2022-11-28 1 Modulacje cyfrowe Data Widmo losowego sygnału prostokątnego #1 A x p A x p x p 1 T – czas trwania bitu t 0 – losowo wybrana chwila pomiarowa t – odległość między pomiarami 2 2 x A 1) - (2p = )] + ]E[x(t E[x(t) = )] + E[x(t)x(t = ) ( R t t t 1)A - (2p = p)(-A) - (1 + pA = ] E[x(t) Wartość średnia: Funkcja autokorelacji dla : T t Widmo losowego sygnału prostokątnego #2 Funkcja autokorelacji dla : T 0 t t 𝑅 𝑥 ൫ 𝜏 | ( 𝑡 0 < 𝑇 − | 𝜏 | ) ൯ = න 𝐴 2 1 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 − | 𝜏 | 0 + න ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 1 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 − | 𝜏 | 𝑅 𝑥 ൫ 𝜏 | ( 𝑡 0 < 𝑇 − | 𝜏 | ) ൯ = 𝐴 2 ቆ 1 − | 𝜏 | 𝑇 ቇ + ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 ቆ 1 − ቈ 1 − | 𝜏 | 𝑇 ቇ Po uproszczeniu: Zapisane z użyciem funkcji trójkątnych: 𝑅 𝑥 ൫ 𝜏 | ( 𝑡 0 < 𝑇 − | 𝜏 | ) ൯ = 𝐴 2 Λ 2 T ( 𝜏 ) + ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 − ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 Λ 2 T ( 𝜏 ) 1 2 3 2022-11-28 2 Widmo losowego sygnału prostokątnego #3 Ostatecznie: Widmowa gęstość mocy: 𝑅 𝑥 ( 𝜏 ) = ൜ ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 , | 𝜏 | > 𝑇 𝐴 2 Λ 2 T ( 𝜏 ) + ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 − ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 Λ 2 T ( 𝜏 ) , | 𝜏 | ≤ 𝑇 𝑆 𝑥 ( 𝜔 ) = 𝐹 ൫ 𝑅 𝑥 ( 𝜏 ) ൯ = ( 2 𝑝 − 1 ) 2 𝐴 2 𝛿 ( 𝜔 ) + 𝐴 2 𝑇𝑆𝑎 ൬ 𝜔𝑇 2 ൰ Szerokość pasma źródło: B. Sklar, „Digital Communications, Fundamentals and Applications” Sygnały rzeczywiste Z własności transformaty Fouriera: Zatem dla sygnału rzeczywistego: Wniosek: Nie da się uzyskać sygnału rzeczywistego nie zawierającego komponentów po ujemnej stronie osi częstotliwości 𝑋 ( 𝜔 ) = 𝑋 ∗ ( − 𝜔 ) | 𝑋 ( 𝜔 ) | = | 𝑋 ( − 𝜔 ) | Nie da się odróżnić pulsacji dodatniej od ujemnej: 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝜔𝑡 ) 4 5 6 2022-11-28 3 Sygnały pasmowe #1 Rozważmy sygnał postaci: Widmowa gęstość mocy: x(t) – rzeczywisty sygnał dolnopasmowy w x – maksymalna częstotliwość w widmie sygnału x(t) w c – częstotliwość nośna 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) 𝑌 ( 𝜔 ) = 𝑋 ( 𝜔 ) ∗ ( 𝜋 [ 𝛿 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝛿 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ] ) Korzystając z własności filtrującej delty Diraca: 𝑌 ( 𝜔 ) = 𝜋 [ 𝑋 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝑋 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ] w c w c 2w x Sygnały pasmowe #2 Spróbujmy zdemodulować sygnał y(t): A co jeśli lokalnie generowana nośna