بسم اﷲ الرحمن الرحیم جامعة السودان المفتوحة برنامج التربیة مقدمة في الرياضيات رمز المقرر ورقمھ : ريض 317 المؤلف : د عبد المجيد المهدي يعقوب التحكیم العلمي : أ محمد حسن الزبير التصمیم التعلیمي : أ محمد حسن الزبير التصمیم الفني : أسعد جلال الدين محمد بشير منشورات جامعة السودان المفتوحة، الطبعة الأولى 200 7 رقم الإيداع : جميع الحقوق محفوظة لجامعة السودان المفتوحة، لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا المقرر ، وبأي وجه من الوجوه، إلا بعد الموافقة المكتوبة من الجامعة أ مقـدمـة المقرر بسم اﷲ الرحمن الرحیم والصلاة والسلام على نبیه الأمین والحمد ﷲ رب العالمین الذي أعاننا ي الدارس هذا الكتاب ف على أن نقدم لك عزیز بل هو من أهم علوم الحیاة الریاضیات علم هام جدا ، ً منذ بدء الخلیقة و الإنسان یحتاج إلي علم الریاضیات في كل مناحي الحیاة وذلك من خلال تعامله مع كل ها نجد أن وغیر وصناعة ، اعة ، ة ، وزر عي ، وتجار من حوله ، وفي كل مهن الحیاة العامة من ر مبنیة علي الأرقام ، والمجموعات التي هي أساس الحساب و الریاضیات تلك العلوم لذلك لابد لكل إنسان أن یكون ملما بقدر مناسب ً من هذا العلم ، كي یمارس حیاته بسهولة وتكون معاملاته محسوبة بدقة التعامل الریاضي ینمي في الإنسان صفة الصدق ، والأمانة ، والدقة ، لأن بجانب ذلك ، المتعامل بالأرقام یجد نفسه أمام خیار واحد وهو النتائج الصادقة للعملیات الریاضیة اعة فالذي یود زر فدان من یجد أنه یحتاج إلي الفاصولیا مثلا ً 20 - 60 وذلك حسب خصوبة التربة وتوفر میاه كجم ي الر فهذا أمر غیر قابل لل تبذیر اف في التقاوي والإسر ة یجب علیة وكذلك الذي یود ممارسة التجار ة والإرب أن یكون ملما بالحسابات الأساسیة والنسب المحددة في الربح وفق قوانین التجار ً اح لكل هذا وغیر ه كان لابد من هذا الكتاب الذي یعتبر مدخل للریاضیات كي یتمكن الدارس بعد من الإلمام بأساسیات الحساب و الریاضیات التي تمكنه من ممارسة حیاته استه وفهمه جیدا ، در ً وهو العیش الكریم في ظل الإمكانیات المتاحة بطریقة توصله إلي الهدف المنشود ، ب وكما ستلاحظ أن الكتاب قد شمل خمسة وحدات أساسیة حیث كانت الوحدة الأولى ) المجموعات ( والتي ع رف نا من خلالها المفهوم الریاضي للمجموعة وقدمن ا نماذج لبعض المجموعات كما وضحنا العملیات الأساسیة على المجموعات لاشك أنك أما الوحدة الثانیة فقد كانت بعنوان المضاعف والقاسم المشترك والمقاییس والموازین و ي الدارس لدیك الكثیر من المعلومات عن هذه الوحدة والوحدة التي تلیها عزیز وهي الكسور والنسب اث ولكنا قصدنا بذلك وحساب المیر ا لأهمیتها في حی فقط التذكیر بتلك المعلومات نظر ً اتنا ابعة أما في الوحدة الر مبادئ ي وأجرینا ي والمقدار الجبر الجبر فقد عرفنا كلا من الحد الجبر ً بعض العملیات الجبریة ثم وضحنا كیفیة حل بعض المعادلات البسیطة مع أمثلة لمعادلات لفظیة أما في الوحدة الخامسة فقد تم توضیح كیفیة إیجاد كلا من المحیط