Das Äquivalenzprinzip in der Alterssicherung S O Z I A L Ö KO N O M I S C H E S C H R I F T E N Jochen Gunnar Jagob Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Die Effizienz eines Alterssicherungssystems ist in der Wirtschaftspolitik sowohl aus mikroökonomischer als auch aus gesamtwirtschaftlicher Sicht von hoher Bedeutung. Die demographische Entwicklung führt in einem Umlageverfahren zu Fehlanreizen. Darüber hinaus wird dieser Effekt durch interpersonelle Umverteilungseffekte noch verschärft. Da diese Erkenntnis jedoch lediglich auf einer ex post Betrachtung beruht, greift sie zu kurz. In dieser Untersuchung wird deshalb, mit Hilfe des mikroökonomischen Theoriengerüsts, gezeigt, dass sowohl eine intra- als auch eine intergenerative Umverteilung innerhalb eines Umlageverfahrens ex ante das individuelle Einkommensrisiko im Alter verringern kann. Die Folge dieser Versicherungswirkung ist ein positiver Wohlfahrtseffekt. Jochen Gunnar Jagob, Studium der Volkswirtschaftslehre an der Freien Universität Berlin und an der Universität Örebro (Schweden); Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Finanz- und Wirtschaftspolitik der Technische Universität Darmstadt. S O Z I A L Ö KO N O M I S C H E S C H R I F T E N Jochen Gunnar Jagob Das Äquivalenzprinzip in der Alterssicherung Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Das Äquivalenzprinzip in der Alterssicherung Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Sozialökonomische Schriften Herausgegeben von Bert Rürup Band 26 ~ PETER LANG Frankfurt am Main Berlin • Bern • Bruxelles • New York , Oxford • Wien Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Jochen Gunnar Jagob •• Das Aquivalenzprinzip in der Alterssicherung ~ PETER LANG Europäischer Verlag der Wissenschaften Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Open Access: The online version of this publication is published on www.peterlang.com and www.econstor.eu under the interna- tional Creative Commons License CC-BY 4.0. Learn more on how you can use and share this work: http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0. This book is available Open Access thanks to the kind support of ZBW – Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft. ISBN 978-3-631-75021-6 (eBook) Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Zugl.: Darmstadt, Techn. Univ., Diss., 2003 Gedruckt auf alterungsbeständigem, säurefreiem Papier. D 17 ISSN 0172-1747 ISBN 3-631-52964-3 © Peter Lang GmbH Europäischer Verlag der Wissenschaften Frankfurt am Main 2004 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Printed in Germany 1 2 3 4 6 7 www.peterlang.de Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundlagen zum Begriff der Äquivalenz 4 2.1 Die versicherungstechnische Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1 Versicherungsökonomische Grundlagen . . . . . . . . . . 4 2.1.1.1 Versicherungstechnisch äquivalente Versicherungs- prämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1.2 Die Nachfrage nach Versicherungsleistungen . . 7 2.1.1.2.1 llisikoaversion und ihre Maße . . . . . 7 2.1.1.2.2 Die Herleitung der Versicherungsnach- frage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1.2.3 Auswirkungen von Einkommensände- rungen auf die Versicherungsnachfrage 18 2.1.1.2.4 Auswirkungen von Änderungen der Ver- sicherungsprämie auf die Versicherungs- nachfrage . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Übertragbarkeit dieses versicherungsökonomischen Pro- blems auf die Alterssicherung . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3 Nachfrageseitige Probleme in der Versicherungsökonomik 25 2.1.3.1 Unsichere Lebenserwartung bei öffentlicher In- formation . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3.1.1 Pooling-Gleichgewicht . . . . . . . . . 28 2.1.3.1.2 Separating-Gleichgewicht . . . . . . . 