态度决定基础 思维决定高度 1 1 ．下列结论正确的是 ( ) A ．点 ( 2024,2025) P 在第四象限 B ．点 M 在第二象限，它到 x 轴， y 轴的距离分别为 4 ， 3 ，则点 M 的坐标为 ( 4,3) C ．平面直角坐标系中，点 ( , ) P x y 位于坐标轴上，那么 0 xy D ．已知点 ( 4,6) P ， ( 3,6) Q ，则直线 / / PQ y 轴 2 ．点 2 (3, 2 1) P m 所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3 ．在平面直角坐标系中，已知点 (3, ) A a ， ( , 2) B b 关于原点对称，则 2 a b 的值为 ( ) A ． 1 B ． 1 C ． 7 D ． 5 4 ．已知点 (4, ) P m 到 y 轴的距离是它到 x 轴距离的 2 倍，则 m 的值为 ( ) A ． 2 B ． 8 C ． 2 或 2 D ． 8 或 8 5 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 90 A ， 4 OA ， OB 平分 AOx ，点 ( 1, 2) B a a 关于 x 轴的对 称点是 ( ) A ． ( 4,3) B ． (5, 2) C ． (4, 3) D ． (5, 3) 6 ．如图，将 △ ABC 绕点 (0, 1) C 旋转 180 得到 △ A B C ．设点 B 的坐标为 (1, 4) ，则点 B 的坐标为 ( ) A ． ( 1, 3) B ． ( 1, 4) C ． ( 1, 5) D ． ( 1, 6) 7 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (3,1) A ，点 ( 1, 2) B ，则图中的 AOB 的大小为 ( ) A ． 115 B ． 120 C ． 135 D ． 150 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 第 9 题 8 ．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (4, 2) ，过点 A 作 AB y 轴于点 B ，连接 OA ，作△ ABO 关于直 线 AO 的对称图形，得到△ AEO ， AE 交 x 轴于点 F ，则点 F 的坐标为 ( ) A ． 3 ( ,0) 2 B ． 5 ( ,0) 2 C ． (3,0) D ． 5 (0, ) 2 9 ．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 (3,6) A ， ( 3,0) B ， (6,0) C ，点 ( ,1) P a 关于 y 轴 的对称点 Q 落在△ ABC 内（不包括边） ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 11 2 2 a B ． 11 2 2 a C ． 4 10 a D ． 10 4 a 10 ．如图，已知 (1, 4) A ， (5,1) B ， P 点为直线 AB 上一动点，则 OP 的最小值为 ． 11 ． 如图， 将等边三角形 OAB 放在平面直角坐标系中， A 点坐标为 (2,0) ， 将△ OAB 绕点 A 顺时针旋转 60 ， 则旋转后点 B 的对应点 B 的坐标为 ． 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题 12 ．如图，雷达探测器测得六个目标 A ， B ， C ， D ， E ， F ，按照规定的目标表示法，目标 A ， B 的 位置表示为 (8,60 ) A ， (5,120 ) B ，按照此方法在表示目标 E 的位置为 ． 13 ．如图，在平面直角坐标系中，若将 OAB 绕点 O 逆时针旋转 90 ，得到△ OA B ，那么 (8,3) B 的对应 点 B 的坐标是 ． 初二 数学思维训练 1 态度决定基础 思维决定高度 2 14 ．在平面直角坐标系中，已知点 (2 4, 1) P m m ． （ 1 ）若点 P 在 y 轴上，则点 P 的坐标是 ； （ 2 ）若点 P 在过点 (2, 5) A 且与 x 轴平行的直线上，则点 P 的坐标 ； （ 3 ）若点 P 到两坐标轴的距离相等，求点 P 的坐标． 15 ．已知 y 与 2 x 成正比例， z 与 1 y 成正比例． （ 1 ） z 是 x 的一次函数吗？请说明理由； （ 2 ）在什么条件下， z 是 x 的正比例函数？ 16 ．等腰三角形的周长为 30 cm ． （ 1 ）若底边长为 x cm ，腰长为 y cm ，写出 y 与 x 的关系式，并注明自变量的取值范围． （ 2 ）若腰长为 x cm ，底边长为 y cm ，写出 y 与 x 的关系式，并注明自变量的取值范围． 17 ．如图：在平面直角坐标系中，已知 (0, ) A a ， ( ,0) B b ， (5, ) C c 三点，若 a 、 b 、 c 满足关系式： 2 | 3 | ( 5) 6 0 a b c ． （ 1 ）求 a 、 b 、 c 的值． （ 2 ）求三角形 ABC 的面积． （ 3 ） 是否存在点 1 ( , ) 3 P x x ， 使三角形 AOP 的面积为三角形 ABC 的面积的 3 倍？若存在， 请直接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由． 18 ．问题情境： 在平面直角坐标系 xOy 中有不重合的两点 1 ( A x ， 1 ) y 和点 2 ( B x ， 2 ) y ， 小明在学习中发现若 1 2 x x ， 则 / / AB y 轴，且线段 AB 的长度为 1 2 | | y y ；若 1 2 y y ，则 / / AB y 轴，且线段 AB 的长度为 1 2 | | x x ． 