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Institut Gallilée Licence 3 Université Paris XIII 2020-2021 Structures Algébriques Exercices Exercice 1 Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement s’il existe un élément e ∈ G tel que pour tout g ∈ G, on ait à la fois g ∗ e = g et un élément g 0 ∈ G tel que g ∗ g 0 = e. Exercice 2 Soit (G, ∗) un ensemble fini muni d’une loi de composition associative. Montrer que G possède un idempotent 1 . Exercice 3 Soit (G, ∗) un ensemble muni d’une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement si pour tout couple (g, g 0 ) de G2 , les équations x ∗ g = g 0 et g ∗ y = g 0 ont une solution. Exercice 4 Si g et g 0 sont des éléments d’un groupe G, montrer qu’il existe un unique x ∈ G tel que xg = g 0 . Montrer de même qu’il existe un unique y ∈ G tel que gy = g 0 . Exercice 5 Les ensembles suivants munis des lois indiquées sont-ils des groupes ? Si ce n’est pas le cas, indiquer là où le bât blesse. 1. (N, +) 2. (Z∗ , ×) 3. (Q, ×) 4. ({rotations du plan de centre 0}, ◦) 5. ({−1, 1}, ×) 6. ({z ∈ C, z n = 1}, ×) 7. (GLn (R), +) 8. (GLn (R), ×). Exercice 6 L’ensemble X = {x ∈ R, x > 0 et x 6= 1} est-il un groupe pour la loi x ∗ y = xln(y) ? Exercice 7 Soit G un groupe possédant un unique élément g d’ordre 2. Montrer que g commute à tous les éléments de G. Exercice 8 Montrer que si G est un groupe de type fini 2 , alors le cardinal de G est au plus dénombrable. Exercice 9 Montrer qu’un groupe G dans lequel tous les éléments non-neutres sont d’ordre 2 est commutatif. Exercice 10 Montrer qu’un groupe G est abélien si et seulement si l’application g 7→ g −1 est un morphisme de groupes. 1. On dit que g ∈ G est un idempotent si g ∗ g = g. 2. Un groupe G est de type fini s’il est engendré par un nombre fini d’éléments. 1 Exercice 11 Montrer qu’un groupe G est abélien si et seulement si l’application g 7→ g 2 est un morphisme de groupes. Exercice 12 Montrer que pour tout élément g d’un groupe G, la translation τg : G −→ G définie par g 0 7→ gg 0 est une bijection. Exercice 13 Soit G un groupe fini dans lequel tous les éléments non neutres sont conjugués deux à deux 3 . Montrer que soit G est trivial, soit G ' Z/2Z. Exercice 14 Décrire l’ensemble des groupes pour lesquels l’ensemble des sous-groupe est fini. Exercice 15 Etudier le groupe multiplicatif (Z/20Z)∗ . Exercice 16 √ Montrer que {x ∈ R∗ , x = a + b 2, (a, b) ∈ Q2 } est un sous-groupe de (R∗ , ×). Exercice 17 Soit H8 = {±1, ±i, ±j, ±k} 4 le groupe des quaternions. Ecrire la table de multiplication dans H8 , et montrer que tous les sous-groupes de H8 sont distingués. Identifier tous les quotients possible de H8 par un sous-groupe. Exercice 18 Montrer qu’il n’existe (à isomorphisme près) que deux groupes d’ordre 6. Exercice 19 Soit G un groupe abélien d’ordre n. Montrer que pour tout entier k premier à n, l’application g 7→ g k est un automorphisme de groupes. Exercice 20 Q Soit G un groupe commutatif d’ordre n. Montrer en considérant l’élément x = h∈G h que pour tout g ∈ G, g n = e. Exercice 21 Montrer que le groupe (Q, +) n’est pas de type fini 5 . Exercice 22 Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p. Montrer que G est cyclique. Exercice 23 3. i.e. ∀(g, g 0 ) ∈ G2 , ∃h ∈ G, g = hg 0 h−1 . 4. On définit la loi dans H8 par ij = −ji = k et i2 = j 2 = k2 = −1. 5. i.e. n’est pas engendré par un nombre fini d’éléments. 