29 2.1.3.2 Unsichere Lebenserwartung bei privater Infor- mation ....................... 32 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access vi INHALTSVERZEICHNIS 2.1.3.2.1 Risikopooling 2.1.3.2.2 Risikotrennung 2.1.3.3 Moral Hazard ..... 2.1.3.3.1 Ex ante Moral Hazard 2.1.3.3.2 Ex post Moral Hazard 32 35 39 39 40 2.2 Versicherungspflicht in der Alterssicherung . . . 42 2.2.1 Begründung einer Versicherungspflicht in der Alterssi- cherung ........................... 42 2.2.2 Ein Argument gegen die Versicherungspflicht in der Al- terssicherung . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Die Finanzierungsverfahren der Alterssicherung 53 2.3.1 Das Umlageverfahren . . . . . . . . . . . . 53 2.3.1.1 Das System der Grundsicherung . 57 2.3.1.2 Lebensstandardsicherung. . . . . 59 2.3.2 Das Kapitaldeckungsverfahren . . . . . . . 60 2.3.3 Eine wohlfahrtsökonomische Beurteilung der beiden Fi- nanzierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Probleme der Alterssicherung 65 66 3.1 Die demographische Entwicklung 3.2 Alterssicherung und der Arbeitsmarkt . . . . . . . . . . . . 76 3.2.1 Indikatoren bezüglich des Renteneintrittsverhaltens 76 3.2.2 Erkenntnisse hinsichtlich des Renteneintrittsverhalten . 83 3.2.2.1 Das Basismodell zur Untersuchung des Renten- eintrittsverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.2.2.2 Ruhestandsentscheidung in einem System ohne versicherungstechnische Äquivalenz . . . . . . . 90 3.2.2.3 Der Einfluß der marginalen Äquivalenz auf die Ruhestandsentscheidung . . . . . . . . . . . 96 3.2.2.3.1 Teilhabeäquivalentes Rentensystem .. 103 3.2.2.3.2 Grundsicherungssystem . . . . . . . . 106 3.2.2.3.3 Nicht Kooperatives Verhalten in ei- nem Grundsicherungssystem . 111 3.2.3 Bewertung der theoretischen Ergebnisse ......... 116 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access INHALTSVERZEICHNIS vii 3.2.4 Empirische Erkenntnisse hinsichtlich der Frühverrentung 117 4 Probleme der Rentenreform 4.1 Pareto-Effizienz der Reform 4.1.l Übergangsmodelle ohne Differenzierung nach Einkom- 123 125 mensklassen ......................... 126 4.1.2 Übergangsszenario mit unterschiedlichen Einkommens- gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1.2.1 Umstellung bei einem Grundsicherungssystem . 131 4.1.2.2 Umstellung in einem System mit Teilhabeäqui- valenz ....................... 140 4.1.2.2.1 Übergang mit einer Lump-Sum-Steuer 141 4.1.2.2.2 Übergang mit Staatsverschuldung ... 146 4.1.3 Empirische Untersuchungen bezüglich der Möglichkeit eines Systemwechsels .................... 148 4.2 Anforderungen an eine Sozialversicherung ............. 151 4.2.1 lntragenerative Riskoverteilung und die Alterssicherung . 153 4.2.1.1 Einkommensunsicherheit bei einem Alterssiche- rungssystem der Grundsicherung ........ 156 4.2.1.2 Einkommensunsicherheit bei einem Alterssiche- rungssystem mit dem Ziel der Sicherung des Lebensstandards ................. 164 4.2.1.3 System mit intragenerativer Umverteilung mit einer stochastischen Störgröße . . . . . . . . . . 166 4.2.1.4 Probleme der intragenerativen Umverteilung .. 169 4.2.2 Intertemporale Risikoverteilung und ein Alterssicherungs- system ............................ 171 4.2.2.1 Risikoverteilung in einem kapitalgedeckten Sy- stem ........................ 175 4.2.2.1.1 4.2.2.1.2 Das Kapitalmarktrisiko . . . . . . . . 175 Das Einkommensrisiko bei einem Ka- pitaldeckungsverfahren . . . . . . . . 177 4.2.2.2 Einkommensrisiko und ein Umlageverfahren 178 4.2.2.2.1 Konstantes Rentenniveau . . . . . 178 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access viii INHALTSVERZEICHNIS 4.2.2.2.2 Umlageverfahren mit einem konstan- ten Beitragssatz . 