Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 1 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas CONTENIDO UNIDAD I NÚMEROS REALES 1.1 Clasificación de los números reales------------------------------ 5 1.2 Propiedades. --------------------------------------------------------- 6 1.3Interpretación geométrica de los números reales.--------------- 7 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades. ----- 8 1.5 Valor absoluto y sus propiedades. -------------------------------- 11 Ejercicios----------------------------------------------------------------- 12 UNIDAD II FUNCIONES 2.1 Definición de función. --------------------------------------------- 13 2.2 Representaciones de funciones (tablas, gráficas, formulas y 15 palabras) ----------------------------------------------------------------- 2.3 Clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas 17 y trascendentes. --------------------------------------------------------- 2.3.1 Función polinomial. --------------------------------------------- 17 2.3.2 Función racional. ------------------------------------------------ 20 2.3.3 Función raíz. ----------------------------------------------------- 20 2.3.4 Función trigonométrica. ----------------------------------------- 21 2.3.5 Función exponencial. -------------------------------------------- 29 2.3.6 Función logarítmica. --------------------------------------------- 29 2.3.7 Función definida parte por parte. ------------------------------- 30 2.3.8 Función inversa. -------------------------------------------------- 30 2.3.9 Función implícita. ------------------------------------------------ 30 2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades: ---------- 31 2.4.1 Función creciente y decreciente -------------------------------- 31 2.4.2 Función par e impar. --------------------------------------------- 31 2.4.3 Función simétrica. ------------------------------------------------ 33 2.4.4 Función periódica. ----------------------------------------------- 33 - 2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones ----- 34 2.6 Translación de funciones.----- ------------------------------------ 38 - 2 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Ejercicios ---------------------------------------------------------------- 39 UNIDAD III LÍMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Definición de límite ------------------------------------------------ 41 3.2 Propiedades de los límites ----------------------------------------- 44 3.3 Límites laterales ---------------------------------------------------- 48 3.4 Asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) ------------------ 49 3.5 Límites especiales. -------------------------------------------------- 52 3.6 Definición y propiedades de continuidad. ----------------------- 53 Ejercicios ---------------------------------------------------------------- 54 UNIDAD IV DERIVADAS 4.1 Definición de la derivada. ----------------------------------------- 56 4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. -------------- 58 4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. ------------------------------ 62 4.4 Derivada de las funciones exponenciales. ----------------------- 67 4.5 Derivada de las funciones trigonométricas. --------------------- 67 4.6 Derivada de las funciones compuestas (Regla de la cadena).- 69 4.7 Derivada de las funciones logarítmicas. ------------------------- 74 4.8 Derivada de las funciones trigonométricas inversas. ----------- 77 4.9 Derivada de las funciones implícitas. ---------------------------- 79 4.10 Derivadas sucesivas. ---------------------------------------------- 80 4.11 Funciones hiperbólicas y sus derivadas. ----------------------- 84 4.12 Teorema del valor medio y teorema de Rolle. ----------------- 85 Ejercicios----------------------------------------------------------------- 87 3 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas UNIDAD V APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas. -------------- 93 5.2 Máximos y mínimos (criterio de la primera derivada). -------- 95 5.3 Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada.) ------- 96 5.4 Funciones crecientes y decrecientes. ----------------------------- 98 5.5 Concavidades y puntos de inflexión. ----------------------------- 100 5.6 Derivada como razón de cambio y aplicaciones. --------------- 102 5.7 Problemas de aplicación (optimización y cinemática). -------- 106 5.8 Regla de L’Hópital. ------------------------------------------------ 111 Ejercicios ---------------------------------------------------------------- 114 UNIDAD VI SUCESIONES Y SERIES 6.1 Definición de