Université Hassiba Ben Bouali Chlef Faculté des Sciences Exactes et Informatiques Département du tronc commun en Sciences Exactes et Informatiques Niveau : 1 è re année Mathématique et informatique Année universitaire : 2020/2021 Cours d’Algèbre 1 Y.BELGAID et F.Z.BELKREDIM 18 décembre 2020 Table des matières 1 Notions de logique 3 1.1 Terminologie Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Notion de proposition logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 La négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 La disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 La conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 L’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Notion de prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Type de Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Raisonnement par disjonction des cas "Cas par cas" . . . . . . . 9 1.4.3 Raisonnement par Contra posée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Raisonnement par absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.5 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.6 Raisonnement par Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.7 Exemples de raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . 13 2 Chapitre 1 Notions de logique La logique est un domaine un peu à part au sein des mathématiques, qui sous- tend l’ensemble de la construction tout en en faisant partie. Le but de ce premier chapitre est de préciser certaines règles de logique sur lesquelles nous nous appuierons pour justifier les raisonnements utilisés dans nos démonstrations. 1.1 Terminologie Logique 1.1.1 Notion de proposition logique Définition 1 (Énoncé) Une (ou plusieurs) phrase(s) qui a pour but de définir des objets mathématiques "sont les éléments des ensembles de base (nombres, vec- teurs, points..) et les diverses constructions faites à partir de ces objets, comme les ensembles, les listes, les relations, les fonctions, les opérations" ou bien d’en affirmer des propriétés. Exemple : x n + y n = z n n’a pas de solutions entières pour n ≥ 3 , n ∈ N (cet énoncé s’appelle le grand théorème de Fermat (1601 − 1665)). Définition 2 (Proposition logique) On appelle proposition logique "assertion" tout énoncé à laquelle on peut répondre sans ambiguïté par vrai ou faux, mais jamais les deux à la fois " c’est le principe du tiers-exclu ". Les propositions sont souvent notées P ; Q ; R ; P’ ; ...etc. A toute proposition est associée une valeur de vérité : Vrai (en abrégé V ou 1) ou Faux (en abrégé F ou 0). Exemple : -Un triangle a trois cotés. (cet énoncé est vrai donc c’est une proposition). 3 Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 -Comment allez vous ? (cet énoncé n’est ni vrai ni faux donc ce n’est pas une proposition). - π est un nombre entier : est une proposition fausse (valeur de vérité :F=0). En mathématiques, on s’efforcera la plupart du temps de ne considérer que des propositions qui s’appuient sur des objets suffisamment bien définis pour qu’on puisse leur associer une valeur de vérité de façon incontestable. Il existe toutefois quelques types de propositions un peu particulières : Définition 3 (Conjecture) Une proposition présumée vraie mais qu’on n’a pas en- core réussi à prouver. Exemple : Tout nombre pair > 2 est la somme de deux nombres premiers (conjecture de Goldbach (1690 − 1764)). Définition 4 (Assertion) Un énonce auquel on peut donner une valeurs de vérité V : (vrai) ; F :(faux). Définition 5 (Axiome) Une assertion vraie A priori. Définition 6 (Proposition) Une assertion vraie dont l’énoncé est à retenir. Définition 7 (Théoreme) Une assertion vraie particulièrement importante. Définition 8 (Corollaire) Une assertion qui résulte d’un théorème ou d’une propo- sition précédente. Définition 9 (Lemme) Une assertion vraie dont on a besoin pour la suite et qui mérite d’être mise en évidence. Définition 10 Deux propositions A et B sont logiquement équivalentes si elles prennent toujours en même temps la même valeurs de vérité, On le note A ≡ B 1.1.2 La négation