2 Montrer que si p et q sont des nombres premiers distincts, tout groupe abélien G d’ordre pq est cyclique. Et si G n’est pas abélien ? Exercice 24 Si k et n sont deux entiers, quel est l’ordre de k dans Z/nZ ? Exercice 25 Quel est le plus petit entier n tel qu’il existe un groupe non-commutatif de cardinal n ? Exercice 26 Si F est un corps, déterminer le centre de GLn (F ) 6 . Exercice 27 Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal de GLn (Z/pZ). Exercice 28 Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal du groupe SLn (Z/pZ) 7 . Faire de même avec P GLn (Z/pZ) 8 . Exercice 29 On considère le groupe Dn des isométries du plan qui laissent stable le polygone régulier à n côtés centré en 0. Montrer que Dn est engendré par deux éléments r et s qui vérifient les relations rn = 1, s2 = 1 et srs = r−1 . Déterminer le cardinal de Dn et montrer que D3 ' S3 . Exercice 30 (Formule de Wilson) Montrer qu’un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Exercice 31 Soit G un sous-ensemblePfini de Mn (R) qui est un groupe pour la multiplication matricielle. Montrer que Card(G) divise T r( M ∈G M ). Exercice 32 Montrer que le groupe dérivé D(G) 9 d’un groupe G est un sous-groupe distingué, et qu’il s’agit du plus petit sous-groupe distingué H de G tel que le quotient G/H est commutatif. Identifier le groupe D(G) lorsque G = A4 , G = Sn (n ≥ 3), G = Dn . Exercice 33 Donner deux groupes G et G0 dont les groupes dérivés9 respectifs D(G) et D(G0 ) sont isomorphes à D1 = Z/2Z et D2 = Z/2Z × Z/2Z. Montrer en revanche qu’il n’existe pas de groupe G dont le groupe dérivé est isomorphe à Dn , pour n ≥ 3. Exercice 34 Montrer que tout groupe abélien fini est un groupe dérivé. 6. Si G est un groupe, son centre Z(G) est {g ∈ G, ∀g 0 ∈ G, gg 0 = g 0 g}. 7. SLn (Z/pZ) est l’ensemble des matrices de Mn (Z/pZ) qui sont de déterminant 1. 8. P GLn (Z/pZ) est le quotient de GLn (Z/pZ) par son centre. 9. D(G) est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs, i.e. les éléments de la forme g −1 h−1 gh, pour (g, h) ∈ G2 . 3 Exercice 35 Soit G un groupe fini, et ok (G) l’ensemble des éléments de G d’ordre k. Montrer o3 (G) est pair et que Card(G) − o2 (G) est impair. Exercice 36 Soient g, g 0 des éléments d’un groupe fini G. Montrer que gg 0 g −1 et g 0 sont de même ordre. Faire de même avec gg 0 et g 0 g. Exercice 37 Montrer qu’un groupe fini G tel que pour tout g ∈ G, g 2 = e est un groupe abélien d’ordre une puissance de 2. Exercice 38 Montrer que si G est un groupe abélien, l’ensemble des éléments d’ordre fini dans G est un groupe. Montrer que ce n’est pas le cas si G n’est pas abélien (on pourra par exemple considérer le groupe GL2 (F ), pour un corps F ). Exercice 39 Soit G un groupe et soient a et b des éléments de G d’ordres respectifs m et n tels que ab = ba et pgcd(m, n) = 1. Montrer que l’ordre de ab est mn. Trouver des contre exemples lorsque l’on ne suppose pas ab = ba ou pgcd(m, n) = 1. Exercice 40 Montrer qu’un groupe abélien est simple 10 si et seulement s’il est d’ordre premier. Exercice 41 Soit G un groupe abélien fini et p un diviseur premier de Card(G). Montrer par récurrence sur Card(G) que G possède un élément d’ordre p. Exercice 42 Montrer que pour tout entier n, le groupe (Q/Z, +) possède un unique sous-groupe d’ordre n. Exercice 43 Vérifier que l’intersection de deux sous-groupes H, K d’un groupe G est un sous-groupe de G. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H. Exercice 44 Soient H et K deux sous-groupe d’un groupe G dont les ordres respectifs m et n sont premiers entre eux. Montrer que H ∩ K = {e}. Exercice 45 Soient H, J, K des sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H ⊂ K ⇒ H + (J ∩ K) = (H + J) ∩ K. Exercice 46 Soient H et K deux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que le cardinal du sous-groupe de G engendré par H et K est supérieur à Card(H)Card(K) Card(H∩K) . 10. Un groupe G est dit simple s’il ne possède pas de sous-groupe distingué non-trivial. 4 Exercice 47 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G tels que |G : H| et |G : K| soient premiers entre eux. Montrer que G = HK. Exercice 48 Soient H et K deux sous-groupes stricts d’un groupe G tel que G = HK. Montrer que H et K ne sont pas conjugués. Exercice 49 Soit H un sous-groupe strict d’un groupe G. Déterminer le sous-groupe de G engendré par le complémentaire de H. Exercice 50 Montrer que si H et K sont deux sous-groupes stricts d’un groupe G, on a H ∪ K 6= G. Exercice 51 Soit H un sous-groupe strict d’un groupe fini G. Montrer que G 6= g∈G gHg −1 . S Exercice 52 Trouver un contre exemple à l’exercice 51 si l’on ne suppose plus que G est fini. On pourra considérer pour G l’ensemble des bijections de N à support fini. Exercice 53 Montrer que pour tout (m, n) ∈ N∗ , on a un isomorphisme m·(Z/nZ) ' Z/(pgcd(m, n)Z Exercice 54 Un sous-groupe du produit G × G0 de deux groupes est-il toujours le produit de deux sous-groupes respectifs de G et G0 ? Exercice 55 Soient H et K deux sous-groupes distingués d’un même groupe G tels que H ∩ K = {e}. Montrer que les éléments de H commutent à ceux de K. Exercice 56 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice 2. Montrer que H est distingué dans G. Exercice 57 Montrer que le centre Z(G) 11 d’un groupe G est un sous-groupe distingué de G. Montrer que si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien. Exercice 58 Soit ϕ : G −→ G0 un morphisme de groupes. Montrer que si H 0 est un sous-groupe distingué de G0 , alors ϕ−1 (H 0 ) est distingué dans G. Montrer que si ϕ est surjective, l’image d’un sous-groupe distingué de G est distinguée dans G0 . Et si ϕ n’est pas surjective ? Exercice 59 11. On rappelle que Z(G) = {g ∈ G, ∀g 0 ∈ G gg 0 = g 0 g} 5 Donner un exemple de sous-groupe d’un groupe G qui est distingué mais n’est pas caractéristique 12 . Exercice 60 Montrer que si H est un sous groupe distingué de G et K est un sous-groupe caractéristique de H, alors K est distingué dans G. Exercice 61 Montrer que si H est un sous-groupe caractéristique de G et K est un sous-groupe caractéristique de H, alors K est un sous-groupe caractéristique de G. Trouver un contre exemple à la même assertion lorsque ”caractéristique” est remplacé par ”distingué”. Exercice 62 Soit G un groupe et H un sous-groupe strict et distingué de G. Montrer que s’il n’existe pas de sous-groupe K de G satisfaisant H ( K ( G, alors l’indice de H dans G est un nombre premier. Exercice 63 Existe-t-il un groupe G dans lequel les sous-groupes distingués sont caractéristiques, bien qu’il possède des automorphismes extérieurs ? Exercice 64 Montrer à l’aide de l’exercice 41 que si G est un groupe abélien et k est un diviseur de Card(G), alors G possède un sous-groupe d’ordre k. Et si G n’est pas commutatif ? Exercice 65 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que si H est distingué dans G, alors HK est un groupe. Montrer que si de plus K est aussi distingué dans G, HK est un sous-groupe distingué dans