G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 1 di 9 G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 2 di 9 Indice 1. IL CONCETTO DI FUNZI ONE ................................ ................................ ................................ ..................... 3 2. NUMERI NATURALI, INT ERI RELATIVI, RAZION ALI ................................ ................................ ................... 5 3. ESEMPI DI FUNZIONI T RA INSIEMI NUMERICI ................................ ................................ ......................... 7 BIBLIOGRAFIA ................................ ................................ ................................ ................................ ................... 9 G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 3 di 9 1. Il concetto di funzione Dati due insiemi A, B, immaginiamo di associare a ogni elemento del primo insieme un elemento del secondo. Per esempio, se A è l’insieme delle nazioni europee e B è l’insieme dei comuni europei , possiamo associare a ogni nazione la sua capitale . Una tale corrispondenza tra gli elementi di due insiemi è chiamata “funzione”. Un po’ più formalmente, dati due insiemi A, B, una funzione è una legge che a ogni elemento di A associa uno (e un solo) elemento di B Per indicare che f è una funzione tra A e B, si usa la notazione (che si legge “ f da A a B”). L’insieme A è detto “dominio” della funzione, l’insieme B “insieme di arrivo”. Se x è un elemento di A, il suo corrispondente elemento di B (tramite f ) si indica con f(x) (che si legge “f di x”). L’insieme de gli elementi di B che corrispondono a un elemento di A (cioè, l’insieme degli f(x) al variare di x in A) è detto “insieme immagine” della funzione f Osserviamo che l’insieme immagine è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo. Nel nostro esempio iniziale, se f è la funzione che a ogni nazione europea associa la sua capitale, l’insieme immagine è costituito da tutte le città capitali europee. Una funzione si dice “iniettiva” se a elementi dist inti del dominio corrispondono (tramite f ) elementi distinti dell’insieme di arrivo La funzione che abbiamo scelto come esempio è iniettiva. Infatti, due stati diversi hanno capitale diversa. Il concetto di funzione iniettiva è legato a un altro concetto, quello di “funzione inversa”. Immaginiamo, rimanendo nel nostro esempio , di partire dall’insieme immagine, cioè dall’insieme delle capitali europee. A questo punto possiamo definire una funzione (che chiamiamo inversa della funzione di partenza) che a ogn i capitale europea associa la sua nazione. G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 4 di 9 In generale, data una funzione iniettiva, è possibile definire una funzione (detta inversa) dall’ insieme immagine di B ad A, che a ogni elemento y dell’immagine di B associa l’elemento x di A tale che f(x )=y. Un esempio di funzione non iniettiva, invece, è la corrispondenza tra gli abitanti di un a città e la loro età (espressa in anni, come numero intero). Basta, infatti, individuare due persone che hanno la stessa età. Per le funzioni non iniettive non si può definire l’inversa. Nel nostro ultimo esempio, infatti, non possiamo associare ogni età ad un’unica persona. Nel prossimo paragrafo vedremo alcuni tra i principali insiemi numerici. Quindi, nel paragrafo successivo, vedremo alcuni esempi di funzioni t ra insiemi numerici. G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 5 di 9 2. Numeri naturali, interi relativi, razionali Passiam o adesso a definire (in modo non formale, ma soltanto intuitivo) gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, razionali. I numeri naturali sono quelli con cui siamo abituati a “contare”. Partendo da zero, essi sono 0, 1, 2, ..., n , ... (dove n rappresenta, appunto, un generico numero naturale). Denotiamo l’insieme dei numeri naturali con N Tra i numeri naturali possiamo definire le usuali operazioni di somma è prodotto. Non sempre, invece, è possibile definire le loro operazioni opposte (differenza e divisione). Per esempio, non esiste nessun numero naturale