sucesión. -------------------------------------------- 119 6.2 Límite de una sucesión. -------------------------------------------- 120 6.3 Sucesiones monótonas y acotadas. ------------------------------- 124 6.4 Definición de serie infinita. --------------------------------------- 126 6.5 Serie aritmética y geométrica. ------------------------------------ 126 6.6 Propiedades de las series. ------------------------------------------ 128 6.7 Convergencia de series. -------------------------------------------- 129 6.8 Series de potencia. -------------------------------------------------- 131 6.9 Derivación de las series de potencia. ---------------------------- 134 6.10 Representación de una función en series de potencia. ------- 136 6.11 Serie de Taylor y serie de McLaurin --------------------------- 139 Ejercicios ---------------------------------------------------------------- 142 Bibliografía ------------------------------------------------------------ 145 4 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas UNIDAD I NÚMEROS REALES 1.1 Clasificación de los números reales Una de las clasificaciones de los números es la siguiente: Enteros Positivos Fraccionarios Irracionales Cero Números Enteros Reales Racionales Negativos Fraccionarios Irracionales Los números reales: considera todos los números (racionales e irracionales) que permiten medir longitudes, incluyendo positivos, negativos y el cero. Los números racionales: incluye los números enteros (Ej. 1, 10, -5) y los fraccionarios de la forma m f ( x) donde m y n son enteros con n ≠ 0, cumpliendo la característica de ser periódico o finito. n Ejemplos: Finitos: 9 13 2 4.5 , 2.6 y 0.4 2 5 5 1 Periódicos: 0.3333... 0. 3 3 Los números irracionales: cumplen las características de ser no periódico e infinito. En los cálculos, los números racionales se representan mediante aproximaciones decimales. He aquí tres ejemplos familiares. 2 1,414213562 3.141592654 e 2.7182818281 5 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 1.2 Propiedades a).- Propiedad de cerradura.- Los números reales cumplen con la propiedad de cerradura para la multiplicación y la suma (o resta), dicha propiedad nos dice que si se multiplican, suman o restan dos o mas números reales da por resultado otro número. abc a *b c a-b=c b).- Propiedad asociativa, Esta propiedad dice que la suma o producto de tres números reales cualesquiera (a, b, c) es independiente de la manera en que se agrupan los números para estas operaciones. Se puede elegir cualquier orden de agrupación sin que se altere el resultado. a b c a b c a * b * c a * b * c c).- Propiedad conmutativa.- Esta propiedad dice que en la suma o multiplicación de dos ó más números reales, el orden en que se realiza la adición o la multiplicación no afecta el resultado. ab ba a *b b*a d).- Propiedad distributiva.- Es valida para la operación de suma y multiplicación. Esta propiedad afirma que un producto entre la suma de dos números reales con un tercer número real puede ser igual a una suma de dos productos y viceversa, puesto que la igualdad es simétrica. (a b) * c a * c b * c e).- Existencia del inverso aditivo.- Para cualquier número a que pertenezca al conjunto de los números enteros, existe otro número denotado con -a, tal que al sumarlos nos da por resultado cero. El número -a es llamado inverso aditivo. a ( a ) 0 f).- Existencia del neutro aditivo.- Para cualquier número real, existe un número entero llamado cero, denotado por 0 tal que al sumarlo a un numero a nos da por resultado el mismo numero a. a0a g).- Identidad para la multiplicación.- Para cualquier número real diferente de cero, existe un número entero llamado uno y denotado por 1, el cual es también llamado identidad para el cual la multiplicación se cumple que: a *1 a 6 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 1.3 Interpretación geométrica de los números reales. Los números reales pueden representarse mediante un sistema de coordenadas denominado la recta real o el eje x. . El número real que corresponde a un punto de la recta real se llama coordenada del punto. El punto de la recta real correspondiente al cero se llama el origen y se denota por 0. La dirección positiva (hacia la derecha) se denota por una punta de flecha en la dirección de los valores crecientes de x. Los números a la derecha del origen son positivos. Los números a la izquierda del origen son negativos. La expresión no negativo describe un número que es positivo o cero. La expresión no positivo describe un número que es negativo o cero. Cada punto de la recta real corresponde a un número real y solo a uno, y cada número real corresponde a un punto de la recta real y solo a uno. Este tipo de relación se denomina una correspondencia biunívoca (o biyectiva). Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes. Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: 3 7 1 5 a) b) d) e) 2 2 2 2 Solución: 4 8 2 7 a) b) d) e) 3 3 3 3 Solución: 7 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades. Una inecuación o desigualdad es parecido a una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad. Los signos de desigualdad son: > (mayor que), < (menor que), ≥ (mayor igual) y ≤ (menor igual). Si a y b son números reales, se dice que a es menor que b si b - a es positivo. Este orden se denota por la desigualdad a<b que se lee «a es menor que b» que es equivale a decir que «b es mayor que a». Geométricamente, a < b si y solo si a esta a la izquierda de b en la recta real. Cuando tres números reales están ordenados de forma que a < b y b < c, se dice que b esta entre a y c y se escribe a < b < c. (a < b) (-5<-1) (a < b) (-1<3) (a < b < c) (-3<1<3) Propiedades: Teorema 1-Propiedad transitiva: Teorema 2-Suma: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema 3-Multiplicación por un número Teorema 4: positivo: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Teorema5: Teorema6: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: 3 0 3 0 3 8 3 8 "Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad". 8 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Teorema7: Teorema8: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: Si 10 2 y c 1 entonces: (3) 2 0 (10)(1) (2)(1) Teorema9: Teorema10: Ejemplo ilustrativo: Ejemplo ilustrativo: a5 4 11 y 7 0 1 4 11 0 5 7 7 Intervalos: Los resultados de las desigualdades se pueden representar por medio de intervalos para su mejor comprensión. Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. La tabla posterior muestra los nueve tipos básicos de intervalos de la recta real. Los cuatro primeros son intervalos acotados y los cinco restantes, intervalos no acotados. Los intervalos no acotados también se clasifican en abiertos y cerrados Intervalos de la recta real Tipo de intervalo Notación de Notación de conjuntos Gráfica intervalos Acotado abierto ( a , b) X x | a x b Acotado cerrado [ a , b] X x | a x b Acotado ni abierto ni [ a , b) X x | a x b cerrado X x | a x b ( a , b] No acotado abierto ( , b) X x | x b ( a , ) X x | x a No acotado cerrado ( , b] X x | x b [a, ) X x | x a Recta real ( , ) X x | x R x es un número real Tabla 1 Notación y tipo de intervalos Desigualdades o inecuaciones lineales: Una inecuación o desigualdad es la expresión en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la desigualdad es lineal. 9 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Resolver una desigualdad: es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una desigualdad es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolverla es despejando la incógnita y dejándola en el primer miembro, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades antes mencionadas. Ejemplo ilusrativo1: Resuelve la siguiente desigualdad: 3x 5 x 7 Solución: 1. Pasando el término independiente al primer miembro y los valores constantes al segundo término, con signos contrarios 3x x 7 5 2. Reduciendo 2 x 12 3. Despejando 12 x 2 x6 En notación de intervalos se representa de la siguiente forma: 0, Y gráficamente se representa: 6 Desigualdades o inecuaciones cuadráticas: Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: Método de solución: 1. Obtener los valores de x para los cuales la expresión da cero (raíces). 2. En base a los números antes mencionados obtener los rangos 3. Crear una tabla en la que se anote los rangos, valores de prueba, y el resultado de la desigualdad. Resuelve la siguiente desigualdad: x 2 6 x 8 0 1. Obtener los valores de x para los cuales la expresión da cero (raíces). ( x 2)( x 4) 0 x1 2 x2 4 2. En base a los números antes mencionados obtener los rangos Rangos: (, 2, 2,4 y 4, 3. Crear una tabla en la que se anote los rangos, valores de prueba, y el resultado de la desigualdad. Intervalos (, 2 2,4 4, Valores de prueba 0 3 5 ( x 2) - + + ( x 4) - - + ( x 2)( x 4) + - + Como la desigualdad indica de debe ser mayor o igual a 0 por lo tanto tomaremos los rangos en los que nos haya resultado positivo para este caso es: (, 2 4, 10 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 1.5 Valor absoluto y sus propiedades. En muchas ramas de la física y otras ciencias es necesario determinar cantidades numéricas cuyo valor debe ser expresado como una cantidad positiva, por ejemplo distancias, áreas, volúmenes, etc., y de acuerdo con los datos utilizados para este fin, el resultado que se obtiene le antecede un signo negativo, para resolver este inconveniente se hace uso del valor absoluto. Y se define como: El valor absoluto de un número a, denotado | a |, es la distancia de a a 0 en la recta numérica. a, si a 0 Si a es un número real, el valor absoluto de a es: a a si a 0 El valor absoluto de un número no puede ser negativo. Por ejemplo: Sea a 4 . Sea a = 10. Entonces: Entonces: | -a | = -( -a) = a |a|=a | -4 | = - (-4) = 4 | 10 | = 10 Propiedades de desigualdades y operaciones con valores absolutos Sean a y b números reales y sea n un entero positivo. 