G. Exercice 66 Soit G un groupe fini d’ordre n = ab, a et b étant premiers entre eux. Montrer que si H (resp. K) est un sous groupe de G d’ordre a (resp. b) alors G = HK. Le groupe G est-il isomorphe à H × K ? Exercice 67    a −b 2 2 Montrer que H = , a + b = 1 est un sous-groupe de GL2 (R). b a Exercice 68 Montrer que le groupe spécial orthogonal SOn (R) est un sous-groupe distingué de On (R). Décrire le groupe quotient On (R)/SOn (R). Exercice 69 Déterminer les sous-groupes finis du groupe (R∗ , ×). Exercice 70 Soit H un sous-groupe d’indice fini de (C∗ , ×). Montrer que H = C∗ . 12. On rappelle que H est distingué (resp. caractéristique) si H est stable par Inn(G) (resp. par Aut(G)). 6 Exercice 71 Montrer que si H est un sous-groupe d’indice fini de (Q, +), alors H = Q. Exercice 72 Soit G un groupe d’ordre 2n, pour n impair et H un sous-groupe d’ordre n de G tel que pour tout couple (h, g) ∈ H × (G \ H), ghg −1 = h−1 . Montrer que H est commutatif et que tout élément de G \ H est d’ordre 2. Exercice 73 Soit G un groupe d’ordre 2p, p étant premier et impair. Montrer que si G contient un sous-groupe normal d’ordre 2, G est cyclique. Exercice 74 p−1 Montrer que si p est un nombre premier impair, l’ensemble des carrés de (Z/pZ)∗ est de cardinal 2 p−1 et correspond à l’ensemble des racines du polynôme X 2 − 1̄. Exercice 75 Déterminer tous les morphismes de groupes (Z/nZ, +) −→ (C∗ , ×). Exercice 76 Déterminer le nombre d’automorphismes du groupe Z/2Z×Z/2Z. Exercice 77 Pour n ≥ 2, déterminer les morphismes de groupes Sn −→ (C∗ , ×). Exercice 78 Déterminer le nombre de morphismes de groupes ϕ : Z/2Z × Z/2Z −→ S3 . Exercice 79 Déterminer la structure et le cardinal du groupe des automorphismes d’un groupe cyclique. Exercice 80 Déterminer tous les automorphismes du groupe (Q, +). Exercice 81 Soit G le groupe (multiplicatif) des nombres rationnels strictement positifs. Déterminer tous les mor- phismes de groupes (Q, +) −→ G. Exercice 82 Les groupes (Q, +) et (Q∗ , ×) sont-ils isomorphes ? Exercice 83 Montrer que pour tout groupe G, on a un isomorphisme G/Z(G) ' Inn(G). 13 Exercice 84 Pour tout n ≥ 3, déterminer le centre du groupe diédral Dn . 13. Inn(G) est l’ensemble des automorphismes intérieurs de G, i.e Inn(G) = {ϕg , ϕg (α) = gαg −1 , g ∈ G}. 7 Exercice 85 Montrer que si ϕ : G −→ G0 est un isomorphisme de groupes, alors ϕ induit un isomorphisme entre les centres de G et G0 . En déduire qu’il n’existe pas d’isomorphisme de groupes ϕ : GLn (R) −→ GLn (C). Exercice 86 Montrer que si G est un groupe dont l’ensemble des automorphismes est réduit à idG , alors G est soit trivial, soit isomorphe à Z/2Z. Exercice 87 Soit ϕ un automorphisme d’un groupe fini G dont le seul point fixe est l’élément neutre. Montrer que tout élément g ∈ G s’écrit h−1 ϕ(h), pour un certain h ∈ G. Montrer que si ϕ est une involution 14 , alors l’ordre de G est impair et pour tout g ∈ G, ϕ(g) = g −1 . Exercice 88 Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que si H est cyclique, les éléments de H et du groupe dérivé D(G) commutent. Exercice 89 Si G et G0 sont deux groupes finis d’ordres premiers entre eux, montrer que Aut(G×G0 ) ' Aut(G×G0 ). Exercice 90 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de Sn . Exercice 91 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de SOn (R). Exercice 92 Montrer que tout groupe d’ordre n est un sous-groupe de An+2 . Exercice 93 Soit n ≥ 2 et H le sous-groupe de Sn des permutations