Aby udowodni ́ c, ̇ ze ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx > 1 2 , mo ̇ zemy postepowa ́ c w nastepujacy spos ́ ob: Krok 1: Poka ̇ z, ̇ ze calka ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx jest zbie ̇ zna. Krok 2: Znajd ́ z dolne ograniczenie dla calki ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx Krok 3: Poka ̇ z, ̇ ze dolne ograniczenie jest wieksze ni ̇ z 1 2 Zacznijmy od kroku 1. Aby pokaza ́ c, ̇ ze ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx jest zbie ̇ zna, mo ̇ zemy skorzysta ́ c z testu por ́ ownawczego. Zauwa ̇ zmy, ̇ ze dla x ≥ 1 mamy ∣ ∣ sin x x 2 ∣ ∣ ≤ 1 x 2 . Poniewa ̇ z ∫ ∞ 1 1 x 2 dx jest zbie ̇ zna, z testu por ́ ownawczego wynika, ̇ ze ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx jest r ́ ownie ̇ z zbie ̇ zna. W kroku 2 mo ̇ zemy skorzysta ́ c z calkowania przez cze ́ sci. Niech u = 1 x 2 i dv = sin x dx , wtedy du = − 2 x 3 dx i v = − cos x . Mamy wtedy ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx = [ − 1 x 2 cos x ] ∞ 1 + ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx. Pierwszy skladnik wynosi 1 1 2 − lim x →∞ cos x x 2 = 1, poniewa ̇ z lim x →∞ cos x x 2 = 0. Dla drugiego skladnika zauwa ̇ zmy, ̇ ze ∣ ∣ 2 cos x x 3 ∣ ∣ ≤ 2 x 3 dla x ≥ 1. Poniewa ̇ z ∫ ∞ 1 1 x 3 dx jest zbie ̇ zna, z testu por ́ ownawczego wynika, ̇ ze ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx jest r ́ ownie ̇ z zbie ̇ zna. Zatem pokazali ́ smy, ̇ ze ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx ≥ 1 + ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx W kroku 3 mo ̇ zemy pokaza ́ c, ̇ ze ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx > 1 2 . Aby to zrobi ́ c, zauwa ̇ zmy, ̇ ze ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx = ∫ ∞ 1 2 x 3 ∞ ∑ n =0 ( − 1) n x 2 n (2 n )! dx = ∞ ∑ n =0 ( − 1) n 2 (2 n )! ∫ ∞ 1 x 2 n − 3 dx. Korzystajac ze wzoru na calke z potegi, mamy ∫ ∞ 1 x 2 n − 3 dx = [ x 2 n − 2 2 n − 2 ] ∞ 1 = 1 2 n − 2 Zatem mamy ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx = ∞ ∑ n =0 ( − 1) n 1 ( n + 1)(2 n )! Teraz zauwa ̇ zmy, ̇ ze dla n ≥ 1 mamy 1 ( n + 1)(2 n )! < 1 (2 n )! < 1 (2 n − 1)! Zatem mamy ∫ ∞ 1 2 cos x x 3 dx = 1 − 1 3! + 1 5! − 1 7! + · · · > 1 − 1 3! + 1 5! − 1 7! = 11 60 Zatem pokazali ́ smy, ̇ ze ∫ ∞ 1 sin x x 2 dx > 1 + 11 60 = 71 60 > 1 2 , co ko ́ nczy dow ́ od. 1