שיא מאור כמה קשה לשטח כיפה? ־על גיאומטריה ואלסטיות בגאומטריה אלסטית תוהים עד כמה ניתן למתוח חומרים מתי גוף לא נמתח? Ω ⊂ Rdקבוצה פתוחה וחסומה היא הגוף שעליו נדבר f : Ω → Rd הגדרה f :לא מותחת )העתקה צפידה( אם f (x) = Ax + b כאשר ) A ∈ Md (Rו b ∈ Rdכלומר הזזה וסיבוב בלבד { { } } )A ∈ O(d ומשמרת מכפלה פנימית O(d) = A ∈ Md (R) : AT A = I = A : A : Rd → Rd הגדרה p ∈ Ω :לא מותחת בנקודה pאם )Df (p) ∈ O(d אבחנה :אם fלא מותחת אז Df = Aבכל נקודה אזי fלא מותחת ב pלכל p ∈ Ω שאלה :האם ההיפך נכון? משפט :כן! אם fגזירה פעמיים ברציפות ומתקיים ) Df (p) ∈ O(dלכל p אזי Dfמטריצה קבועה ו f (x) = Ax + b לכל Df (x) ∈ O(d)x ∈ Ωכלומר Df T (x)Df = I הוכחה{ : ∑d ϑf α ϑf α 1 i=j = α=1 ϑxi ϑxj 0 i ̸= j k ϑ לפי∑ ϑfxα ϑfα נגזור ϑx k ( i ϑx ϑx j ) =0 ϑi = ϑxϑ ונסמן k ≤ d , i, j ≥ 1 לכל ∑d ∑d j α α α α α α 0 = α=1 ϑk (ϑi f ϑj f ) = α=1 ϑk ϑi f ϑj f + ϑi f ϑk ϑj f := aijk 0 = akji = ... 0 = aikj = ... )0 = 2ϑi Df T (x)Df (x לאחר הגזירות נקבל כל הנגזרות השניות של fמתאפסות ולכן Dfהיא מטריצה קבועה. כאן הראינו שהעתקה בסיבוב בנקודה היא שקולה כאן לסיבוב כללי. נבדוק עכשיו לגבי פונקציה כמה היא מותחת ונעשה זאת ע“י בדיקה לכל נקודה וסכימה של מה שנקבל. עבור העתקה כללית נבדוק כמה היא רחוקה מלהיות צפידה. לכל f : Ω → Rdגזירה ברציפות נגדיר אנרגיה אלסטית: r 2 { A = E[f ] = Ω }Df T (x)Df (x) − I dx נרצה למזער את הבעיה E(f ) |f : Ω → Rd f |Γ = g :עם Γ ⊂ ϑΩ כלומר למצוא את המינימום של הקבוצה הנ“ל. זו בעיה בחשבון ואריאציות. 1 היינו רוצים שאם תנאי השפה לא מאפשרים ל fלהיות צפידה אז היינו רוצים ש inf A > 0 וזה לא מתקיים! כי אפשר ”לקפל“ הבעיה ונסתכל על בעיית המזעור שלקבוצה Aנתקן את { } ולכן במקום ה“בעיה“ E(f ) : |f : Ω → Rd f |Γ = g det(Df ) > 0 משפט(1967 Reshetnyak) : f |Γ = g אם f : Ω → Rdשמקיימות det(Df ) > 0 ו־ E(fn ) → 0גורר fn → f (x) = Ax + b משפט) :פריזקה ,ג'יימס ,מולר (2002 קיים C > 0כך שלכל det(Df ) > 0 , f : Ω → Rdקיימת )A ∈ SO(d ∫ 2 ∫ 2 Ω |Df − A| ≤ C Ω Df T Df − I נשים לב שמתקיים E(ι) = 0כאשר ι(x) = x כלומר קיימת פונקציה לא מותחת ,אבל בהרבה מקרים בטבע אין! אנלוג דו מימדי של הגזר המתוסכל היא הבעיה הבאה Mכיפה )חתיכה מספירה( f : M → R2 טענה :אין העתקה לא מותחת )איזומטריה( בין Mל R 2 2 הוכחה :כיוון ש Mהוא כדור מטרי ברדיוס rסביב p0אם f : M → R2שומרת מרחק אז התמונה של fהיא כדור ברדיוס rב R2ואז ההיקף של ) f (Mהור 2πrאבל ההיקף של Mהוא פחות! בסתירה. נרצה למצוא בעיית מיזעור לגופים עקומים: אם f : M → R2אז Df (p) : Tp M → R2העתקה לינארית אפשר להגדיר מכפלה(פנימים שתהיה המטריקה על Tp Mשבקואו' מטריצת גרם ואז ) ϑr ϑr ϑr ϑr ϑx ϑx ϑx ϑy =g ϑr ϑr ϑr ϑr שלה היא ϑx ϑy ϑy ϑy נאמר כי fצפידה בנק' pאם Df (p) : Tp M → R2משמרת את המכפלה הפנימית ) (f : U → R2 ⇒⇐ )Df (p) Df (p) = g(p T האנרגיה האלסטית לגוף : M ∫ 2 EM (f ) = U Df T Df − g אלסטיות לא אוקלידית: { (2011 משפט) :פקזד ־ לויצקה } ⇐⇒ 0 = inf EM (f ) = inf f : M → R2 |det(Df ) > 0קיימת איזומטריה של Mלמישור R2 ונחזור לכמה קשה לשטח כיפה: אזי ממה שראינו יש קשר ישר לעקמומיות הכיפה ולאנרגיה הדרושה לשטח אותה 3
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-