【应用】 ： （ 1 ）若点 ( 1,1) A ， (2,1) B 则 / / AB 轴， AB 的长度为 ； （ 2 ）若点 (1,0) C ，且 / / CD y 轴，且 2 CD ，则点 D 的坐标为 ； 【拓展】 ： 我 们 规 定 ： 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 不 重 合 的 两 点 1 ( M x ， 1 2 ) ( y N x ， 2 ) y ， 之 间 的 折 线 距 离 为 1 2 1 2 ( , ) | | | | d M N x x y y 例如：图 1 中，点 ( 1,1) M 与点 (1, 2) N 之间的折线距离为 ( d M ， ) | 1 1| |1 ( 2) | 2 3 5 N ． 解决下列问题： （ 3 ）如图 2 ，已知 (2,0) E ，若 ( 1, 2) F ，则 ( , ) d E F ； （ 4 ）如图 2 ，已知 (2,0) E ， (1, ) H t ，若 ( , ) 3 d E H ，则 t ； （ 5 ）如图 3 ，已知 (3,3) P ，点 Q 在 x 轴上，且三角形 OPQ 的面积为 3 ，求点 P 和点 Q 的折线距离． 态度决定基础 思维决定高度 3 19 ．阅读与思考： 问题背景：在数轴上，点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，若点 C 是 AB 的中点，则点 C 表示的数是 2 a b ． 【尝试应用】 （ 1 ）如图，已知 (1,3) A ， (3,1) B ， (1, 1) C ， (3, 3) D ．设线段 AC 的中点为 M ，则 M 的坐标 可以这样计算： M 的横坐标等于 1 1 2 ， M 的纵坐标等于 3 ( 1) 2 ，即 (1,1) M ，设 AB 的中点为 N ，则 N 的 横坐标等于 1 3 2 ， N 的纵坐标等于 3 1 2 ，即 (2, 2) N ，分别找到线段 BD 和 CD 中点 1 P 、 2 P ，然后写出它 们的坐标，则 1 P ， 2 P ． 【探究发现】 （ 2 ） ① 再结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为 1 ( x ， 1 ) y ， 2 ( x ， 2 ) y ， 则线段的中点坐标为 ． ② 若点 ( 3,7) P ， (1, 3) Q ，用我们发现的结论可以直接得到线段 PQ 的中点坐标为 ． 【拓展探索】 （ 3 ）已知两点 (1,1) E ， (7, 4) F ，直接写出线段 EF 的三等分点的坐标； ★ 20 ．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研 究一种求面积的新方法：如图 ① ， ② 所示，分别过三角形或四边形的顶点 A ， C 作水平线的铅垂线 1 l ， 2 l ， 1 l ， 2 l 之间的距离 d 叫作水平宽；如图 ① 所示，过点 B 作水平线的铅垂线交 AC 于点 D ，称线段 BD 的长 叫作这个三角形的铅垂高；如图 ② 所示，分别过四边形的顶点 B ， D 作水平线 4 l ， 3 l ， 3 l ， 4 l 之间的距离 h 叫作四边形的铅垂高． 【结论提炼】容易证明： “ 三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 ” ，即 “ 1 2 S dh ” ． 【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图 ③ ，点 ( 5,2) A ， (5,0) B ， (0,5) C ，则三角形 ABC 的水平宽为 10 ，铅垂高为 ，所以三角 形 ABC 面积的大小为 ． 【再探新知】三角形的面积可以用 “ 水平宽与铅垂高乘积的一半 ” 来求，那四边形的面积是不是也可以这样 求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （ 1 ） 如图 ④ ， 在平面直角坐标系中， 取 ( 4, 2) A ， (1,5) B ， (4,1) C ， ( 2, 4) D 四个点， 得到四边形 ABCD ． 运 用 “ 水平宽与铅垂高乘积的一半 ” 进行计算得到四边形 ABCD 面积的大小是 ；用割补法进行计算得到 其面积的大小是 ，由此发现：用 “ 1 2 S dh ” 这一方法对求图 ④ 中四边形的面积 （填 “ 适合 ” 或 “ 不 适合 ” ) ． （ 2 ） 如图 ⑤ ， 在平面直角坐标系中， 取 ( 5, 2) A ， (1,5) B ， (4, 2) C ， ( 2, 3) D 四个点， 得到了四边形 ABCD ． 运 用 “ 水平宽与铅垂高乘积的一半 ” 进行计算得到四边形 ABCD 面积的大小是 ，用割补法进行计算得到 其面积的大小是 ，由此发现：用 “ 1 2 S dh ” 这一方法对求图 ⑤ 中四边形的面积 （填 “ 适合 ” 或 “ 不 适合 ” ) ． （ 3 ） 如图 ⑥ ， 在平面直角坐标系中， 取 ( 4, 2) A ， (1,5) B ， (5,1) C ， (1, 5) D 四个点， 得到了四边形 ABCD ． 通 过计算发现：用 “ 1 2 S dh ” 这一方法对求图 ⑥ 中四边形的面积 （填 “ 适合 ” 或 “ 不适合 ” ) ． 态度决定基础 思维决定高度 4 【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时， 可以用 “ 1 2 S dh ” 来求面积．那么，可以用 “ 1 2 S dh ” 来求面积的四边形应满足的条件是 ．