TOÁN VUI VẺ 0.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 0.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính Hệ Cramer AX = B có nghiệm duy nhất là x j = det ( A j ) det ( A ) j = 1 , n trong đó, ma trận A j nhận được bằng cách thay cột thứ j của ma trận A bởi cột các hệ số tự do B Để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B bằng phương pháp Gauss (còn được gọi là phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng), ta thực hiện các bước sau 1 Lập ma trận hệ số mở rộng A = ( A | B ) 2 Đưa A về bậc thang bởi các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 3 Viết lại hệ phương trình và giải ngược từ dưới lên trên. Định lí Kronecker – Capelli. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r ( A ) = r ( A ) i) nếu r ( A ) = r ( A ) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất; ii) nếu r ( A ) = r ( A ) < n thì hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào n − r ẩn tự do. Khi thay B bởi θ ta có được hệ thuần nhất. Hệ này luôn có nghiệm X = ( 0 , 0 , . . . , 0 ) được gọi là nghiệm tầm thường. Khi hệ thuần nhất có đủ n ẩn, n phương trình, nếu • det ( A ) ̸ = 0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường • det ( A ) = 0 thì hệ có nghiệm không tầm thường. Câu 1. Giải hệ phương trình x − 3 y + 4 z = 1 2 x − 5 y + z = 2 5 x − 13 y + 6 z = 5 A x = 1 + 17 α ; y = 7 α ; z = α ; α ∈ R B x = 1 − 17 α ; y = 7 α ; z = α ; α ∈ R C x = 1 + 17 α ; y = 7 α ; z = α ; α ∈ R \ { 0 } D x = 1 − 17 α ; y = 7 α ; z = α ; α ∈ R Câu 2. Tìm nghiệm của hệ 4 x − y + 5 z = 2 − x + 2 y − 3 z = 3 2 x + y + z = 4 A ( 1 − α , 2 + α , α ) B ( 1 − 2 α , 2 − 3 α , α ) C ( − 1 − α , − 6 + α , α ) D ( − 1 − 2 α , − 6 − 3 α , α ) Câu 3. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 2 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 = 0 3 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 0 A x 1 = 0 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 ; x 4 = 0 B x 1 = − 7 α − 10 β ; x 2 = 2 α + 3 β ; x 3 = α ; x 4 = β C x 1 = α − 2 β ; x 2 = − 2 α − 3 β ; x 3 = α ; x 4 = β D x 1 = α + 2 β ; x 2 = − 2 α − 3 β ; x 3 = α ; x 4 = β Câu 4. Chọn số thích hợp điền vào chỗ trống: Nghiệm của hệ phương trình x + 2 y − z + t = 1 3 x + y + 3 z + 2 t = 4 x − 3 y + 5 z = 2 phụ thuộc vào . . . tham số (ẩn tự do). 1 TOÁN VUI VẺ A 0. B 1. C 2. D 3. Câu 5. Tìm m để nghiệm của hệ x − 2 y + z + 2 t = m x + y − z + t = 2 m + 1 x − 5 y + 3 z + mt = − 1 phụ thuộc vào 2 ẩn tự do? A m = 2 B Không tồn tại m thỏa yêu cầu. C m ̸ = 2 D m = 3 Câu 6. Giá trị m sao cho nghiệm hệ phương trình x 1 − x 2 + 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 − 4 x 3 = 0 4 x 1 − 2 x 2 + mx 3 = 0 phụ thuộc vào ít tham số nhất là: A m = 2 B m = − 1 C m ̸ = 2 D m ̸ = − 1 Câu 7. Giải hệ phương trình x + 3 y − 7 z = 7 x + 2 y − 4 z = 3 − y + 4 z = − 3 A x = − 7 , y = 7 , z = 1 B x = 1 − 2 α , y = 2 − α , z = α ; α ∈ R C x = 2 + 2 α , y = 3 − α , z = α ; α ∈ R D x = 7 α , y = − 7 , z = − 1; α ∈ R Câu 8. Nghiệm của phương trình x 1 − 2 x 2 + x 3 = 1 là: A ( a , a , 1 + a ) ( α ∈ R ) B Vô nghiệm.. C ( 0 , 0 , 1 ) D ( a , b , 1 − a + 2 b ) ( a , b ∈ R ) Câu 9. Nghiệm của hệ phương trình 2 1 − 3 4 1 1 1 1 3 2 − 1 6 1 1 2 3 x 1 x 2 x 3 x 4 = − 5 6 4 9 là: A ( 0 , 1 , 0 , 1 ) B Vô nghiệm. C ( 1 , 2 , 3 , 0 ) D ( 1 , 0 , 2 , 0 ) Câu 10. Thành phần x 4 trong nghiệm của hệ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5 6 x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 = − 3 3 x 1 + 5 x 2 − 4 x 3 + 3 x 4 = − 4 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + x 4 = 8 là: A 1. B 2. C − 1 D 0. Câu 11. Tìm nghiệm của hệ x 1 + x 2 + 2 x 3 = 7 − x 2 − x 3 4 x 1 − x 2 + 3 x 3 + 7 = 3 x 2 − x 1 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + 4 = 3 x 2 − x 3 A ( 1 , 1 , 1 ) B ( 1 , 0 , 2 ) C ( − 2 , 2 , − 1 ) D ( 1 , 3 , 0 ) Câu 12. Bộ giá trị ( x , y , z ) nào thỏa mãn phương trình ma trận 0 − 3 2 − 2 − 3 3 − 4 2 − 2 x y z + x y z = − 2 3 5 ? A ( − 1; 1; 1 ) B ( 0; − 0 , 4; 0 , 6 ) C ( − 12 / 7; 0; − 1 / 7 ) D Một đáp án khác. Câu 13. Bộ giá trị ( x , y , z ) nào thỏa mãn phương trình ma trận 2 1 0 1 3 1 0 1 2 x y z + x y z = 4 6 4 ? A ( 1; 1; 1 ) B ( 0; 2; 0 ) C ( 2; 0; 2 ) D Một đáp án khác. 2 TOÁN VUI VẺ Câu 14. Xét phương trình ma trận A 2 X + AX = B trong đó A = 1 1 0 0 − 2 0 − 2 1 1 , B = 2 − 4 6 và X = x 1 x 2 x 3 Nghiệm của phương trình ( x 1 , x 2 , x 3 ) là: A ( 1; − 2; 4 ) B ( − 1; − 2; 4 ) C ( 1; 2; − 4 ) D Một đáp án khác. Câu 15. Nghiệm của hệ phương trình x + 2 y − z + t = 2 2 x + 5 y − 5 z + 2 t = − 2 x + 2 y − 2 t = 0 5 x + 11 y − 7 z + t = 1 là: A ( 2; 0; 2; 2 ) B ( 8; − 3; 1; 1 ) C ( 0; − 1 , 2; − 0 , 6; 2 ) D Một đáp án khác. 0.1.2 Điều kiện để hệ có nghiệm/vô nghiệm Biện luận số nghiệm của hệ phương trình dạng Cramer Xét hệ phương trình dạng Cramer AX = B , và ma trận A chứa tham số m . Ta có các trường hợp sau • Trường hợp 1. Nếu det ( A ) ̸ = 0 thì hệ AX = B có nghiệm duy nhất • Trường hợp 2. Nếu det ( A ) = 0 và tồn tại j ∈ { 1 , 2 , ..., n } sao cho det A j ̸ = 0 thì hệ AX = B vô nghiệm • Trường hợp 3. Nếu det ( A ) = 0 và det ( A j ) = 0 , ∀ j thì hệ có thể có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. Khi đó, ta giải det ( A ) = 0 tìm tham số m rồi thay vào hệ AX = B để giải trực tiếp. Định lí Kronecker – Capelli. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r ( A ) = r ( A ) i) nếu r ( A ) = r ( A ) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất; ii) nếu r ( A ) = r ( A ) < n thì hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc vào n − r ẩn tự do. Chú ý. r ( A ) ≤ r ( A ) Câu 16. Tìm m để hệ x 1 − 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 m x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 m + 8 x 1 + 7 x 2 − 5 x 3 − x 4 = − m có nghiệm. A m = − 8 B m = 24 C m = − 24 D m = 4 Câu 17. Tìm m để hệ x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 − 2 x 4 = m 2 x 1 + 5 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = 3 m − 1 5 x 1 − 4 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 = m + 2 vô nghiệm. A Không có m nào. B m tùy ý. C m = − 3 5 D m ̸ = − 3 5 Câu 18. Với giá trị m nào thì hệ phương trình { 2 ( m + 1 ) x + ( m + 10 ) y = m − 5 mx + ( m + 2 ) y = m − 3 có nghiệm? A m ̸ = 2 B m ≥ 2 C ∀ m ∈ R D m < 2 Câu 19. Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: x − 2 y + 3 z = 0 x + ( m − 2 ) y + 4 z = 0 x − ( m + 2 ) y + ( 1 − m ) z = 0 A m = 0 hoặc m = − 1 B m = − 1 C m = 2 D m = 2 hoặc m = − 1 3 TOÁN VUI VẺ Câu 20. Tìm tham số m để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm duy nhất: mx + y + z = m 2 x + my + z = m x + y + mz = 1 A m ̸ = − 2 và m ̸ = 1 B m ̸ = 2 và m ̸ = − 1 C m ̸ = 2 và m ̸ = 1 D m ̸ = 2 Câu 21. Giá trị m để hệ có nghiệm không tầm thường x + 2 y − z = 0 3 x + y + 3 z = 0 2 x + 3 y + mz = 0 là: A m = 4 5 B m = − 4 5 C m ̸ = 4 5 D m ̸ = − 4 5 Câu 22. Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B ( ∗ ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng: A ( ∗ ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi A là ma trận vuông. B ( ∗ ) vô nghiệm khi và chỉ khi r ( A ) ̸ = r ( ̄ A ) C ( ∗ ) có vô số nghiệm khi và chỉ khi số ẩn nhiều hơn số phương trình. D ( ∗ ) có nghiệm khi và chỉ khi B = θ Câu 23. Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , trong đó A là ma trận hệ số, X là vector ẩn, và B là vector cột. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A Hệ phương trình AX = B có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi A là ma trận không suy biến. B Hệ phương trình AX = B vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A khác hạng của ma trận mở rộng ̄ A C Hệ phương trình AX = B có vô số nghiệm khi và chỉ khi số ẩn bằng số phương trình. D Hệ phương trình AX = B luôn có nghiệm khi và chỉ khi B là vector không. Câu 24. Xét hệ phương trình tuyến tính AX = θ ( ∗ ) , với A là ma trận cấp 5 × 6 . Mệnh đề nào sau đây là đúng: A ( ∗ ) có nghiệm duy nhất. B ( ∗ ) có vô số nghiệm. C Vô nghiệm. D Chưa đủ thông tin để kết luận số nghiệm của hệ ( ∗ ) Câu 25. Cho các hệ phương trình: AX = θ (1) và AX = B (2), trong đó A là ma trận vuông. Hãy chọn phát biểu SAI A Hệ (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ (1) chỉ có nghiệm tầm thường. B Hệ (2) có vô số nghiệm thì hệ (1) có nghiệm không tầm thường. C Hệ (1) có nghiệm không tầm thường thì hệ (2) có vô số nghiệm. D Hệ (1) có nghiệm không tầm thường thì hệ (2) không có nghiệm duy nhất. Câu 26. Xét hệ phương trình x 1 − x 2 + 2 x 3 = − 1 − 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 5 x 1 + x 2 − 2 x 3 = m . Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG? A Nếu m = − 2 hệ có vô số nghiệm. Nếu m ̸ = − 2 hệ vô nghiệm. B Nếu m = − 2 hệ vô nghiệm. Nếu m ̸ = − 2 hệ có duy nhất nghiệm. C Nếu m = − 2 hệ có duy nhất nghiệm. Nếu m ̸ = − 2 hệ vô nghiệm. D Hệ có nghiệm với mọi m Câu 27. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình − mx + 2 y + z = 7 x + 2 y − z = − 1 2 x − z = a có nghiệm với mọi giá trị của m ? A Không có giá trị của a thỏa mãn.. B a = − 4 4 TOÁN VUI VẺ C a ̸ = − 4 D a = 3 Câu 28. Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số A có cấp 5 × 3 . Biết rằng hệ thuần nhất này có nghiệm duy nhất. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG? A r ( A ) = 5 B r ( A ) = 3 và hệ AX = B luôn có duy nhất nghiệm.. C r ( A ) = 3 và nếu hệ AX = B có nghiệm thì sẽ có duy nhất nghiệm.. D r ( A ) = 2 Câu 29. Với giá trị nào của tham số a , b thì hệ x − 2 y + az = 3 3 x − 5 y − az = − 2 2 x − y + 2 z = b có vô số nghiệm? A a = − 1 5 , b = − 27 B a = − 1 5 , b ̸ = − 27 C a ̸ = 1 5 , b = − 27 D a = 1 5 , b = − 27 Câu 30. Với giá trị nào của k thì hệ phương trình kx + 2 y + z = 0 − 3 x + 2 y − z = 0 x + 3 y − 2 z = 0 có nghiệm không tầm thường? A k = − 23 B k ̸ = − 23 C k ̸ = − 25 D k = − 25 Câu 31. Hệ phương trình tuyến tính { x sin α + y cos α = m x cos α − y sin α = 2 m có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi A m = 0 , α tùy ý. B m ̸ = 0 , α tùy ý. C m = − 2 , α tùy ý. D m , α tùy ý. Câu 32. Hệ phương trình tuyến tính { mx − y = 2 m 2 + m + 1 ( m − 2 ) x + y = m có nghiệm khi và chỉ khi A m ̸ = 1 ∧ m ̸ = − 1 B m ̸ = 1 C m ̸ = − 1 D m tùy ý. Câu 33. Cho hệ phương trình tuyến tính { 4 x − y = m + 1 10 x + 3 y = 6 m − 3 . Khẳng định nào sau đây đúng A Hệ phương trình vô nghiệm với mọi m B Hệ phương trình có nghiệm với mọi m ̸ = 1 C Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m D Hệ phương trình có vô số nghiệm khi m = 2 5