والمساحة ل ً بعض الأشكال الهندسیة ك م ة و ح كیفیة استخدام البرجل والمسطر ا تم شر ال مثلث في الرسم الهندسي و اء بعض إجر استك للوحدة العملیات الهندسیة كما ستقف على ذلك بنفسك من خلال در ت الأهداف العامة للمقرر ع ي الدارس،، زیز اغك من بعد فر اسة هذا المقرر ینبغي أن تكون در ق ا ادر ً على أن : ) 1 ( ت ُ عرف المجموعات و ت شرح بعض النظریات والعملیات علیها ) 2 ( ت ُ عرف المضاعف المشترك الأصغر والقاسم المشترك الأعظم وتتمكن من ایجاد كل منهما ٍ ) 3 ( ت َ شرح اث الكسور والنسب وحساب المیر ) 4 ( ت ُ وضح ا لمبادئ التي یقوم علیها علم الجبر ) 5 ( ت َ رسم المساحة وتحسب المستوى في الهندسیة الأشكال بعض والمحیط لها ) 6 ( تستخدم الألفاظ والمفاهیم والرموز المرتبطة بعلم الریاضیات ث محتويات المقرر الوحدة الصفحة مقدمة المقرر أ - ث الوحدة الأولى : ال مجموعات 1 الوحدة الثانية : عملیات حسابیة 81 الوحدة الثالثة : ال كسور 135 الوحدة الرابعة : مبادئ الجبر 213 الوحدة الخامسة : الھندسة المستویة 257 1 الوحدة ا لأولى المجموعات 2 محتويات الوحدة ع الموضو الصفحة المقدمة 3 تمهـید 3 أهـداف الوحـدة 4 1 المجموعة ومفهوم العنصر 5 2 العملیات علي المجموعات 29 3 مجموعات عددیة 47 الخلاصة 57 لمحة مسبقة عن الوحدة التالیة 57 إجابات التدریبات 58 إجابات بعض أسئلة ا لتقویم الذاتي 75 مسرد المصطلحات 77 اجع المر 78 3 المقدمة تمـهـيد أخي الدارس مما لاشك فیه أن اﷲ سبحانه وتعالى خلق الكون وجعل الإنسان خلیفته فیه وهیأ له سبل الحیاة ، فخلق ادم وحواء مجموعة ابتداء من البشر ً وكذلك خلق مجموعات من الحیوانات والنباتات متشاب هة فیما بینها مختلفة عم ا سواها إذن فالحیاة كلها تعتمد علي نظام المجموعات أو لا یوجد فیها نظام فرد – لأن الفرد لا یستطیع أن یعیش منفردا ً إذن فنظام الحیاة منذ القدم هو نظام مجموعات ع ولذا كان لابد لنا أن نقدم لك موضو المجموعات كوحدة أولى لوحدات هذا الكتاب حیث عرفنا في بدایة الوحدة كلا من المجموعة ً والعنصر ومعنى انتماء عنصر لمجموعة وقدمنا أمثلة مختلفة عن المجموعات كما شرحنا أیضا ً الطریقة التي یمكن أن نعبر بها عن المجموعة وعرفنا كذلك كلا من المجموعة الخالیة والمجموعة ً الاحا دیة والمجموعة المنتهیة والمجم وعة غیر المنتهیة كما شرحنا من خلال الوحدة كیفیة تمثیل المجموعات بشكل ڤ ن وقدمنا بعض المفاهیم الأساسیة للمجموعات مثل المجموعات الجزئیة وتساوي المجموعات أیضا تطرقت الوحدة للعملیات الجبریة على المجموعات من تقاطع واتحاد ً لمجموعات الأعداد وفرق وتطرقنا حیث تنا ولنا مجموعة الأعداد الطبیعیة ثم الكلیة وعلافنا الأعداد الأولیة ومربعات الأعداد احاتك البناءة ونتمنى أن تكون هذه الوحدة شیقة وسهلة الفهم ى وباقتر ة أخر نرحب بك مر 4 أهداف الوحدة ي الدارس،، عزیز یتوقع بعد الانتهاء اسة هذه الوحدة أن تكون من در ا◌ على قادر ُ ً أن : 1 - ت ُ عرف المجموعة 2 - ت ُ عرف أنواع المجموعات