nie ma dokładnie pulsacji w c : Dokonujemy filtracji dolnoprzepustowej i gotowe 𝑥 ( 𝑡 ) = 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) 𝑋 ෨ ( 𝜔 ) = 𝑌 ( 𝜔 ) ∗ ( 𝜋 [ 𝛿 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝛿 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ]) 𝑋 ෨ ( 𝜔 ) = 𝜋 [ 𝑋 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝑋 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ] ∗ ( 𝜋 [ 𝛿 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝛿 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ]) 𝑋 ෨ ( 𝜔 ) = 𝜋 2 [ 2 𝑋 ( 𝜔 ) + 𝑋 ( 𝜔 − 2 𝜔 𝑐 ) + 𝑋 ( 𝜔 + 2 𝜔 𝑐 ) ] Transformata Hilberta 𝐻 { 𝑥 ( 𝑡 ) } = 𝑥 ො ( 𝑡 ) = 1 𝜋 න 𝑥 ( 𝜏 ) 𝑡 − 𝜏 + ∞ − ∞ 𝑑𝜏 ≡ ℎ ( 𝑡 ) = 1 𝜋𝑡 W dziedzinie częstotliwości: 𝐻 ( 𝑓 ) = − 𝑗𝑠𝑔𝑛 ( 𝜔 ) = ൜ − 𝑗 𝑑𝑙𝑎 𝜔 > 0 𝑗 𝑑𝑙𝑎 𝜔 < 0 7 8 9 2022-11-28 4 Sygnał analityczny Zdefiniujmy dla sygnału rzeczywistego x(t) sygnał postaci: 𝑥 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) + 𝑗 𝑥 ො ( 𝑡 ) niech: 𝐹 ൫ 𝑥 ( 𝑡 ) ൯ = 𝑋 ( 𝜔 ) 𝐹 ൫ 𝑥 ො ( 𝑡 ) ൯ = 𝑋 ( 𝜔 ) 𝐻 ( 𝑓 ) = ൜ − 𝑗𝑋 ( 𝜔 ) , 𝜔 ≥ 0 𝑗𝑋 ( 𝜔 ) , 𝜔 < 0 Zatem dla sygnału analitycznego: 𝐹 ൫ 𝑥 ( 𝑡 ) ൯ = ቊ 𝑋 ( 𝜔 ) + 𝑗 ൫ − 𝑗𝑋 ( 𝜔 ) ൯ = 2 𝑋 ( 𝜔 ) , 𝜔 ≥ 0 𝑋 ( 𝜔 ) + 𝑗 ൫ 𝑗𝑋 ( 𝜔 ) ൯ = 0 , 𝜔 < 0 Najpopularniejszy sygnał analityczny 𝒙 ( 𝒕 ) 𝒙 ෝ ( 𝒕 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 ) sin ( 𝜔𝑡 ) sin ( 𝜔𝑡 ) − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 ) Przydatne transformaty Hilberta: I tytułowy sygnał: 𝑥 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) + 𝑗 𝑥 ො ( 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 ) + 𝑗 sin ( 𝜔𝑡 ) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Składowa synfazowa I Składowa kwadraturowa Q Modulator kwadraturowy Powróćmy na chwilę do rzeczywistego sygnału y(t): Można pokazać że: 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) 𝑦 ො ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) Zatem: 𝑦 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) + 𝑗 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑒 𝑗 𝜔 𝑐 𝑡 10 11 12 2022-11-28 5 Od urojeń do rzeczywistości Zapiszmy sygnał analityczny w ogólnej postaci: 𝑠 ̃ ( 𝑡 ) = ( 𝑥 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝑗 𝑥 𝑄 ( 𝑡 ) ) 𝑒 𝑗 𝜔 𝑡 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝑟𝑒 { 𝑠 ̃ ( 𝑡 ) } = 𝑟𝑒 ൛ ( 𝑥 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝑗 𝑥 𝑄 ( 𝑡 ) ൫ cos ( 𝜔 𝑡 ) + 𝑗𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔 𝑡 ) ൯ ൟ Zatem: 𝑠 ( 𝑡 ) = 𝑥 𝐼 ( 𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) − 𝑥 𝑄 ( 𝑡 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔 𝑐 𝑡 ) Modulacja QPSK #1 𝐸 [ 𝑥 ( 𝑡 ) ] = 𝐸 [ 𝑦 ( 𝑡 ) ] = 0 𝑅 𝑥 ( 𝜏 ) = 𝑅 𝑦 ( 𝜏 ) = 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝐼 ( 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 + 𝜃 ) 𝑄 ( 𝑡 ) = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜔𝑡 + 𝜃 ) q - zmienna losowa o rozkładzie równomiernym 𝑅 𝐼 ( 𝜏 ) = 𝐸 [ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 + 𝜃 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 + 𝜔𝜏 + 𝜃 ) ] = 𝑅 𝐼 ( 𝜏 ) = 1 2 { 𝐸 [ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) ] + 𝐸 [ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝑡 + 𝜃 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝜔𝑡 + 2 𝜔𝜏 + 2 𝜃 ) ] } = 1 2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) 𝑅 𝑄 ( 𝜏 ) = 1 2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) 𝑧 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 ) Widmo QPSK 𝑅 𝑧 ( 𝜏 ) = 𝐸 ൣ ൫ 𝑥 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 ) + 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 ) ൯ ( 𝑥 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝐼 ( 𝑡 + 𝜏 ) + 𝑦 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝑄 ( 𝑡 + 𝜏 ) ) ൧ = 𝐸 [ 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝐼 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 + 𝜏 ) + 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑦 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝐼 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 + 𝜏 ) + 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝑄 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 + 𝜏 ) + 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑦 ( 𝑡 + 𝜏 ) 𝑄 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 + 𝜏 )] = 𝐸 [ 𝑥 ( 𝑡 ) 𝑥 ( 𝑡 + 𝜏 )] 𝐸 [ 𝐼 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 + 𝜏 )] + 𝐸 [ 𝑥 ( 𝑡 )] 𝐸 [ 𝑦 ( 𝑡 + 𝜏 )] 𝐸 [ 𝐼 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 + 𝜏 )] + 𝐸 [ 𝑦 ( 𝑡 )] 𝐸 [ 𝑥 ( 𝑡 + 𝜏 )] 𝐸 [ 𝑄 ( 𝑡 ) 𝐼 ( 𝑡 + 𝜏 )] + 𝐸 [ 𝑦 ( 𝑡 ) 𝑦 ( 𝑡 + 𝜏 )] 𝐸 [ 𝑄 ( 𝑡 ) 𝑄 ( 𝑡 + 𝜏 )] = 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑅 I ( 𝜏 ) + 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑅 Q ( 𝜏 ) Wiedząc już że 𝑅 I ( 𝜏 ) = 𝑅 Q ( 𝜏 ) możemy zapisać, że: 𝑅 𝑧 ( 𝜏 ) = 2 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑅 I ( 𝜏 ) = 2 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) 𝑆 𝑄𝑃𝑆𝐾 = 𝐹 { 2 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) } = 2 𝐹 { 𝑅 Π ( 𝜏 ) } ∗ 𝐹 { 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) } 𝑆 𝑄𝑃𝑆𝐾 = 𝐹 { 2 𝑅 Π ( 𝜏 