Définition 11 La négation d’une proposition P est la proposition notée P ou ( nonP ) et qu’est par définition vraie si P est fausse et qui est fausse si P est vraie. Exemple : La négation de "2 est pair " est la proposition "2 est impair". Il est d’usage de présenter les valeurs de vérité de P en fonction des valeurs de vérité de P dans un tableau appelé table de vérité. Pour le connecteur logique " non " on obtient la table de vérité suivante : P P 1 0 0 1 Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 4 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 1.2 Les connecteurs logiques Dans les raisonnements logiques, on utilise a la fois plusieurs propositions qui sont reliées entre elles par des relations appelées "connecteurs logiques". Alors les connecteurs logiques permettent à partir de propositions P , Q , R , . . . de créer de nou- veaux propositions dits propositions composés dont on peut déterminer la valeur de vérité à partir des valeurs de vérité de P , Q , R , . . . Les quatre principaux connecteurs logiques usuels sont "Et", "Ou", ⇒ , ⇔ 1.2.1 La disjonction La disjonction des deux propositions P et Q est la proposition notée P ∨ Q aussi noté ( P ouQ ) et qui est fausse si P et Q sont simultanément fausses et vraie dans les autres cas. Par définition la valeur de vérité est donnée par la table suivante : P Q P ∨ Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1.2.2 La conjonction La conjonction des deux propositions P et Q est la proposition notée P ∧ Q aussi noté ( P etQ ) et qui est vraie si P et Q sont simultanément vraie et fausse dans les autres cas. Par définition la valeur de vérité est donnée par la table suivante : P Q P ∧ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Proposition 12 On a les équivalences logiques suivantes : - ( P ∧ P ) ≡ P ≡ ( P ∨ P ) - P ∨ P est toujours vraie (principe du tiers exclus). - ( P ∧ Q ) ≡ ( Q ∧ P ) - ( P ∨ Q ) ≡ ( Q ∨ P ) - ( P ∧ Q ) ≡ P ∨ Q et ( P ∨ Q ) ≡ P ∧ Q (lois de de Morgan). - ( P ∧ ( Q ∨ R )) ≡ ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 5 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 - ( P ∨ ( Q ∧ R )) ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) - ( P ≡ Q ) ≡ ( P ≡ Q ) 1.2.3 L’implication L’implication des deux propositions P et Q est la proposition notée P ⇒ Q et se lit aussi si P alors Q , qui est fausse si P est vraie et Q est fausse et vraie dans les autres cas. Par définition la valeur de vérité est donnée par la table suivante : P Q P ⇒ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Remarque 13 Soient P et Q deux propositions logiques, alors -La proposition P ⇒ Q ( P implique Q ) est aussi défini par P ⇒ Q ≡ P ∨ Q -La réciproque d’une implication logique P ⇒ Q est la proposition Q ⇒ P -La contraposée d’une implication logique P ⇒ Q est la proposition Q ⇒ P Proposition 14 Une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes.c- à-d P ⇒ Q ≡ Q ⇒ P 1.2.4 L’équivalence L’équivalence des deux propositions P et Q est la proposition notée P ⇐⇒ Q et se lit aussi P si et seulement si Q , et qui est vraie si P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses et fausse dans les autres cas. Par définition la valeur de vérité est donnée par la table suivante : P Q P ⇐⇒ Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Remarque 15 La proposition P ⇐⇒ Q ( P équivaut à B ) est aussi défini par P ⇐⇒ Q ≡ ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 6 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 Proposition 16 (transitivité de l’implication et de l’équivalence) - (( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ R )) ⇒ ( P ⇒ R ) - (( P ⇔ Q ) ∧ ( Q ⇔ R )) ⇒ ( P ⇔ R ) 1.3 Notion de prédicat Un énoncé peut dépendre de certaines variables, par exemple : P ( x , y ) : x + y = 1. On appelle prédicat tout énoncé dépendant d’une ou plusieurs variables et qui devient une proposition quand on remplace les variables par des valeurs correctes et qui se traduit par x a une propriété P ; on note P ( x ). x a une propriété avec y ; on note P ( x , y ). Exemple : P ( x ); x est un entier (un entier : est appelé le prédicat). Si x = 2, 2 est entier (est une proposition vraie), et si x = π est un entier( est une proposition fausse). 