Síly | PDF Host

Newtonovy pohybové zákony 3 Dynamika Dynamika je část mechaniky, která studuje příčiny pohybu a klidu. Studuje, proč se těleso pohybuje nebo proč je těleso v klidu. 3.1 Newtonovy pohybové zákony Existují tři Newtonovy pohybové zákony. Tyto zákony tvoří základ klasické mechaniky. 3.1.1 Zákon setrvačnosti První Newtonův pohybový zákon se jmenuje zákon setrvačnosti : To znamená: Když chceme změnit rychlost tělesa, musí na těleso působit vnější síla. Když na těleso nepůsobí vnější síla, těleso zůstává (setrvává) v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Vnější síla je příčina změny rychlosti (její velikosti nebo or ientace) tělesa. Když se mění rychlost tělesa, musí existovat zrychlení. Síla je tedy příčinou zrychlení tělesa. 3.1.2 Zákon síly Druhý Newtonův pohybový zákon se jmenuje zákon síly Na těleso působí síla. Síla mění rychlost tělesa. Říkáme, že síla má pohybové účinky. (Síla také může deformovat těleso. Říkáme, že síla má také deformační účinky.) Síla je vektor, protože má orientaci. Zákon síly definuje pohybové účinky síly: Matematicky můžeme tento zákon zapsat takto: a  ~ F  a ~ m 1 Upravíme na tvar: F  = a m   Síla má jednotku newton (N). Newton je odvozená jednotka soustavy SI: [F] = [m] · [a] = kg · m · s - 2 = N Síla má velikost 1 N , když volnému tělesu o hmotnosti 1 kg uděluje zrychlení 1 m/s 2 Poznámka: Síla ve vzorci F  = a m   je vždy celková vnější síla . Je to vektorový součet všech vnějších sil , které na těleso působí. Hmotný bod (těleso) setrvává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, pokud tento stav nezmění vnější síla. Zrychlení tělesa a  je přímo úměrné působící síle F  a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa m  a  = m F  Newtonovy pohybové zákony a) b) Obr. 3 - 1: Působiště síly Na obrázku 3 - 1a) vidíme sílu F  , která působí na těleso v bodě P . Tento bod se jmenuje působiště síly . Někdy také kreslíme působení síly na těleso podle obrázku 3 - 1b). Příklady sil: a) Tíha Víme, že volné těleso se v tíhovém poli pohybuje se zrychlením g  . To znamená, že na těleso musí působit síla. Tato síla se jmenuje tíha tělesa , má značku G  . Tíhu tělesa, které má hmotnost m , vypočítáme podle vzorce G  = g m   Tíha působí na každé těleso v tíhovém poli Země. b) Tření Z praxe víme, že na těleso často působí okolí silou, která má orientaci proti pohybu. Příčinou této síly je dotyk (kontakt) tělesa s prostředím. Tato síla se jmenuje tření Obr. 3 - 2: Smykové tření Velikost síly smykového tření T je přímo úměrná velikosti tlakové síly N , kterou působí těleso kolmo na podložku: T ~ N  Existuje konstanta  tak, že platí: T =  · N Konstanta  se jmenuje součinitel (koeficient) smykového tření Velikost tohoto koeficientu závisí na materiálu a povrchu tělesa a na materiálu a povrchu podložky. Koeficient smykového tření  nemá jednotku ([  ] = 1). v  N  T  F  F  F  P Newtonovy pohybové zákony 3.1.3 Zákon akce a reakce Třetí Newtonův pohybový zákon se jmenuje zákon akce a reakce : Akci a reakci můžeme studovat podle obrázku 3 - 3: Obr. 3 - 3: Akce a reakce Na obrázku 3 - 3 vidíme dvě síly: Ruka působí na kouli silou k r F →  , koule působí na ruku silou r k F →  . Tyto síly mají stejnou velikost a opačnou