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜔𝜏 ) } = 2 𝐴 2 𝑇𝑆𝑎 ൬ 𝜔𝑇 2 ൰ ∗ ( 𝜋 [ 𝛿 ( 𝜔 − 𝜔 𝑐 ) + 𝛿 ( 𝜔 + 𝜔 𝑐 ) ] ) 13 14 15 2022-11-28 6 Opis stanów QPSK Bit I Bit Q Sygnał wynikowy (rzeczywisty) R eprezentacja dolnopasmowa - 1 - 1 √ 2 𝑐𝑜𝑠 ൬ 𝜔𝑡 + 3 𝜋 4 ൰ √ 2 𝑒 𝑗 3 𝜋 4 - 1 1 √ 2 𝑐𝑜𝑠 ൬ 𝜔𝑡 − 3 𝜋 4 ൰ √ 2 𝑒 − 𝑗 3 𝜋 4 1 - 1 √ 2 𝑐𝑜𝑠 ቀ 𝜔𝑡 + 𝜋 4 ቁ √ 2 𝑒 𝑗 𝜋 4 1 1 √ 2 𝑐𝑜𝑠 ቀ 𝜔𝑡 − 𝜋 4 ቁ √ 2 𝑒 − 𝑗 𝜋 4 W ogólnym przypadku sygnał zespolony QPSK przyjmuje postać: 𝑠 ̃ ( 𝑡 ) = 𝐴 𝑒 𝑗 𝜑 𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Diagram konstelacji QPSK j faza amplituda Sekwencja bitów przypisana do danego stanu M - liczba stanów modulacji ≡ krotność modulacji M 2 log ≡ liczba bitów przypadających na symbol modulacji szybkość symbolowa a zajmowane pasmo Π T ( t ) F ⇒ TSa ൬ ω T 2 ൰ Impuls prostokątny: • Nieskończone widmo • Niemożliwe współdzielenie pasma A gdyby tak odwrócić sytuację: • Idealnie prostokątne widmo, ale... • Sygnał jest nieprzyczynowy • Potrzebny kompromis 𝑆𝑎 ( 𝑊𝑡 ) F ⇒ π W Π 2W ( ω ) 16 17 18 2022-11-28 7 Filtr podniesiony cosinus #1 Powinien spełniać nast. Wymagania: • Skończony czas trwania odpowiedzi impulsowej • Regularny rozkład miejsc zerowych • Skończone pasmo częstotliwości Można pokazać, że spełnia je filtr postaci: Konsekwencje: • Poszerzenie pasma a razy w stosunku do ideału • Konieczność synchronizacji czasowej nadajnika i odbiornika ℎ 𝑅𝐶 ( 𝑡 ) = 𝑆𝑎 ( 𝑊𝑡 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝛼𝑊𝑡 ) 1 − ቀ 2 𝛼𝑊 𝜋 𝑡 ቁ 2 Filtr podniesiony cosinus #2 Pasmo zajmowane przez sygnał dolnopasmowy: Można pokazać, że: Dla sygnału pasmowego: 𝐵 𝐵𝐵 = ( 1 + 𝛼 ) 𝑅 𝑆 2 ൗ 𝐵 𝑃𝐵 = ( 1 + 𝛼 ) 𝑅 𝑆 R S – szybkość symbolowa sygnału B BB – pasmo zajmowane przez rzeczywisty sygnał dolnopasmowy B PB – pasmo zajmowane przez rzeczywisty sygnał pasmowy a – współczynnik poszerzenia pasma a € (0;1) Szum biały #1 Widmowa gęstość mocy szumu białego: 𝑆 𝑁 ( 𝜔 ) = 𝑁 0 2 Funkcja autokorelacji szumu białego: 𝑅 ( 𝜏 ) = 𝑁 0 2 𝛿 ( 𝜏 ) Dlaczego ே బ ଶ – bo połowa gęstości przypada na częstotliwości ujemne Kolejne próbki są ze sobą nieskorelowane Prawo Nyquista - Johnsona: 𝑁 = 𝑘𝑇 N 0 – widmowa gęstość mocy szumu 𝑊 𝐻𝑧 ⁄ T – temperatura [K], zwykle 290K k – stała Boltzmana 1,3806 ·10 -23 ௐ ு௭ ⁄ 19 20 21 2022-11-28 8 Szum biały #2 Moc szumu białego: Wniosek konieczna jest filtracja: 𝑃 = න 𝑁 2 ାஶ ି ஶ 𝑑𝐵 → ∞ 𝑃 = 2 𝑁 2 𝐵 = 𝑁 𝐵 Optymalny filtr powinien maksymalizować stosunek mocy sygnału użytecznego do mocy szumu Filtr dopasowany #1 Można pokazać że optymalny filtr dla impulsu o kształcie 𝑔 𝑡 przyjmuje postać: Jeśli sygnał odebrany: w(t) – szum biały o zerowej wartości średniej i widmowej gęstości mocy ே బ ଶ g(t) – sygnał użyteczny T s – czas trwania symbolu Wyznaczmy zatem wartości sygnału i szumu w chwili 𝑇 ௦ ℎ 𝑡 = 𝑔 𝑇 ௦ − 𝑡 𝑟 𝑡 = 𝑔 𝑡 + 𝑤 𝑡 𝑠 𝑡 = 𝑔 𝑇 ௦ − 𝑡 ∗ 𝑔 𝑡 Filtr dopasowany #2 Wyznaczmy widmo s 𝑡 : Wyznaczmy zatem wartość 𝑠 𝑇 ௦ : Transformata Fouriera sygnału 𝑔 𝑇 ௦ − 𝑡 : 𝐺 ி 𝜔 = න 𝑔 𝑇 − 𝑡 𝑒 ି ఠ௧ 𝑑𝑡 = ାஶ ି ஶ න 𝑔 𝜏 𝑒 ି ் ି ఛ 𝑑𝜏 = ାஶ ି ஶ = 𝑒 ି ఠ் න 𝑔 ∗ 𝜏 𝑒 ି ఠఛ 𝑑𝜏 ାஶ ି ஶ ∗ = 𝑒 ି ఠ் 𝐺 ∗ 𝜔 𝑔 𝑇 ௦ − 𝑡 ∗ 𝑔 𝑡 ி ⇒ 𝐺 𝜔 𝐺 ∗ 𝜔 𝑒 ି ఠ் = 𝐺 𝜔 ଶ 𝑒 ି ఠ் 𝑠 𝑇 ௦ = 1 2 𝜋 න 𝐺 𝜔 ଶ 𝑒 ି ఠ் ାஶ ି ஶ 𝑒 ఠ் 𝑑𝜔 = 1 2 𝜋 න 𝐺 𝜔 ଶ ାஶ ି ஶ 𝑑𝜔 ௧௪ ௦௩ 𝐸 ௦ ௧ 22 23 24 2022-11-28 9 Filtr dopasowany #3 Można pokazać, że: Z atem w chwili 𝑇 ௦ stosunek mocy sygnału do mocy szumu wynosi: Oszacowanie mocy szumu w chwili 𝑇 ௦ 𝐸 𝑛 ଶ 𝑡 = 𝑁 2 1 2 𝜋 න 𝐺 𝜔 ଶ ାஶ ି ஶ 𝑑𝜔 = 𝑁 2 𝐸 ௦ ௧ 𝑠 ଶ 𝑇 ௦ 𝐸 𝑛 ଶ 𝑡 = 2 𝐸 ௦ ௧ ଶ 𝑁 𝐸 ௦ ௧ = 2 𝐸 ௦ ௧ 𝑁 w systemach cyfrowych używamy parametru stanowiącego stosunek energii bitowej sygnału do widmowej gęstości mocy szumu w miejsce stosunku mocy sygnału do mocy szumu używanych w systemach analogowych. Związek między ே oraz ா ಳ ே బ 𝐶 𝑁 = 𝐸 ௌ 1 𝑇 ௌ 𝑁 𝐵 = 𝐸 ௌ 𝑅 ௌ 𝑁 𝐵 = 𝐸 ௌ 𝑁 ȉ 𝑅 ௌ 𝐵 𝐶 𝑁 = 𝐸 1 𝑇 𝑁 𝐵 = 𝐸 𝑅 𝑁 𝐵 = 𝐸 𝑁 ȉ 𝑅 𝐵 Oraz: E S – energia symbolu E B – energia bitu R S – szybkość symbolowa R B – szybkość bitowa T s – czas trwania symbolu T B – czas trwania bitu B – pasmo sygnału 𝑅 = 𝑅 ௦ 𝑙𝑜𝑔 ଶ 𝑀 Kształtowanie widma w praktyce RC – Raised Cosine RRC – Root Raised Cosine Odpowiedź impulsowa filtru RRC jest dobrana tak, aby: Filtr RRC Filtr RRC ℎ ோ 𝑡 = ℎ ோோ 𝑡 ∗ ℎ ோோ 𝑡 W dziedzinie częstotliwości: 𝐻 ோோ 𝜔 = 𝐻 ோ 𝜔 • filtr nadawczy ogranicza pasmo sygnału • Filtr odbiorczy maksymalizuje stosunek mocy sygnału do mocy szumu 25 26 27 2022-11-28 10 Bitowa stopa błędów Bitowa stopa błędów ( BER ): miara jakości transmisji cyfrowej definiowana jako stosunek liczby błędnie odebranych bitów do liczby bitów nadanych w jednostce czasu BER dla dwuwartościowej modulacji PAM #1 𝟏 → + 𝑨 𝟎 → − 𝑨 sygnał odebrany w obecności szumu o widmowej gęstości mocy ே బ ଶ : 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑤 𝑡 BER dla dwuwartościowej modulacji PAM #2 𝑓 ௬ 𝑦 0 = 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ 𝑒 ି ௬ା మ ே బ ் ಳ ൗ 𝑓 ௬ 𝑦 1 = 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ 𝑒 ି ௬ି మ ே బ ் ಳ ൗ Przyjmując, że zero i jedynka są jednakowo prawdopodobne można dowieść, że optymalny próg decyzyjny wynosi zero 28 29 30 2022-11-28 11 BER dla dwuwartościowej modulacji PAM #3 𝑝 = 𝑝 𝑃 𝑓 ௬ 𝑦 0 > 0 + 𝑝 ଵ 𝑃 𝑓 ௬ 𝑦 1 < 0 𝑝 = 𝑝 ଵ = 1 2 Zatem: 𝑝 = 1 2 න 𝑓 ௬ 𝑦 0 𝑑𝑦 ାஶ + 1 2 න 𝑓 ௬ 