qui laissent stable l’élément n. Montrer que H est un groupe isomorphe à Sn−1 et que l’ensemble Sn /H des classes à gauche modulo H est {H, (1 n)H, (2 n)H, ..., (n − 1 n)H}. Retrouver le cardinal de Sn . Exercice 94 Montrer que le produit de deux transpositions peut s’écrire ou bien comme un 3-cycle, ou bien comme le produit de deux 3-cycles. En déduire que An est engendré par les 3-cycles, puis que An est engendré par l’ensemble {(123), ..., (12n)}. Exercice 95 Décomposer en cycles à supports disjoints les permutations suivantes, et calculer leur signature : 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3 5 2 1 7 6 4 7 5 1 4 2 3 6 5 7 1 4 3 6 2 Exercice 96 14. On rappelle que ϕ : G −→ G est une involution si ϕ ◦ ϕ = id. 8 Montrer que si c = (a1 ...ak ) ∈ Sn est un k-cycle, alors pour toute permutation σ ∈ Sn , σ ◦ c ◦ σ −1 correspond au cycle (σ(a1 )...σ(ak )). En déduire que le nombre de classes de conjugaison de Sn correspond au nombre de partitions de l’entier n 15 , et calculer explicitement le nombre de classes de conjugaison dans S5 . Exercice 97 Montrer que le seul sous-groupe distingué de Sn qui contient une transposition est Sn lui-même. Exercice 98 Montrer qu’une permutation d’ordre 10 dans S8 n’appartient pas à A8 . Exercice 99 Montrer que tout 3-cycle est un carré dans Sn , et que le groupe An est engendré par les carrés de permutations. En déduire que An est le seul sous-groupe d’indice 2 de Sn . Exercice 100 Le but de cet exercice est de calculer le nombre Pn des permutations de Sn n’ayant aucun point fixe. Montrer que pour tout n ≥ 2, on a la relation Pn+1 = n(Pn + Pn−1 ). En déduire que pour tout n ≥ 2, Pn k Pn = nPn−1 + (−1)n puis que Pn = n! k=0 (−1) k! . Exercice 101 Montrer que pour tout entier n, le groupe An est un sous-groupe caractéristique de Sn . Exercice 102 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d’indice fini. Montrer que G contient un sous-groupe distingué K d’indice fini tel que K ⊂ H. Exercice 103 Déterminer le plus petit entier k tel que pour tout σ ∈ S9 , σ k = id. Faire de même pour le groupe A9 . Exercice 104 Soit G un sous-groupe commutatif de S999 d’ordre 1111. Montrer qu’il existe un point fixe i de {1, ..., 999} commun à tous les éléments de G. Exercice 105 Soit p un nombre premier ne divisant pas n et G un sous-groupe de Sn d’ordre pk . Montrer qu’il existe un point fixe i ∈ {1, ..., n} commun à tous les éléments de G Exercice 106 Soit G un groupe. On dit qu’un sous-groupe H de G est co-central si G = Z(G)H. Montrer que si H est co-central dans G, alors Z(H) = Z(G). En déduire que si G est un p-groupe non abélien, alors il n’existe pas de sous-groupe H de G tel que G ' Z(G) × H. Exercice 107 Soit G un groupe fini et X l’ensemble des sous-groupes de G. Montrer que si H est un sous-groupe 15. Le nombre de partitions d’un entier n est le nombre de façons d’écrire n comme somme d’entiers strictement positifs. 9 fixé de G, le nombre de conjugués de H divise Card(G). De même montrer que si g est un élément de G, le nombre de conjugués de g divise Card(G). Exercice 108 Soit G un groupe d’ordre pn agissant sur un ensemble fini X de cardinal premier à p. Montrer que X possède un point fixe 16 pour cette action. Exercice 109 Montrer que si p est un nombre premier, et si G est un p-groupe non-trivial le centre de G n’est pas réduit à l’élément neutre. En déduire que tout groupe d’ordre p2 est abélien. Exercice 110 Soit G un groupe d’ordre pn et H un