orientaci. Jsou to akce a reakce. Vidíme, že tyto síly nepůsobí na jedno těleso, jedna síla působí na ruku, druhá síla působí na kouli. Vlastnosti akce a reakce: a) mají stejnou velikost a opačnou orientaci, b) vznikají a zanikají současně, c) nikdy nepůsobí na stejné těleso (když máme akci a její reakci, musíme mít dvě tělesa; když na jedno těleso působí dvě síly, které mají stejnou velikost a opačnou orientaci, nikdy to není akce a její reakce). Platnost Newtonových pohybových zákonů: Newtonovy pohybové zákony platí jen v setrvačných (inerciálních) systémech. Inerciální systém je takový systém, který se nepohybuje se zrychlením. To znamená, že inerciální systém je v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém. Například: a) Vlak koná pohyb rovnoměrný přímočarý. Tento vlak je inerciální systém. V tomto vlaku platí Newtonovy pohybové zákony. b) Letadlo koná pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený. Toto letadlo není inerciální systém. Na člověka, který sedí v letadle, působí síla, která má opačnou orientaci než zrychlení letadla. Tato síla se jmenuje setrvačná síla. Pro setrvačnou sílu (a ani pro poz orovatele v tomto letadle) neplatí Newtonovy pohybové zákony. c) Autobus jede v zatáčce. Na člověka v autobusu působí síla, která má orientaci od středu zatáčky. Pro tuto setrvačnou sílu také neplatí Newtonovy pohybové zákony. Neplatí ani pro pozorovatele v tomto autobusu. Každá síla (akce) vyvolává reakci. Tato reakce má stejnou velikost, ale opačnou orientaci. r k F →  k r F →  Newtonovy pohybové zákony 1. Co je dynamika? 2. Které zákony tvoří základ klasické mechaniky? 3. Co říká zákon setrvačnosti? 4. Co říká zákon síly? 5. Jak vypočítáme sílu? 6. Jakou značku a jakou jednotku má síla? 7. Jaké účinky má síla? 8. Platí zákon síly pro sílu, která má jen deformační účinky? 9. Co je vnější síla? 10. Co je tíha? 11. Jak vypočítáme tíhu? 12. Co je tření? 13. Jak vypočítáme tření? 14. Na čem závisí koeficient smykového tření? 15. Můžeme rovnici pro smykové tření psát ve vektorovém tvaru N T    =  ? 16. Co říká zákon akce a reakce? 17. Jaké vlastnosti mají akce a reakce? 18. Na stole leží kniha. Řekněte příklady sil mezi tělesy (kniha, stůl, podlaha, Země), které jsou akce a reakce. 19. Kde v praxi vidíme aplikaci Newtonových pohybových zákonů? 20. Platí Newtonovy pohybové zákony vždy? V kterých systémech neplatí? 1. Síla 1800 N uděluje automobilu zrychlení 1,5 m/s 2 . Vypočítejte hmotnost automobilu. [1200 kg] 2. Nákladní automobil má hmotnost 24 t a rychlost 72 km/h . Automobil zastaví za čas 10 s . Vypočítejte velikost brzdicí síly. [48 kN] 3. Letadlo má hmotnost 20000 kg a je na počátku v klidu. Na letadlo působí konstantní síla 25 kN . Za jaký čas má letadlo rychlost 180 km/h ? Jakou urazí dráhu? [40 s; 1000 m] 4. Puk v ledním hokeji dostal rychlost 8 m/s . Na jak velké dráze se zastaví, když koeficient smykového tření mezi pukem a ledem je 0,08 ? [40 m]  O d p o v í d e j t e : 1 = + V y p o č í t e j t e : Newtonovy pohybové zákony 5. Nakreslete graf závislosti zrychlení tělesa na velikosti působící síly. Hmotnost tělesa je 8 kg 3.2 Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě Na hmotný bod (na těleso) působí několik sil. Výslednou sílu vypočítáme jako vektorový součet všech sil, které na hmotný bod (těleso) působí: n F F F F     + + + = ... 