1. ab a b a a 2. ; b0 b b 3. a a2 an a n 4. 5. a k si y solo si k a k 6. k a si y solo si k a o a k 7. a b a b Desigualdad triangular Por el contenido de la unidad solo se aborda el ejemplo de distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos a y b de la recta real viene dada por d a b b a esto quiere decir que la distancia dirigida desde a hasta b es b - a, y la distancia dirigida desde b hasta a es a – b. Y que ambas son iguales Ejemplo: Aplicar la definición de valor absoluto para hallar un numero que se encuentre a una distancia de 8 unidades a partir del numero 4 y representar la solución en forma gráfica. Solución: Aplicando la definición de valor absoluto puede escribirse como: 8 x 4 8 x4 que al resolver queda x 12 8 ( x 4) x 4 Gráficamente se representa: 11 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Ejercicios: 1.1 Clasifica los siguientes números en racionales enteros positivos, racionales fraccionarios positivos, irracionales positivos, racionales enteros negativos, racionales fraccionarios negativos e irracionales negativos, posteriormente represéntalos en la recta numérica. a) 8 10 e) 21 g) 5π 8 c) j) 3 3 5 4 15 70 11 b) d) f) i) i) 2 7 3 3 4 1.2 Identifique la identidad utilizada en las siguientes expresiones: a 4( x y) 4 x 4 y : _____________ b 12 * 8 96 : _____________ c 5 * 6 6 * 5 : _____________ d 20 3 3 20 : _____________ e 5 3 2 : _____________ f 8(5 2) 40 16 _____________ g 8 0 8 : _____________ h 5 (8 1) (5 8) 1 : _____________ 1.3 Escriba falso o verdadero según corresponda a 3 2(5) :_________ 12 π 3.1618 b 6 :__________ c :__________ 2 4 4 8 e π 3.1419 :__________ f 2(8) 4(4) :__________ d 2.7 :__________ 3 1.4 Resuelva las siguientes desigualdades y represéntelos en forma de intervalos y gráficamente a) 2x 7 3 b) 1 5x 5 3x c) 0 1 x 1 d) 4 3x 6 e) 8 3x 4 16 f) 3x 6 5 x 3 g) 1 x 2 h) ( x 1)( x 2) 0 i) x 2 2x 8 j) x2 9 k) x 2 5 l) x 3 x 2 0 m) ( x 1)( x 2)( x 3) 0 n) x 3 x o) x 3 3x 4 x 2 1 3x 5 2 2x 4 p) 4 q) 3 8 r) 10 x 3 6 8 s) | x 4 | 1 t) | x 6 | 0.01 x5 u) 2 2 v) | 6 x 1 3 | w) | 2 x 3 | 6 4x 2 x) 8 3 1.5 Rescriba cada expresión eliminando el símbolo de valor absoluto 1) | 5 23 | 2) | π 2 | 3) | 5 5 | 4) || 2 | | 3 || 5) | x 2 | 6) | x 1 | 7) | 2 x 1 | 8) | (3) (8) | 9) | x 6 | 12 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas UNIDAD II FUNCIONES 2.1 Definición de función. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo a las expresiones a la que nos enfocaremos en esta unidad son las funciones. Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio. Donde se dice que f : A B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B) Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el la variable independiente (conjunto A) y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s. El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la variable dependiente (elementos del conjunto B); en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables: independientes y dependientes, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra. 13 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Variables dependientes. Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. Variable Independiente. Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. El plano cartesiano Un par ordenado ( x, y ) de números reales tiene x como primer miembro e y como segundo miembro. El modelo usado para representar pares ordenados se llama sistema de coordenadas rectangular o plano cartesiano, en honor al matemático francés Rene Descartes. Se construye considerando dos rectas reales que se cortan formando ángulos rectos. La recta real horizontal se suele llamar el eje x y la recta real vertical, el eje y. Su punto de intersección es el origen. Los dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Cada punto del plano se identifica por un par ordenado ( x, y ) de números reales, denominados coordenadas del punto. El número x representa la distancia dirigida desde el eje y hasta el punto y el número y, la distancia dirigida desde el eje x hasta el punto. Para el punto (x, y), la primera coordenada es la coordenada x o la abscisa y la segunda, la coordenada y o la