1.3.1 Quantificateurs Soit P ( x ) un prédicat et A un ensemble non vide, sa valeur de vérité dépend alors des valeurs données aux variables (dans l’exemple, P ( x ) : x 2 = 0, P (0) est vrai et P (2) est faux). Il y en a deux : - le quantificateur universel : noté ∀ " A à l’envers, A étant l’initiale de l’allemand Alle). ∀ x ∈ E ; P ( x ) se lit : pour tout x appartenant à E , P ( x ), ou "quel que soit x appar- tenant à E , P ( x ) ". - le quantificateur existentiel , noté ∃ " E retourné, E étant l’initiale de l’al- lemand Existieren". ∃ x ∈ E ; P ( x ) se lit :il existe (au moins) un x appartenant à E tel que P ( x ) ou " pour au moins un x appartenant à E , P ( x ) ". Remarque 17 Une variable est dite liée si elle est quantifiée, libre sinon ; un énoncé n’ayant pas de variable libre est dit fermé(ou clos), sinon, il est dit conditionnel. Une variable qui a été quantifiée devient ”muette” : son écriture peut être rempla- cée par n’importe quel symbole (sauf ceux figurant ailleurs dans l’énoncé). Exemple : — ∀ x ∈ R ( x 2 ≥ 0) est une assertion vraie. Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 7 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 — ∀ x ∈ R ( x 2 ≥ 1) est une assertion fausse. — ∀ n ∈ N n ( n + 1) est divisible par 2 est vraie. — ∃ x ∈ R ( x ( x − 2) > 0) est vraie (par exemple x = 3 vérifie bien la propriété). — ∃ x ∈ R ( x 2 = − 1) est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre né- gatif). Exercices Ecrire par les quantificateur : - l’équation cos x = 0 possède au moins une solution réelle. - l’entier n est un multiple de 5 . - les courbes des fonctions f et g ont un point en commun. Proposition 18 (Négation des quantificateurs) 1 : ( ∀ x ∈ E , P ( x )) ≡ ( ∃ x ∈ E , P ( x )) 2 : ( ∃ x ∈ E , P ( x )) ≡ ( ∀ x ∈ E , P ( x )) 3 : ( ∀ x ∈ E , P ( x ) ∧ Q ( x )) ≡ ( ∀ x ∈ E , P ( x )) ∧ ( ∀ x ∈ E , Q ( x )) 4 : ( ∃ x ∈ E , P ( x ) ∨ Q ( x )) ≡ ( ∃ x ∈ E , P ( x )) ∨ ( ∃ x ∈ E , Q ( x )) Remarque 19 (Interversion des quantificateurs) Le seul cas où deux quantifi- cations peuvent être échangées est lorsqu’elles sont de même type et successives Remarque 20 L’ordre des quantificateurs est très important. Exemple : les deux phrases logiques ∀ x ∈ R ; ∃ y ∈ R ( x + y = 0) et ∃ y ∈ R ; ∀ x ∈ R ( x + y = 0) sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet ; une phrase logique se lit de gauche a tel que x + y = 0 (par exemple on peut prendre y = − x ). C’est donc une phrase vraie. Par contre la peut pas être le même y qui convient pour tous les x Règles d’utilisation des quantificateurs - Règle 1 : on peut permuter deux quantificateurs identiques. ( ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ F : P ( x , y )) ≡ ( ∀ y ∈ F , ∀ x ∈ E : P ( x , y )) ( ∃ x ∈ E , ∃ y ∈ F : P ( x , y )) ≡ ( ∃ y ∈ F , ∃ x ∈ E : P ( x , y )) - Règle 2 : on ne peut pas permuter deux quantificateurs différents. ( ∃ y ∈ F , ∀ x ∈ E : P ( x , y )) ( ∀ x ∈ E , ∃ y ∈ F : P ( x , y )) - Règle3 : si ” ∃ y ∀ x ” est vrai alors ” ∀ x ∃ y " est vrai aussi, mais la réciproque est fausse. Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 8 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 1.4 Type de Raisonnements Voici des méthodes classiques de raisonnements. 1.4.1 Raisonnement direct S’appuie sur l’équivalence logique ( P et ( P =⇒ Q )) ≡ Q On veut montrer que l’assertion P ⇒ Q est vraie. On suppose que P est vraie et on montre qu’alors Q est vraie. C’est la méthode de démonstration la plus courante. Exemple : Montrer que si a , b ∈ Q alors a + b ∈ Q Démonstration . Prenons a ∈ Q , b ∈ Q . Rappelons que les rationnels Q sont l’en- semble des réels s’écrivant p q avec p ∈ Z et q ∈ N ∗ a + b = p q + p ′ q ′ = pq ′ + q p ′ qq ′ Ou le numérateur pq ′ + q p ′ est bien un élément de Z ; le dénominateur qq ′ est lui un élément de N ∗ . Donc a + b s’écrit bien de la forme a + b = p ′′ q ′′ avec p ′′ ∈ Z , q ′′ ∈ N ∗ , Ainsi a + b ∈ Q 1.4.2 