181 4.2.3 Anstieg der Lebenserwartung 5 Optionen für eine Reform 5.1 Reformen innerhalb des Umlageverfahrens 5.1.1 Verlängerung der Lebensarbeitszeit 183 189 191 192 5.1.2 Verteilung der Kosten der Alterung 197 5.1.2.1 Kohortenspezifische Anpassung der Leistungen 198 5.1.2.2 Allgemeine Anpassung der Renten 199 5.2 Teilkapitaldeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6 Schlußbemerkung 205 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Ab bild ungsverzeichnis 2.1 Risikoprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Versicherung .................... 2.3 Versicherungsnachfrage bei Einkommensänderung 2.4 Versicherungsnachfrage bei Prämienänderung 2.5 Leibrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Separating Gleichgewicht ........... 10 16 19 21 24 30 2. 7 Risikopooling bei asymmetrischer Information 33 2.8 Separating Gleichgewicht bei asymmetrischer Information . 36 2.9 Staatlicher Eingriff bei asymmetrischer Information . . . . 37 3.1 Bevölkerungsentwicklung (Quelle: Statistisches Bundesamt, 2000] 67 3.2 Lebendgeborene [Quelle: Statistisches Bundesamt, 2000]. 68 3.3 Altenquotient [Quelle: Statistisches Bundesamt, 2000] 3.4 Entwicklung des Beitragssatzes . . . . . . . . . . . . 3.5 Entwicklung des Rentenniveaus . . . . . . . . . . . . 3.6 Lohnwachstum bei einer internen Rendite von 5 v.H. 3. 7 Durchschnittliches Renteneintrittsalter Gesamt [Quelle: VDR, 70 71 73 74 2002] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.8 Renteneintrittsalter nach Rentenart [Quelle: VOR, 2002] . . . . 78 3.9 Rentenzugang nach Rentenart [Quelle: VOR, 2002] . . . . . . . 79 3.10 Erwerbsbeteiligung Männer nach Altersklassen [Quelle: OECD, 1999, 200] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.11 Erwerbsbeteiligung Frauen nach Altersklassen [Quelle: OECD, 1999, 200] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access X ABBILDUNGSVERZEICHNIS 3.12 Arbeitslosenquote Männer nach Altersklassen [Quelle: OECD, 1999, 200] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.13 Arbeitslosenquote Frauen nach Altersklassen [Quelle: OECD, 1999, 200] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Index a ... Leibrente ARA. .. absolute Risikoaversion B ... Beitrag b... Beitragssatz c... Konsum im Erwerbsalter D ... Nachfrage nach Versicherungen e ... Verdienstmöglichkeiten E ... Erwartungswert,Ruhestandsalter g ... Lohnwachstum G ... G-Faktor f. .. Freizeit F ... Verteilungsfunktion h ... Überlebenswahrscheinlichkeit i ... interne Rendite I... Indifferenzkurve j . .. Gruppenindex k ... Index für ein Individuum l ... Arbeitsangebot L ... Schaden n . .. Wachstumsrate der Erwerbstäti- gen N ... Kohortenzahl p ... Rente q... Sozialhilfe, Arbeitslosengeld r ... Kapitalmarktzinssatz R ... Zinsfaktor RRA. .. Relative Risikoaversion s ... Ersparnis t ... Aufschlagsfaktor, Zeitindex T ... Steuerfunktion, Transfer, Zeit- index u ... Nutzenfunktion U ... Nutzenfunktion v... indirekte Nutzenfunktion V ... indirekte Nutzenfunktion Var ... Varianz w ... Lohn W ... Wohlfahrtsfunktion x ... akkumulierte Überlebenswahr- scheinlichkeit y ... Einkommen z ... Konsum im Ruhestand o: ... Abschlagsfaktor 'Y ... Anteil der Schadensgruppe 8 ... Diskontfaktor r, ... Rentenniveau c ... Saldo ()... Zinssatzvarianz .i... Lump-SumSteuer/-beitrag 1,,... Äquivalenzanteil .X ... Lagrangefaktor μ ... Schadenswahrscheinlichkeit v... Nutzen aus Freizeit €... Zeitpräferenzrate Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access xii 1r. .. Gewinn ro ... Sterbewahrscheinlichkeit p ... Risikoprämie <T • •• Einkommensvarianz r... Steuersatz v .. Prozentsatz des Durchschnitt- seinkommens </> ••• individueller Anteil am Durschnitts- lohn '{)... Preis einer Leibrente 1/J ... Störgröße w ... Durchschnittslohn n ... Rendite der Lump-Sum-Steuer INDEX Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Kapitel 1 Einleitung Die Alterssicherung nimmt in allen Ländern Europas und Nordamerikas ei- ne wesentliche Stellung in den Systemen der sozialen Sicherung ein. Das Ziel, welches mit einem Alterssicherungssystem verfolgt wird, ist die Bereitstellung eines Einkommens in der Lebensphase, in der die Individuen aufgrund ihres Al- ters keiner Erwerbstätigkeit mehr nachgehen. Dieses Alterseinkommen wird in den staatlichen Rentenversicherungen in der Regel durch ein Umlageverfahren finanziert, welches dadurch gekennzeichnet ist, dass jeweils die erwerbstätige Generation die Renten der alten Generationen durch ihre Beiträge finanziert. Die demographische Entwicklung - wie sie sich in nahzu allen Ländern Euro- pas und in Nordamerika abzeichnet - wird in der Zukunft dazu führen, dass einer steigenden Anzahl an Rentenempfängern eine sinkende Anzahl an Bei- tragszahlern gegenüberstehen wird. Die Konsequenz dieser Entwicklung ist, dass sich die Schere zwischen den geleisteten Beiträgen und den zu erwarten- den Leistungen von Generation zu Generation immer weiter vergrößern wird. Ein steigender Einkommensverlust und somit eine Schlechterstellung im Ver- gleich zu einer Situation ohne ein gesetzliches Alterssicherungssystem ist für die betroffenen Generationen die Folge. Dieser Einkommensverlust, der auch als implizite Steuer des Systems bezeichnet wird, führt wiederum zu Fehlanreizen auf dem Arbeitsmarkt, der sich in einer Tendenz zur Frühverrentung oder einer verstärkten Tätigkeit in der Schattenwirtschaft äußern kann, und somit einen Wohlfahrtsverlust zur Folge hat. Aus diesem Grund muss aus ökonomischer Sicht die Frage gestellt werden, ob es nicht eine nach dem Efizienzkriterium Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access 2 KAPITEL 1. EINLEITUNG von Pareto bessere Lösung zur Bereitstellung eines Alterseinkommens gibt, welches mit geringeren Einkommensverlusten verbunden ist. Jedes Alterssicherungssystem weist die Eigenschaft einer Versicherung auf, da es insbesondere das Risiko der unsicheren Lebensdauer absichert. Aus der Versicherungsökonomik ist bekannt, dass eine Versicherung immer dann op- timal ist, wenn sie die Eigenschaft der versicherungstechnischen Äquivalenz besitzt, indem die Beitragszahlungen den zu erwartetenden Leistungen ent- sprechen muss. Genau diese Eigenschaft wird in den umlagefinanzierten staat- lichen Alterssicherungssystemen verletzt. Im Gegensatz dazu erfüllt ein kapital- gedecktes System, in dem die Leistungen durch einen während der Phase der Erwerbstätigkeit akkumulierten Kapitalstock finanziert werden, diese Eigen- schaft im Idealfall immer. Genau dies ist der Grund, weshalb viele Ökonomen einen Übergang von einem umlagefinanzierten zu einem kapitalgedeckten Sy- stem fordern. Das Ziel eines solchen Übergangs zu einem Kapitaldeckungsver- fahren ist die Stärkung des Prinzips der versicherungstechnischen Äquivalenz und somit ein Abbau der impliziten Besteuerung des Lebenseinkommens der Versicherten und des damit verbundenen Wohlfahrtsverlustes. Allerdings weist diese Betrachtungsweise, die im Wesentlichen auf Modellen sich überlappender Generationen beruhen, wie sie insbesondere von [Samuelson, 1958] und [Diamond, 1965] eingeführt und in der Folge weiter- entwickelt und verfeinert wurden, eine entscheidende Schwäche auf. Es han- delt sich in diesem Fall im Wesentlichen nur um eine ex post Betrachtung, in der von einem sicheren Einkommen ausgegangen wird. Tatsächlich ist aber auch das Einkommen mit Unsicherheit behaftet. Aus diesem Grund muss un- tersucht werden, ob ein Abweichen vom Prinzip der versicherungstechnischen Äquivalenz ex ante einen Wohlfahrtsgewinn produzieren kann. Genau dieser Sachverhalt ist der Gegenstand der folgenden Untersuchung. Es kann gezeigt werden, dass ein Abweichen vom Prinzip der versicherungstechnischen Äqui- valenz, wenn sie lediglich als Gegenüberstellung von geleisteten Beiträgen und zu