ordenada. Ejemplo: En la figura 4.a) del plano cartesiano están localizados los puntos A(-1,2), B(3,4), C(1,- 3), D(3,0) y E(-2,-3) identifica cada uno de ellos en la figura 4 a). B A D E C 14 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.2 Representaciones de funciones (tablas, gráficas, formulas y palabras) Se tiene cuatro maneras posibles para representar una función: 1. Verbalmente: Descripción por medio de palabras 2. Numéricamente: Representación por medio de una tabla 3. Visualmente: Representación por medio de una Gráfica 4. Algebraicamente: Representación a través de una expresión matemática. Si una sola función se puede representar de 4 maneras, a menudo resulta útil pasar de una representación a otra. Tomaremos como ejemplo los datos de un recipiente rectangular para calcular el costo del material empleado, y lo representaremos en las cuatro formas posibles. Representación verbal: Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3 . La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta $30.00 por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta $23.00 por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base. Representación algebraica: Dibujaremos un diagrama e introducimos la notación comando a x como el ancho de la base y 2x como la longitud de la misma y h como la altura. h x 2x El área de la base es: (2 x) x 2 x 2 , de modo que el costo, en pesos, del material para la base es de 30(2 x 2 ) . Dos de los lados tienen el área de (h)( x) y el área de los otros dos es de (2 x)h ; por tanto, el costo del material para los lados es 232( xh) 2(2 xh) . De modo que el costo total es: ct 30(2 x 2 ) 232( xh) 2(2 xh) 60 x 2 46 xh 92 xh ct 60 x 2 138 xh Y para expresar el costo en función de una sola variable en este caso x, necesitamos eliminar h, y lo hacemos despejando a x de la formula del volumen: v x( 2 x) h Realizando la multiplicación y sustituyendo el valor del volumen obtenemos la siguiente expresión: 10m 3 2 x 2 h Despejando h: 10m 3 5m 3 h h 2x 2 x2 15 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Sustituyendo en C t : 5 x 690 ct 60 x 2 138 x 2 ct 60 x 2 690 2 Resultado: ct 60 x 2 x x x Representación numérica: Realizaremos una tabla que permita representar los costos en función del cambio de x x costo 1 750.00 2 585.00 3 770.00 4 1132.50 5 1638.00 6 2275.00 7 3038.57 8 3926.25 9 4936.67 10 6069.00 Representación visual: De acuerdo a los datos anteriores realizaremos una gráfica en la cual podremos apreciar visualmente los resultados 8000 Costos de una caja 6000 costos 4000 2000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 16 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.3 Clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentes. Una importante clasificación de las funciones es la siguiente: Constánte Lineal polinomial e Cuadratica Cubica A lg ebraicas Etc . Fuciones Racionales Radicales Exponencia les Logaritmicas Trascendentes Trigonometricas Trig. _ inversas 2.3.1 Función polinomial. Una función es polinomio si tiene la forma: P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …… a2 x2 + a1 x + a0 Donde n representa un entero negativo y los números a 0 , a1 , a2 ,….. an , son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞, ∞). Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer término entre ellas tenemos: Función constante: Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como: f ( x) k Donde k es una constante y k R El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al ejex, y corta al ejey en y = k. 17 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función lineal: Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma: y = f(x) = mx + b. Función lineal 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Función Lineal 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 18 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función cuadrática: Tiene la característica de que su gráfica es de una parábola. tiene la forma: f(x) = ax2 + bx +c. Función Cuadrática 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Función Cuadrática 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 19 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función cúbica: Función cuya forma es: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Función Cúbica 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -2 -1 0 1 2 2.3.2 Función racional. Una función es llamada racional cuando es una razón o división de dos polinomios. f(x) = P(x) / Q(x) Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es indivisible entre 0. 