שיא מאור כמה קשה לשטח כיפה? ־על גיאומטריה ואלסטיות בגאומטריה אלסטית תוהים עד כמה ניתן למתוח חומרים מתי גוף לא נמתח? קבוצה פתוחה וחסומה היא הגוף שעליו נדבר Ω ⊂ R d f : Ω → R d f ( x ) = Ax + b לא מותחת )העתקה צפידה( אם f הגדרה: כלומר הזזה וסיבוב בלבד b ∈ R d ו A ∈ M d ( R ) כאשר A ∈ O ( d ) O ( d ) = { A ∈ M d ( R ) : A T A = I } = { A : A : R d → R d } ומשמרת מכפלה פנימית Df ( p ) ∈ O ( d ) אם p לא מותחת בנקודה p ∈ Ω הגדרה: p ∈ Ω לכל p לא מותחת ב f בכל נקודה אזי Df = A לא מותחת אז f אבחנה : אם שאלה: האם ההיפך נכון? p לכל Df ( p ) ∈ O ( d ) גזירה פעמיים ברציפות ומתקיים f משפט: כן! אם f ( x ) = Ax + b מטריצה קבועה ו Df אזי Df T ( x ) Df = I כלומר Df ( x ) ∈ O ( d ) x ∈ Ω הוכחה: לכל ∑ d α =1 θf α θx i θf α θx j = { 1 i = j 0 i ̸ = j x k נגזור לפי θ θx k ( ∑ θf α θx i θf α θx j ) = 0 θ i = θ θx j ונסמן k ≤ d , i, j ≥ 1 לכל 0 = ∑ d α =1 θ k ( θ i f α θ j f α ) = ∑ d α =1 θ k θ i f α θ j f α + θ i f α θ k θ j f α := a ijk 0 = a kji = ... 0 = a ikj = ... 0 = 2 θ i Df T ( x ) Df ( x ) היא מטריצה קבועה. Df מתאפסות ולכן f לאחר הגזירות נקבל כל הנגזרות השניות של כאן הראינו שהעתקה בסיבוב בנקודה היא שקולה כאן לסיבוב כללי. י בדיקה לכל נקודה וסכימה “ נבדוק עכשיו לגבי פונקציה כמה היא מותחת ונעשה זאת ע של מה שנקבל. עבור העתקה כללית נבדוק כמה היא רחוקה מלהיות צפידה. גזירה ברציפות נגדיר אנרגיה אלסטית: f : Ω → R d לכל A = E [ f ] = r Ω ∣ ∣ Df T ( x ) Df ( x ) − I ∣ ∣ 2 dx Γ ⊂ θ Ω עם { E ( f ) | f : Ω → R d f | Γ = g } נרצה למזער את הבעיה: ל. “ כלומר למצוא את המינימום של הקבוצה הנ זו בעיה בחשבון ואריאציות. 1 להיות צפידה אז היינו רוצים ש f היינו רוצים שאם תנאי השפה לא מאפשרים ל inf A > 0 “ וזה לא מתקיים! כי אפשר ”לקפל נתקן את הבעיה ונסתכל על בעיית המזעור של A קבוצה “ בעיה “ ולכן במקום ה { E ( f ) : | f : Ω → R d f | Γ = g det ( Df ) > 0 } (1967 Reshetnyak ) משפט: f | Γ = g det ( Df ) > 0 שמקיימות f : Ω → R d אם f n → f ( x ) = Ax + b גורר E ( f n ) → 0 ו־ משפט: )פריזקה, ג'יימס, מולר 2002( A ∈ SO ( d ) קיימת det ( Df ) > 0 , f : Ω → R d כך שלכל C > 0 קיים ∫ Ω | Df − A | 2 ≤ C ∫ Ω ∣ ∣ Df T Df − I ∣ ∣ 2 ι ( x ) = x כאשר E ( ι ) = 0 נשים לב שמתקיים כלומר קיימת פונקציה לא מותחת, אבל בהרבה מקרים בטבע אין! כיפה )חתיכה מספירה( M אנלוג דו מימדי של הגזר המתוסכל היא הבעיה הבאה f : M → R 2 R 2 ל M טענה: אין העתקה לא מותחת )איזומטריה( בין 2 שומרת מרחק f : M → R 2 אם p 0 סביב r הוא כדור מטרי ברדיוס M הוכחה: כיוון ש אבל ההיקף 2 πr הור f ( M ) ואז ההיקף של R 2 ב r היא כדור ברדיוס f אז התמונה של הוא פחות! בסתירה. M של נרצה למצוא בעיית מיזעור לגופים עקומים: העתקה לינארית Df ( p ) : T p M → R 2 אז f : M → R 2 אם שבקואו' מטריצת גרם T p M ואז אפשר להגדיר מכפלה פנימים שתהיה המטריקה על g = ( θr θx θr θx θr θx θr θy θr θx θr θy θr θy θr θy ) שלה היא משמרת את המכפלה הפנימית Df ( p ) : T p M → R 2 אם p צפידה בנק' f נאמר כי ( f : U → R 2 ) Df ( p ) T Df ( p ) = g ( p ) ⇐⇒ : M האנרגיה האלסטית לגוף E M ( f ) = ∫ U ∣ ∣ Df T Df − g ∣ ∣ 2 אלסטיות לא אוקלידית: משפט: )פקזד ־ לויצקה 2011( קיימת איזומטריה של ⇐⇒ 0 = inf E M ( f ) = inf { f : M → R 2 | det ( Df ) > 0 } R 2 למישור M ונחזור לכמה קשה לשטח כיפה: אזי ממה שראינו יש קשר ישר לעקמומיות הכיפה ולאנרגיה הדרושה לשטח אותה 3