2 1 Výsledná síla F  se jmenuje výslednice 1. Na hmotný bod působí dvě síly 1 F  a 2 F  , které mají stejnou orientaci Obr. 3 - 4: Skládání sil, které mají stejnou orientaci Platí: 2 1 F F F    + = Výslednice F  má stejnou orientaci jako její složky 1 F  a 2 F  Pro velikost výslednice platí 2 1 F F F + = , velikost součtu rovná se součet velikostí. 2. Na hmotný bod působí dvě síly 1 F  a 2 F  , které mají opačnou orientaci Obr. 3 - 5: Skládání sil, které mají opačnou orientaci Platí: 2 1 F F F    + = 1 F  2 F  F  1 F  2 F  F  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 F (N) a (m/s 2 ) P P Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě Výslednice F  má stejnou orientaci jako její větší složka. Pro její velikost platí 2 1 F F F − = . Velikost výslednice se rovná absolutní hodnotě rozdílu velikostí složek. Když síly 1 F  a 2 F  mají stejnou velikost ( 2 1 F F = ), je výslednice nula. 3. Na hmotný bod působí dvě různoběžné síly 1 F  a 2 F  a) b) c) Obr. 3 - 6: Skládání různoběžných sil Platí: 2 1 F F F    + = Na obrázku 3 - 6a) vidíme dvě síly 1 F  a 2 F  , které svírají úhel  . Podle obr. 3 - 6b) doplníme na rovnoběžník. Úhlopříčka rovnoběžníka v obr. 3 - 6c) je výslednice F  Pro velikosti platí: ) 180 cos( 2 2 1 2 2 2 1 2  −  − + = o F F F F F Protože   cos ) 180 cos( − = − o , dostáváme pro velikost výslednice vzorec  cos 2 2 1 2 2 2 1 F F F F F + + = Tento vzorec platí pro každé dvě síly 1 F  a 2 F  . Platí i pro navzájem kolmé síly ( o 90 =  , to znamená 0 cos =  ). Platí také pro stejnou orientaci sil ( o 0 =  , to znamená 1 cos =  ) i pro opačnou orientaci 1 F  a 2 F  ( o 180 =  , to znamená 1 cos − =  ). 1 F  2 F   1 F  2 F   1 F  2 F  F  P P P Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě 4. Na hmotný bod působí několik sil Hledáme sílu n F F F F     + + + = ... 2 1 . Na obrázku 3 - 7 si ukážeme, jak graficky najdeme výslednici tří sil 1 F  , 2 F  a 3 F  a) b) Obr. 3 - 7: Skládání několika sil Můžeme použit dvě metody: a) Složíme síly 1 F  a 2 F  . Dostaneme sílu 2 1 ́ F F F    + = . Potom složíme síly ́ F  a 3 F  Dostaneme sílu 3 2 1 F F F F     + + = b) Sestrojíme vektorový mnohoúhelník PABK : Do koncového bodu vektoru 1 F  dáme počáteční bod vektoru 2 F  . Dostaneme bod B . Do bodu B dáme počáteční bod vektoru 3 F  . Koncový bod K posunutého vektoru 3 F  je koncovým bodem výslednice 3 2 1 F F F F     + + = Poznámka: Podle metody a) můžeme napřed složit síly 3 1 F F   + a potom jejich výslednici složit se silou 2 F  nebo složit síly 3 2 F F   + a potom jejich výslednici složit se silou 1 F  . Vždy dostaneme stejný výsledek. Sílu můžeme také rozložit na dvě složky nebo na několik složek: 5. Známe sílu F  a orientaci jejích složek a) b) c) Obr. 3 - 8: Rozklad sil P 1 F  2 F  3 F  ́ F  F  P P F  A B P F  A B 1 F  2 F  P 1 F  2 F  3 F  F  K A B Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě Situaci na obr. 3 - 8a) doplníme na rovnoběžník podle obr. 3 - 8b) a dostaneme body A a B Body A a B jsou koncové body vektorů 1 F  a 2 F  . Síly 1 F  a 2 F  v obr. 3 - 8c) jsou složky síly F  . Platí 2 1 F F F    + = 2. Známe