1 Biến cố - Xác suất 1.1 Biến cố ngẫu nhiên 1.1.1. Các khái niệm Định nghĩa 1. Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát về hiện tượng nào đó trong cuộc sống, trong một số điều kiện nhất định. Định nghĩa 2. Không gian mẫu Ω của một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra sau khi thực hiện phép thử. Định nghĩa 3. Biến cố ngẫu nhiên là một tập con của không gian mẫu Ω Các loại biến cố đặc biệt • Biến cố chắc chắn ( Ω ) là biến cố nhất định xảy ra. • Biến cố không thể ( ∅ ) là biến cố nhất định không xảy ra. 1.1.2. Các phép toán trên biến cố ngẫu nhiên Phép thử: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 1 lần. Không gian mẫu: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Biến cố tổng Biến cố tổng của hai biến cố A và B , ký hiệu là A + B (hoặc A ∪ B ), là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. A B A + B = { ω ∈ Ω | ω ∈ A hoặc ω ∈ B } Ví dụ 1. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt nhỏ hơn 3" → B = { 1 , 2 } Biến cố tổng ( A + B ) : "Gieo được mặt chẵn HOẶC nhỏ hơn 3" → A + B = { 1 , 2 , 4 , 6 } 1 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Biến cố tích Biến cố tích (hay còn gọi là Giao) của hai biến cố A và B , ký hiệu là A · B (hoặc A ∩ B , hoặc AB ), là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra đồng thời. A B AB = { ω ∈ Ω | ω ∈ A và ω ∈ B } Ví dụ 2. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt nhỏ hơn 3" → B = { 1 , 2 } Biến cố tích ( AB ) : "Gieo được mặt chẵn VÀ nhỏ hơn 3" → AB = { 2 } Biến cố kéo theo Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B (ký hiệu A ⊂ B hoặc A = ⇒ B ) nếu hễ A xảy ra thì kéo theo B sẽ xảy ra. Ω B A Ví dụ 3. Gọi A là biến "Gieo được mặt Nhị (2 chấm)" → A = { 2 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt Chẵn" → B = { 2 , 4 , 6 } Nếu A xảy ra, thì chắc chắn B đã xảy ra (vì 2 là số chẵn). Ta nói: A kéo theo B ( A ⊂ B ). Biến cố bằng nhau (tương đương) Hai biến cố A và B gọi là bằng nhau ( A = B hoặc A ⇐⇒ B ) khi và chỉ khi A ⊂ B và B ⊂ A Ví dụ 4. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt có số chấm lẻ" → A = { 1 , 3 , 5 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt có số chấm không chia hết cho 2" → B = { 1 , 3 , 5 } Ta thấy A và B là một, chỉ là cách diễn đạt khác nhau. Vậy A = B π Nhật Ký Đại Học 2 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. Ví dụ 5. Gieo riêng biệt 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố "Xúc xắc thứ 1 xuất hiện mặt 6 chấm". Gọi B là biến cố "Xúc xắc thứ 2 xuất hiện mặt 6 chấm". Kết quả của việc gieo xúc xắc thứ nhất không ảnh hưởng gì đến xúc xắc thứ hai. Vậy A và B độc lập. Biến cố đối lập Biến cố đối lập của biến cố A , ký hiệu là A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Ví dụ 6. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt 6 chấm" → A = { 6 } Biến cố đối ( A ) : "Gieo KHÔNG được mặt 6 chấm" → A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Ví dụ 7. Gọi A là biến cố "Gieo được mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } Gọi B là biến cố "Gieo được mặt 5 chấm" → B = { 5 } Rõ ràng không thể vừa ra mặt chẵn, vừa ra mặt 5 cùng lúc. Vậy A và B xung khắc. Phân biệt Xung khắc và Đối lập: • Đối lập: Bắt buộc phải xảy ra 1 trong 2 (Mặt Sấp vs Mặt Ngửa) • Xung khắc: Không thể xảy ra cả 2, nhưng có thể không xảy ra cái nào cả. (Ví dụ trên: Ra mặt 1 thì cả A và B đều không xảy ra). Biến cố sơ cấp Biến cố sơ cấp là biến cố chỉ bao gồm duy nhất một kết quả của phép thử. Nếu không gian mẫu là Ω , thì mỗi phần tử ω ∈ Ω được gọi là một biến cố sơ cấp. Ký hiệu: { ω } Biến cố sơ cấp không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Trong một lần thử, hai biến cố sơ cấp khác nhau không thể cùng xảy ra (nếu kết quả là a thì không thể là b ). 3 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu (Ω) Ω = { ω 1 , ω 2 , . . . , ω n } Ví dụ 8. E 1 là biến cố "Ra mặt 1 chấm" → E 1 = { 1 } → Là biến cố sơ cấp. E 2 là biến cố "Ra mặt 2 chấm" → E 2 = { 2 } → Là biến cố sơ cấp. Gọi A là biến cố "Ra mặt chẵn" → A = { 2 , 4 , 6 } A KHÔNG PHẢI là biến cố sơ cấp, vì nó được hợp thành từ 3 biến cố sơ cấp ( { 2 } , { 4 } , { 6 } ). Tính chất Cho A, B là 2 biến cố thuộc không gian mẫu Ω . Khi đó 1) A ∩ ∅ = ∅ 2) A ∪ ∅ = A 3) A = A 4) A ∩ A = ∅ 5) A ∪ A = Ω 6) A ∩ B = A ∪ B 7) A ∪ B = A ∩ B 8) A = A ∩ ( B ∪ B ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) 9) Nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B 10) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A Câu 1. Có ba hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy mỗi hộp 1 sản phẩm. Gọi A i = “lấy được sản phẩm tốt ở hộp thứ i ”, i = 1 , 2 , 3 . Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau: a) A = “lấy được ba sản phẩm tốt”. b) B = “lấy được một sản phẩm tốt”. c) C = “lấy được sản phẩm tốt”. d) D = “không có sản phẩm nào tốt. e) E = "Lấy được ít nhất 2 sản phẩm tốt" | Lời giải. a) A = A 1 A 2 A 3 b) B = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 c) C = A 1 + A 2 + A 3 d) D = A 1 A 2 A 3 e) E = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 Câu 2. Có 3 máy hoạt động độc lập. Gọi A i = “máy thứ i bị hỏng.”, i = 1 , 2 , 3 . Hãy biểu diễn qua A i các biến cố sau: a) A = “chỉ có máy 1 hỏng” b) B = “Máy 1, 2 hỏng nhưng máy 3 không hỏng” c) C i = “Có i máy hỏng”, i = 1 , 2 , 3 π Nhật Ký Đại Học 4 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT d) D = “Có nhiều nhất 2 máy hỏng”. e) E = “Có ít nhất 2 máy hỏng". | Lời giải. a) A = A 1 A 2 A 3 b) B = A 1 A 2 A 3 c) C 1 = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 , C 2 = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 , C 3 = A 1 A 2 A 3 d) D = "Có 0, 1, hoặc 2 máy hỏng" → D = A 1 A 2 A 3 + C 1 + C 2 Hoặc ta có thể sử dụng biến cố đối D = "Cả 3 máy đều hỏng" → D = C 3 → D = A 1 A 2 A 3 e) E = C 2 + C 3 1.2 Xác suất của một biến cố 1.2.1. Xác suất cổ điển Định nghĩa 4 (Xác suất cổ điển). Nếu trong một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện trong đó có m biến cố sơ cấp kéo theo biến cố A thì xác suất của A là P ( A ) = n ( A ) n (Ω) = m n Chú ý. • Số lượng kết quả có thể xảy ra là đếm được và hữu hạn (không phải vô hạn). • Đồng khả năng : Các kết quả sơ cấp có khả năng xảy ra như nhau. Tính chất Cho A ⊂ Ω , khi đó 1) 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 ; 2) P ( ∅ ) = 0 và P (Ω) = 1 ; 3) P ( A ) = 1 − P ( A ) ; 4) Nếu A = ⇒ B thì P ( A ) ≤ P ( B ) 5) Nếu A ⇐⇒ B thì P ( A ) = P ( B ) Ví dụ 9. Một hộp có 4 bi trắng và 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2 bi để xem màu theo ba cách: Cách 1. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc Cách 2. Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Cách 3. Lấy có hoàn lại 2 bi Tính xác suất lấy được 2 bi trắng theo từng cách. | Lời giải. 5 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Tổng số bi trong hộp: 4 + 3 = 7 (bi) Cách 1. Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc Số cách chọn 2 bi bất kỳ từ 7 bi là: n (Ω) = C 2 7 = 21 Số cách chọn 2 bi trắng từ 4 bi trắng là: n ( A ) = C 2 4 = 6 Xác suất: P 1 ( A ) = 6 21 = 2 7 Cách 2. Lấy lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Số cách lấy lần lượt 2 bi từ 7 bi là n (Ω) = A 2 7 = 42 Số cách lấy lần lượt 2 bi trắng là n ( A ) = A 2 4 = 12 Xác suất P 2 ( A ) = 12 42 = 2 7 Cách 3. Lấy có hoàn lại 2 bi. Số cách chọn 2 bi có hoàn lại từ 7 bi là n (Ω) = 7 2 = 49 (Lần 1 có 7 cách chọn, lần 2 cũng có 7 cách chọn do bi lần 1 đã được bỏ lại) Số cách chọn 2 bi trắng có hoàn lại là n ( A ) = 4 2 = 16 Xác suất P 3 ( A ) = 16 49 Nhận thấy: Việc lấy ngẫu nhiên k phần tử cùng lúc hay lấy lần lượt không hoàn lại thì xác suất để thu được cùng một tập hợp phần tử là như nhau. Ví dụ 10. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 6 khách nam và 4 khách nữ đến thuê phòng. Người quản lý khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người để cho thuê. Tính xác suất để: a) 6 nam được thuê phòng ( A ) b) 2 nữ được thuê phòng ( B ) c) Ít nhất 2 nữ được thuê phòng ( C ) | Lời giải. Tổng số khách: 6 + 4 = 10 người. Không gian mẫu chính là số cách chọn ngẫu nhiên 6 người từ 10 người: n (Ω) = C 6 10 = 210 a) Tính P ( A ) Số cách chọn 6 nam là n ( A ) = C 6 6 = 1 . Xác suất P ( A ) = 1 210 b) Tính P ( B ) Số cách chọn 2 nữ là n ( B ) = C 2 4 = 6 . Xác suất P ( B ) = 6 210 = 1 35 c) Tính P ( C ) C = "Có ít hơn 2 nữ được thuê phòng". TH1 . Có 0 nữ và 6 nam thuê phòng. Số cách chọn thỏa mãn là C 0 4 · C 6 6 = 1 cách TH2. Có 1 nữ và 5 nam thuê phòng. Số cách chọn thỏa mãn là C 1 4 · C 5 6 = 24 cách. Do đó n ( C ) = 24 + 1 = 25 Xác suất P ( C ) = 1 − P ( C ) = 1 − 25 210 = 37 42 π Nhật Ký Đại Học 6 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Ví dụ 11. Ba khách hàng đi vào 6 quầy phục vụ của một ngân hàng. Tính xác suất để: a) Cả 3 khách cùng đến một quầy ( A ) b) Mỗi người đến một quầy khác nhau ( B ) c) Hai trong 3 người đến một quầy ( C ) d) Chỉ có một khách đến quầy số 1 ( D ) | Lời giải. Mỗi khách hàng trong số 3 khách hàng đều có 6 lựa chọn về quầy phục vụ. Do đó, tổng số cách sắp xếp là: n (Ω) = 6 × 6 × 6 = 6 3 = 216 a) Cả 3 khách cùng đến một quầy nên ta cần chọn 1 trong 6 quầy cho 3 khách. Số cách chọn n ( A ) = C 1 6 = 6 Xác suất P ( A ) = 6 216 = 1 36 b) Xếp 3 người vào 6 quầy khác nhau (có tính thứ tự) → n ( B ) = A 3 6 = 120 Xác suất P ( B ) = 120 216 = 5 9 c) Số cách chọn 2 trong 3 người là C 2 3 = 3 . 