Raisonnement par disjonction des cas "Cas par cas" Si l’on souhaite vérifier une assertion P ( x ) pour tous les x dans un ensemble E , on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E , puis pour les x n’apparte- nant pas à A . C’est la méthode de disjonction ou du cas par cas. Exemple : Montrer que pour tout x ∈ R , | x | 6 x 2 − x + 1. Démonstration. Soit x ∈ R Nous distinguons deux cas. Premier cas : x > 0. Alors | x | = x . Calculons alors x 2 − x + 1 − | x | x 2 − x + 1 − | x | = x 2 − x + 1 − ( x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2 > 0 Ainsi x 2 − x + 1 − | x | > 0 et donc x 2 − x + 1 > | x | Deuxième cas : x < 0 Alors | x | = − ( x ). Nous obtenons x 2 − x + 1 −| x | = x 2 − x + 1 + ( x ) = x 2 + 1 > 0 Et donc x 2 − x + 1 > | x | Conclusion Dans tous les cas | x | 6 x 2 − x + 1. Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 9 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 1.4.3 Raisonnement par Contra posée Le raisonnement par contra position est base sur l’équivalence suivante : P ⇒ Q ⇐⇒ Q ⇒ P Donc si l’on souhaite montrer l’assertion P ⇒ Q on montre en fait que si Q est vraie alors P est vraie. Exemple : Soit n ∈ N . Montrer que si n 2 est pair alors n est pair. Démonstration . Nous supposons que n n’est pas pair. Nous voulons montrer qu’alors n 2 n’est pas pair. Comme n n’est pas pair, il est impair et donc il existe k ∈ N tel que n = 2 k + 1 Alors n 2 = (2 k + 1) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 l + 1 avec l = 2 k 2 + 2 k ∈ N. Et donc n 2 est impair. Conclusion : nous avons montré que si n est impair alors n 2 est impair. Par contra posée ceci est équivalent à : si n 2 est pair alors n est pair. 1.4.4 Raisonnement par absurde Le raisonnement par l’absurde pour montrer P ⇒ Q repose sur le principe sui- vant : on suppose a la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si P est vraie alors Q doit être vraie et donc P ⇒ Q est vraie. Exemple 1 : Soient a , b > 0 Montrer que si a 1 + b = b 1 + a alors a = b Démonstration Nous raisonnons par l’absurde en supposant que a 1 + b = b 1 + a et a 6 = b . Comme a 1 + b = b 1 + a alors a (1 + a ) = b (1 + b ) donc a + a 2 = b + b 2 d’où a 2 − b 2 = b − a Cela conduit à ( a − b )( a + b ) = − ( a − b ) Comme a 6 = b alors a − b 6 = 0 et donc en divisant par a − b on obtient a + b = − 1 La somme des deux nombres positifs a et b ne peut être négative. Nous obtenons une contradiction. Conclusion : Si a 1 + b = b 1 + a alors a = b. Exemple 2 Montrons que p 2 est irrationnel, c’est-à-dire que p 2 ∉ Q Démonstration Rappelons que p 2 est, par définition, le nombre réel positif dont le carré vaut 2 . Supposons que p 2 soit un nombre rationnel. Il existe un couple ( p , q ) ∈ N × N ∗ avec p et q premiers entre enx (c’est-à-dire sans diviseur commun autre que 1) tel que p 2 = p / q Élevons au carré l’égalité p 2 = p / q On obtient 2 2 = p 2 / q 2 ou encore 2 q 2 = p 2 , d’où p 2 est pair. On en déduit que p est pair. Il existe donc m ∈ N tel que p = 2 m Puisque p 2 = 2 q 2 , on obtient (2 m ) 2 = 2 q 2 Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 10 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 ou encore 2 m 2 = q 2 , ce qui implique que q 2 est pair. On en deduit alors que q est pair, ce qui signifie qu’il existe m ′ ∈ N tel que q = 2 m ′ On a donc fait apparaitre un diviseur commun à p et q (à savoir le nombre 2 ), ce qui est contraire à notre hypothèse " p et q sont premiers entre. 1.4.5 Raisonnement par contre-exemple Si l’on veut montrer qu’une assertion du type ∀ x ∈ E ; P ( x ) est vraie alors pour chaque x de E il faut montrer que P ( x ) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver x ∈ E tel que P ( x ) soit fausse. Exemple : Montrer que l’assertion suivante est fausse " Tout entier positif est somme de trois carrés ". (Les carrés sont les 0 2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , . . . Par exemple 9 = 2 2 + 2 2 + 1 2 ) Démonstration Un contre-exemple est 7, les carrés inférieurs à 7 sont 0 , 1 , 4 mais avec trois de ces nombres on ne peut faire 7 . 