esprimibile con 2 - 5 o con 9:4. L addove la divisione è definita (senza resto) parliamo di “divisibilità”. Per esempio, 8 è divisibile per 2, e non è divisibile per 3. Un numero si dice “primo” se è diverso da 1 ed è divisibile solo per 1 e per se stesso Per esempio, 7 è un numero primo 4, invece, non è un numero primo, dato che è divisibile per 2. Come si è detto, l’operazione di differenza non sempre è definita tra numeri naturali. Occorre, per questo, estendere l’insieme dei numeri naturali ad un insieme nel quale sia sempre possibile definire la differenza. In particolare, consideriamo l’insieme dei numeri interi relativi 0, 1, - 1, 2, - 2, ..., n, - n, ... Denotia mo l’insieme dei numeri interi relativi con Z ( in particolare, l’insieme N si può pensare come un sottoinsieme di Z, cioè come l’ insieme dei numeri interi non negativi ) Come sappiamo, adesso la differenza è definita tra due qualsiasi elementi dell’insieme. Per esempio, 2 - 5= - 3. G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 6 di 9 Tuttavia, nell’insieme Z dei numeri interi relativi non è sempre possibile definire la divisione (o rappo rto) tra due numeri. Per esempio, non esiste alcun intero relativo esprimibile come 1:2. Occorre, per questo, estendere questo insieme all’insieme Q dei numeri razionali , che ha come elementi le frazioni di tipo dove m, n sono interi relativi e n è diverso da zero (naturalmente, come sappiamo, due frazioni possono rappresentare lo stesso numero razionale. Per esempio, ) In particolare, l’insieme Z si può pensare come un sottoinsieme di Q, cioè come l’insieme dei numeri razionali che si posson o rappresentare con denominatore 1 Come sappiamo, è sempre possibile la divisione tra due numeri razionali purchè il secondo (cioè, il divisore) sia diverso da zero. Ricordiamo che le frazioni si possono rappresentare in forma decimale. In particolare, og ni numero razionale ammette una rappresentazione con un numero finito o infinito periodico di cifre decimali. Per esempio, si ha Una possibile applicazione delle frazioni è l’uso delle percentuali. In particolare, la frazione (con k compreso tra 0 e 100) rappresenta il “ k per cento” . Per esempio, se in una classe di 20 studenti ci sono 8 ragazze e 12 ragazzi, dato che e , possiamo dire che la clas se è composta al 40 per cento da ragazze e al 60 per cento da rag azzi. G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 7 di 9 3. Esempi di funzioni tra insiemi numerici Esempio 1 Consideriamo la funzione definita dalla legge (in altri termini, questa funzione associa a ogni numero naturale il suo successivo). Per esempio, si ha Osserviamo che questa funzione è iniettiva, dato che numeri diversi hanno successivi diversi. L’immagine di f è l’insieme dei numeri naturali diversi da zero. La funzione inversa associa, a ogni numero naturale n diverso da zero, il numero che lo precede (cioè n - 1 ) Esempio 2 Consideriamo la funzione definita dalla legge (in altri termini, questa funzione associa a ogni numero intero il suo quadrato). Per esempio, si ha Osserviamo che questa funzione non è iniettiva. Infatti, non è vero che elementi diversi hanno corrispondenti diversi. Per esempio, G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 8 di 9 L’insieme immagine di f è costituito da tutti gli interi non negativi (o, se vogliamo, dai numeri naturali). Esempio 3 Consideriamo la funzione defini ta dalla legge (in altri termini, questa funzione associa a og ni numero razionale la sua metà ). Per esempio, si ha Osserviamo che questa funzione è iniettiva, dato che se x è diverso da y, allora è diverso da L’immagine di f è l’insieme dei numeri razionali (cioè coincide con l’insieme di arrivo della funzione) , infatti ogni elemento proviene dal suo doppio. La funzione inversa , dunque, associa a ogni numero razionale y il suo doppio 2 y G aetano T arcisio S partà - Funzioni. Insiemi numerici Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore (L. 22.04.1941/n. 633) 9 di 9 B ibliografia A Guerraggio. Matem atica (seconda edizione). Pearson. 2009. Capitolo 1, paragrafi 3, 4, 5.