2 người được chọn có C 1 6 = 6 cách cùng đến 1 quầy. Người còn lại có 5 cách chọn quầy. Do đó n ( C ) = 3 · 6 · 5 = 90 Xác suất P ( C ) = 90 216 = 5 12 d) Chọn 1 khách đến quầy số 1 có 3 cách. 2 khách còn lại có 5 · 5 = 25 cách chọn quầy. Do đó n ( D ) = 75 Xác suất P ( D ) = 75 216 = 25 72 1.2.2. Các công thức tính xác suất Công thức xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện của biến cố A biết rằng biến cố B đã xảy ra ( P ( B ) > 0) , kí hiệu là P ( A | B ) và được tính bởi công thức P ( A | B ) = P ( AB ) P ( B ) Khi biết B đã xảy ra, không gian mẫu Ω ban đầu bị "thu hẹp" lại chỉ còn là B . Khi đó, ta đi tìm phần giao nhau giữa A và không gian mẫu mới ( B ). Công thức nhân và công thức cộng xác suất Cho 2 biến cố A và B bất kỳ: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) 7 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Nếu A và B xung khắc, tức A ∩ B = ∅ , thì P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) Từ công thức xác suất có điều kiện, ta suy ra: P ( AB ) = P ( A ) · P ( B | A ) = P ( B ) · P ( A | B ) Nếu A và B độc lập, tức là việc A xảy ra không ảnh hưởng đến B , thì P ( AB ) = P ( A ) · P ( B ) Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Giả sử có một hệ đầy đủ các biến cố H 1 , H 2 , . . . , H n (chúng xung khắc từng đôi một và hợp lại bằng toàn bộ không gian mẫu). Với một biến cố A bất kỳ: • Công thức xác suất đầy đủ: Dùng để tính xác suất của A khi nó bị ảnh hưởng bởi nhiều nguyên nhân/trường hợp ( H i ) khác nhau. P ( A ) = n ∑ i =1 P ( H i ) · P ( A | H i ) • Công thức Bayes: Dùng để lật ngược bài toán. Khi đã biết kết quả A xảy ra, ta đi tìm xác suất để nguyên nhân H k gây ra kết quả đó. P ( H k | A ) = P ( H k ) · P ( A | H k ) P ( A ) = P ( H k ) · P ( A | H k ) n ∑ i =1 P ( H i ) · P ( A | H i ) Công thức xác suất Bernoulli Xét một phép thử có đúng 2 kết quả: Thành công (xác suất p ) và Thất bại (xác suất q = 1 − p ). Thực hiện phép thử này n lần một cách độc lập. Gọi X là số lần "Thành công" trong n lần thử đó. Xác suất để có đúng k lần thành công được tính bằng công thức: P ( X = k ) = C k n · p k · (1 − p ) n − k ( với k = 0 , 1 , 2 , . . . , n ) Ví dụ 12. Một sinh viên thi hết môn Xác suất- Thống kê. Trong đề thi có 25 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất sinh viên trả lời đúng 12 câu hỏi trắc nghiệm, biết rằng sinh viên đó chọn trả lời một cách ngẫu nhiên cho từng câu hỏi trắc nghiệm? | Lời giải. Số lần thử (số câu hỏi): n = 25 Xác suất thành công (trả lời đúng) trong mỗi lần thử: p π Nhật Ký Đại Học 8 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Vì mỗi câu có 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng, nên p = 1 4 = 0 , 25 Xác suất thất bại (trả lời sai): q = 1 − p = 3 4 = 0 , 75 Ta cần tính xác suất sinh viên trả lời đúng k = 12 câu, tức là P ( X = 12) P ( X = 12) = C 12 25 · ( 1 4 ) 12 · ( 3 4 ) 25 − 12 ≈ 0 , 00416 1.3 Bài tập tự luận Câu 1. Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1 , 2 , 3 , 4 , ta lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp. 1) Xác định không gian mẫu của phép thử trên. 2) Liệt kê tất cả các phần tử của các biến cố sau: A : "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn"; B : "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn". | Lời giải. 1) Ω = { (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 4) } 2) Để tổng của hai số là một số chẵn, thì hai số đó phải cùng là số lẻ hoặc cùng là số chẵn. A = { (1 , 3) , (2 , 4) } Để tích của hai số là một số chẵn, thì trong hai số đó phải có ít nhất một số chẵn. B = { (1 , 2) , (1 , 4) , (2 , 4) , (3 , 4) } Câu 2. Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ màu đỏ được đánh số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , thẻ màu xanh được đánh số 6 và các thẻ màu trắng được đánh số 7 , 8 , 9 , 10 . Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. 