2.3.3 Función raíz. Función f(x) = x1/n es una función raíz. su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz Cúbica. Función Raiz 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 20 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.3.4 Función trigonométrica. Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. A continuación se mencionan las características principales de dichas funciones: Función Seno Análisis del Grafico: Intersección con el eje X en el origen, en Es creciente en los intervalos 0, y y en 2 . 2 3 2 ,2 . Intersección con el eje Y en el origen. Amplitud: 1. 3 Es decreciente en el intervalo , . 2 2 Periodo: 2 . Dominio: {R} Fase: 0. Recorrido: y / 1 y 1 21 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Coseno Análisis del Grafico: Es creciente en el intervalo. ,2 Intersección con en el eje Y en el punto 0,1 Es decreciente en el intervalo. 0, Amplitud: 1. Dominio: {R}. Período: 2 . Recorrido: y / 1 y 1. Fase: . 2 Intersección con el eje X en el punto 2 3 y en el punto 2 22 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Tangente Análisis del Grafico: Es creciente en todos los intervalos. 3 3 Dominio: x / 0 x x / x x / x 2 . Recorrido: 2 2 2 2 {R}. Intersección con el eje X en el origen, en y en 2 . Intersección con el eje Y en el origen. Amplitud: No se ve una amplitud clara. Período: Fase: Indefinido. 23 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Secante Análisis del Grafico: Es creciente en los intervalos 0, y , . 2 2 3 3 Es decreciente en los intervalos , y ,2 . 2 2 3 3 Dominio: x / 0 x x / x x / x 2 . 2 2 2 2 Recorrido: y / 1 x 1. Intersección con el eje X, no hay. Intersección con el eje Y en el punto 0,1 Amplitud: (No tiene una amplitud definida). Periodo: . Fase: . 2 24 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Cosecante Análisis del Grafico: 3 a) Es creciente en los intervalos , y , . 2 2 3 Es decreciente en los intervalos 0, y ,2 . 2 2 b) Dominio: x / 0 x x / x 2 . c) Recorrido: y / 1 x 1. No hay intersección, ni en los ejes ni en el origen. d) Amplitud: No esta definida en el gráfico. e) Periodo: . f) Fase: No esta definida en el gráfico 25 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Cotangente Análisis del Grafico: a) Es decreciente en todos los intervalos. b) Dominio: x / 0 x x / x 2 . Recorrido: {R}. 3 c) Intersección con el eje X en el origen, en y en 2 2 Eje Y, no hay intersección. d) Amplitud: (No tiene una amplitud definida). e) Período: . f) Fase: No esta definida. 26 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Ejemplos: y cos x Análisis del Grafico: 3 a) Es creciente en el intervalo ,2 . 2 Es decreciente en el intervalo 0, . 2 3 b) Dominio: x / 0 x x / x 2 . 2 2 Recorrido: 0,1 . 3 c) Intersección con el eje X en y en 2 2 Intersección con el eje Y en el punto 0,1 , no hay intersección con el origen. d) Amplitud: 1. e) Período: 2 . f) Fase: . 2 27 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas y senx Análisis del Grafico: 3 a) Es creciente en los intervalos 0, y , . 2 2 3 b) Es decreciente en los intervalos , y ,2 2 2 c) Dominio:{R}. Recorrido: y / 0 y 1. d) Intersección con el eje X en el origen, en y en 2 . Intersección con el eje Y en el origen. e) Amplitud: 1. f) Período: . g) Fase: 0 28 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.3.5 Función exponencial Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = a x , donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞). Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario). Y la gráfica se comporta de la siguiente manera: 2.3.6 Función logarítmica: Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Y la gráfica se comporta de la siguiente manera: 29 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.3.7 Función definida parte por parte: Son funciones que están seccionadas por expresiones diferentes y cada una tiene diferentes x 1 3 x 1 dominios, por ejemplo f ( x) x 2 3 1 x 5 x/2 5 x8 Función definida parte por parte 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -2 0 2 4 6 8 2.3.8 Función inversa. Intuitivamente consideramos por función inversa aquella función que anula la operación realizada por la segunda función. 2.3.9 Función implícita. Se dice que una función es implícita cuando la variable dependiente no esta despejada, por ejemplo: 2y+xy= x2 , y en caso contrario se le llamara explicita por ejemplo: y(x)=3x2 +1. 