erwartenden Leistungen verstanden wird, sowohl durch eine intra- als auch durch eine intergenerative Umverteilung bzw. Risikoverteilung einen positi- ven Wohlfahrtseffekt erzielen kann. Das Ergebnis ist demnach, dass bei einer vorhandenen Unsicherheit bezüglich des zukünftigen Einkommens eine reine Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access KAPITEL 1. EINLEITUNG ex post Betrachtung den Versicherungsaspekt, der hinter einem System der sozialen Sicherung steht, nicht berücksichtigt und deshalb aus wohlfahrtsöko- nomischen Gesichtspunkten zu kurz greift. Die Vorgehensweise lässt sich folgendermaßen skizzieren. Im anschließenden Kapitel werden einige Grundlagen dargestellt, die für die weiteren Ausführun- gen von Bedeutung sind. Hierbei soll insbesondere der Begriff der Äquivalenz bestimmt werden. Darüber hinaus wird aber auch die Frage einer obligatori- schen oder freiwilligen Alterssicherung diskutiert. Im dritten Kapitel werden dann die Probleme, denen die derzeit bestehenden umlagefinanzierten Alters- sicherungssysteme ausgesetzt sind, ausgeführt. Im Speziellen lassen sich diese auf die demographische Entwicklung und die bestehenden Anreizwirkungen im Zusammenspiel mit dem Arbeitsmarkt reduzieren. Im vierten Kapitel werden dann die Eigenschaften, die eine Sozialversicherung insbesondere hinsichtlich des Aspektes der Risikoabsicherung besitzen muss, erörtert. Im fünften Kapitel werden dann einige Reformoptionen untersucht. Hierbei werden zum einen Re- formoptionen innerhalb der bestehenden Rentensysteme betrachtet, aber auch die Einführung kapitalgedeckter Elemente und deren Organisationsform sind Gegenstand der Betrachtung. Abschließend werden die Ergebnisse noch einmal zusammengefasst und einer kritischen Würdigung unterzogen. 3 Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access Kapitel 2 Grundlagen zum Begriff der •• Aquivalenz 2.1 Die versicherungstechnische Äquivalenz Bei der gesetzlichen Rentenversicherung handelt es sich um eine der Hauptsäulen des sozialen Sicherungssystems in Deutschland. Aber auch in anderen Ländern, die wie Deutschland über ein soziales Sicherungssystem verfügen, spielt die staatliche Altersvorsorge eine Hauptrolle, wenn es darum geht ein Altersein- kommen zu gewährleisten. Innerhalb eines Rentenversicherungssystems lassen sich zwei Äquivalenzbegriffe unterscheiden: Die versicherungstechnische Äqui- valenz und die Teilhabeäquivalenz. Diese beiden Begriffe werden zunächst von- einander abgegrenzt. Hierbei wird auf einige wesentliche Grundlagen der mi- kroökonomischen Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit wie bei (Gravelle, Rees, 1992] bzw. der Versicherungsökonomik wie lil (Zweifel, Eisen, 2000] zurückgegriffen. 2.1.1 Versicherungsökonomische Grundlagen 2.1.1.1 Versicherungstechnisch äquivalente Versicherungsprämien Eine versicherungstechnisch äquivalente Versicherung liegt immer dann vor, wenn sie eine versicherungstechnisch äquivalente Prämie (bzw. Beitrag) be- sitzt. Eine versicherungstechnisch äquivalente Prämie ist definiert als diejenige Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access 2.1. DIE VERSICHERUNGSTECHNISCHE ÄQUNALENZ 5 Prämie, die den Erwartungswert des Einkommens nicht verändert. Das erwar- tete Einkommen nimmt in diesem Fall unabhängig davon, ob das Individuum eine Versicherung abschließt oder nicht, den gleichen Wert an. Da und wenn dem so ist, stellen sich zwei Fragen. Zum einen gilt es zu hinterfragen, wie dies durch eine Versicherung gewährleistet wird. Zum anderen ist es auch nicht auf den ersten Blick einsichtig, weshalb Individuen überhaupt eine Versiche- rung nachfragen, wenn ihr Erwartungseinkommen durch den Abschluß eines Versicherungsvertrages unverändert bleibt. Der Begriff der versicherungstechnischen Äquivalenz lässt sich auf alle Ver- sicherungen