Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych dy Jest to równanie postaci = f ( x) g ( y ) dx Gdy uda ci się sprowadzić równanie do takiej postaci to całkujesz je tak jak sama nazwa wskazuje dzieląc przez funkcję zależną od y i całkując obustronnie Podczas dzielenia zakładasz że to przez co dzielisz nie jest zerem a po rozwiązaniu równania sprawdzasz czy przez to założenie nie straciłeś rozwiązań Przykłady y y'= x y' 1 = y x dy dx = y x ln(∣ y∣)=ln(∣x∣)+C 1 ∣ y∣=e C ∣x∣ 1 y=±e C (±x) 1 y=Cx y '=sin (x )cos 2 ( y ) y' =sin( x) cos 2( y) dy =sin( x) dx cos 2 ( y) tan( y)=−cos (x )+C y=arctan (−cos( x)+C )+kπ , k ∈ℤ y '−xy 2= x y '=x+ xy 2 y ' =x (1+ y 2) y' =x 1+ y 2 dy =x dx 1+ y 2 x2 arctan ( y)= +C 2 2 x y =tan( +C ) 2 y '=e x+ y y ' =e x e y e −y y ' =e x e−y dy=e x dx −e−y =e x +C e −y =−e x−C −y =ln (−e x −C) y=−ln (−e x −C) Zadania do samodzielnego rozwiązania ( x+2 x3 )dx+( y+2 y 3) dy=0 tan( x)sin 2 ( y )dx+cos 2( x) cot( y) dy=0 y−xy ' =a (1+ x 2y ' ) (x 2−1) y ' +2xy 2=0 dy dy x 3 y+ y+xy 3 =x dx dx dy sin ( x )cos ( y)−cos( x) sin( y ) =0 dx 2 2 dy x (1+ y )+ y (1+ x ) =0 dx dy dy (1+ y 2 )(e 2x−e y )−(1+ y ) =0 dx dx dy dy x − y= √ 1+x 2 +√1+ y 2 dx dx 2x yy ' + y 2=2 2 y '−xy 2=2xy √( y 2+1)dx=xy dy x+ y x− y y '+sin( )=sin( ) 2 2 √(1− y 2)dx+ y √(1−x 2)=0 y cos (t)dt−(1+ y 2 ) dy=0 y ' sin (t)= y ln y x ( y+1)dx+(x 3−1)( y−1) dy 2 xy ' + y 2 =xy 2 ln x (x 2y−x 2+ y−1) dx+( xy+2x−3y−6) dy=0 xy (xy 2+ x)dy−dx=0
Enter the password to open this PDF file:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-