ϭ͘Ϳ &Žƌ ƚŚĞ ĨŽůůŽǁŝŶŐ ƐŝƚƵaƚŝŽŶƐ͕ ĚĞƚĞƌmŝŶĞ ǁŚĞƚŚĞƌ Žƌ ŶŽƚ y ŚaƐ a ďŝŶŽmŝaů ĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶ͘ /Ĩ ŝƚ ĚŽĞƐ͕ ŐŝǀĞ Ŷ aŶĚ ɽ ͖ ŝĨ ŶŽƚ͕ ŐŝǀĞ LJŽƵƌ ƌĞaƐŽŶ͘ ;2Ϳ ;ϭ ƉŽŝŶƚͿ tŚLJ ƚŚĞ ƌaŶĚŽm ƉƌŽĐĞƐƐ ďĞůŽǁ ĐaŶ ŶŽƚ ďĞ a WŽŝƐƐŝŽŶ ĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶ mŽĚĞů͍ ^ŚŽǁ tŽƌŬ /Ŷ ĞaĐŚ ƋƵĞƐƚŝŽŶ ďĞůŽǁ͕ ƐŚŽǁ aůů LJŽƵƌ ǁŽƌŬ ƚŽ ƌĞĐĞŝǀĞ ĨƵůů ĐƌĞĚŝƚ͘ zŽƵ ĚŽ ŶŽƚ ŶĞĞĚ ƚŽ ƐŝmƉůŝĨLJ aŶLJ ĨaĐƚŽƌŝaůƐ͕ ĐŽmďŝŶaƚŝŽŶƐ͕ Žƌ ƉĞƌmƵƚaƚŝŽŶƐ͘ ;ϭͿ dŚĞ ũŽŝŶƚ ƉƌŽďaďŝůŝƚŝĞƐ ŽĨ y aŶĚ z aƌĞ ƌĞĐŽƌĚĞĚ ŝŶ ƚŚĞ ƚaďůĞ ďĞůŽǁ͘ džĂŵϮ DŽŶĚaLJ͕ :ƵŶĞ ϭρ͕ 2Ϭ2Ϭ ε͗ϭϳ D 2͘Ϳ dŚĞ ũŽŝŶƚ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ĚĞŶƐŝƚLJ ŽĨ y aŶĚ z ŝƐ ϯ͘Ϳ /Ĩ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ĚĞŶƐŝƚLJ ŽĨ y ŝƐ ŐŝǀĞŶ ďLJ κ͘Ϳ dŚĞ ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞƐ y͕ z ͕ aŶĚ ŚaǀĞ ƚŚĞ ǀaƌŝaŶĐĞƐ s ;yͿ с ρ͕ s ;z Ϳ с κ͕ s ;Ϳ с ϳ͕ aŶĚ ƚŚĞ ĐŽǀaƌŝaŶĐĞƐ ;y͕ z Ϳ с ϯ͕ ;y͕ Ϳ с о2͕ aŶĚ z aŶĚ aƌĞ ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚ͘ &ŝŶĚ ƚŚĞ ĐŽǀaƌŝaŶĐĞ ŽĨ h с y о 2z н ϯ aŶĚ s с о2y н ϯz н κ ρ͘Ϳ dŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶ ŽĨ ƚŚĞ ĚŝƐĐƌĞƚĞ ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞ y ŝƐ ŐŝǀĞŶ ďLJ Ĩ;xͿ с 2 ϭ ϯ x ĨŽƌ x с ϭ͕ 2͕ ϯ͕ ͼ ͼ ͼ ;aͿ ;ρ ƉŽŝŶƚƐͿ &ŝŶĚ ƚŚĞ mŽmĞŶƚ Ͳ ŐĞŶĞƌaƚŝŶŐ ĨƵŶĐƚŝŽŶ Dy;ƚͿ ŽĨ yρ ς͘Ϳ dŚĞ ŝŶƐŝĚĞ ĚŝamĞƚĞƌ ŽĨ a ĐLJůŝŶĚƌŝĐaů ƚƵďĞ ŝƐ a ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞ ǁŝƚŚ a mĞaŶ ŽĨ ϯ ŝŶĐŚĞƐ aŶĚ a ƐƚaŶĚaƌĚ ĚĞǀŝaƚŝŽŶ ŽĨ Ϭ͘Ϭ2 ŝŶĐŚ͕ ƚŚĞ ƚŚŝĐŬŶĞƐƐ ŽĨ ƚŚĞ ƚƵďĞ ŝƐ a ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞ ǁŝƚŚ a mĞaŶ ŽĨ Ϭ͘ϯ ŝŶĐŚ aŶĚ a ƐƚaŶĚaƌĚ ĚĞǀŝaƚŝŽŶ ŽĨ Ϭ͘ϬϬρ ŝŶĐŚ͕ aŶĚ ƚŚĞ ƚǁŽ ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞƐ aƌĞ ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚ͘ &ŝŶĚ ƚŚĞ mĞaŶ aŶĚ ƚŚĞ ƐƚaŶĚaƌĚ ĚĞǀŝaƚŝŽŶ ŽĨ ƚŚĞ ŽƵƚƐŝĚĞ ĚŝamĞƚĞƌ ŽĨ ƚŚĞ ƚƵďĞ͘ ;ϳͿ ;ρ ƉŽŝŶƚƐͿ dŚĞ ŶƵmďĞƌ ŽĨ maƌƌŝaŐĞ ůŝĐĞŶƐĞƐ ŝƐƐƵĞĚ ŝŶ a ĐĞƌƚaŝŶ ĐŝƚLJ ĚƵƌŝŶŐ ƚŚĞ mŽŶƚŚ ŽĨ :ƵŶĞ maLJ ďĞ ůŽŽŬĞĚ ƵƉŽŶ aƐ a ƌaŶĚŽm ǀaƌŝaďůĞ ǁŝƚŚ ђ с ϭ2κ aŶĚ ʍ с ϳ͘ρ͘ ĐĐŽƌĚŝŶŐ ƚŽ ŚĞďLJƐŚĞǀ͛Ɛ ƚŚĞŽƌĞm͕ ǁŝƚŚ ǁŚaƚ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ĐaŶ ǁĞ aƐƐĞƌƚ ƚŚaƚ ďĞƚǁĞĞŶ ςκ aŶĚ ϭΘκ maƌƌŝaŐĞ ůŝĐĞŶƐĞƐ ǁŝůů ďĞ ŝƐƐƵĞĚ ƚŚĞƌĞ ĚƵƌŝŶŐ ƚŚĞ mŽŶƚŚ ŽĨ :ƵŶĞ͍ ;ΘͿ ;ϯ ƉŽŝŶƚƐͿ /Ĩ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ŝƐ Ϭ͘ϳρ ƚŚaƚ aŶ aƉƉůŝĐaŶƚ ĨŽƌ a ĚƌŝǀĞƌ͛Ɛ ůŝĐĞŶƐĞ ǁŝůů ƉaƐƐ ƚŚĞ ƌŽaĚ ƚĞƐƚ ŽŶ aŶLJ ŐŝǀĞŶ ƚƌLJ͕ ǁŚaƚ ŝƐ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ƚŚaƚ aŶ aƉƉůŝĐaŶƚ ǁŝůů ĨŝŶaůůLJ ƉaƐƐ ƚŚĞ ƚĞƐƚ ŽŶ ƚŚĞ ĨŽƵƌƚŚ ƚƌLJ͍ ;εͿ ;ϯ ƉŽŝŶƚƐͿ Ŷ ĞxƉĞƌƚ ƐŚaƌƉƐŚŽŽƚĞƌ mŝƐƐĞƐ a ƚaƌŐĞƚ ρ ƉĞƌĐĞŶƚ ŽĨ ƚŚĞ ƚŝmĞ͘ &ŝŶĚ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ƚŚaƚ ƐŚĞ ǁŝůů mŝƐƐ ƚŚĞ ƚaƌŐĞƚ ĨŽƌ ƚŚĞ ƚŚŝƌĚ ƚŝmĞ ŽŶ ƚŚĞ ĨŝĨƚĞĞŶƚŚ ƐŚŽƚ͘ ;ϭϬͿ ;ρ ƉŽŝŶƚƐͿ /Ĩ κϬ ƉĞƌĐĞŶƚ ŽĨ ƚŚĞ mŝĐĞ ƵƐĞĚ ŝŶ aŶ ĞxƉĞƌŝmĞŶƚ ǁŝůů ďĞĐŽmĞ ǀĞƌLJ aŐŐƌĞƐƐŝǀĞ ǁŝƚŚŝŶ ϭ mŝŶƵƚĞ aĨƚĞƌ ŚaǀŝŶŐ ďĞĞŶ aĚmŝŶŝƐƚĞƌĞĚ aŶ ĞxƉĞƌŝmĞŶƚaů ĚƌƵŐ͕ ĨŝŶĚ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ƚŚaƚ ĞxaĐƚůLJ Ɛŝx ŽĨ ϭρ mŝĐĞ ƚŚaƚ ŚaǀĞ ďĞĞŶ aĚmŝŶŝƐƚĞƌĞĚ ƚŚĞ ĚƌƵŐ ǁŝůů ďĞĐŽmĞ ǀĞƌLJ aŐŐƌĞƐƐŝǀĞ ǁŝƚŚŝŶ ϭ mŝŶƵƚĞ͘ ;ϭϭͿ ;ρ ƉŽŝŶƚƐͿ /Ŷ a ŐŝǀĞŶ ĐŝƚLJ͕ κ ƉĞƌĐĞŶƚ ŽĨ aůů ůŝĐĞŶƐĞĚ ĚƌŝǀĞƌƐ ǁŝůů ďĞ ŝŶǀŽůǀĞĚ ŝŶ aƚ ůĞaƐƚ ŽŶĞ Đaƌ aĐĐŝĚĞŶƚ ŝŶ aŶLJ ŐŝǀĞŶ LJĞaƌ͘ hƐĞ ƚŚĞ WŽŝƐƐŽŶ aƉƉƌŽxŝmaƚŝŽŶ ƚŽ ƚŚĞ ďŝŶŽmŝaů ĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶ ƚŽ ĚĞƚĞƌmŝŶĞ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ƚŚaƚ amŽŶŐ ϭρϬ ůŝĐĞŶƐĞĚ ĚƌŝǀĞƌƐ ƌaŶĚŽmůLJ ĐŚŽƐĞŶ ŝŶ ƚŚŝƐ ĐŝƚLJ aƚ mŽƐƚ ƚǁŽ ǁŝůů ďĞ ŝŶǀŽůǀĞĚ ŝŶ aƚ ůĞaƐƚ ŽŶĞ aĐĐŝĚĞŶƚ ŝŶ aŶLJ ŐŝǀĞŶ LJĞaƌ͘ ;ϭ2Ϳ ;ρ ƉŽŝŶƚƐͿ dŚĞ ƚŝmĞ ŝƚ ƚaŬĞƐ ĨŽƌ ĞaĐŚ ĐƵƐƚŽmĞƌ ƚŽ ďĞ ƐĞƌǀĞĚ aƚ a ůŽĐaů ƌĞƐƚaƵƌaŶƚ ŚaƐ aŶ ĞxƉŽŶĞŶƚŝaů ĚŝƐƚƌŝďƵƚŝŽŶ͘ ^ĞƌǀŝŶŐ ƚŝmĞƐ aƌĞ ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚ ŽĨ ĞaĐŚ ŽƚŚĞƌ͘ dLJƉŝĐaůůLJ ĐƵƐƚŽmĞƌƐ aƌĞ ƐĞƌǀĞĚ aƚ ƚŚĞ ƌaƚĞ ŽĨ 2Ϭ ĐƵƐƚŽmĞƌƐ ƉĞƌ ŚŽƵƌ͘ /aŶ ŝƐ ǁaŝƚŝŶŐ ƚŽ ďĞ ƐĞƌǀĞĚ͘ &ŝŶĚ ƚŚĞ ƉƌŽďaďŝůŝƚLJ ƚŚaƚ ŚĞ ǁŝůů ƐĞƌǀĞĚ ǁŝƚŚŝŶ ρ mŝŶƵƚĞƐ͍ Exam 2