30 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades: 2.4.1 Función creciente y decreciente La gráfica que se muestra en la figura 2.4.1 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo [a, b], decreciendo desde [b, c], y creciendo nuevamente sobre [c,d] por consiguiente: Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo [a, b], si f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 x2 en [a, b]. Se dice que una función f es decreciente sobre [a, b], si f ( x1 ) f ( x2 ) siempre que x1 x2 en [a, b]. Para la función f ( x) x 3 5x 2 6 x según en la siguiente gráfica es creciente de [-4,0.5] y decreciente de [0.,5] 2.4.2 Función par e impar. Función par: Si una función f satisface f ( x) f ( x) , para todo número x en su dominio. Sea f ( x) x x 1 comprobar que la función es par : 4 2 f ( x) x x 1 4 2 f ( x) x 4 x 2 1 y como f ( x) f ( x) por lo tanto la función es par y la grafica se comporta de la siguiente manera: 31 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Función Par 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Función impar: Si una función f satisface f ( x) f ( x) , para todo número x en su dominio Sea f ( x) x 2 x comprobar que la función es par : 3 f ( x) x 2 x 3 f ( x) x 3 2 x f ( x) x 3 2 x f ( x ) f ( x ) y como f ( x) f ( x) por lo tanto la función es impar y la grafica se comporta de la siguiente manera: Función Impar 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 32 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.4.3 Función simétrica. Una función simétrica es aquella, que si se traza la gráfica de f para x 0 , obtendremos toda la gráfica con solo reflejar con respecto al eje y en las funciones pares, y con respecto al origen en las funciones impares. La función f ( x) x 3 x es una función simétrica, gráfica se muestra de la siguiente manera: Función simétrica 15 10 5 0 -5 -10 -15 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.4.4 Función periódica. se dice que una función es periódica cuando para cualquier valor de tiempo t se cumple: f(x) = f(x + T) donde T es el período, es decir que sus valores se repiten cada P, Entre las funciones periódicas más conocidas están las funciones trigonométricas (entre ellas seno y coseno). f(x)=sin(x) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 33 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones Se pueden combinar dos funciones f (x) y g (x) para formar las nuevas funciones f g , f g , f *g, ( f g )( x) f ( g ( x)) y ( f f 1 )( x) f ( f 1 ( x)) x de manera semejante a la que aplicamos para sumar, restar, multiplicar y dividir números reales. Sean f ( x) 2 x 3 y g ( x) x 2 1 funciones con dominio A y B. entonces las funciones f g , f g , f * g , , ( f g )( x) f ( g ( x)) y ( f f 1 )( x) f ( f 1 ( x)) x se definen como siguen: Operación Representación Comando utilizado en Matlab Suma ( f g )( x) f ( x) g ( x) (2x - 3) (x 1) x 2x - 4 symadd ('2 * x 3' , ' x * x 1' ) 2 2 Diferencia ( f g )( x) f (x) - g(x) (2x - 3) - (x 2 1) - x 2 2x - 2 symsub('2 * x 3' , ' x * x 1' ) Producto ( f g )( x) f(x) g(x) (2x - 3)(x 2 1) 2x3 3x 2 2x 3 symmul('2 * x 3' , ' x * x 1' ) Cociente f ( x) 2 x 3 g ( x) x 2 1 a) symdiv('2 * x 3' , ' x * x 1' ) a) 2 b) b) symdiv(' x * x 1' , '2 * x 3' ) g ( x) x 1 f ( x) 2 x 3 Composición a) ( f g )( x) f ( g ( x)) a) compose('2 * x 3' , ' x * x 1' ) b) ( g f )( x) g ( f ( x)) b) compose(' x * x 1' , '2 * x 3' ) Función (f f 1 )( x) f ( f 1 ( x)) x finverse(' 2 * x 3' ) inversa 1 1 (f f )( x) f ( f ( x)) x A continuación se muestra la gráfica de las funciones así como la gráfica del resultado de la operación con las mismas, este resultado puede ser comprobado si se toman los valores de la tabla para las funciones originales y se realizan las operaciones correspondientes lo cual puede verificarse si se llena la tabla 4, la gráfica para la suma de funciones presenta los mismos resultados. Funciones originales 20 15 10 5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) y g(x) 34 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Figura 10 Gráfica de dos funciones utilizad as para realizar operación de funciones x f ( x) 2 x 3 g ( x) x 2 1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) g ( x) -4 -5 15 10 -3 -3 8 -11 -2 -1 3 4 -3 -1 1 0 0 3 -1 2 1 5 0 5 -5 2 7 3 21 3 9 8 17 4 11 15 -4 4 Tabla 4 Operaciones con funciones Suma de funciones Resta de funciones 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 f(x)+g(x) f(x)-g(x) Resta de funciones Multiplicacion de funciones 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 g(x)-f(x) g(x)*f(x) Figura 11 Gráfica de operación de funciones 35 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Division de funciones Division de funciones 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 f(x)/g(x) g(x)/f(x) Composicion de funciones Composicion de funciones 10 10 5 5 0 0 -5 -5 -10 -10 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 f(g(x)) g(f(x)) Figura 12 Gráfica de operación de funciones (continuación) La función compuesta es el resultado de tomar una función y evaluarla con otra función. Y se representa como ( f g )( x) f ( g ( x)) La función inversa es un caso especial de composición de funciones en donde al evaluar la función original con la función inversa el resultado es simplemente x. Tiene la propiedad de que cuando es graficada la función inversa, la curva resultante es un reflejo sobre una recta a 45° con la función original. Ejemplo: Hallar la inversa de f ( x ) x 2 2 y hacer su gráfica. 