MA0602 : Probabilit ́ es. Licence de Math ́ ematiques - L3 Universit ́ e de Reims Champagne-Ardenne Ann ́ ee universitaire 2021-2022 Facult ́ e de Sciences Exactes et Naturelles Corrig ́ e propos ́ e par julien.rouyer@univ-reims.fr version du 12 f ́ evrier 2022 Merci d’adresser toute remarque relative ` a ce document ` a cette adresse. TD3 : Fonctions caract ́ eristiques Correction d ́ etaill ́ ee de l’exercice 3 Exercice 3. Puisque N (Ω) = N , on peut utiliser l’ ́ egalit ́ e entre les variables al ́ eatoires suivantes : ∞ ∑ n =0 1 [ N = n ] = 1 o` u la seconde n’a de variable et d’al ́ eatoire que le nom puisqu’elle d ́ esigne la v.a.r. constante ́ egale ` a 1. Rappel : 1 [ N = n ] est une variable al ́ eatoire de Bernoulli de param` etre P [ N = n ] et donc E [ 1 [ N = n ] ] = P [ N = n ] 1. Dans l’interminable calcul qui suit, on utilise successivement les points suivants (l’ordre n’est pas toujours imp ́ eratif et on aurait pu, par moments, commuter l’ordre de certaines op ́ erations). (1) la d ́ efinition de la fonction caract ́ eristique de la v.a.r. S , (2) la d ́ efinition de la v.a.r. S , (3) l’ ́ egalit ́ e donn ́ ee en pr ́ eambule, (4) la lin ́ earit ́ e de la somme, (5) subtil : le fait que 1 [ N = n ] vaut 0 si N 6 = n et 1 si N = n , d’o` u l’ ́ egalit ́ e des deux expressions dont on cherche l’esp ́ erance, que l’on indique N ou n comme borne finale de la somme. En effet, quand N 6 = n , les deux expressions sont nulles donc ́ egales et il est clair que quand N = n les deux expressions sont ́ egales aussi, (6) le th ́ eor` eme de Fubini (il nous permet de commuter esp ́ erance et somme infinie quand tout converge : toutes les sommes ́ evoqu ́ ees convergent absolument, toutes les esp ́ erances existent car les v.a.r. dont on calcule l’esp ́ erance sont ` a chaque fois int ́ egrables, c’est-` a-dire que l’esp ́ erance de leur module existe), (7) l’ind ́ ependance de la v.a.r. N et des v.a.r. X k (et la continuit ́ e de la fonction exponentielle et des op ́ erations ́ el ́ ementaires de somme et de produit par une constante, qui transmettent intacte l’ind ́ ependance de N et des X k ` a N et e it ∑ X k ), (8) le rappel fait sur la v.a.r. 1 [ N = n ] , (9) les propri ́ et ́ es usuelles de la fonction exponentielle, (10) l’ind ́ ependance mutuelle des v.a.r. X k (et plus pr ́ ecis ́ ement, mˆ eme remarque qu’en (7), exception faite de N dont on a d ́ ej` a r ́ egl ́ e le sort), (11) la d ́ efinition de la fonction caract ́ eristique de X k , (12) le fait que N suit une loi de Poisson de param` etre λ ainsi que les propri ́ et ́ es usuelles du produit, (13) les propri ́ et ́ es usuelles des puissances, (14) la lin ́ earit ́ e de la somme, (15) la somme de la s ́ erie exponentielle de param` etre