sílu F  a velikost a orientaci jedné složky Známe např. velikost a orientaci složky 1 F  : a) b) c) Obr. 3 - 9: Rozklad sil Situaci na obr. 3 - 9a) doplníme na rovnoběžník podle obr. 3 - 9b) a dostaneme bod A . Bod A je koncový bod složky 2 F  . Platí 2 1 F F F    + = 3. Známe sílu F  a velikosti složek 1 F  a 2 F  a) b) c) Obr. 3 - 10: Rozklad sil Podle obr. 3 - 10b) najdeme bod L , pro který platí 2 F PL  = , 1 F KL  = . Bod L je koncový bod složky 2 F  . Potom podle obr. 3 - 10c) doplníme na rovnoběžník a dostaneme bod J . Bod J je koncový bod složky 1 F  . Platí 2 1 F F F    + = Příklady: 1. Síla F  ( F = 150 N ) má dvě navzájem kolmé složky 1 F  a 2 F  . Velikosti složek jsou v poměru F 1 :F 2 = 3:4. Vypočítejte velikost sil 1 F  a 2 F  Řešení: Protože 2 1 F F   ⊥ , musí platit: 2 2 2 1 2 F F F + = Platí také 4 3 2 1 = F F , to znamená 4 3 2 1  = F F F  1 F  F  1 F  A F  1 F  A 2 F  1 F  2 F  P K F  P K L 2 F  F  P K L F  2 F  1 F  J Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě Dosadíme a počítáme: 16 25 4 3 2 2 2 2 2 2 2  = +        = F F F F  25 16 2 2 2  = F F  5 4 2  = F F Velikost 2 F potom je: N N F 120 150 5 4 2 =  = Protože 4 3 2 1  = F F , dostaneme: N N F 90 120 4 3 1 =  = Odpověď: Složky síly F  mají velikost N F 90 1 = , N F 120 2 = 2. Žena ve výtahu má hmotnost 60 kg . Výtah jede nahoru se zrychlením 2 m/s 2 . Jakou silou působí žena na podlahu výtahu? Řešení: Označíme m = 60 kg a = 2 m/s 2 p ž F → = ? Použijeme druhý Newtonův zákon. Ten říká, že vektorový součet všech vnějších sil rovná se součinu hmotnosti a zrychlení. Které vnější síly působí na ženu ve výtahu? Na ženu působí dvě síly: a) tíha ženy g m G    = , b) síla ž p F →  , kterou působí podlaha na ženu. Platí druhý Newtonův zákon: a m F i    =  a m F G ž p    = + → Z vektorové rovnice uděláme vzorec, kde budou jen velikosti vektorů. Proto zvolíme kladnou orientaci. V našem obrázku jsme jako kladnou zvolili orientaci nahoru. Potom pro velikosti platí ma F G ž p = + − → ( G má znaménko „mínus“, protože tíha má orientaci dolů, to znamená proti naší zvolené kladné orientaci. ž p F → a ma mají znaménko „plus“, protože síla podlahy na ženu a zrychlení mají orientaci nahoru – stejnou, jako je naše zvolená kladná orientace.) mg ma G ma F ž p + = + = → ( ) g a m F ž p +  = → ž p F → = 60 kg · (2 + 10) m/s 2 = 60 · 12 N = N 720 ž p F →  p ž F →  G  a  Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě Podle zákona akce a reakce se velikost síly, kterou působí žena na podlahu, rovná velikosti síly, kterou působí podlaha na ženu. Odpověď: Žena na podlahu působí silou 720 N 3. Studenty zajímalo, jaké je zrychlení letadla při startu a jakou rychlostí letadlo vzlétne. Proto si vyrobili jednoduchý akcelerometr. Na konec nitě přivázali prsten a studovali jeho pohyb. Zjistili, že při startu se nit s prstenem vychýlila o úhel 15 o od svislého směru. Na hodinkách zjistili dobu rozjezdu letadla 20 s . Jaké bylo zrychlení letadla a jakou rychlostí letadlo vzlétlo? Řešení: Označíme  = 15 o t = 20 s a = ? v = ? Prsten se pohybuje se zrychlením. Použijeme druhý Newtonův zákon. Ten říká, že vektorový součet všech vnějších sil rovná se součinu hmotnosti a zrychlení. Které vnější síly působí na