Esercizi di geometria su piramidi Esercizio 88 Figura: Piramide regolare quadrangolare Dati: • Perimetro base P base = 56 cm • Apotema laterale l = 25 cm Incognite: • Superficie totale A tot • Volume V Formule e calcoli: 1. Lato della base: a = 56 4 = 14 cm 2. Altezza della piramide: h = √ 25 2 − ( 14 2 ) 2 = √ 625 − 49 = 24 cm 3. Area della base: A base = 14 2 = 196 cm 2 4. Area laterale: A lat = 56 · 25 2 = 700 cm 2 5. Area totale: A tot = 196 + 700 = 896 cm 2 6. Volume: V = 196 · 24 3 = 1568 cm 3 Risultato: A tot = 896 cm 2 , V = 1568 cm 3 1 Esercizio 89 Figura: Piramide regolare quadrangolare Dati: • Perimetro base P base = 120 dm • Apotema laterale l = 17 dm Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Lato della base: a = 120 4 = 30 dm 2. Altezza: h = √ 17 2 − 15 2 = √ 64 = 8 dm 3. Area della base: A base = 30 2 = 900 dm 2 4. Volume: V = 900 · 8 3 = 2400 dm 3 Risultato: V = 2400 dm 3 Esercizio 90 Figura: Piramide regolare quadrangolare Dati: • Altezza h = 6 cm • Volume V = 512 cm 3 Incognite: • Superficie totale A tot Formule e calcoli: 1. Area di base: A base = 3 · 512 6 = 256 cm 2 2. Lato della base e perimetro: a = √ 256 = 16 cm , P = 4 · 16 = 64 cm 3. Apotema laterale: l = √ 6 2 + 8 2 = √ 100 = 10 cm 4. Area laterale: A lat = 64 · 10 2 = 320 cm 2 5. Area totale: A tot = 256 + 320 = 576 cm 2 Risultato: A tot = 576 cm 2 2 Esercizio 91 Figura: Piramide retta con base triangolo rettangolo Dati: • Base: cateto c = 9 cm, ipotenusa i = 23 4 cm • Altezza piramide h = 61 2 cm Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Altro cateto: b = √ 23 4 2 − 9 2 = 21 6 cm 2. Area di base: A base = 9 · 21 6 2 = 97 2 cm 2 3. Volume: V = 97 2 · 61 2 3 = 1982 88 cm 3 Risultato: V = 1982 88 cm 3 Esercizio 92 Figura: Piramide retta con base rombo Dati: • Diagonali rombo d 1 = 12 cm , d 2 = 16 cm • Altezza piramide h = 6 4 cm Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Area di base: A base = 12 · 16 2 = 96 cm 2 2. Volume: V = 96 · 6 4 3 = 204 8 cm 3 Risultato: V = 204 8 cm 3 3 Esercizio 93 Figura: Piramide retta con base triangolo rettangolo Dati: • Base: cateti 18 cm , 24 cm • Apotema laterale l = 10 cm Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Area di base: A base = 18 · 24 2 = 216 cm 2 2. In-raggio del triangolo: r = 18 + 24 − 30 2 = 6 cm 3. Altezza piramide: h = √ 10 2 − 6 2 = 8 cm 4. Volume: V = 216 · 8 3 = 576 cm 3 Risultato: V = 576 cm 3 Esercizio 94 Figura: Piramide regolare quadrata Dati: • Perimetro base 36 cm • Altezza = 2 × apotema del quadrato Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Lato del quadrato: a = 36 4 = 9 cm 2. Apotema del quadrato: r i = a 2 = 4 5 cm 3. Altezza piramide: h = 2 · 4 5 = 9 cm 4. Area di base: A base = 9 2 = 81 cm 2 5. Volume: V = 81 · 9 3 = 243 cm 3 Risultato: V = 243 cm 3 4 Esercizio 95 Figura: Piramide regolare quadrata Dati: • Perimetro base 48 cm • Apotema laterale l = 5 3 a Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Lato del quadrato: a = 48 4 = 12 cm 2. Apotema laterale: l = 5 3 · 12 = 20 cm 3. Area di base: A base = 12 2 = 144 cm 2 4. Volume: V = 144 · 20 3 = 960 cm 3 Risultato: V = 960 cm 3 Esercizio 96 Figura: Piramide regolare quadrata Dati: • Area base 324 cm 2 • Altezza = r i (apotema inscritto) Incognite: • Volume V Formule e calcoli: 1. Lato del quadrato: a = √ 324 = 18 cm 2. Apotema inscritto: r i = a 2 = 9 cm 3. Altezza piramide: h = r i = 9 cm 4. Volume: V = 324 · 9 3 = 972 cm 3 Risultato: V = 972 cm 3 5 Esercizio 97 Figura: Piramide regolare quadrata Dati: • Volume V = 16 3 = 4096 cm 3 • Altezza h = 12 cm Incognite: • Superficie totale A tot Formule e calcoli: 1. Area di base: A base = 3 · 4096 12 = 1024 cm 2 2. Lato della base: a = √ 1024 = 32 cm 3. Apotema laterale: l = √ 12 2 + 16 2 = √ 400 = 20 cm 4. Area laterale: A lat = 4 · 32 · 20 2 = 1280 cm 2 5. Area totale: A tot = 1024 + 1280 = 2304 cm 2 Risultato: A tot = 2304 cm 2 6