过点 (1,0) 2. 当 a>1 时在区间 (0,1),y 的值为负图形位于 x 的下方 , 在区间 (1, +  ),y 值为正 , 图形位于 x 轴上方在定义域是单调增函数 .a<1 在实用中很少用到反余弦 x y arccos  , ] 1 , 1 [   x , ] , 0 [   y , 高等数学公式 14 反正切 x y arctan  , ) , (    x , ) 2 , 2 (     y 反余切 x y cot arc  , ) , (    x , ) , 0 (   y