1.4.6 Raisonnement par Récurrence De nombreux résultats s’expriment sous la forme ∀ n ∈ N ; P ( n ) Une démonstra- tion par récurrence permet de montrer qu’une telle assertion P ( n ), dépendant de n , est vraie pour tout n ∈ N Son principe exprime le fait que si la propriété P (0) est vraie et si l’implication P ( n ) =⇒ P ( n + 1) est vraie (on dit alors que P ( n ) est une propriété héréditaire), alors la propriété P ( n ) est vraie pour tout entier naturel n La méthodologie consiste et se déroule en trois étapes : - l’initialisation vérifier que la propriété P (0) est vraie. - d’hérédité puis démontrer que si la propriété P ( n ) est vraie alors P ( n + 1) est vraie. La propriété P ( n ) supposée vraie est appelée hypothèse de récurrence. - la conclusion enfin, on rappelle que par le principe de récurrence P ( n ) est vraie pour tout n ∈ N Exemple 1 : Montrer que pour tout n ∈ N , 2 n > n Démonstration . Pour n > 0 , notons P ( n ) l’assertion suivante :2 n > n Nous allons démontrer par récurrence que P ( n ) est vraie pour tout n > 0 Initialisation Pour n = 0 nous avons 2 ◦ = 1 > 0 Donc P (0) est vraie. Hérédité . Fixons n > 0 Supposons que P ( n ) soit vraie. Nous allons montrer que P ( n + 1) est vraie. 2 n + 1 = 2 n + 2 n > n + 2 n car par P ( n ) nous savons 2 n > n > n + 1 car 2 n > 1 Donc P ( n + 1) est vraie. Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 11 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 Conclusion . Par le principe de récurrence P ( n ) est vraie pour tout n > 0 , c’est- à-dire 2 n > n pour tout n > 0. Exemple 2 ; Montrons par récurrence que ∀ n ∈ N ∗ (1 + 2 + . . . + n ) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 Soit P ( n ) la propriété : (1 + 2 + . . . + n ) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 - La propriété P (1) est vraie car 1 2 = 1 3 - Soit n un entier naturel non nul. Montrons que l’implication P ( n ) =⇒ P ( n + 1) est vraie. Supposons la propriété vraie au rang n (c’est l’hypothèse de récurrence) et montrons qu’elle est vraie au rang n + 1 , c’est-d-dire montrons que (1 + 2 + . . . + ( n + 1)) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + ( n + 1) 3 Partons du terme de gauche pour arriver au terme de droite (c’est ici plus simple). Posons S = 1 + 2 + . . . + n On a (1 + 2 + . . . + ( n + 1)) 2 = ( S + ( n + 1)) 2 = S 2 + 2( n + 1) S + ( n + 1) 2 Or S qui est la somme des n premiers entiers vaut aussi n ( n + 1)/2 et par ailleurs, d’après l’hypothèse de récurrence, S 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 . Ou a donc (1 + 2 + . . . + ( n + 1)) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 + n ( n + 1) 2 + ( n + 1) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 + ( n + 1) 3 Nous avons ainsi montré que pour tout entier naturel n non nul, l’implication P ( n ) =⇒ P ( n + 1) était vraie. Le principe de récurrence permet alors d’affirmer que l’égalité (1 + 2 + . . . + n ) 2 = 1 3 + 2 3 + . . . + n 3 est vraie pour tout entier naturel n non nul. Remarque 21 - La rédaction d’une récurrence est assez rigide. Respectez la rédaction proposée : donnez un nom à l’assertion que vous souhaitez montrer (ici P ( n ) ), respectez les trois étapes (même si souvent l’étape d’initialisation est très facile). En particulier conservez la première ligne de l’hérédité "Fixons n > 0 Supposons que P ( n ) soit vraie. Nous allons montrer que P ( n + 1) est vraie". - Si on doit démontrer qu’une propriété est vraie pour tout n > n 0 , alors on com- mence l’initialisation au rang n 0 Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 12 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 1.4.7 Exemples de raisonnements mathématiques Démonstration d’une implication : On suppose la prémisse(ce qui se trouve a gauche de l’implication) vraie ( si elle est fausse , l’implication sera de toute façon vérifiée) et on essaie d’aboutir à la vérité de la conclusion (ce qui se trouve a droite). Exemple : Montrons la proposition x > 2 ⇒ x 2 − 3 x + 2 > 0 Supposons donc x > 2. On a alors x − 2 > 0 et x − 1 > 0 , donc ( x − 2)( x − 1) = x 2 − 3 x + 2 > 0. Démonstration d’équivalence On procède généralement par double implica- tion. Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 13 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Faculté des Sciences Exactes et Informatiques Tronc commun en Sciences Exactes et Informatiques Niveau : 1 è re année Mathématique et informatique Année universitaire : 2020/2021 Cours d’Algèbre 1 Chapitre II: Ensembles et Applications Chapitre III: Relations Binaires Y.BELGAID et F.Z.BELKREDIM 24 décembre 2020 Table des matières 1 Notion de Logique 3 2 Ensembles et Applications 4 2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.1 Définir des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.3 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.4 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Image directe, Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Prolongements et restrictions des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.5 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Relations binaires 16 3.1 Généralites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.1 Propriétés des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.1 Classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 L’ensemble Z / n Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 Ordre total et Ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Éléments remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Chapitre 1 Notion de Logique 3 Chapitre 2 Ensembles et Applications Nous allons essayer de voir dans ce chapitre les propriétés des ensembles, sans s’attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce sera la notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles. 2.1 Ensembles 2.1.1 Définir des ensembles Définition 1 Un ensemble est une collection d’éléments. Exemples : - { 0 , 1 } , { rouge , noir } , { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } = N -Un ensemble particulier est l’ ensemble vide , noté ∅ qui est l’ensemble ne contenant aucun élément. On note x ∈ E si x est un élément de E , et x ∉ E dans le cas contraire, et on lit la formule x ∈ E : x appartient a E ou x est un élément de E ou E contient x . La formule x ∉ E : x n’appartient pas à E ou x n’est pas un élément de E ou E ne contient pas x Voici une autre façon de définir des ensembles : Définition 2 Un ensemble est une collection d’éléments qui vérifient une propriété. Exemples : { x ∈ R | | x − 2 | < 1 } , { z ∈ C | z 5 = 1 } , { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 } = [0 , 1] Remarque 1 — Un ensemble E est bien défini si on possède un critère permettant d’affirmer que l’objet x ap- partient a l’ensemble E ou n’appartient pas à l’ensemble E — Un même être mathématique ne peut être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble, c’est à dire qu’on ne peut pas écrire x ∈ x — La collection de tous les ensembles imaginables n’est pas un ensemble. Exemple : Vous connaissez déjà quelques ensembles : — L’ensemble des entiers naturels N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } — L’ensemble des entiers relatifs Z = { . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } 4 Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 — L’ensemble des rationnels Q = { p q | p ∈ Z , q ∈ N ∗ } — L’ensemble des réels R , par exemple 1 , p 2, π , ln(2),. . . — L’ensemble des nombres complexes C — Un ensemble E = { a } , formé d’un seul élément, est appelé un singleton. — Un ensemble E = { a , b } , formé de deux éléments distincts, est appelé une paire. 