Probabilidade Lista de Exerc ́ ıcios 1 Problema 1. Descreva o espa ̧ co amostral associado a cada um dos seguintes experimentos: (a) Lan ̧ camento de dois dados e observar as faces viradas para cima. (b) Lan ̧ camento de uma moeda trˆ es vezes. (c) Selecionar um ponto no c ́ ırculo de raio r e centro na origem do plano cartesiano. (d) Observar a propor ̧ c ̃ ao de dispositivos defeituosos em uma remessa de componentes eletrˆ onicos. Problema 2. Numa urna com bolas coloridas h ́ a 3 bolas pretas e 4 bolas brancas. Retiram-se da urna 3 bolas, em sequˆ encia, ao acaso e sem reposi ̧ c ̃ ao. (a) Exiba o espa ̧ co amostral associado a este experimento. (b) Considere que as bolas retiradas s ̃ ao colocadas em outra urna, inicial- mente vazia, e desta, retira-se ao acaso uma bola. Qual ́ e a probabili- dade de esta bola ser preta? Problema 3. Uma urna cont ́ em 36 bolas numeradas, de quantas formas podemos escolher 6 bolas? (considere os casos com e sem reposi ̧ c ̃ ao) Problema 4. Quatro livros de estat ́ ıstica, seis de economia e dois de portuguˆ es tem que ser colocados num estante. De quantas formas poss ́ ıveis eles podem ser colocados se os livros de cada ́ area devem estar juntos? (os livros s ̃ ao todos diferentes) Problema 5. Em uma amostra de 100 alunos de uma faculdade de Economia s ̃ ao verificadas em determinado semestre as seguintes informa ̧ c ̃ oes sobre os matriculados nos cursos de Microeconomia, Estat ́ ıstica e Matem ́ atica: 1 • 10 alunos n ̃ ao est ̃ ao matriculados em nenhum desses trˆ es cursos. • 10 alunos est ̃ ao matriculados em todos os trˆ es cursos. • 85 alunos est ̃ ao matriculados em Microeconomia ou Estat ́ ıstica ou em ambos. • 80 alunos est ̃ ao matriculados em Microeconomia ou Matem ́ atica ou em ambos. • 25 alunos est ̃ ao matriculados em Matem ́ atica e Estat ́ ıstica, mas n ̃ ao em Microeconomia. • 45 alunos est ̃ ao matriculados em Matem ́ atica. • 65 alunos est ̃ ao matriculados em Estat ́ ıstica. Responda: (a) Quantos por cento dos alunos est ̃ ao matriculados em cada curso? (b) Suponha que tenhamos sorteado um dos 100 alunos de forma aleat ́ oria. Calcule as probabilidade de esse aluno estar matriculado em cada curso. (c) Qual a probabilidade desse aluno estar matriculado em Matem ́ atica e Estat ́ ıstica? (d) Usando P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ), calcule o percentual de alunos matriculados em Matem ́ atica ou Estat ́ ıstica. Problema 6. Uma determinada empresa tem trˆ es diferentes unidades ( A , B e C ). A tabela abaixo mostra o n ́ umero de funcion ́ arios homens e o n ́ umero de funcion ́ arias mulheres em cada uma das trˆ es unidades: Homens Mulheres Unidade A 100 100 Unidade B 40 60 Unidade C 20 80 Responda: (a) Qual a probabilidade de um funcion ́ ario escolhido aleatoriamente ser homem e trabalhar na unidade C ? (b) Entre os funcion ́ arios homens, quantos por cento trabalham na unidade B ? 2 (c) Considere que um funcion ́ ario da empresa escolhido aleatoriamente seja um homem. Qual a probabilidade de que essa pessoa trabalhe na unidade A ? (d) Suponha que um funcion ́ ario da empresa escolhido aleatoriamente tra- balhe na unidade B . Qual a probabilidade de que essa pessoa seja uma mulher? Problema 7. Cinco parafusos defeituosos foram misturados com sete outros parafusos bons numa caixa e vendidos para a instala ̧ c ̃ ao de um arm ́ ario que precisa de quatro parafusos. Qual a probabilidade de que quatro para- fusos defeituosos sejam escolhidos em sequˆ encia? Problema 8. Num torneio de squash entre trˆ es jogadores, A , B e C , cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma ́ unica vez (isto ́ e, A joga contra B , A joga contra C e B joga contra C ). Assuma as seguintes probabilidades: P( A ven ̧ ca B ) = 0 , 6 P( A ven ̧ ca C ) = 0 , 7 P( B ven ̧ ca C ) = 0 , 6 Assumindo independˆ encia entre os resultados das partidas, compute a prob- abilidade de que A ven ̧ ca um n ́ umero de partidas pelo menos t ̃ ao grande quanto qualquer outro jogador. Problema 9. Num torneio amador de tˆ enis, 16 jogadores de igual habilidade, numerados de 1 a 16, s ̃ ao distribu ́ ıdos aleatoriamente entre os 16 espa ̧ cos do chaveamento na figura 1. Em cada etapa, somente um dos jogadores avan ̧ ca no campeonato. Qual a probabilidade dos jogadores 1 e 2 se enfrentarem durante o torneio? (Dica: Qual a probabilidade de eles se enfrentarem no primeiro jogo? E no segundo?) Problema 10. Suponha que as ocupa ̧ c ̃ oes s ̃ ao agrupadas em 3 n ́ ıveis: alto ( A ), m ́ edio ( M ) e baixo ( B ). Seja A 1 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do pai ́ e o n ́ ıvel alto, M 1 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do pai ́ e n ́ ıvel m ́ edio, e B 1 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do pai ́ e n ́ ıvel baixo. De forma an ́ aloga, seja A 2 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do filho ́ e o n ́ ıvel alto, M 2 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do filho ́ e n ́ ıvel m ́ edio e B 2 o evento que a ocupa ̧ c ̃ ao do filho ́ e n ́ ıvel baixo. Temos a seguinte matriz de probabilidades condicionais: A 2 M 2 B 2 A 1 0 , 45 0 , 48 0 , 07 M 1 0 , 05 0 , 70 0 , 25 B 1 0 , 01 0 , 50 0 , 49 3 Figure 1: Chaveamento. Nesta tabela, temos as probabilidades condicionais da ocupa ̧ c ̃ ao do filho dada a ocupa ̧ c ̃ ao do pai. Por exemplo, P[ A 2 | A 1 ] = 0 , 45. Suponha que na gera ̧ c ̃ ao de pais 10% est ̃ ao em A , 40% em M e 50% em B Responda: (a) Qual a probabilidade de um pai e um filho estarem ambos em ocupa ̧ c ̃ oes de baixo n ́ ıvel? (b) Qual a probabilidade de um filho estar em uma ocupa ̧ c ̃ ao de alto n ́ ıvel? (c) Entre os pais com ocupa ̧ c ̃ oes baixas, quantos por cento dos filhos tem ocupa ̧ c ̃ ao alta? (d) Se a ocupa ̧ c ̃ ao do filho ́ e A 2 , a probabilidade do pai ter ocupa ̧ c ̃ ao A 1 ? Problema 11. Suponha que uma companhia administre trˆ es fundos m ́ utuos. Denote por A i o evento associado a um acr ́ escimo de valor do i- ́ esimo fundo m ́ utuo em um determinado dia ( i = 1 , 2 , 3). Sabe-se que P( A 1 ) = 0 , 55 P( A 2 ) = 0 , 60 P( A 3 ) = 0 , 45 P( A 1 ∪ A 2 ) = 0 , 82 P( A 1 ∪ A 3 ) = 0 , 7525 P( A 2 ∪ A 3 ) = 0 , 78 P( A 2 ∩ A 3 | A 1 ) = 0 , 20 4 Responda: (a) Qual a probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor? (b) Qual a probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor, dado que o fundo 3 aumentou de valor? (c) Os eventos A 1 e A 2 s ̃ ao independentes? (d) Os eventos A 1 , A 2 e A 3 s ̃ ao independentes? Problema 12. Uma firma de consultoria econˆ omica possui um mod- elo para prever recess ̃ oes. O modelo prevˆ e uma recess ̃ ao com probabilidade de 80% quando ela realmente est ́ a a caminho e com probabilidade de 10% quando ela n ̃ ao est ́ a a caminho. A probabilidade n ̃ ao condicional de a econo- mia passar por uma recess ̃ ao ́ e de 20%. Se o modelo prevˆ e uma recess ̃ ao, qual ́ e a probabilidade de que ela realmente esteja a caminho? Problema 13. Em uma determinada cidade, 60% dos moradores s ̃ ao mulheres e 40% s ̃ ao homens. Entre as mulheres, 80% est ̃ ao empregadas e 20% est ̃ ao desempregadas. Entre os homens, 90% est ̃ ao empregados e 10% est ̃ ao desempregados. Obtenha