المختلفة 3 - ت ُ عبر عن المجموعة كتابة 4 - ت ُ مثل المجموعات بالرسم ) شكل ڤ ن ( 5 - ت ُ جري یة الأساسیة عل العملیات الجبر ى المجموعات 6 - ت َ شرح مفهوم مجموعة الأعداد الطبیعیة وتمثلهاعلى الخط العددي 7 - ت ُ مثل ح والضرب على الخط العددي العملیات الحسابیة الجمع والطر 5 1 المجموعة ومفهوم العنصر 1.1 المجموعة تعریف ٭ التعریف المحدد مقصود به هو أ لا یتبادر لذهن السامع أي سؤال / ة فهما تاما بل یفهم العبار ً ً أمثلة لبعض المجموعات : - 1 - مجموعة عواصم الدول العربیة 2 - مجموعة التلامیذ بالصف الأول بالمدرسة ) أ ( 3 - ة بین مجموعة الأعداد الفردیة المحصور 2 ، 8 4 - مجموعة الأعداد الطبیعیة أكبر من 15 5 - یقیة مجموعة الدول الأفر 6 - مجموعة الدول الأفریقیة التي لها حدود مشتركة مع السودان 7 - مجموعة سور القر آ ن الكریم 8 - مجموعة ألوان الطیف المرئي 9 - مجموعة روافد نهر النیل 10 - مجموعة الرؤساء الذین تعاقبوا على السودان منذ الاستقلال ٭ ة من ال عندما تسمع أي عبار ة جیدا ة السابقة فإنك تفهم العبار ات العشر عبار ً ها وتستطیع ذكر عناصر المجموعة بالمفهوم الریاضي هي تجمع من الأشیاء ) العناصر ( ابط یربط بینها ر وتك ون معرفة تعریفا محددا ً ً ) جیدا ً ( 6 مثلا ً : إنك تفهم أن : - 1 - كل عنصر من عناصر المجموعة الأولي هو عاصمة لدولة عربیة مثل / الریاض / ة القاهر / دمشق / بغداد / ... الخ الدول العربیة 2 - العنصر من عناصر المجموعة الثانیة هو تلمیذ با لصف الأول بالمدرسة أ 3 - العنصر من عناصر المجموعة الثالثة أحد الأعداد 3 ، 5 ، 7 4 - ابعة أحد الأعداد العنصر من عناصر المجموعة الر 16 ، 17 ، 18 ، ... وبنفس الطریقة یمكنك أن تكمل بقیة الأمثلة من 5 إلي 10 ٭ أمثلة لبعض المجموعات التي لیست لها صفة مشتركة بالمفهوم ال ریاضي مثال : - 1 - مجموعة التلامیذ 2 - مجموعة الأشجار 3 - مجموعة الأدوات ها بدقة فالمجموعات السابقة لا تستطیع تحدید عناصر مثلا ً : - 1 - أم مدرسة أساس ب أم مجموعة التلامیذ غیر محددة هل هم تلامیذ المدرسة أ أم بنات بنین مدرسة ثانوي ... 2 - مجموعة الأشجار غیر محددة العناصر هل هي أشجار مانجو / برتقال / نیم / لبخ / أم غیر ذلك 3 - ها اعة أم غیر هل هي أدوات هندسیة أدوات بناء أم أدوات زر مجموعة الأدوات 7 تدریب ) 1 : ( 2.1 التعبير عن المجموعة ) طرق كتابة المجموعة ( یرمز للمجموعة بحرف هجائي كبیر معقو ف ) له زیل ( مثا ل س ، ، ، أما بالغة الانجلبزیة فیرمز لها دائما ب ً capital latter A , B , C , G , ... أما عناصر المجموعة إذا كانت ة عن عبار حروف فإنها ة تكتب بحروف صغیر small latter س مثل , ، ص ع ، ... في حالة اللغة العربیة أو a , b , c , d , ... في حالة اللغة الانجلیزیة كما أنه لابد من أن تكتب المجموعة داخل قوسین مموجین كبیرین ولیس سواهما هكذا {} وتتم كتابة عناصر المجموعة داخل القوسین المموجین ات الآتیة تمثل مجموعة بالمفهوم الریاضي؟ وضح أي العبار ثم أذكر عناصر كل مجموعة من المجموعات الریاضیة ؟ 1 - ي داخل السودان مجموعة روافد نهر النیل التي تجر 2 - مجموعة حروف الاسم محمد 3 - مجموعة الطلاب 4 - مجموعة فصول السنة 5 - مجموعة الأدوات 6 - مجموعة الأعد اد 7 - مجموعة الأعداد الطبیعیة 8 - مجموعة جامعات السودان 9 - مجموعة نجوم السماء 10 - ي بالوطن العربي مجموعة البحار التي تجر 8 عن المجموعة كتابة بأحد الطریقتین ونعبر : 1 - طریقة رصد العناصر 2 - طریقة المتغیر ) ة الصفة الممیز ( أولا ً : طریقة رصد العناصر في هذه الطریقة تتم كتابة العناصر داخل القوسین المموجین و یفصل بین العنصر والعنصر ُ الذي یلیه بعلامة فاصلة هكذا ) ، ( ار العنصر اعاة عدم تكر مع مر مثال : بطریقة رصد العناصر أكتب المجموعات أدناه 1 - مجموعة الأعداد الفردیة بین 4 ، 12 2 - مجموعة حروف الاسم لیلي 3 - مجموعة مربعات ) الأعداد الزوجیة بین 1 ، 7 ( 4 - مجموعة الدول العربیة التي لها حدود مشتركة مع السودان 5 - مجموعة أضلاع ∆ أ ب ج الحل : 1 - } 5 ، 7 ، 9 ، 11 { 2 - } ل ي { 3 - } 4 ، 16 ، 36 { 4 - } مصر ، لیبیا { 5 - } ا ب ، ب ج ، أ ج { 9 ت دریب ) 2 : ( ثانیا ً : - ة أو المتغیر طریقة الصفة الممیز ابطة المشتركة بین العناصر ة یقصد بها الر الصفة الممیز ُ لذلك لا ن صفة ة إلا إذا كانت هنالك ستطیع أن نعبر عن مجموعة ما بطریقة الصفة الممیز ها مشتركة بین عناصر یقة بطریقة ا وسمیت هذه الطر لمتغیر لأننا نرمز للعنصر بمتغیر )) بحرف هجائي (( ] المتغیر هو حرف هجائي یأخذ قیما مختلفة ً [ عبر عن كل من المجموعات أدناه بطریقة رصد العناصر 1 - المجموعة أ مجموعة حروف الاسم محمد 2 - المجموعة ب مجموعة الشهور الهجریة 3 - المجموعة ج مجموعة الأعداد الطبیعیة بین 3 ، 10 4 - المجموعة د مجموعة العوامل الأولیة للعدد 12 5 - المجموعة E اد أسرتك مجموعة أفر 6 - المجموعة F مجموعة الدول التي لها حدود مشتركة مع السودان 7 - المجموعة G مجموعة مربعات الأعداد بین 2 , 7 8 - المجموعة H مجموعة الجامعات الحكومیة السودانیة لایة الخرطوم بو 9 - المجموعة I مجموعة الأعداد الطبیعیة الأصغر من 5 10 - المجموعة ل مجموعة حروف كلمة سمسم 10 لا حظ الآ تي : - 1 - الرمز : أ حیث یقر ُ 2 - س : أ س حیث س تقر س ُ أو x : x ومعناها العنصر من عناصر هذه المجموعة ... 3 - بعد ) س : س ( تأتي الصفة ا ة التي تمیز العنصر الواحد من لممیز عناصر المجموعة المحددة مث ال : أكتب إن أمكن المجموعات أدناه ة بطریقة الصفة الممیز 1 - أ = } 10 ، 2 ، 7 ، أ ، ج ، ولد { 2 - } ة ، أحمد اس ، سیار قلم ، كر { 3 - } 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 { 4 - ب = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 { 5 - ت = } شمال ، جنوب ، شرق ، غرب { 6 - ه = } صیف ،شتاء ، ربیع ، خریف { 7 - ح = ابع بمدرسة التدریب أساس بنین مجموعة تلامیذ الصف الر الحل : 1 - أ = ة لایمكن كتابتها بالصفة الممیز – لأنه لا یوج د