sous-groupe distingué de G non réduit à {e}. Montrer que H ∩ Z(G) 6= 1 et en déduire que tout sous-groupe normal de G d’ordre p est contenu dans Z(G). Exercice 111 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer que pour x ∈ X, Stab(x) est un sous-groupe distingué de G si et seulement si pour tout y ∈ G.x, Stab(y) = Stab(x). Exercice 112 On considère l’action naturelle de G = GL2 (R) sur X = R2 . Pour chacun des sous-groupes suivants 1 de G, déterminer les orbites de X ainsi que le stabilisateur du vecteur v = . 0    a 0 1. H1 = , a>0 0 a    1 x 2. H2 = , x∈R 0 1   0 −1 3. H3 = 1 0 Exercice 113 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer qu’un sous-ensemble Y de X est stable par l’action de G si et seulement si Y est une union d’orbites d’éléments de X. Exercice 114 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. On considère g, g 0 des éléments de G et on note Y = F ix(g) 17 . Montrer que si gg 0 = g 0 g, alors g 0 .y ∈ Y , pour tout y ∈ Y . Donner un exemple pour lequel gg 0 6= g 0 g et il existe un élément y ∈ Y tel que g 0 .y ∈ / Y. Exercice 115 On suppose qu’un groupe G agit transitivement sur deux ensembles X et Y . Montrer que s’il existe une application ensembliste f : X −→ Y qui est G-équivariante 18 , Card(Y ) divise Card(X). Exercice 116 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que pour tout nombre premier p, 16. x ∈ X est un point fixe si pour tout g ∈ G, g · x = x. 17. On rappelle que F ix(g) = {x ∈ X, g.x = x}. 18. i.e. pour tout couple (g, x) ∈ G × X, f (g.x) = g.f (x). 10 le nombre de p-Sylow de H divise le nombre de p-Sylow de G. Montrer que le nombre de p-Sylow de G/H divise lui aussi le nombre de p-Sylow de G. Exercice 117 Soit n > 4 un entier et X un ensemble sur lequel Sn agit transitivement. Montrer que soit Card(X) ≤ 2, soit Card(X) ≥ n. Exercice 118 Montrer que pour tout n ≥ 3, un groupe simple G de cardinal supérieur à n! n’a pas de sous-groupe d’indice n. Exercice 119 On suppose qu’un groupe G d’ordre 10 agit sur un ensemble X de cardinal 13 de telle sorte qu’aucune orbite n’est réduite à 1 élément. Déterminer le nombre d’orbites pour cette action ainsi que le cardinal de chacune d’entre elles. Exercice 120 n
Soit G un groupe d’ordre n possédant un sous-groupe strict H d’ordre m, et tel que m ! < 2n. Montrer que G n’est pas simple. Exercice 121 Montrer que si G est un groupe ne contenant pas de sous-groupe d’indice 2, alors tout sous-groupe d’indice 3 de G est distingué. Exercice 122 Montrer qu’il n’y a pas de groupe simple 19 d’ordre 945. Exercice 123 Montrer que tout groupe d’ordre 35 est commutatif. Exercice 124 Déterminer les sous-groupes de Sylow du groupe A4 . Vérifier que les résultats sont cohérents avec les théorèmes de Sylow. Exercice 125 Soit G un groupe fini et P un p-Sylow de G. Montrer que si H est un sous-groupe distingué de G, P ∩ H est un p-Sylow de H. Montrer de même que P H/H est un p-Sylow de G/H. Exhiber un contre exemple si H n’est pas distingué dans G. Exercice 126 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 36. Exercice 127 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre p2 q 2 , p et q étant deux nombres premiers distincts (on pourra utiliser l’exercice 126). Exercice 128 19. Un groupe G est simple s’il ne possède pas de sous-groupe distingué non trivial. 11 Montrer qu’il n’existe pas de groupe simple d’ordre 400. Exercice 129 Pour tout entier impair n, déterminer le nombre de 2-Sylow de Dn . 12