2.1.2 Opérations sur les ensembles Définition 3 Deux ensembles E et F sont identiques (ou égaux) s’ils sont constitués des mêmes élé- ments et on écrit E = F , sinon ils sont dits distincts (ou inégaux) et on écrit E 6 = F Définition 4 (Inclusion) E ⊂ F : signifie que tout élément de E est aussi un élément de F . Autrement dit : E ⊂ F ≡ ∀ x ∈ E =⇒ x ∈ F . On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F Remarque 2 Il est clair que l’on a E = F si et seulement si E ⊂ F et F ⊂ E Définition 5 (Complémentaire d’une partie d’un ensemble) Soient E un ensemble et A une partie de E . L’ensemble ; { E A = { x ∈ E | x ∉ A } est appelé le complémentaire de A dans E On le note aussi E \ A et juste { A s’il n’y a pas d’ambiguïté (et parfois aussi A c ou A ). Définition 6 (Ensemble des parties de E ) Pour un ensemble donné E . On note P ( E ) l’ensemble dont les éléments sont exactement tous les sous-ensembles (parties) de E Par exemple si E = { 1 , 2 , 3 } : P ( { 1 , 2 , 3 } ) = { ; , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 }} Proposition 1 Soit E un ensemble fini de cardinal n . Alors il y a 2 CardE sous-ensembles de E Card P ( E ) = 2 n Exemple Si E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } alors P ( E ) a 2 5 = 32 parties. Sont — l’ensemble vide : ∅ , — 5 singletons : { 1 } , { 2 } , . . . , { 5 } , — 10 paires : { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , . . . , { 2 , 3 } , . . . , — 10 triplets : { 1 , 2 , 3 } , . . . , — 5 ensembles à 4 éléments : { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 1 , 2 , 3 , 5 } , . . . , — et E tout entier : { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 5 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 Définition 7 (Union) Pour A , B ⊂ E , on appelle réunion de A et B l’ensemble A ∪ B contenant exac- tement tous les éléments de A et B A ∪ B = { x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B } Le « ou » n’est pas exclusif : x peut appartenir à A et à B en même temps. Définition 8 (Intersection) On appelle intersection de A et B l’ensemble A ∩ B contenant tous les éléments qui sont à la fois dans A et dans B A ∩ B = { x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B } Définition 9 (Ensembles disjoints) On dit que E , F sont disjoints si E ∩ F est vide. Dans ce cas, on dit que E ∪ F est une d’union disjointe. Remarque 3 On ne confondra pas distincts et disjoints : -Dire que E et F sont distincts, c’est dire : ( ∃ x ∈ E , x ∉ F ) ou ( ∃ x ∈ F , x ∉ E ) -Dire que E et F sont disjoints, c’est dire : ( ∀ x ∈ E , x ∉ F ) et ( ∀ x ∈ F , x ∉ E ) Définition 10 (Différence et Différence Symétrique) Soit A et B deux ensembles. — Différence : L’ensemble A \ B contenant tous les éléments qui sont dans A mais qui ne sont pas dans B — Différence symétrique : On note A ∆ B l’ensemble ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) ou l’ensemble ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) C’est l’ensemble des éléments qui sont dans un et un seul des deux ensembles A et B 2.1.3 Règles de calculs Soient A , B , C des parties d’un ensemble E — ( A C ) C = A , A ∩ A = A — A ∩ B = B ∩ A , A ∪ B = B ∪ A — A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A ⇐⇒ A ∪ B = B Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 6 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z Cours d’Algèbre 1 "en linge" Niveau :1 è re année MI Faculté des Sciences Exactes et Inf 2020/2021 — A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C (on peut donc écrire A ∪ B ∪ C sans ambiguïté) — A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C (on peut donc écrire A ∩ B ∩ C sans ambigüité) — Distributivité : { A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) — Dualité : { A ∩ B = ̄ A ∪ ̄ B A ∪ B = ̄ A ∩ ̄ B — Partie vide et partie pleine : A ∪ ; = A ( ; est neutre pour la réunion) A ∩ ; = ; ( ; est absorbant pour l’intersection) A ∩ B = ; ⇔ A ⊂ B A ∩ E = A ( E est neutre pour 1 intersection ) A ∪ E = E ( E est absorbant pour la réunion) A ∪ B = E ⇔ B ⊂ A — Propretés de l’inclusion : A = B ⇔ ( A ⊂ B ) et ( B ⊂ A ) A ⊂ B ⇔ ̄ B ⊂ ̄ A ( A ∪ B ) ⊂ C ⇔ ( A ⊂ C ) et ( B ⊂ C ) A ⊂ ( B ∩ C ) ⇔ ( A ⊂ B ) et ( A ⊂ C ) — Propriétés de la différence symétrique : A ∆ B = B ∆ A (Commutativité) A ∆ A = ; , A ∆ E = ̄ A A ∆ ; = A ( ; est neutre ) A ∆ ( B ∆ C ) = ( A ∆ B ) ∆ C (Associativité) A ∩ ( B ∆ C ) = ( A ∩ B ) ∆ ( A ∩ C ) (Distributivité de ∩ sur ∆ ) Les preuves sont pour l’essentiel une réformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes : Univ-Hassiba Ben Bouali-Chlef- 7 BELGAID.Y BELKREDIM.F.Z