ها ابط بین عناصر ر 2 - ها ابط بین عناصر ة لعدم وجود ر لایمكن كتابتها بالصفة الممیز 3 - أ = } س : س عدد طبیعي فردي بین 2 ، 12 { 4 - ب = } ص : ص عدد طبیعي أصغر من 5 { 5 - ت = } ه : ه اتجاه رئیسي { 6 - ه = } ل : ل فصل من فصول السنة { 7 - ح = } ع : ع تلمیذ ابع بالصف الر بمدرسة التدریب أساس بنین { ملاحظ ة 11 ٭ ماذا تلاحظ عن الكلمات التي تحتها خط في الإجابات السابقة ي الدارس یمكنك یز والآن عز اء قر ة الأجوبة من 3 - 7 مستخدما كلمة حیث التي وردت في ً الملاحظة أعلاه مثلا ً س : س عدد طبیعي فردي بین 2 ، 12 أ س حیث س عدد طبیعي فردي بین تقر 2 و 12 وهكذا تدریب ) 3 : ( بطریقة المتغیر )) ة أعد كتابة المجموعات التالیة الصفة الممیز (( 1 - أ ، مجموعة حروف الاسم أحمد 2 - ب ، مجموعة الأعداد الفردیة بین 2 ، 10 3 - ج ، مربعات الأعداد الطبیعیة 4 - ل ، مجموعة الدول الأف ریقیة 5 - ك = } 4 ، 6 ، 8 ، 10 { 6 - ه ة التلمیذ حسام اد أسر ، مجموعة أفر 7 - ح = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 { 8 - ط ، مجموعة روافد نهر النیل 9 - ، مجموعة الطلاب بجامعة السودان المفتوحة 10 - ت = } 1 ، 9 ، 25 { 12 3.1 الانتماء الانتماء هو علاقة العنصر بالمجموعة مثال : إذا كانت أ = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 { ، ضع الرمز المناسب من الرموز 1 - 1 أ 2 - 7 أ 3 - 2 ، 4 أ 4 - 4 ، 5 أ 5 - } 2 { أ 6 - 1 ، 2 ، 3 ، 4 أ الحل : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - رمز الانتماء رمز ع د م الانتماء دائما علاقة العنصر ب ً المجموعة أما ینتمي لها أو لا ینتمي لها س أ أ العنصر س ینتمي إلي المجموعة تقر ُ أ ص أ أ العنصر ص لا ینتمي إلي المجموعة تقر ُ أ 13 مثال : إذا كانت أ = } س : س شهر م ن الشهور العربیة { ضع علامة ) ( ة الصحیحة أمام العبار وعلامة ) ( ة الخطأ أمام العبار 1 - محرم أ ( ) 2 - ینایر أ ( ) 3 - یونیو أ ) ( 4 - ذو الحجة أ ) ( 5 - صفر ، ینای ر أ ) ( 6 - أكتوبر أ ) ( 7 - طوبة أ ) ( 8 - أمشیر أ ) ( 9 - ربیع الثاني أ ) ( 10 - } محرم { أ ( ) الحل : 1 - × 2 - × 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 14 تدریب ) 4 : ( 1 - إذا كانت أ = } 1 ، 3 ، 5 ، 7 { ب = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 { ضع علامة ) ( ة أمام العبار الصحیحة وعلامة ) ( ة الخطأ أمام العبار 1 - 3 ب . ( ) 2 - 7 ب . ( ) 3 - } 5 { ب . ( ) 4 - 1 ، 7 أ . ( ) 5 - 7 ، 4 أ . ( ) 6 - 1 ، 3 ، 4 أ . ( ) 7 - 2 ، 4 أ ( ) 8 - } 1 ، 3 ، 5 { أ ( ) 9 - 4 أ . ( ) 10 - 1 ، 2 ، 5 ب . ( ) 2 - إذا كانت أ = } س : س رقم من أرقام العدد 742437 { ضع الرمز المناسب من الرموز أدناه في ال مكان المناس ب الرموز هي ) ، ( 1 - 7 أ 2 - } 4 { أ 3 - 4 ، 6 أ 4 - 3 ، 4 ، 7 أ 5 - } 7 ، 3 { أ 6 - 2 ، 4 ، 5 أ 7 - 7 ، 2 ، 3 ، 4 أ 8 - 5 أ 9 - } 2 { أ 10 - 7 ، 4 ، 3 ، 2 ، 9 أ