prsten? Na prsten působí dvě síly: a) tíha prstenu g m G    = , b) síla n F  , kterou působí nit na prsten. Platí druhý Newtonův zákon – vektorový součet všech sil rovná se a m   . Víme, že zrychlení a  má vodorovný směr, tíha G  je svislá. Proto platí G a   ⊥ a můžeme použít funkci tangens: g a g m a m G a m tg =   =  =  Potom platí  tg g a  = Dosadíme a počítáme: 2 2 2 / 7 , 2 / 6795 , 2 / 15 10 s m s m s m tg a o = =  = Pro velikost rychlosti letadla platí: s m s m tg t a v o / 54 / 20 15 10 =   =  = Odpověď: Zrychlení letadla bylo 2,7 m/s 2 a letadlo vzlétlo rychlostí 54 m/s , to je přibližně 190 km/h 4. Těleso má hmotnost 10 kg a pohybuje se dolů po nakloněné rovině. Naše síla, která těleso brzdí, má velikost 30 N a má orientaci nahoru rovnoběžně s nakloněnou rovinou. Úhel  G  n F  a m   Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě sklonu roviny je 30 o a koeficient smykového tření mezi podložkou a tělesem je 0,15 Vypočítejte zrychlení pohybu tělesa. Řešení: Označíme m = 10 kg F = 30 N  = 30 o  = 0,15 a = ? Těleso se po nakloněné rovině pohybuje se zrychlením. Použijeme druhý Newtonův zákon. Na těleso působí celkem čtyři síly: Naše síla F  , smykové tření T  , tíha tělesa G  a síla podložky P F  . Platí a m F i    =  a m F G T F P       = + + + Tíhu tělesa G  rozložíme na složky - na normálovou složku N F  a tangenciální složku T F  : a m F F F T F P N T        = + + + + Musí být 0 = + P N F F   , protože těleso se nepohybuje ve směru kolmém na podložku. Proto platí: a m F T F T      = + + Z vektorové rovnice uděláme vzorec, kde budou jen velikosti vektorů. Proto zvolíme kladnou orientaci. V našem obrázku jsme jako kladnou orientaci zvolili orientaci šikmo dolů. Potom pro velikosti platí: ma F T F T = + − − (Naše síla F a tření T mají znaménko „mínus“, protože mají orientaci nahoru, to znamená proti naší zvolené kladné orientaci. T F má znaménko „plus“, protože má orientaci dolů – stejnou, jako je naše zvolená kladná orientace. ma má také znaménko „plus“, protože předpokládáme, že pohyb je zrychlený dolů.) ma F F F T N = +  − −  ma mg mg F = +  − −    sin cos ( ) m F mg a −  − =    cos sin Dosadíme a počítáme: ( ) 2 2 / 7 , 0 / 10 30 30 cos 15 , 0 30 sin 10 10 s m s m a o o + = −  −   = Odpověď: Zrychlení tělesa na nakloněné rovině je 0,7 m/s 2 . Orientace tohoto zrychlení je dolů (znaménko „plus“ ve výsledku znamená, že orientace zrychlení je stejná, jako je naše zvolená kladná orientace, to znamená dolů).  F  T  G  P F  T F  N F    Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě 5. Vypočítejte zrychlení tělesa o hmotnosti m 1 = 35 kg , které se pohybuje bez tření po vodorovné podložce působením tíhy jiného tělesa o hmotnosti m 2 = 15 kg podle obrázku. Řešení: Označíme m 1 = 35 kg m 2 = 15 kg a = ? Pro řešení tohoto příkladu můžeme použít dvě metody: a) Zrychlení tělesa o hmotnosti m 1 se rovná zrychlení systému obou těles. Výsledná síla, která způsobuje zrychlení systému těles , je tíha tělesa o hmotnosti m 2 . Podle druhého Newtonova zákona je: a m m g m  + =  ) ( 2 1 2 Upravíme a dosadíme: g m m m a  + = 2 1 2 2 2 / 3 / 10 15 35 15 s m s m a =  + = b) Těleso o hmotnosti m 2 se pohybuje se zrychlením a , proto pro výslednici všech sil, které