a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nessa cidade ser mulher, dado que est ́ a desempregada. Problema 14. Suponha que existam 4100 fundos de investimentos. Desses, 4 deles s ̃ ao muito bons, obtendo lucro em cada ano com probabil- idade de 100%. Os demais obtˆ em lucro somente na sorte, ou seja, com probabilidade de 50% a cada ano. Vocˆ e consegue ver o hist ́ orico dos ́ ultimos 8 anos de um fundo e verifica que ele teve lucro em todos os anos. Qual a probabilidade dele ser muito bom? Problema 15. Ao fazer um exame de HIV, apenas uma vez em cada 1000 que d ́ a positivo mesmo quando o paciente n ̃ ao tem o v ́ ırus. Por outro lado, de uma certa popula ̧ c ̃ ao, uma pessoa a cada 10 mil possui AIDS. Al ́ em disso, o exame nunca d ́ a negativo quando a pessoa tem o v ́ ırus no sangue. Suponha que vocˆ e fa ̧ ca o exame de HIV e dˆ e positivo. Seu m ́ edico lhe fala que vocˆ e tem 99 , 9% de chance de estar com o v ́ ırus no sangue. Qual seria a probabilidade correta? Problema 16. Uma companhia de seguros classifica os motoristas em trˆ es grupos: X , Y e Z . A experiˆ encia indica que a probabilidade de um motorista do grupo X ter pelo menos um acidente em um ano ́ e 0 , 4, enquanto 5 as probabilidades correspondentes para os grupos Y e Z s ̃ ao 0 , 15 e 0 , 1, respectivamente. Dos motoristas que contratam seguro, 30% s ̃ ao classificados no grupo X , 20% em Y e os 50% restantes no grupo Z Assuma que, em cada grupo, os acidentes nos anos subsequentes ocorrem independentemente. Responda: (a) Qual a probabilidade de um novo cliente sofrer um acidente no primeiro ano? (b) Qual a probabilidade de um cliente do grupo Z n ̃ ao sofrer um acidente em 2 anos? (c) Qual a probabilidade de um novo cliente n ̃ ao sofrer nenhum acidente em 2 anos? (d) Se um novo cliente n ̃ ao tiver nenhum acidente nos 2 primeiros anos, qual a probabilidade dele pertencer ao grupo X ? (e) Dado que um novo cliente sofreu um acidente no primeiro ano, qual a probabilidade de um novo cliente sofrer um acidente no segundo ano? Problema 17. Considere o lan ̧ camento de dois dados n ̃ ao-viciados comuns, de seis faces, e os trˆ es eventos abaixo: • A: o primeiro dado mostra um n ́ umero par; • B: o segundado dado mostra um n ́ umero ́ ımpar; • C: ambos os dados mostram n ́ umeros ́ ımpares ou ambos mostram n ́ umeros pares. (a) Mostre que: (1) A e B s ̃ ao independentes, (2) B e C s ̃ ao independentes, e (3) A e C s ̃ ao independentes. (b) Mostre que A, B e C n ̃ ao s ̃ ao independentes. Problema 18. Considere o lan ̧ camento de um dado n ̃ ao-viciado comum, de seis faces, e os trˆ es eventos abaixo: • A: dado mostra n ́ umero menor ou igual a 3; • B: dado mostra n ́ umero menor ou igual a 4; • C: dado mostra um n ́ umero par. 6 (a) Mostre que P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) P( B ) P( C ). (b) Os eventos A, B e C s ̃ ao independentes? Problema 19. Responda: (a) Se P( A ) = (1 / 3) e P( B c ) = 1 / 5, por que podemos dizer que A e B n ̃ ao s ̃ ao disjuntos? (b) Se P( A ) = 0 , 4, P( B ) = 0 , 8 e P( A | B ) = 0 , 2, quanto ́ e P( B | A )? (c) Se P( B ) = 0 , 6 e P( A | B ) = 0 , 2, quanto ́ e P( A c ∪ B c )? Problema 20. Considerando A e B dois eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrˆ encia diferentes de zero, mostre que: (a) P( A | B ) / P( B | A ) = P( A ) / P( B ). (b) Se A e B s ̃ ao eventos excludentes, ent ̃ ao s ̃ ao dependentes. (c) Se A e B s ̃ ao independentes, ent ̃ ao P( A ∩ B ) < P( A ) + P( B ). (d) Se A ⊂ B , ent ̃ ao P( B ) = P( A ) + P( B \ A ). (e) Se A e B s ̃ ao independentes, ent ̃ ao A e B c tamb ́ em s ̃ ao. 7