1 Solución: Aplicando la propiedad de las funciones inversa descrita en la tabla 3 f ( f ( x)) x queda el desarrollo como se indica a continuación. f ( x ) x 2 2 Se toma la función original f(f 1 ( x)) f 1 2 ( x ) 2 Se evalúa la función con el símbolo de la función inversa f ( x) 2 x Se aplica la propiedad de la función inversa 1 2 f ( x) x 2 En este y los pasos que siguen se despeja la función 1 2 inversa f ( x ) x 2 1 2 1 f ( x) x 2 36 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Funcion y funcion inversa 8 6 4 2 0 -2 -4 -4 -2 0 2 4 6 8 f(x) e inversa de f(x) Figura 13 Gráfica de función inversa Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones, las funciones que se obtienen de situaciones reales se les conoce como modelos o modelos matemáticos, los cuales describen el comportamiento de fenómenos físicos de la naturaleza. Por ejemplo, el área A de un círculo es una función de su radio r, lo cual se describe mediante el modelo A r 2 En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente, o en general el área de cualquier figura geométrica regular depende de lo que mide uno de sus lados., Así como estos ejemplos existen una infinidad de casos similares. Por eso es importante el comprender lo que ocurre a nuestro alrededor para poder plantear sus modelos y aprovecharlos para poder resolver alguna situación inherente a ellos. 37 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas 2.6 Translación de funciones. Los tres tipos básicos de transformaciones para las funciones son las traslaciones verticales, las traslaciones horizontales y las reflexiones. Ya que algunas familias de gráficas tienen esencialmente la misma forma solo difieren en su ubicación en el plano. La notación de funciones resulta apta para describir transformaciones de gráficas en el plano. Así, si se considera a f(x) como función original, las transformaciones mostradas pueden representarse por las siguientes ecuaciones. Tipos básicos de transformaciones (c > 0) Gráfica original: y f (x ) Reflexión (respecto al eje x): y f (x) Reflexión (respecto al eje y): y f ( x) Reflexión (respecto al origen): y f ( x) Traslación horizontal de c unidades a la derecha: y f ( x c) Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: y f ( x c) Traslación vertical de c unidades hacia abajo: y f ( x) c Traslación vertical de c unidades hacia arriba: y f ( x) c Tabla 2 Transformaciones de una función Por ejemplo, comparemos la gráfica de y x 3 con c 2 Funcion original Reflexión (respecto al eje x) 5 5 0 0 -5 -5 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 a) a) Reflexión (respecto al eje y) Reflexión (respecto al origen) 5 5 0 0 -5 -5 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 a) a) Figura 9 Gráfica de transformación de funciones 38 Instituto Tecnológico del Oriente del Estado de Hidalgo Matemáticas Ejercicios: 1. Representa el siguiente enunciado en forma algebraica, numérica y visual. a) Se va a construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de lámina que tiene 5 metros de cada lado, al recortar un cuadro de cada uno de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Representa el siguiente enunciado en forma algebraica, numérica y visual. b) La página de un libro debe contener 85 cm2 de área, represente el enunciado en forma algebraica, numérica y visual, si los márgenes superior e inferior miden 4 cm y los laterales 3cm. 2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones: a) f ( x) x 2 6 x 1 b) x5 c) f ( x) x 16 2 d) f ( x) 1 6 x 5x 2 e) f ( x) 3 x 1 x 1 f) f ( x) x x x 1 2 x x 3 x0 x 2 1 2 x 2 2 g) f ( x) x 0 x3 h) f ( x) x 4 2 x 5 x 1 x3 x x5 3. Realice las siguientes operaciones con funciones: a) f ( x) x 2 8x 5 c) f ( x) 7 x 2 9 x 11 g) f ( x) x 2 12 x 9 g ( x) 3 x 2 3 x 7 g ( x) 1 g ( x) x 6 x b) f ( x) 2 x 6 x 9 x 8 d) f ( x) x 2 3x 3 2 h) f ( x) 5x 4 2 x 2 3x 8 g ( x) 3x 2 1 g ( x) x 2 1 g ( x) x 4 3x 3 x 2 3x 15 4. Realice la composición f(g(x)) para las siguientes funciones a) f ( x) x 2 3x 1 c) f ( x) x 3 2 x 2 x 8 g ( x) 3x 2 1 g ( x) x 5 b) f ( x) 3x 3 1 d ) f ( x) 5 x 3 3 x 2 g ( x) x 3 g ( x) 6 x 9 5. Realice la composición f(g(x)) para las siguientes funciones a) f ( x) x 5 c) f ( x) 5x 2 3 b) f ( x) 3x 2 9 d) f ( x) x 2 1 39
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