Równanie różniczkowe jednorodne y Równanie różniczkowe które można zapisać w postaci y' = f ( ) x nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym Równanie różniczkowe jednorodne można sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych podstawieniem y (x )=u (x) x y y' = f ( ) x y=ux y '=u ' x+u u ' x+u= f (u) u ' x= f (u )−u u' 1 = f (u)−u x u 1 du= dx f (u)−u x a to już jest równaniem o rozdzielonych zmiennych Przykłady xy '= yln( y)− yln(x) y xy '= yln( ) x y=ux y ' =u ' x+u x (u ' x+u)=uxln(u) u ' x +u=uln(u) u ' x=uln(u )−u u' 1 = uln(u)−u x 1 1 du= dx u (ln ( u)−1) x ln (∣(ln (u)−1)∣)=ln(∣x∣)+C 1 ln ( u)−1 ∣ ln ( ( x ∣ ) )=C 1 ln ( u)−1 ∣ ( x∣ ) =e 1 C ln( u)−1 =±e C 1 x ln (u)−1 =C x ln (u )−1=Cx ln (u)=Cx+1 u=eCx+1 y Cx +1 =e x y= x e Cx+1 dy ( x+ y) + y =0 dx y=ux y ' =u ' x+u ( x+xu )(u ' x+u)+ux=0 (1+u)u ' x +u(1+u)+u=0 (1+u)u ' x+u( 2+u)=0 (1+u )u ' x=−u (2+u) (1+u)u ' x =−1 u (2+u) (1+u) −1 du= dx u (2+u) x 2+2u −2 du= dx 2 u +2u x ln(∣u 2+2u∣)=−2ln(∣x∣)+C 1 ln(∣u 2+2u∣)+2ln(∣x∣)=C 1 ln(∣u 2+2u∣)+ln ∣x 2∣=C 1 ln(∣u 2 x 2+2u x 2∣)=C 1 ln (∣y 2+2xy∣)=C 1 ∣ y 2+2xy∣=e C 1 y 2+2xy=±eC 1 y 2 +2xy=C 2 y 2+2xy+ x 2=C 2 +x 2 ( y+x )2=C 2+ x 2 y +x=±√ C 2+x 2 y =−x±√ C 2+x 2 dy y x − y=x tan ( ) dx x y=ux y ' =u ' x+u x (u ' x+u)−ux= xtan(u) u ' x+u−u=tan(u) u ' x=tan(u) 1 1 du= dx tan (u) x cos (u) 1 du= dx sin (u) x ln ∣sin u∣=ln ∣x∣+C ∣sin u∣=e C (∣x∣) sin u=±(e C )(±x) sin u=C 1 x arcsin (sin u)=arcsin (C 1 x) y =arcsin (C 1 x)+2kπ , k ∈ℤ x y π− =arcsin (C 1 x)+2kπ , k ∈ℤ x y= x (arcsin (C 1 x)+2kπ) , k ∈ℤ y=−x arcsin(C 1 x )−(2k−1) π , k ∈ℤ Zadania do samodzielnego rozwiązania 2 dx + √ √x y dy− y x dx=0 (3 x 2+2 x y−y 2 ) dx+( x 2−2 x y−3y2 )dy=0 ( x 2 + y 2) y ' =2 x y t y '= √ t 2−y 2 + y t 2 y ' =ty+ y 2 y xy '= y−xe x dy 2 y 2−xy = 2 dx x −xy+ y 2 y y dy x− y cos +x cos =0 x x dx y y x cos ( y dx+ x dy)= y sin ( x dy−dx) x x −y dy 2 2 x y = y +( x+ y) e x dx 3 dy y +3xy 2+2x 3=0 dx y x y ' = y cos (ln ) x ( y+√ x y ) dx=x dy x+ y x y '− y=( x+ y )ln x dy y +( 2 √( x y )−x ) =0 dx
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-