1) Xác định không gian mẫu. 2) Kí hiệu A , B , C là các biến cố sau: A : "Lấy được thẻ màu đỏ"; B : "Lấy được thẻ màu trắng"; C : "Lấy được thẻ ghi số chẵn". Hãy biểu diễn các biến cố A , B , C theo các biến cố con khác rỗng nhỏ nhất của không gian mẫu. | Lời giải. 1) Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } 2) A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B = { 7 , 8 , 9 , 10 } , C = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } Câu 3. Một hộp có 10 quả bóng bàn. Ngày thi đấu thứ nhất lấy ngẫu nhiên 3 quả ra sử dụng, sau đó bỏ lại vào hộp. Ngày thi đấu thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả ra sử dụng. Tính xác suất trong 3 quả sử dụng ở ngày thứ hai có ít nhất 1 quả đã sử dụng ở ngày thứ nhất. Đáp án: 17 24 | Lời giải. 9 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Gọi U là tập hợp 3 quả bóng được sử dụng trong ngày thứ nhất. Sau khi sử dụng và bỏ lại vào hộp, hộp có 10 quả, trong đó có 3 quả thuộc U (đã sử dụng) và 7 quả không thuộc U (chưa sử dụng). Ngày thi đấu thứ hai, ta lấy ngẫu nhiên 3 quả từ 10 quả. Số phần tử của không gian mẫu là: | Ω | = C 3 10 = 120 Gọi A là biến cố "trong 3 quả sử dụng ở ngày thứ hai có ít nhất 1 quả đã sử dụng ở ngày thứ nhất". C1. Xét biến cố đối A : "trong 3 quả sử dụng ở ngày thứ hai không có quả nào đã sử dụng ở ngày thứ nhất". Điều này có nghĩa là 3 quả được chọn trong ngày thứ hai đều là 3 quả chưa sử dụng (chọn từ 7 quả chưa sử dụng). Số cách chọn 3 quả chưa sử dụng là: | A | = C 3 7 = 35 Xác suất của biến cố đối là: P ( A ) = | A | | Ω | = 35 120 = 7 24 Xác suất cần tìm là: P ( A ) = 1 − P ( A ) = 1 − 7 24 = 17 24 C2. Số phần tử của biến cố A là 1 Lấy 1 quả thuộc U , 2 quả không thuộc U có C 1 3 · C 2 7 = 63 cách 2 Lấy 2 quả thuộc U , 1 quả không thuộc U có C 2 3 · C 1 7 = 21 cách 1 Lấy 3 quả thuộc U , 0 quả không thuộc U có 1 cách Xác suất P ( A ) = 63 + 21 + 1 120 = 17 24 Câu 4. Có 2 hộp bi: Hộp 1 có 3 bi đỏ, 5 bi xanh và 6 bi vàng; hộp 2 có 5 bi đỏ, 4 bi xanh và 7 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. Giả sử lấy được 2 bi không cùng màu đỏ. Tính xác suất 2 bi đó cùng màu vàng. Đáp án: 42 209 | Lời giải. Hộp 1 có 3 + 5 + 6 = 14 bi. Hộp 2 có 5 + 4 + 7 = 16 bi. Gọi A = "Lấy được 2 bi không cùng màu đỏ"; B = "2 bi cùng màu vàng". Ta cần tính P ( B | A ) = P ( AB ) P ( A ) . Ta nhận thấy nếu 2 bi cùng màu vàng thì chúng chắc chắn sẽ không cùng màu đỏ, tức là B ⊂ A = ⇒ A ∩ B = B = ⇒ P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ) Xác suất lấy được 1 bi đỏ ở hộp 1 và hộp 2 lần lượt là P ( D 1 ) = 3 14 , P ( D 2 ) = 5 16 Xác suất lấy được 1 bi vàng ở hộp 1 và hộp 2 lần lượt là P ( V 1 ) = 3 7 , P ( D 2 ) = 7 16 Xác suất cần tìm P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ) = P ( D 1 ) P ( D 2 ) P ( V 1 ) P ( V 2 ) = 42 209 Câu 5. Một người bắn vào một mục tiêu 2 phát đạn, biết rằng khả năng bắn trúng mục tiêu ở lần thứ nhất là 0 , 6 và lần thứ hai là 0 , 8 . Biết rằng, nếu lần thứ nhất bắn trúng mục tiêu thì khả năng bắn trúng mục tiêu ở lần thứ hai là 0 , 9 . Tính xác suất người này bắn trúng mục tiêu ở lần thứ hai, biết rằng lần thứ nhất người đó không bắn trúng mục tiêu. Đáp án: 0 , 6 5 | Lời giải. π Nhật Ký Đại Học 10 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Gọi A là biến cố người đó bắn trúng mục tiêu ở lần thứ nhất, B là biến cố người đó bắn trúng mục tiêu ở lần thứ hai. Theo đề bài ta có P ( B ) = 0 , 8 ⇐⇒ P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A ) P ( A ) = 0 , 8 ⇐⇒ 0 , 9 · 0 , 6 + P ( B | A ) · 0 , 4 = 0 , 8 ⇐⇒ P ( B | A ) = 0 , 65 Câu 6. Một công ty đấu thầu 2 dự án A và B . Xác suất thắng thầu dự án A là 90% , xác suất thắng thầu dự án B là 77% , xác suất thắng thầu cả 2 dự án là 72% 1. Tính xác suất công ty thắng thầu ít nhất 1 dự án. 2. Biết rằng công ty chỉ thắng thầu một dự án, tính xác suất công ty thắng thầu dự án A | Lời giải. 1) Gọi A : "Công ty thắng thầu dự án A ", B : "Công ty thắng thầu dự án B ". Xác suất công ty thắng thầu ít nhất 1 dự án là P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0 , 9 + 0 , 77 − 0 , 72 = 0 , 95 2) Gọi C : "Công ty chỉ thắng thầu một dự án". Khi đó P ( C ) = P ( A \ B ) + P ( B \ A ) = P ( A ) − P ( AB ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0 , 23 Xác suất công ty thắng thầu dự án A biết công ty chỉ thắng thầu một dự án P ( A \ B | C ) = P ( A \ B ) P ( C ) = P ( A ) − P ( AB ) 0 , 23 = 18 23 Câu 7. Hai công ty cùng kinh doanh một loại mặt hàng. Xác suất để công ty A và B kinh doanh có lãi lần lượt là 0 , 6 và 0 , 65 . Xác suất để cả hai công ty có lãi là 0 , 45 1. Tính xác suất có ít nhất một công ty có lãi. 2. Biết công ty A có lãi, tính xác suất công ty B không có lãi. | Lời giải. 1) P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0 , 6 + 0 , 65 − 0 , 45 = 0 , 8 2) P ( B | A ) = P ( AB ) P ( A ) = P ( A ) − P ( AB ) P ( A ) = 0 , 6 − 0 , 45 0 , 6 = 0 , 25 Cách khác: P ( B | A ) = 1 − P ( B | A ) = 1 − P ( AB ) P ( A ) = 1 − 0 , 45 0 , 6 = 0 , 25 11 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Câu 8. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 6 sản phẩm xấu. Nhân viên cửa hàng lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 1 sản phẩm, nếu được sản phẩm tốt thì đem đi trưng bày (không bỏ lại vào trong lô), nếu được sản phẩm xấu thì nhân viên này lấy thêm một sản phẩm tốt khác ở ngoài rồi bỏ 2 sản phẩm này vào lô. Sau đó một khách hàng lấy từ lô hàng ra 2 sản phẩm để mua. Tính xác suất khách hàng mua được 2 sản phẩm tốt. | Lời giải. A 1 : Nhân viên lấy được sản phẩm tốt ở lần đầu. A 2 : Nhân viên lấy được sản phẩm xấu ở lần đầu. B : khách hàng mua được 2 sản phẩm tốt. Tổng số sản phẩm ban đầu là 4 + 6 = 10 sản phẩm. Xác suất nhân viên lấy được sản phẩm tốt: P ( A 1 ) = 4 10 = 0 , 4 Xác suất nhân viên lấy được sản phẩm xấu: P ( A 2 ) = 6 10 = 0 , 6 Trường hợp 1. A 1 xảy ra. Khi đó lô hàng sẽ còn lại 4 − 1 = 3 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu. Xác suất P ( B | A 1 ) = C 2 3 C 2 9 = 1 12 Trường hợp 2. A 2 xảy ra. Khi đó lô hàng sẽ còn lại 4 + 1 = 5 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu. Xác suất P ( B | A 2 ) = C 2 5 C 2 11 = 2 11 Vậy P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) = 0 , 4 1 12 + 0 , 6 2 11 = 47 330 Câu 9. Một sinh viên muốn hoàn thành khóa học phải vượt qua 3 kỳ thi với nguyên tắc: đỗ kỳ thi trước thì mới được thi kỳ thi sau. Xác suất để sinh viên đỗ kỳ thi thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 0 , 9 ; 0 , 8 ; 0 , 7 1. Tính xác suất sinh viên đó không vượt qua được kỳ thi nào. 2. Nếu sinh viên đó không vượt qua được tất cả 3 kỳ thi thì xác suất anh ta bị trượt ở kỳ thi thứ hai là bao nhiêu? | Lời giải. Gọi A i = "Sinh viên đỗ kỳ thi thứ i " với i = 1 , 2 , 3 a) Sinh viên đó không vượt qua được kỳ thi nào đồng nghĩa với việc sinh viên đó trượt ngay kỳ thi đầu tiên. P ( A 1 ) = 1 − P ( A 1 ) = 1 − 0 , 9 = 0 , 1 b) Gọi B = "sinh viên đó không vượt qua được tất cả 3 kỳ thi". • Trượt kì đầu P ( B 1 ) = P ( A 1 ) = 0 , 1 • Đỗ kì 1, trượt kì 2 P ( B 2 ) = 0 , 9(1 − 0 , 8) = 0 , 18 • Đỗ kì 1 và 2, trượt kì 3 P ( B 3 ) = 0 , 9 · 0 , 8(1 − 0 , 7) = 0 , 216 π Nhật Ký Đại Học 12 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Do đó P ( B ) = P ( B 1 ) + P ( B 2 ) + P ( B 3 ) = 0 , 496 Xác suất anh ta bị trượt ở kỳ thi thứ hai khi không vượt được qua 3 kỳ thi là P ( B 2 | B ) = P ( B 2 ) P ( B ) = 0 , 18 0 , 496 = 45 124 Câu 10. Hai người chơi trò bắn súng một cách độc lập, mỗi người bắn 10 phát đạn. Biết rằng xác suất người thứ nhất bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0 , 3 và xác suất người thứ hai bắn trúng mục tiêu ở mỗi phát bắn là 0 , 2 1. Tính xác suất có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu. 2. Tính xác suất chỉ có một người bắn trúng mục tiêu, biết rằng có ít nhất 1 người bắn trúng mục tiêu. | Lời giải. Gọi X là số phát trúng của người thứ nhất và Y là số phát trúng của người thứ hai. Gọi A là biến cố "Người thứ nhất trúng ít nhất 1 phát" và B là biến cố "Người thứ hai trúng ít nhất 1 phát". Xác suất người 1 không trúng phát nào P ( X = 0) = 0 , 7 10 = ⇒ P ( A ) = 1 − 0 , 7 10 Xác suất người 2 không trúng phát nào P ( Y = 0) = 0 , 8 10 = ⇒ P ( B ) = 1 − 0 , 8 10 Xác suất có ít nhất một người bắn trúng P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) ≈ 0 , 996 hoặc ta có thể làm như sau P ( A + B ) = 1 − P ( A + B ) = 1 − P ( X = 0) P ( Y = 0) = 1 − 0 , 56 10 2. C = "Chỉ có một người bắn trúng". Trường hợp 1: Người 1 trúng ít nhất một phát VÀ người 2 trượt hết: P 1 = P ( A ) P ( Y = 0) = (1 − 0 , 7 10 )0 , 8 10 Trường hợp 2: Người 2 trúng ít nhất một phát VÀ người 1 trượt hết: P 2 = P ( B ) P ( X = 0) = (1 − 0 , 8 10 )0 , 7 10 DO đó P ( C ) = P 1 + P 2 ≈ 0 , 1296 . Khi đó P ( C | A + B ) = P ( C ) P ( A + B ) ≈ 0 , 13 Câu 11. Hai xạ thủ A và B , mỗi người bắn 2 viên đạn vào cùng một tấm bia một cách