Devoir N°1 d’évaluation formative Applications Linéaires Question 1 Soient un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 3, une base de Donnez la bonne réponse. a) Existe-t-il une application linéaire de dans telle que , , et ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 2 Soient un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 3, une base de Donnez la bonne réponse. b) Existe-t-il une application linéaire de dans telle que , , et ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 3 Soient un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 3, une base de Donnez la bonne réponse. c) Existe-t-il une application linéaire de dans telle que , , ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 4 Soit un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 5, une base de Donnez la bonne réponse. a) Existe-t-il une application linéaire de dans dont l'image soit le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 5 Soit un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 5, une base de Donnez la bonne réponse. b) Existe-t-il une application linéaire de dans dont l'image soit égale à ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 6 Soit un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 5, une base de Donnez la bonne réponse. c) Existe-t-il une application linéaire de dans dont l'image soit égale à ? Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 7 Soit un espace vectoriel sur ℝ de dimension 4, une base de , et un espace vectoriel sur ℝ de dimension 5, une base de Donnez la bonne réponse. d) Existe-t-il une application linéaire de dans dont le noyau soit le sous-espace de engendré par les vecteurs et Oui et il en existe une seule Oui et il en existe plusieurs Non Question 8 Soient un 𝐾 -espace vectoriel de dimension fini, sa dimension et une base de E. Soit une application linéaire de dans un 𝐾 -espace vectoriel quelconque. Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. a) La famille engendre Toujours vrai Cela dépend de , , et Question 9 Soient un 𝐾 -espace vectoriel de dimension fini, sa dimension et une base de E. Soit une application linéaire de dans un 𝐾 -espace vectoriel quelconque. Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. b) La famille engendre Toujours vrai Cela dépend de , , et Question 10 Soient un K-espace vectoriel de dimension fini, sa dimension et une base de 𝐸 Soit une application linéaire de dans un K-espace vectoriel quelconque. Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. c) La famille est une partie libre de Toujours vrai Cela dépend de , , et Question 11 Soient un K-espace vectoriel de dimension fini, sa dimension et une base de E. Soit une application linéaire de dans un K-espace vectoriel quelconque. Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. d) est une base de Toujours vrai Cela dépend de , et 𝑓 Question 12 Soient et deux espaces vectoriels sur un corps Soit une application linéaire de dans Soit une famille de vecteurs de tels que soit une partie libre de Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. a) La famille est une partie libre de Toujours vrai Toujours faux Cela dépend de , , et Question 13 Soient et deux espaces vectoriels sur un corps Soit une application linéaire de dans Soit une famille de vecteurs de tels que soit une partie libre de Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. b) La famille engendre Toujours vrai Toujours faux Cela dépend de , , et Question 14 Soient et deux espaces vectoriels sur un corps Soit une application linéaire de dans Soit une famille de vecteurs de tels que soit une partie libre de Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. c)La famille engendre Toujours vrai Toujours faux Cela dépend de , , et Question 15 Soient et deux espaces vectoriels sur un corps Soit une application linéaire de dans Soit une famille de vecteurs de tels que soit une partie libre de Pour chacune des assertions, Donnez la bonne réponse. d) est une base de Toujours vrai Toujours faux Cela dépend de , , et Question 16 Soit une application linéaire de ℝ 3 dans ℝ 2 a) Est-elle injective Toujours Jamais Parfois Question 17 Soit une application linéaire de ℝ 3 dans ℝ 2 b) Est-elle surjective ? Toujours Jamais Parfois