𝑦 1 𝑑𝑦 ି ஶ BER dla dwuwartościowej modulacji PAM #4 Dokonujemy podstawienia: 𝑃 𝑓 ௬ 𝑦 0 > 0 = න 𝑓 ௬ 𝑦 0 𝑑𝑦 ାஶ = 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ න 𝑒 ି ௬ା మ ே బ ் ಳ ൗ 𝑑𝑦 ାஶ 𝑧 = 𝑦 + 𝐴 𝑁 𝑇 ൗ 𝑃 𝑓 ௬ 𝑦 0 > 0 = 1 𝜋 න 𝑒 ି ௭ మ 𝑑𝑧 ାஶ మ ் ಳ ே బ = 1 𝜋 න 𝑒 ି ௭ మ 𝑑𝑧 ାஶ ா ಳ ே బ BER dla dwuwartościowej modulacji PAM #5 Komplementarna funkcja błędu: 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑥 = 2 𝜋 න 𝑒 ି ௭ మ 𝑑𝑧 ାஶ ௫ 𝑝 = 1 2 ȉ 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸 𝑁 + 1 2 ȉ 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸 𝑁 = 𝟏 𝟐 𝒆𝒓𝒇𝒄 𝑬 𝑩 𝑵 𝟎 Finalnie BER dla PAM: 31 32 33 2022-11-28 12 A gdyby tak... mieć więcej stanów Rozważmy PAM o czterech stanach: (s 0 =-3A ;s 1 = -1A ;s 2 = 1A ;s 3 = 3A ) 𝑅 = 𝑅 ௌ 𝑙𝑜𝑔 ଶ 𝑀 𝑀 ↗ 𝑅 ↗ ∧ 𝐵 = 𝑓 ( 𝑅 ௌ ) 𝑅 𝐵 ↗ SER dla 4 PAM #1 przyjmijmy, że: 𝑝 𝑠 = 𝑝 𝑠 ଵ = 𝑝 𝑠 ଶ = 𝑝 𝑠 ଷ = 1 4 Zatem średnia moc to: 𝑃 ത = 1 4 𝐴 ଶ + 𝐴 ଶ + 3 𝐴 ଶ + 3 𝐴 ଶ = 5 𝐴 ଶ W stanie s 0 : 𝑝 ೞబ = න 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ ାஶ ି ଶ 𝑒 ି ௫ାଷ మ ே బ ் ಳ ൗ 𝑑𝑥 dokonajmy podstawienia: 𝑥 + 3 𝐴 𝑁 𝑇 ൗ = 𝑧 SER dla 4 PAM #2 otrzymujemy: 𝑝 ೞబ = 1 𝜋 න 𝑒 ି ௭ మ ାஶ మ ் ಳ ே బ 𝑑𝑥 = 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 Stan s 1 : 𝑝 ೞభ = 1 − න 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ ାஶ ି ଶ 𝑒 ି ௫ା మ ே బ ் ಳ ൗ 𝑑𝑥 + න 1 𝜋 𝑁 𝑇 ൗ ାஶ 𝑒 ି ௫ା మ ே బ ் ಳ ൗ 𝑑𝑥 Dolny „ogon” Górny „ogon” Analogicznie jak w stanie s 0 podstawiamy i upraszczamy 34 35 36 2022-11-28 13 SER dla 4 PAM #3 otrzymujemy: 𝑝 ೞభ = 1 − 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 − 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 + 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 korzystajmy z własności funkcji erf ( 𝑧 ) oraz 𝑒𝑟𝑓𝑐 ( 𝑧 ) : 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑧 = 1 − 𝑒𝑟𝑓 𝑧 𝑒𝑟𝑓 𝑧 = − 𝑒𝑟𝑓 − 𝑧 oraz 𝑝 ೞభ = 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 otrzymujemy: SER dla 4 PAM #4 ostatecznie: 𝑝 ೞభ = 𝑝 ೞమ = 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 oraz: 𝑝 ೞబ = 𝑝 ೞయ = 1 2 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 𝑝 = 𝑝 𝑝 ೞ = 3 4 ଷ ୀ 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐴 ଶ 𝑇 𝑁 = 3 4 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑃 ത 𝑇 5𝑁 = 3 4 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝐸 ௦ 5𝑁 Relacja między SER i BER • Zależna od przypisania bitów do symboli • Jeśli sąsiednie symbole różnią się tylko jednym bitem, można pokazać że: 𝐵𝐸𝑅 = 𝑆𝐸𝑅 𝑙𝑜𝑔 ଶ 𝑀 • Przypisanie spełniające powyższy warunek nazywane jest mapowaniem Graya 37 38 39 2022-11-28 14 BER dla 4 PAM 𝐵𝐸𝑅 = 𝑆𝐸𝑅 