độc lập. Xác suất bắn trúng hồng tâm của A, B ở mỗi lần bắn tương ứng là 0 , 6; 0 , 7 . Tính xác suất xạ thủ A bắn trúng hồng tâm nhiều hơn xạ thủ B | Lời giải. 13 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Gọi X là số lần bắn trúng hồng tâm của xạ thủ A và Y là số lần bắn trúng hồng tâm của xạ thủ B Đối với xạ thủ A : • P ( X = 0) = C 0 2 · 0 , 6 0 (1 − 0 , 6) 2 = 0 , 16 • P ( X = 1) = C 1 2 · 0 , 6 1 (1 − 0 , 6) 1 = 0 , 48 • P ( X = 2) = C 2 2 · 0 , 6 2 (1 − 0 , 6) 0 = 0 , 36 Đối với xạ thủ B : • P ( X = 0) = C 0 2 · 0 , 7 0 (1 − 0 , 7) 2 = 0 , 09 • P ( X = 1) = C 1 2 · 0 , 7 1 (1 − 0 , 7) 1 = 0 , 42 • P ( X = 2) = C 2 2 · 0 , 7 2 (1 − 0 , 7) 0 = 0 , 49 Các trường hợp ( X, Y ) với X > Y thỏa mãn là (1 , 0) , (2 , 1) , (2 , 0) . Vì A, B bắn độc lập nên • P ( X = 1 , Y = 0) = P ( X = 1) · P ( Y = 0) = 0 , 48 · 0 , 09 = 0 , 0432 • P ( X = 2 , Y = 0) = P ( X = 2) · P ( Y = 0) = 0 , 36 · 0 , 09 = 0 , 0324 • P ( X = 2 , Y = 1) = P ( X = 2) · P ( Y = 1) = 0 , 36 · 0 , 42 = 0 , 1512 Xác suất cần tìm là: P ( X > Y ) = 0 , 0432 + 0 , 0324 + 0 , 1512 = 0 , 2268 Câu 12. Có 3 xạ thủ cùng nhắm bắn độc lập vào một mục tiêu ở xa, mỗi người bắn một phát đạn. Xác suất bắn trúng mục tiêu của các xạ thủ 1 , 2 , 3 lần lượt là 0 , 6; 0 , 7 và 0 , 8 . Biết rằng, nếu cả 3 phát bắn đều trúng mục tiêu thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt, nếu có 2 phát bắn trúng mục tiêu thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0 , 75 , nếu chỉ có 1 phát bắn trúng mục tiêu thì xác suất mục tiêu bị tiêu diệt là 0 , 6 1. Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt. 2. Tính xác suất mục tiêu không bị tiêu diệt, biết rằng nó bị trúng đạn. | Lời giải. 1. Gọi H là số phát đạn trúng mục tiêu. D = "mục tiêu bị tiêu diệt". • P ( H = 3) = 0 , 6 · 0 , 7 · 0 , 8 = 0 , 336 • P ( H = 2) = 0 , 6 · 0 , 7 · 0 , 2 + 0 , 6 · 0 , 3 · 0 , 8 + 0 , 4 · 0 , 7 · 0 , 8 = 0 , 452 • P ( H = 1) = 0 , 6 · 0 , 3 · 0 , 2 + 0 , 4 · 0 , 3 · 0 , 8 + 0 , 4 · 0 , 7 · 0 , 2 = 0 , 188 π Nhật Ký Đại Học 14 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Do đó P ( D ) = 3 ∑ i =1 P ( H = i ) P ( D | H i ) = 0 , 188 · 0 , 6 + 0 , 452 · 0 , 75 + 0 , 336 · 1 = 0 , 7878 2. Gọi W = "mục tiêu bị trúng đạn". Khi đó P ( W ) = P ( H = 1) + P ( H = 2) + P ( H = 3) = 0 , 976 Xác suất mục tiêu không bị tiêu diệt, biết rằng nó bị trúng đạn: P ( D | W ) = 1 − P ( D | W ) = 1 − P ( DW ) P ( W ) = 1 − P ( D ) P ( W ) = 1 − 0 , 7878 0 , 976 ≈ 0 , 1928 Câu 13. Có 5 xạ thủ cùng bắn mỗi người 1 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi người đều là 0 , 6 . Nếu mục tiêu bị trúng 1 viên đạn thì xác suất mục tiêu bị phá hủy là 0 , 5 ; nếu mục tiêu bị trúng 2 viên thì xác suất mục tiêu bị phá hủy là 0 , 8 và nếu có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu thì chắc chắn mục tiêu bị phá hủy. Tính xác suất mục tiêu bị phá hủy. | Lời giải. Gọi X là số viên đạn trúng mục tiêu. • P ( X = 0) = 0 , 4 5 = 0 , 01024 • P ( X = 1) = C 1 5 · 0 , 6 · 0 , 4 4 = 0 , 0768 • P ( X = 2) = C 2 5 · 0 , 6 2 · 0 , 4 3 = 0 , 2304 • P ( X ≥ 3) = 1 − [ P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2)] = 0 , 68256 Gọi D = "mục tiêu bị phá hủy". Khi đó P ( D ) = 2 ∑ i =5 P ( X = i ) P ( D | X = 5) = 0 , 90528 Câu 14. Một hộp bóng đèn gồm 8 bóng tốt và 2 bóng lỗi. Lấy đồng thời 3 bóng đèn ra để kiểm tra. 1. Tính xác suất lấy được đúng 3 bóng tốt. 2. Hộp bóng đèn sẽ không được phép xuất kho nếu trong 3 bóng đem kiểm tra có ít nhất 1 bóng lỗi. Tính xác suất hộp bóng đèn được xuất kho. | Lời giải. 1. Gọi A = "lấy được đúng 3 bóng tốt". P ( A ) = C 3 8 C 3 10 = 7 15 2. Hộp bóng đèn sẽ không được phép xuất kho nếu trong 3 bóng đem kiểm tra có ít nhất 1 bóng lỗi = ⇒ Hộp bóng đèn sẽ được phép xuất kho nếu không có bóng nào lỗi hay cả ba bóng đều tốt. Biến cố "hộp được xuất kho" chính là biến cố A ở ý 1. 15 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Câu 15. Có 3 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm. Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại A; hộp thứ hai có 8 sản phẩm loại A; hộp thứ ba có 9 sản phẩm loại A; các sản phẩm còn lại là loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm. Biết rằng có 1 sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra, tính xác suất sản phẩm loại A này là của hộp thứ nhất. | Lời giải. Gọi A i là biến cố lấy được sản phẩm loại A từ hộp thứ i ( i = 1 , 2 , 3 ). Xác suất lấy được sản phẩm loại A từ mỗi hộp là: • P ( A 1 ) = 7 10 = ⇒ P ( A 1 ) = 3 10 • P ( A 2 ) = 8 10 = ⇒ P ( A 2 ) = 2 10 • P ( A 3 ) = 9 10 = ⇒ P ( A 3 ) = 1 10 Gọi H = "có đúng 1 sản phẩm loại A trong 3 sản phẩm lấy ra". P ( H ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) + P ( A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 3 ) + P ( A 3 ) P ( A 2 ) P ( A 1 ) = 0 , 092 Xác suất cần tìm là P ( A 1 | H ) = P ( A 1 H ) P ( H ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( H ) = 7 46 Câu 16. Ba công nhân cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Người thứ nhất sản xuất 25 sản phẩm, người thứ hai sản xuất 35 sản phẩm và người thứ ba sản xuất 40 sản phẩm. Đối với mỗi sản phẩm được sản xuất, xác suất người thứ nhất, người thứ hai làm ra chính phẩm là 0 , 8 , còn người thứ ba là 0 , 85 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong số các sản phẩm được sản xuất thì được phế phẩm, khả năng cao nhất phế phẩm này do công nhân nào sản xuất? | Lời giải. Tổng số sản phẩm là: 25 + 35 + 40 = 100 sản phẩm. Gọi H i là biến cố sản phẩm được chọn do công nhân thứ i sản xuất ( i = 1 , 2 , 3 ). • P ( H 1 ) = 25 100 = 0 , 25 • P ( H 2 ) = 35 100 = 0 , 35 • P ( H 3 ) = 40 100 = 0 , 40 Gọi D là biến cố sản phẩm được chọn là phế phẩm. Xác suất phế phẩm của mỗi công nhân là: π Nhật Ký Đại Học 16 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT • P ( D | H 1 ) = 1 − 0 , 8 = 0 , 2 • P ( D | H 2 ) = 1 − 0 , 8 = 0 , 2 • P ( D | H 3 ) = 1 − 0 , 85 = 0 , 15 Xác suất chọn được phế phẩm: P ( D ) = 3 ∑ i =1 P ( H i ) P ( D | H i ) = 0 , 25 · 0 , 2 + 0 , 35 · 0 , 2 + 0 , 40 · 0 , 15 = 0 , 05 + 0 , 07 + 0 , 06 = 0 , 18 Để biết khả năng cao nhất do ai sản xuất, ta tính xác suất P ( H i | D ) : • P ( H 1 | D ) = P ( H 1 ) P ( D | H 1 ) P ( D ) = 0 , 05 0 , 18 = 5 18 • P ( H 2 | D ) = P ( H 2 ) P ( D | H 2 ) P ( D ) = 0 , 07 0 , 18 = 7 18 • P ( H 3 | D ) = P ( H 3 ) P ( D | H 3 ) P ( D ) = 0 , 06 0 , 18 = 6 18 So sánh: Ta thấy P ( H 2 | D ) > P ( H 3 | D ) > P ( H 1 | D ) . Khả năng cao nhất phế phẩm này do công nhân thứ hai sản xuất. Câu 17. Một đề thi trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng thí sinh sẽ được 0 , 1 điểm. Thí sinh A đi thi nhưng không học bài, thí sinh A chọn trả lời ngẫu nhiên cho tất cả các câu hỏi trong đề thi. Tính xác suất thí sinh A làm bài được từ 5 điểm trở lên. | Lời giải. Gọi X là số câu trả lời đúng. Số lần thử (số câu hỏi): n = 100 Xác suất thành công (trả lời đúng) trong mỗi lần thử: p Vì mỗi câu có 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng, nên p = 1 4 = 0 , 25 Xác suất thất bại (trả lời sai): q = 1 − p = 3 4 = 0 , 75 Để A làm bài được 5 điểm trở lên thì 0 , 1 X ≥ 5 ⇐⇒ X ≥ 50 Ta cần tính xác suất sinh viên trả lời đúng ≥ 50 câu, tức là P ( X ≥ 50) P ( X ≥ 50) = 100 ∑ k =50 C k 100 · ( 1 4 ) k · ( 3 4 ) 100 − k ≈ 6 , 6386 · 10 − 8 Câu 18. Giải thích tại sao biến cố "Tung 4 lần một con xúc sắc cân đối, có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm" có khả năng xảy ra cao hơn biến cố "Tung 24 lần một cặp xúc sắc cân đối, có ít nhất 1 lần xuất hiện cặp 6 chấm". 17 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 | Lời giải. Biến cố A: "Tung 4 lần một con xúc sắc, có ít nhất 1 lần mặt 6 chấm". Xác suất không xuất hiện mặt 6 trong 1 lần tung là 5 6 Xác suất không xuất hiện mặt 6 trong cả 4 lần tung là: P ( ̄ A ) = ( 5 6 ) 4 = 625 1296 ≈ 0 , 4823 Xác suất có ít nhất một lần mặt 6 là: P ( A ) = 1 − P ( ̄ A ) ≈ 1 − 0 , 4823 = 0 , 5177 Biến cố B: "Tung 24 lần một cặp xúc sắc, có ít nhất 1 lần cặp 6 chấm". Một cặp xúc sắc có 6 × 6 = 36 khả năng. Chỉ có 1 khả năng là cặp (6 , 6) Xác suất không xuất hiện cặp (6 , 6) trong 1 lần tung là 35 36 Xác suất không xuất hiện cặp (6 , 6) trong cả 24 lần tung là: P ( ̄ B ) = ( 35 36 ) 24 ≈ 0 , 5086 Xác suất có ít nhất một lần cặp 6 là: P ( B ) = 1 − P ( ̄ B ) ≈ 1 − 0 , 5086 = 0 , 4914 Vì 0 , 5177 > 0 , 4914 nên biến cố A có khả năng xảy ra cao hơn biến cố B. Câu 19. Hai người cùng bắn độc lập, mỗi người 10 viên đạn vào một mục tiêu cố định. Ở mỗi lần bắn, xác suất người thứ nhất bắn trúng mục tiêu là 0 , 4 và xác suất người thứ hai bắn trúng mục tiêu là 0 , 35 . Tính xác suất có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu ít nhất 5 viên. | Lời giải. Gọi A : "Người thứ nhất bắn trúng ít nhất 5 viên" và B : "Người thứ hai bắn trúng ít nhất 5 viên". Ta cần tính P ( A + B ) = 1 − P ( ̄ A ̄ B ) = 1 − P ( ̄ A ) · P ( ̄ B ) (do tính độc