na ně působí, musí platit: a m F i    =  2 Na těleso o hmotnosti m 2 působí jeho tíha G  a lano silou F  : a m F G     = + 2 Z této vektorové rovnice uděláme vzorec, kde budou jen velikosti vektorů. Proto zvolíme kladnou orientaci. V našem obrázku jsme jako kladnou orientaci zvolili orientaci dolů. Potom pro velikosti platí: a m F G 2 = − (Síla lana F má znaménko „mínus“, protože má orientaci nahoru, to znamená proti naší zvolené kladné orientaci. G má znaménko „plus“, protože má orientaci dolů – stejnou, jako je naše zvolená kladná orientace. Člen a m 2 má také znaménko „plus“, protože pohyb je zrychlený dolů.) Upravíme a dostaneme: ) ( 2 a g m F −  = Tato síla o velikosti F působí také na těleso o hmotnosti m 1 a uděluje mu zrychlení o velikosti a : a m F  = 1 Musí tedy platit: m 1 m 2 F  G  Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě ) ( 2 1 a g m a m −  =  → g m m m a  + = 2 1 2 2 / 3 s m a = Odpověď: Těleso se pohybuje se zrychlením 3 m/s 2 1. Co je výslednice? 2. Závisí velikost výslednice na úhlu složek? 3. Jak vypočítáme velikost výslednice? 4. Jak určíme graficky výslednici, když a) na hmotný bod působí dvě síly, které mají stejnou orientaci? b) na hmotný bod působí dvě síly, které mají opačnou orientaci? c) na hmotný bod působí dvě různoběžné síly? d) na hmotný bod působí několik sil? 5. Jak rozložíme sílu na dvě složky, když a) známe orientaci složek? b) známe orientaci a velikost jedné složky? c) známe velikost složek? 1. Volné těleso má hmotnost 2 kg . Na toto těleso působí současně dvě navzájem kolmé síly 1 F  a 2 F  . Velikosti sil jsou F 1 = 9 N , F 2 = 12 N . Vypočítejte zrychlení tělesa. [7,5 m/s 2 ] 2. Jedna složka síly F = 80 N má velikost 30 N a svírá s vektorem F  úhel 60 o . Nakreslete obrázek a vypočítejte velikost druhé složky. Velikost druhé složky v obrázku zkontrolujte podle výpočtu. [70 N] 3. Síla F  má velikost 126 N . Její složky mají velikosti F 1 = 90 N , F 2 = 54 N . Vypočítejte úhel vektorů 1 F  a 2 F  . Nakreslete obrázek a zkontrolujte velikost úhlu podle výpočtu. [60 o ] 4. Nakloněná rovina má úhel sklonu 30 o . Po této nakloněné rovině se pohybuje směrem dolů těleso rovnoměrným pohybem. Jaký je koeficient smykového tření? [0,58] 5. Na dvou lanech, která svírají s vodorovnou rovinou úhly 30 o a 45 o , visí těleso o  O d p o v í d e j t e : 30 o 45 o 1 = + V y p o č í t e j t e : Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě hmotnosti 15 kg . Vypočítejte velikost sil, které působí na lana. [109,8 N; 134,5 N] 6. Muž ve výtahu má hmotnost 80 kg . Výtah jede dolů se zrychlením 2 m/s 2 . Jakou silou působí muž na podlahu výtahu? [640 N] 7. Tramvaj koná pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený ve vodorovném směru. Má konstantní zrychlení 2 m/s 2 . V tramvaji sedí cestující o hmotnosti 80 kg . Jaká celková síla působí na cestujícího? Jakou silou působí cestující na sedadlo? [160 N; 816 N] 8. Vozík o hmotnosti m = 10 kg se pohybuje bez tření nahoru po nakloněné rovině působením závaží o stejné hmotnosti m . Úhel sklonu roviny je 30 o . Vypočítejte zrychlení vozíku. Vypočítejte velikost síly, kterou působí závaží na lano. [2,5 m/s 2 ; 75 N] m m 15 kg Skládání a rozklad sil, které působí v jednom bodě