𝑙𝑜𝑔 ଶ 𝑀 SER = ଷ ସ 𝑒𝑟𝑓𝑐 ா ೞ ହே బ 𝐸 ௦ = 𝐸 𝑙𝑜𝑔 ଶ 𝑀 BER ≅ ଷ ଼ 𝑒𝑟𝑓𝑐 ଶ ா ಳ ହே బ SER dla 16QAM QAM – złożenie dwóch sygnałów PAM dla składowej I oraz Q Symbol s 21 oznacza symbol s 2 nadany dla składowej I oraz symbol s 1 nadany dla składowej Q 𝑝 ೞ ೕ = 1 − ( 1 − 𝑝 ೞ ) ( 1 − 𝑝 ೞ ೕ ) Mapowanie Graya dla 16 QAM 40 41 42 2022-12-04 Wprowadzenie do łączności bezprzewodowej Data Ograniczenia projektowe • Szerokość pasma – twierdzenie Nyquista • Przepustowość – Twierdzenie Shannona- Hartleya • Przepisy prawne • Zakres częstotliwości • Dopuszczalny poziom mocy nadawczej • Współistnienie z innymi systemami • Oddziaływanie na środowisko • Ograniczenia techniczne Poprawnie zaprojektowany, zbudowany i prawidłowo eksploatowany system łączności radiowej powinien w sposób optymalny wykorzystywać przydzielony mu fragment widma fal radiowych w celu realizacji obecnych oraz przyszłych usług telekomunikacyjnych 1 2 3 2022-12-04 Oczekiwania względem systemów radiokomunikacyjnych 𝐦𝐚𝐱 𝑹 𝒃 𝑩 𝒘 bit 𝐬 ⁄ Hz maksymalna sprawność widmowa ( spectral, spectrum, bandwidth efficiency ) Maksymalna szybkość transmisji minimalne błędy transmisji ( error performance ) maksymalną gotowość/dostępność połączenia ( availability ) Oszczędność energii 𝐦𝒊𝒏 𝑩𝑬𝑹 𝐦𝒂𝒙 𝑷𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒏 𝐦𝒂𝒙 𝑹 𝑩 𝐦 𝒊𝒏 𝑬 𝑩 𝑵 𝟎 𝑹 𝒃 𝑩 𝒘 bit 𝐬 ⁄ Hz – sprawność widmowa ( spectral efficiency ) 𝑹 𝒃 𝑩 𝒘 ⁄ – szybkość transmisji informacji niekodowanej nadmiarowo ( net data rate ) 𝑹 𝒃 – szerokość pasma częstotliwości kanału radiowego 𝑩 𝒘 Sprawność widmowa Kryterium Nyquista #1 Nyquist pokazał, że: Dla transmisji w paśmie podstawowym minimalne pasmo wymagane do osiągniecia szybkości symbolowej R S symboli na sekundę przy zerowej ISI wynosi R S /2 Hz • W przypadku transmisji pasmowej wymagana szerokość się podwaja • Musimy pamiętać również o filtrze kanałowym RRC dodatkowo poszerzającym pasmo a krotnie 4 5 6 2022-12-04 Kryterium Nyquista #2 𝑅 𝐵 ௪ = log ଶ 𝑀 1 + 𝛼 bit s ⁄ Hz 𝑅 = log ଶ 𝑀 ȉ 𝑅 ௦ 𝐵 ௪ = 1 + 𝛼 𝑅 ௦ i B w – szerokość pasma [Hz] a – współczynnik kształtu filtru kanałowego (roll off factor), od 0 do 1 R S – szybkość symbolowa [sym/s] M – liczba poziomów modulacji R b – szybkość bitowa [bit/s] Twierdzenie Shannona- Hartleya 𝑅 [ 𝑏𝑖𝑡 𝑠 ൗ ] = 𝐵𝑙𝑜𝑔 ଶ 1 + 𝐶 𝑁 Przepustowość kanału AWGN: 𝑅 𝐵 = 𝑙𝑜𝑔 ଶ 1 + 𝐶 𝑁 Efektywność widmowa : R – przepustowość kanału [bit/s] B – szerokość pasma [Hz] C – moc sygnału [Hz] N – moc szumu [W] Sprawność widmowa a energia sygnału 𝑅 [ 𝑏𝑖𝑡 𝑠 ൗ ] = 𝐵𝑙𝑜𝑔 ଶ 1 + 𝐶 𝑁 𝐶 𝑁 = 𝐸 𝑁 ȉ 𝑅 𝐵 oraz Rozwiązując względem 𝐸 𝑁 𝐸 𝑁 = 2 ோ ⁄ − 1 𝑅 𝐵 ⁄ : 7 8 9 2022-12-04 Teoria i rzeczywistość Wyzwaniem dla inżynierów, projektantów, budowniczych i operatorów systemów łączności radiowej jest: s bit max b R – Bit Rate BER min – Bit Error Rate max A – Availability 𝑅 = 𝐵 ௪ ⋅ 𝑎 ⋅ log ଶ 𝑀 [bit/s] 𝐴 = 𝑔 𝑆𝑁𝑅 , 𝑀 , 𝑁 , 𝐼 , 𝑅 , 𝐺 , ? , ? , ?, . . . 