anwenden. Im Allgemeinen versteht man unter diesem Begriff den Sachverhalt, dass man als Versicherungsnehmer erwarten kann, dass die Bei- tragszahlungen gleich den Leistungen sind, d.h. der Barwert der Einzahlungen dem Barwert des Erwartungswertes der Auszahlungen bzw. dem Geldwert der empfangenen Sachleistungen entspricht. Für den allgemeinen Versicherungsfall muss deshalb gelten: B=μp (2.1) Der Beitrag bzw. die Prämie B, der an die Versicherung zu entrichten ist, entspricht genau dem Produkt aus der Schadenswahrscheinlichkeit μ, mit O < μ < 1, und der Leistung p, die man im Schadensfall erhält. Hierbei handelt es sich um den Idealfall der versicherungstechnischen Äquivalenz. Zum einen gibt es in diesem Fall keine Aufschläge, d.h. es handelt sich um den Idealfall ei- ner absolut "fairen" Versicherung. Eine Versicherung wird dann als absolut fair bezeichnet, wenn sie keine zusätzlichen Kosten in der Form von Verwaltungsko- sten verursacht. Der Erwartungsgewinn 1r des Versicherungsunternehmens ist in diesem Fall genau gleich Null, d.h. die Einnahmen entsprechen genau den zu erwartenden Ausgaben. Formal gesehen lässt sich diese Nullgewinnbedin- gung folgendermaßen darstellen, die Einnahmen, bestehend aus dem Beitrag B, müssen genau der Schadenswahrscheinlichkeitμ multipliziert mit dem Wert der im Schadensfall zu zahlenden Leistungen p entsprechen: 1r = B- μp = 0 (2.2) Aus dieser Gleichung kann man erkennen, dass sich durch eine leichte Umfor- mung die Gleichung 2.1 ergibt. Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access 6 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN ZUM BEGRIFF DER ÄQUIVALENZ In der Realität verlangen die meisten Versicherungen allerdings einen Auf- schlagt für Verwaltungskosten u.ä., so dass sich die Gleichung 2.1 verändert zu: B = (1 + t)μp (2.3) Der Aufschlag erhöht demnach die Beiträge bzw. Prämien, die der Versiche- rungsnehmer bezahlen muss und stellt somit eine Abweichung vom Idealzu- stand der versicherungstechnischen Äquivalenz dar. Es gibt aber neben den Aufschlägen auf die Versicherungsprämien noch ein weiteres Problem, das in der Realität anzutreffen ist. Sowohl in der Gleichung 2.1 als auch in Glei- chung 2.3 wird von einer einheitlichen Schadenswahrscheinlichkeit ausgegan- gen. Tatsächlich können sich die Versicherungsnehmer aber z. T. erheblich durch ihre Schadenswahrscheinlichkeiten unterscheiden. Im Extremfall gibt es genau- so viele Schadenswahrscheinlichkeiten wie Versicherungsnehmer. Zur Verein- fachung bzw. um eine überschaubarere Struktur zu erhalten, werden Versi- cherungsnehmer in der Praxis häufig in Risikogruppen eingeteilt, denen man unterschiedliche Schadenswahrscheinlichkeiten zuordnet. Auf der Basis dieser Differenzierung lassen sich dann unterschiedliche Prämien nach dem folgenden Schema festsetzen: mit i = 1, 2, ... , n 1 (2.4) Der Index i differenziert nach den unterschiedlichen Schadenswahrscheinlich- keiten. Im Falle einer Rentenversicherung ist dies der "Schaden", den Zeitpunkt des Eintritts in den Ruhestand zu überleben. Für den Fall der Erwerbsunfähig- keit ist der Schaden der Eintritt der Erwerbsunfähigkeit. Deshalb gilt für die unterschiedlichen Schadenswahrscheinlichkeiten immer: (2.5) Man sieht, dass dies den unwahrscheinlichen Fall, dass alle Individuen die gleiche Schadenswahrscheinlichkeit besitzen, einschließt. In diesem Abschnitt wurde gezeigt, was man in der Versicherungsökonomik als versicherungstechnisch äquivalent bezeichnet. Es gilt jetzt zu klären, was 1 Man beachte, dass die Leistungen für alle Schadenswahrscheinlichkeiten gleich hoch sind. Der Versicherungsvertrag unterscheidet sich deshalb lediglich durch den Beitrag, der durch die Schadenswahrscheinlichkeit bestimmt wird. Jochen Jagob - 978-3-631-75021-6 Downloaded from PubFactory at 01/11/2019 09:11:22AM via free access