lập). Xác suất Người 1 trúng dưới 5 viên P ( ̄ A ) = P ( X 1 ≤ 4) = 4 ∑ k =0 C k 10 (0 , 4) k (0 , 6) 10 − k ≈ 0 , 6331 Xác suất Người 2 trúng dưới 5 viên P ( ̄ B ) = P ( X 2 ≤ 4) = 4 ∑ k =0 C k 10 (0 , 35) k (0 , 65) 10 − k ≈ 0 , 7515 Xác suất cần tìm: P ( A + B ) = 1 − (0 , 6331 · 0 , 7515) ≈ 1 − 0 , 4758 = 0 , 5242 Câu 20. Một vận động viên bắn súng tập bắn vào một mục tiêu cố định trong phòng tập. Biết rằng xác suất để vận động viên này bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0 , 6 . Người này phải bắn tối thiểu bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần bắn trúng mục tiêu là lớn hơn 90% | Lời giải. Gọi n là số lần bắn tối thiểu cần tìm. Xác suất trúng mỗi lần: p = 0 , 6 = ⇒ Xác suất trượt mỗi lần: q = 1 − 0 , 6 = 0 , 4 Xác suất trượt cả n lần là: 0 , 4 n . Xác suất có ít nhất một lần trúng là: P = 1 − 0 , 4 n π Nhật Ký Đại Học 18 CHƯƠNG 1. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT Theo đề bài, ta cần: 1 − 0 , 4 n > 0 , 9 ⇐⇒ 0 , 4 n < 0 , 1 ⇐⇒ n > log(0 , 1) log(0 , 4) ≈ 2 , 51 Vì n phải là số nguyên dương, nên giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn là n = 3 Câu 21. Một ngân hàng khảo sát thói quen giao dịch của khách hàng: • 55% khách hàng sử dụng Internet Banking (IB), • 45% khách hàng sử dụng ATM, • 25% khách hàng sử dụng cả hai kênh. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng. a) Tính xác suất khách hàng đó sử dụng ít nhất một trong hai kênh. b) Biết khách hàng có sử dụng ít nhất một kênh, tính xác suất khách hàng đó chỉ dùng ATM. | Lời giải. Gọi A là biến cố "Khách hàng sử dụng Internet Banking" và B là biến cố "Khách hàng sử dụng ATM". Theo đề bài, ta có các xác suất sau: P ( A ) = 55% = 0 , 55 , P ( B ) = 45% = 0 , 45 , P ( AB ) = 25% = 0 , 25 a) Xác suất khách hàng đó sử dụng ít nhất một trong hai kênh P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) = 0 , 55 + 0 , 45 − 0 , 25 = 0 , 75 b) Khách hàng chỉ dùng ATM (nghĩa là dùng ATM nhưng KHÔNG dùng Internet Banking). Kí hiệu B \ A Xác suất P ( B \ A ) = P ( B ) − P ( AB ) = 0 , 45 − 0 , 25 = 0 , 2 Do tập "Chỉ dùng ATM" là tập con của tập "Dùng ít nhất 1 kênh", nên giao của chúng chính là B \ A Ta cần tính P ( B \ A | A ∪ B ) P ( B \ A | A ∪ B ) = P ( B \ A ) P ( A ∪ B ) = 0 , 2 0 , 75 = 4 15 Câu 22. Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu. Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để: 1. toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người; 2. một toa có 3 người, một toa có 2 người, một toa có 1 người; 3. mỗi toa có ít nhất 1 người. | Lời giải. 19 π Nhật Ký Đại Học Tài liệu HK2 Mỗi hành khách có 4 lựa chọn nên n (Ω) = 4 6 1. A = "toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người". n ( A ) = C 3 6 · C 2 3 · C 1 1 · 1 = 60 = ⇒ P ( A ) = n ( A ) n (Ω) = 60 4 6 = 15 1024 2. B = "một toa có 3 người, một toa có 2 người, một toa có 1 người". n ( B ) = n ( A ) · 4! = 60 · 4! = 1440 = ⇒ P ( B ) = n ( B ) n (Ω) = 1440 4 6 = 45 128 3. C = "mỗi toa có ít nhất 1 người". TH1. (3 , 1 , 1 , 1) - Một toa 3 người, ba toa còn lại mỗi toa 1 người. Số cách là C 1 = C 1 4 · C 3 6 · 3! = 480 TH2. ( 2 , 2 , 1 , 1) - Hai toa mỗi toa 2 người, hai toa còn lại mỗi toa 1 người. Số cách là C 2 = C 2 4 · C 2 6 · C 2 4 · 2! = 1080 n ( C ) = 480 + 1080 = 1560 = ⇒ P ( C ) = n ( C ) n (Ω) = 1560 4 6 = 195 512 Một hướng tiếp cận khác (Nguyên lý bù trừ) C = "Có ít nhất 1 toa trống". Gọi A i là biến cố "Toa thứ i bị bỏ trống" (với i = 1 , 2 , 3 , 4 ). Khi đó n ( C ) = n ( A 1 + A 2 + A 3 + A 4 ) = S 1 − S 2 + S 3 − S 4 Có 1 toa trống S 1 = C 1 4 · 3 6 = 2916 Có 2 toa trống S 2 = C 2 4 · 2 6 = 384 Có 3 toa trống S 3 = C 3 4 · 1 6 = 4 Có 4 toa trống hiển nhiên có S 4 = 0 cách. Do đó n ( C ) = 2916 − 384 + 4 = 2536 = ⇒ P ( C ) = 1 − P ( C ) = 1 − 2536 4 6 = 195 512 Câu 23. Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp bỏ ra ngoài, sau đó lấy tiếp 1 bi trong các bi còn lại. 1. Tính xác suất bi lấy sau là bi vàng. 2. Giả sử bi lấy ra sau là bi đỏ. Tính xác suất bi lấy ra lần đầu là bi đỏ. Câu 24 (1.1). Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi A = " có không quá 1 phế phẩm", B = " Có hơn 3 phế phẩm". a) Mô tả A, B ; A và B có xung khắc với nhau không? Mô tả A + B, A \ B b) Tính P ( A ) , P ( B ) , P ( A ) | Lời giải. a) A : "Có ít nhất 2 phế phẩm". B : "Có tối đa 3 phế phẩm". Xung khắc: Có, vì A ∩ B = ∅ (không thể vừa có ≤ 1 lại vừa có > 3 phế phẩm). π Nhật Ký Đại Học 20