𝑒𝑟𝑓 𝑥 = 2 𝜋 න 𝑒 ି ௧ మ d 𝑡 ௫ funkcja błędu Gaussa (nieelementarna) 𝐵𝐸𝑅 = 𝑓 𝑆𝑁𝑅 , 𝑀 , 𝑁 , 𝐼 , 𝑅 , 𝐺 Cecha 1 Cecha 2 G C coding gain Optymalny system łączności radiowej nie powinien oddziaływać niekorzystnie Na inne systemy teletechniczne, w tym w szczególności na telekomunikacyjne Na ludzi, faunę i florę , czyli na środowisko naturalne 10 11 12 2022-12-04 Estymacja powierzchniowej gęstości mocy • Powierzchniowa gęstość mocy S [W/m 2 ] Model Propagacji fali radiowej Zysk energetyczny anteny: 24dBi Moc na wejściu anteny: 80W Limit widmowej gęstości mocy: 10 W/m 2 𝑹 = 𝑷𝑮 𝟒𝝅𝑺 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟏𝟎 ൗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟐 𝟔𝟓𝐦 Przykład: • Gdy obecnych jest wiele źródeł promieniowania 𝑆 wymagane jest spełnienie warunku: S = 𝑃𝐺 4 𝜋𝑅 ଶ 𝑅 = 𝑃𝐺 4 𝜋𝑆 ⁄ 𝑆 𝑆 ோ ≤ 1 ଷ ீ ு௭ ୀଵ ு௭ 𝑆 ோ maksymalna dopuszczalna wartość powierzchniowej gęstości mocy 𝑅 = ∑ 𝑅 ଶ P – moc sygnału na zaciskach anteny [W] G – zysk energetyczny anteny [W/W] R – odległość do punktu pomiaru [m] 10 W /m 2 ???? Dla miejsc dostępnych dla ludności Dla miejsc niedostępnych dla ludności Mode Band [MHz] Tx Power [W] Antenna Gain [dBi] ICNIRP [W/m 2 ] Safety Distance [m] TDD 3500 80 24 10 12.65 Mode Band [MHz] Tx Power [W] Antenna Gain [dBi] ICNIRP [W/m 2 ] Safety Distance [m] TDD 3500 80 24 50 5.66 ICNIRP: International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection No ale było 0,1 𝑊 𝑚 ଶ ⁄ Chcecie broadbandu?? TAAAAAAAAAK!!!! Bo to spisek jest! Ot Co! 𝑅 [ 𝑏𝑖𝑡 𝑠 ൗ ] = 𝐵𝑙𝑜𝑔 ଶ 1 + 𝐶 𝑁 𝐶 𝑃 = 𝑃𝑆𝐷 ȉ 𝐵 PSD – widmowa gęstość mocy sygnału [W/Hz] 13 14 15 2022-12-04 Static Wide Beam in 2/3/4G EMF = （ Beam Power+BF Gain ） 5G Dynamic Narrow Beam Not Support Beamforming and Power Control Support Beamforming and Power Control EMF = (Total Power + Antenna Gain) Obliczanie gęstości mocy: różnica pomiędzy 5G i resztą Kompromis między sprawnością widmową i energetyczną Jak zawieramy: • Dobór modulacji w funkcji 𝐸 𝑁 ⁄ • Zastosowanie kodowania nadmiarowego • Kodowanie detekcyjne + mechanizmy ARQ ( Automatic Repeat Request ) • Kodowanie korekcyjne FEC ( Forward Error Checking ) • Mechanizmy hybrydowe HARQ ( hybrid ARQ ) • Zastosowanie predefiniowanych par Modulacja + Kodowanie Przykładowy tor radiokomunikacyjny 16 17 18