λφ ( t ), (16) les propri ́ et ́ es usuelles de la fonction exponentielle. ∀ t ∈ R , φ S ( t ) = (1) E [ e itS ] = (2) E [ e it ∑ N k =1 X k ] = (3) E [( + ∞ ∑ n =0 1 [ N = n ] ) e it ∑ N k =1 X k ] = (4) E [ + ∞ ∑ n =0 ( 1 [ N = n ] e it ∑ N k =1 X k )] = (5) E [ + ∞ ∑ n =0 ( 1 [ N = n ] e it ∑ n k =1 X k )] = (6) + ∞ ∑ n =0 E [ 1 [ N = n ] e it ∑ n k =1 X k ] = (7) + ∞ ∑ n =0 ( E [ 1 [ N = n ] ] E [ e it ∑ n k =1 X k ]) = (8) + ∞ ∑ n =0 ( P [ N = n ] E [ e it ∑ n k =1 X k ]) = (9) + ∞ ∑ n =0 ( P [ N = n ] E [ n ∏ k =1 e itX k ]) = (10) + ∞ ∑ n =0 ( P [ N = n ] n ∏ k =1 E [ e itX k ]) = (11) + ∞ ∑ n =0 ( P [ N = n ] n ∏ k =1 φ ( t ) ) = (12) + ∞ ∑ n =0 e − λ λ n n ! ( φ ( t )) n = (13) + ∞ ∑ n =0 e − λ ( λφ ( t )) n n ! = (14) e − λ + ∞ ∑ n =0 ( λφ ( t )) n n ! = (15) e − λ e λφ ( t ) = (16) e λ ( φ ( t ) − 1) On peut remarquer que la variable al ́ eatoire 1 [ N = n ] e it ∑ n k =1 X k co ̈ ıncide, dans une probabilit ́ e P [ N = n ] avec la variable al ́ eatoire e it ∑ n k =1 X k et avec la variable al ́ eatoire nulle (donc ni variable ni al ́ eatoire) dans une probabilit ́ e 1 − P [ N = n ] Version alternative : sans utiliser les fonctions indicatrices mais en parlant d’esp ́ erance conditionnelle (ce qui revient rigoureusement au mˆ eme, les d ́ etails de calculs sont identiques et je les d ́ etaille un peu moins que ci-dessus), on obtient le mˆ eme r ́ esultat. On peut en effet d ́ ecomposer une esp ́ erance en fonction d’esp ́ erances conditionnelles (formule de l’esp ́ erance totale) de la mˆ eme mani` ere qu’on d ́ ecompose une probabilit ́ e en fonction de probabilit ́ es conditionnelles (formule des probabilit ́ es totales). ∀ t ∈ R , φ S ( t ) = E [ e itS ] = + ∞ ∑ n =0 ( E [ N = n ] [ e it ∑ N k =1 X k ] × P [ N = n ] ) = + ∞ ∑ n =0 ( E [ e it ∑ n k =1 X k ] × P [ N = n ] ) = + ∞ ∑ n =0 (( n ∏ k =1 E [ e itX k ]) × P [ N = n ] ) = + ∞ ∑ n =0 (( n ∏ k =1 φ ( t ) ) × e − λ λ n n ! ) = + ∞ ∑ n =0 ( ( φ ( t )) n × e − λ λ n n ! ) = e − λ + ∞ ∑ n =0 ( λφ ( t )) n n ! = e − λ e λφ ( t ) = e λ ( φ ( t ) − 1) 2. Dans ce cas (voir Exercice 1.) : ∀ t ∈ R : φ ( t ) = pe it + 1 − p et φ S ( t ) = e λp ( e it − 1) ce qui prouve que S suit une loi de Poisson de param` etre λp (sa fonction caract ́ eristique caract ́ erise la loi d’une v.a.r. et la fonction caract ́ eristique de S que l’on obtient est celle d’une loi de Poisson !). ́ Etonnant, non ? Il est en tout cas fort logique que S ait pour esp ́ erance E [ S ] = λp : on peut esp ́ erer que chaque X k vaille en moyenne p et que la somme N ∑ k =1 soit constitu ́ ee de E [ N ] = λ termes...ce qui donne bien, en moyenne, une valeur λp pour S . On peut faire le mˆ eme raisonnement pour la variance car les v.a.r. X k sont mutuellement ind ́ ependantes.